黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学含答案.pdf

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1、哈师大附中 2021 级高二学年下学期期末考试数学试卷 120 分钟 满分 150 分 一、选择题：本大题单项选择共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 U=0,1,2,4,6,8,集合 M=0,4,6,N=0,1,6,则 =（）A.0,2,4,6,8B.0,1,4,6,8C.1,2,4,6,8D.U2.对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为1,2，则1 2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（）条件.A充分不必要 B必要不充分 C充要D既不充分也不必要 3.将

2、5 名学生分配到 A，B，C，D，E 这 5 个社区参加义务劳动，每个社区分配 1 名学生，且学生甲不能分配到 A 社区，则不同的分配方法种数是()A72 B96 C108D120 4.如果 0，那么下列不等式成立的是（）A11 B 2C2 2 D 1)=，则(1 0)=12 D某人在 10 次射击中，击中目标的次数为，(10,0.85)，则当=9时概率最大 12(多选题)一盒中有 7 个乒乓球，其中 5 个未使用过，2 个已使用过，第一次从盒子中任取 3 个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为 X，第二次从盒子中任取 2 个球，设其中新球的个数为随机变量 Y,则（）A.

3、X 的所有可能取值是 3,4,5B.E(X)=347C.P(Y=2|X=5)=121D.P(Y=2)=20147二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13命题“0”的否定是.14.设随机变量X的概率分布列如下表，则(|3|=1)=1 2 3 4 13 141615.已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(，2)，其密度函数，(x)12()222的曲线如上图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在-6，-3内的概率约为.(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()0.682 7，P(22)0.954 5，P(33)0.997 3)16定义：在等式(2+2)=02+1

4、21+222+21+2(+)中，把0，1，2，2叫做三项式(2+2)的次系数列(如三项式的 1 次系数列是 1，1，-2).则（1）三项式(2+2)的 2 次系数列各项之和等于；（2）43=.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分（17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足1+22+=.(1)求的通项公式；(2)已知=122,=2 12+2,=2，求数列的前 20 项和.18.如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形，其中 ，,3，2，平面，且3点在棱上，点为中点(1)证明：若2，则直线平面；(2)求平面与平面所成角

5、的正弦值19“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取 30 名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到爱好运动的员工的概率是815参考公式：2()2(+)(+)(+)(+)，=+.附表：0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.05的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？（2）若从这 30 人中的女性员工中随机抽取 2 人参加一活动，记爱好运动的人数为X

6、，求X的分布列、数学期望 男性 女性 合计 爱好 10 不爱好 8 合计 30 20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点(1,32)在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量=(2,1)的直线交椭圆于、两点，求证：|2+|2为定值 21已知函数 1lnf xxaxx.(1)若 f x在2,上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若2a 时，f x存在两个极值点1x、2x，证明：12122f xf xaxx.22习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在

7、共建共享发展中有更多获得感现 S 市政府针对全市 10 所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：敬老院 A B C D E F G H I K 满意度x（%）20 34 25 19 26 20 19 24 19 13 投资原y（万元）80 89 89 78 75 71 65 62 60 52（1）求投资额关于满意度的相关系数；（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在 0.75 以上（含 0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的

8、敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到 0.1）参考数据：=21.9,=72.1，1022110288.9iixx，2 10210=1 37.16，10=1 10 =452.1，288.9 17.附：对于一组数据(1,1),(2,2),(,)，其回归直线 =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=122=1,=.线性相关系数=1(22=1)(22=1).哈师大附中 2021 级高二学年下学期期末考试数学试卷 答案 120 分钟 满分 150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A,2.D;3.B

9、;4.D;5.C；6.C;7.D;8.A.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全答对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.AC；10.ABC；11.BCD；12.ACD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 0，2+2 1 0.14.51215.3 ；0.1359 16.0；20.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分（17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足1+22+=.(1)求的通项公式；(

10、2)已知=122,=2 12+2,=2，求数列的前 20 项和.17（1）当=1时，可得1=1，当 2时，1+22+=，1+22+(1)1=1(2)，上述两式作差可得=1，(2)因为1=1满足=1，所以的通项公式为=1.（2）=122,=2 12+2,=2，所以1+3+19=1+3+5+1922=(1+19)10222=10022，2+4+20=224+246+22022=(1214)+(1416)+(120122)=12122=1022.1+2+3+4+19+20=10022+1022=5 所以数列的前 20 项和为 5.18.如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形，其中 ，,3，2，平面，且3

