丘成桐谈几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论.docx

《丘成桐谈几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《丘成桐谈几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论.docx（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、丘成桐谈几何：从黎曼、爱因斯坦到弦论著名数学家丘成桐先生发表了题为“几何：从黎曼、爱因 斯坦到弦论”的演讲，追溯了为广义相对论发展奠定基础的的 黎曼几何，回顾了影响广义相对论发展的物理学突破，并谈及 量子力学和引力理论相结合、引力场量子化将成为这个世纪的 重要问题，而弦理论是一个相当不错的起点。丘成桐教授从事广义相对论研究已经四十多年，参与了整个 广义相对论的发展。(一)黎曼几何：改变人类的时空观如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦将会需要更多的时间来 创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通 过他自己想象写出来的。现代儿何学的发展推动我们对于空间的 认识。黎曼(Bernhard

2、Riemann)和他的老师高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是 现代几何学的先父，而真正的创始人可能是黎曼。黎曼的一生短暂，只在世40年，就英年早逝。他的学术生涯 虽然只有短短16年，但是他发表的每一篇文章都开创了整个几 何和数学不同方面的领域，尤其是现代几何。1854年，黎曼在论 关于作为几何学基础的假设的讲师资格论文中开启了现代几何 学的概念。黎曼几何这一漂亮的理论变革了人们对古希腊几何学 家所引入的空间的认识。可以说如果没有黎曼儿何的发展，爱因 斯坦(Albert Einstein)将会需要更多的时间来创立伟大的广义 根据

3、爱因斯坦的理论来研究相应的五维真空。卡鲁扎发现，在四 维空间里有效的理论，在拿走这些圆之后，通常是重力四维空间 中的爱因斯坦方程的非真空解。这些圆创造了一种物质，即电磁 场。这绝对是一项惊人发现。克莱因随后将这项理论向物理方向 进行了更深的发展。爱因斯坦也很欣赏这个理论。但不久之后， 人们发现使用这项理论会创造出一种自然界尚未被观察到的超重 的标量粒子。随后这项理论就被物理学摒弃了。尽管如此，在四 维的爱因斯坦时空中添加维度的想法很有创意。通过这种方法, 当时空是简单乘积，洛伦兹对称的爱因斯坦度量可以约化为额外 空间的爱因斯坦度量。虽然放弃了这个理论，但是这个理论很漂 亮，所以有很多不停的改进

4、。在四维空间添加维度的想法，一直 以来都在发展，这个理论以后发展成现在弦论里的四维空间。（四）卡拉比一丘流形的诞生有了超对称的这个观念以后，我看卡拉比先生的问题，和爱因斯 坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，这个过程很 不容易，因为我需要建立一整套理论基础。我记得当我还是研究 生时，爱因斯坦用时空几何来替代重力的创见很令我着迷：在赤 道上两地，两人同时朝北移动，本以为是平行移动的两人，却发 现快到北极时，竟然越来越靠近对方，就像两人之间有吸引力。 这种吸引力的作用实际上来自于地球的正曲率。反之，若空间曲 率为负，例如双曲空间，两人将渐行渐远，感受到排斥力。我对 于寻找空间拓扑结构作用

5、下真空爱因斯坦方程的解很感兴趣。如 爱因斯坦所说，这样的空间存在，并且拓扑结构本身能够产生重 力。由于重力是由时空的完全曲率张量来表示，我们希望找到这 样一个具有非平凡曲率的真空。物质可以仅用时空的部分曲率， 即里奇曲率张量来描述。里奇张量在爱因斯坦方程里被用来描述 物质的分布。如果里奇张量为零，那这个时空就不存在物质。所 以我非常想要找到这样一个里奇曲率为零同时又具有非平凡曲 率的时空。找到这样一个例子是我读研究生时给自己定下的目标。 直到有一天，我在图书馆看书时发现一篇意大利几何学家欧亨尼 奥卡拉比(Eugenio Calabi)的论文，发现在我想到这个问题 的二十年前，卡拉比就已经在思考

6、完全不同条件下的类似问题了。 卡拉比的灵感并不是来自广义相对论。他所感兴趣的问题是复数 域的几何。我很兴奋，因为我觉得卡拉比这个问题会帮助我解决 刚才广义相对论的问题，找到那个没有物质的真空。黎曼球面的 高维推广、庞加莱度量在高维流形的推广满足爱因斯坦方程。同 时，它也表现出某种内在的对称，我们现在称之为超对称。这是 一个很奇妙的对称，到现在实验室还没有找到，可是超对称在这 四十年来对物理理论有很重要的影响，很多重要的理论都是通过 超对称来了解的。令我惊讶的是，卡拉比的观点给了一种简单的 将完整而复杂的爱因斯坦方程约化为复流形上更简洁的数量方 程的方法。这出个方程是一个相当复杂的非线性方程，我

7、们称之 为蒙日一安培方程(Monge-Ampere equation)。卡拉比猜测这个 方程总是可解。在相当长的一段时间里，没有人知道该怎样处理 这类非线性方程，无论是在一般空间还是弯曲空间中。连一个例 子都没有被发现。因此大部分人不相信卡拉比猜想是正确的，包 括当时所有的年轻几何学家，也包括我。有了超对称的这个观念 以后，我看卡拉比先生的问题，和爱因斯坦的方程就容易得多了。 最后我完成了卡拉比猜想，这个过程很不容易，因为我需要建立 一整套理论基础。这一学科最终被称为几何分析，很多朋友都参 与了这一学科的开创。他们是理查德舍恩(Richard Schoen)、 郑绍远、利昂西蒙(Leon Si

8、mon)、凯伦乌伦贝克(Karen Uhlenbeck)、理查德汉密尔顿(Richard Hamilton),以及之 后的克里夫陶布斯(Clifford H Taubes)和西蒙唐纳森。他 们都是一流的学者，还兼研究其他重要的学科。几何分析学科的 建立是过去四十年来几何学中非常重要的发展，我有幸亲身参与 了很多发展。尽管如此，在1984年之前，我几乎不知道这些发展 能和物理的弦论联系起来。由于舍恩和我在广义相对论上的研究 进展，我和物理学家有了相当多的交流。1982年，当时我在普林 斯顿高等研究院任教时，加里霍洛维茨(Gary Horowitz)成为 了我的博士后。我的学生都对我的解有兴趣，但

9、是与之后认识的 安迪斯特罗明格(Andy Strominger)和爱德华威滕(Edward Witten) 一起讨论数学和物理的联系时，我会向他们提到我应用 卡拉比猜想构造爱因斯坦度量，他们似乎没有对此表现出什么兴 趣。1984年的一天，我去圣地亚哥与太太团聚。正在欣赏美丽的 海景时，我接到了安迪斯特罗明格和加里霍洛维茨的电话。 他们很兴奋地告诉我，一个被称为弦论的关于量子引力的新理论 被发现了。在这个理论里，粒子表示为时空中微小的振动的弦。 为了使这一理论与量子力学相容，这个理论要求时空是十维的。 他们提议建立一个十维时空模型一一将四维时空乘上一个微小 的六维空间。这个六维空间非常微小，以至

10、于肉眼无法观测，而 这个十维空间在普通人看来就呈现为四维时空。这个六维空间需 要满足爱因斯坦方程，同时他们希望这个时空具有对称性，从而 使得量子场论更完美。额外的超对称伴随着一类卡拉比和我研究 过的六维流形，而我已经证明了它的存在。我的朋友急切地想要 知道这样的流形是否存在，至少在数学上是否正确。当我告诉他 们这样的流形确实存在而且很多时，他们着实地感到兴奋。之后， 坎德拉(Candelas),霍洛维茨，斯特罗明格和威滕等四位作者 写了一篇革命性的论文。他们将弦论中的六维空间称为卡拉比一 丘(CalabiYau)流形。这些空间成为过去的三十年中数学和物 理研究中非常热门的主题。数学为物理提供了

11、一个非常重要的平 台，同时物理的直觉灵感推动数学前进。弦论还远未被证明是正确的还是错误的。另一方面，由弦论 所激发的数学却是正确和漂亮的。一些非常重要的数学公开问题 就是由于弦论所激发的灵感得以解决。它们可以建立在严格的数 学理论上。由此，数学为验证由弦论所激发出的构想是否正确一 一或至少是否自洽，提供了一种方式。不容置疑的是那些结果在 数学上都是正确的。虽然这很振奋人心，但还仍然没有能够证明 弦论是统一自然的理论。二十世纪物理学的两大支柱毫无疑问是 量子力学和广义相对论。广义相对论比量子力学的基础来的扎实， 比量子力学重要，但在应用上不如量子力学，主要的原因我想是 因为广义相对论里面的方程是