11、点在棱上，点为中点(1)证明：若2，则直线平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值18.（1）在AD上取一点Q，使得13AQAD，连接MQ，NQ，如图，23QDDMADDP，MQAP，又MQ平面PAB，PA平面PAB，MQ平面PAB；113AQAD，112BNBC，ADBC，AQBN，AQBN，四边形ABNQ为平行四边形，ABQN，又QN 平面PAB，AB平面PAB，QN平面PAB，又MQQNQ，MQ，QN平面MNQ，平面MNQ平面PAB，又MN平面MNQ，MN平面PAB；（2）以A为坐标原点，,AB AD AP正方向为,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则2,2,0C，0,0,3P，

12、0,3,0D，2,1,0N，2,2,3PC，0,3,3PD，2,2,0DN，设平面CPD的法向量1111,nx y z，则11111112230330PC nxyzPD nyz，令12z，解得12y，11x，11,2,2n；设平面NPD的法向量2222,nx y z，则222222220330DN nxyPD nyz，令21x，解得21y，21z，21,1,1n；12121255 3cos,93 3n nn nnn，平面CPD与平面NPD所成角的正弦值为25 36199 19“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取 30 名员

13、工进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 合计 爱好 10 不爱好 8 合计 30 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到爱好运动的员工的概率是815 参考公式：2()2(+)(+)(+)(+)，=+.附表：0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.05的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？（2）若从这 30 人中的女性员工中随机抽取 2 人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望 19.（1）由 30 人中随机抽取 1 人抽到爱好

14、运动的员工的概率是815，故爱好运动的员工共有 16 人，由表中男爱好运动的员工为 10 人，可得女爱好运动的员工有 6 人，故列联表补充如下：男性 女性 合计 爱好 10 6 16 不爱好 6 8 14 合计 16 14 30 零假设为0：爱好运动与否与性别没有关系.由已知数据可求得：2=30(10866)216141614 1.158 3.841=0.05，根据小概率值=0.05的独立性检验，没有充分证据推断0不成立，即接受0，即认为爱好运动与否与性别没有关系；（2）X的可能取值为 0,1,2.(=0)=82142=413，(=1)=8161142=4891，(=2)=62142=1591

15、，所以X的分布列为：X 0 1 2 P 41348911591X的数学期望为：()=0413+14891+21591=67.20已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点(1,32)在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：|2+|2为定值 20.（1）因为的焦点在轴上且长轴为，故可设椭圆的方程为（），（1 分）因为点在椭圆上，所以，（2 分）解得，（1 分）所以，椭圆的方程为（2 分）（2）设（），由已知，直线l的方程是，（1 分）由（*）（2 分）设，则、是方程（*）的两个根，所以有，（1 分）所以，（定值）（3 分）所以，

16、为定值（1 分）21已知函数 1lnf xxaxx.(1)若 f x在2,上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若2a 时，f x存在两个极值点1x、2x，证明：12122f xf xaxx.21.（1）解：因为 1lnf xxaxx，则 222111axaxfxxxx ，因为函数 f x在2,上单调递减，则对任意的2x，0fx，即2110axx，可得1axx，设 1h xxx，则 222111xh xxx，当2x 时，0h x，所以，h x单调递增，则 522h xh，故52a，即实数a的取值范围是5,2（2）证明：由（1）知：1x、2x满足210 xax，则121x x，不妨设120 xx

17、，则21x 则 12121221212121222lnlnlnln2ln11221f xf xxxxxxaaaxxx xxxxxxx ，则要证 12122f xf xaxx，即证2222 ln1axaxx，即证22212ln xxx，也即证22212ln0 xxx成立 设函数 12lng xxxx，则 22211210 xgxxxx ，所以，g x在0,单调递减，又 10g 故当1,x时，10g xg，所以，22212ln0 xxx，即 12122f xf xaxx.22习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新

18、进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感现 S 市政府针对全市 10 所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：敬老院 A B C D E F G H I K 满意度x（%）20 34 25 19 26 20 19 24 19 13 投资原y（万元）80 89 89 78 75 71 65 62 60 52（1）求投资额关于满意度的相关系数；（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在 0.75 以上（含 0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求

19、在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到 0.1）参考数据：=21.9,=72.1，1022110288.9iixx，2 10210=1 37.16，10=1 10 =452.1，288.9 17.附：对于一组数据(1,1),(2,2),(,)，其回归直线 =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=122=1,=.线性相关系数=1(22=1)(22=1).22.（1）由题意，根据相关系数的公式，可得101101022221110452.10.7217 37.161010iiiiiiix yx yrxxyy.（2）由（1）可知，因为0.72 0.75，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，所以要“末位淘汰”掉 K 敬老院.重新计算得=21.910139=2069 22.89，=72.110529=6699 74.33，9=12 92 288.9+1021.92 132 922.892 200.43，9=1 9 452.1+1021.972.1 1352 922.8974.33 253.28，所以9192219253.281.261.3200.439iiiiix yx ybxx，=74.33 1.2622.89 45.49 45.5.所以所求线性回归方程为 =1.3+45.5.