12、非线性方程，解这个方程比较困难。 量子力学进展神速，在短时间内，就在实验室里验证出各种重要 的现象，对于粒子物理、化学、通信技术，乃至现代工业的一切 进展都有奠基性的贡献。这里有几个原因，它有不断的实验的支 持，从实验室观察到新的现象，不但可以验证和修订现存的理论， 还可以引导物理学家提出新的学说。在观察现象时，它所需要的 数学比较简单，它的数学基础是线性分析，而这些基础很多已经 由希尔伯特提出的无限维空间的谱分析提供。至于进一步的规范 场理论由外尔提出时还是比较线性化，因为初步的规范场论是用 可交换群来做规范群。但是数学家，例如埃利嘉当(Joseph Car tan)、夏尔埃雷斯曼(Char

13、les Ehresmann)和陈省身先 生，很早就讨论过纤维丛的联络理论。他们没有意识到外尔在物 理学上的工作。直到1954年，杨振宁和米尔斯重新发现数学家的 理论可以用到粒子物理，并将外尔理论推广到了非交换规范群。 但是需要的数学远比线性理论来得复杂，这个复杂性让物理学家 在应用规范场论到高能物理上停顿了十多年，因为要将比较非线 性的规范场理论量子化是很困难的事情，而没有量子化成功的理 论，对解释高能物理的现象没有任何用处。1970年，年轻的博士 生荷兰物理学家杰拉德特胡夫特(Gerard t Hooft)完成 了规范场量子化的第一步重要工作，高能物理迅速进入到新纪元, 几年后，高能物理的标

14、准模型建立成功。直到今天，它的结论都 相当正确，经过实验室证明，它已经融合了宇宙间的三个力场。 引力场理论的基础在1915年完成，爱因斯坦写下正确的引力场方 程，而希尔伯特写下它的拉格朗日量。引力场在基础的问题上已 经得到解决，在这个方向来说，它比量子力学来得结实。但在现 代物理中，量子场论发挥了极为重要的贡献，遗憾的是我们还没 有能力建立起一个严格的非线性的四维量子场论。非线性理论的进展比较缓慢，它需要高度困难的数学工具， 同时往往会有预测不到的现象的产生。大部分物理学家试图用电 子计算机来做计算，这当然是很有帮助的方法，但是在理论还未 研究清楚前，除了极为特殊的情况下，我们一筹莫展。天文的

15、观 察直到这三十年来才有比较大的进展。这也是引力理论发展缓慢 的一个原因。我认为，21世纪将会是量子力学和引力理论相结合 的世纪。我们希望从引力场的观点提供量子力学和粒子物理的新 的想法，而引力场量子化将成为这个世纪的重要问题，弦理论是 一个相当不错的起点。无论是超对称还是高维空间的想法都需要 实验的证明，但是任何证明支持这些观念的现象都会是人类对于 宇宙认识的一大步。我们需要大量的物理学家，数学家，工程师 参与这个世纪大问题。假如我们中国的科学家能够带动这个研究, 我想都会青史留名，不只拿诺贝尔奖那么简单。这是一个很重要 的事情，希望我们中国的科学家能够努力。相对论。值得一提的是，他的博士论

16、文全部是通过他自己想象写 出来的，除了高斯的一些工作以及赫尔巴特(Johann Friedrich Herbart)的哲学作品，黎曼可以借鉴的文献很少。黎曼开创几 何最重要的目的是解释物理现象，他认为：几何学定理无法从一 般的量纲概念导出，而必须借助那些可以区分空间和其他实体的 性质。这些性质只能通过实验发现我们只能研究他们的可能性，判断是否可以将其延拓到可观察范围之外，不可测量 的巨大或微小或者空间所依存的物理现实是一个离散的多样体，或者它的度量关系的基础需要追溯到它的元素的结 合力的外部来源我们现代的几何学是包括了几何、分析与数学物理的一门综合的科学。这正是黎曼160年前研究几 何学时采用

17、的观点。与黎曼同时代的数学家中，最重要的一个人 是柯西(Cauchy) o柯西和黎曼都是复分析的奠基人，但黎曼与 柯西不同的是，他从几何和微分方程的观点来研究复分析，引进 了 “黎曼面”的基本概念。这个概念是19世纪和20世纪最重要 的概念之一，影响到高能物理的发展。黎曼还是第一位引入独立 于欧氏几何的空间概念的学者。(第一个提出非欧几何的是罗巴 切夫斯基，即罗氏几何)他用坐标来测量长度，面积和曲率等几 何量。他希望这些值与坐标的选取无关，这叫做等效原理，是爱 因斯坦后来用作推导他的场方程的一个基本假设。爱因斯坦受到 黎曼工作的深刻影响。黎曼还引入了黎曼曲面的抽象概念。他设 想所有自然存在的光

18、滑二维曲面都可以描述为黎曼曲面。这个发 现很重要，黎曼面被应用到不同的物理范畴中。在过去30年中， 物理学家对一种称为超弦的理论极度着迷，根据这一理论，粒子 是时空中振动的微小的弦。振动中的弦扫出一张二维曲面。黎曼 观察到二维曲面存在一种全纯函数赋予的结构，也即共形几何。 这启发了共形场论的诞生。现代粒子物理学家的工作依赖于对这 些共形结构的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有应用，比如计 算机图形学和地图绘制。共形映射黎曼以后，庞加莱(Jules Henri Poincare)推进 了几何发展。庞加莱在19世纪后期证明推广了黎曼的单值化定理。 这是一个很重要的定理，影响到今天多维空间的发展。黎曼

19、几何 的主要奠基人是三位意大利学者：列维齐维塔(Levi-Civita,)、 克里斯托费尔(Elwin Bruno Christoffel)和路易吉比安基 (Luigi Bianchi) o由于身体不佳,黎曼临终前几年都在意大利 过冬疗养，他在意大利的四年影响了一批学者。其中前述三位学 者成功发展了黎曼流形的微积分。(二)数学的美与爱因斯坦方程当爱因斯坦最后成功解释天体现象的时候，有人问爱因斯坦， 假如你观测到的天象和你的理论有不同的时候，你会怎么讲？爱 因斯坦讲，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理 论。” 1905年当爱因斯坦在洛伦兹和庞加莱的帮助下发现狭义相 对论时，人们认识到

20、三维空间与时间是不可分割的。时空的数学 定义由爱因斯坦的老师闵可夫斯基(Hermann Minkowski )给出。他引入一个与黎曼度量类似的新度量，找到一个以罗伦兹群为等 距变换群的黎曼空间，用来描述狭义相对论的几何基础。闵可夫斯基的发现对于希望统一狭义相对论和牛顿力学的爱 因斯坦来说是一个很大的启发。当时这两个理论是不兼容的。所 有的信息不能超光速传递，这是狭义相对论的要求。可是牛顿力 学是要求超距作用的，太阳重力场影响地球的转动，是同一个时 间，根本不用光速，它就传达到地球来了。前者要求信息低于光 速传播，而后者要求超距作用。爱因斯坦对这两个理论矛盾的研 究引入了等效原理，提出运动方程由

21、等效原理决定：引力定律不 受观测方式或坐标选择的影响。通过思想实验他意识到，描述重 力的位势依赖于方向。爱因斯坦在思索这应该是何种类型的量时， 他的数学家朋友马塞尔格罗斯曼(Marcel Grossman)告诉他， 他所需要的数学概念应该是黎曼几何中的某个张量，类似于牛顿 力学，重力场运动方程包含位势的二阶导数，这个量也应该与坐 标选择无关。张量的概念产生于19世纪末，由克里斯托费尔 (Christoffel Elwin Bruno)提出。随后，爱因斯坦邀请数学家 格罗斯曼帮忙。格罗斯曼在全世界最好的图书馆一一哥廷根图书 馆，发现由19世纪的意大利几何学家里奇(Ricci)引入的里奇 张量恰好

22、符合这些特性。里奇张量是黎曼曲率张量的二次缩并得 出来的张量。这个发现发表在爱因斯坦和格罗斯曼于1912年和 1913年合写的两篇论文中。他们用里奇张量定义空间中物质分布 的物质张量。不过，因为物质张量满足守恒律，而里奇张量本身并不满足 守恒律，所以这个方程组不兼容。同时，他们写下的方程组在解 释物理现象时，并不成功。虽然方程很漂亮，也满足了很多事情， 可是爱因斯坦仍然无法解释水星近日点进动和牛顿方程预言的 偏差问题，所以他知道这个方程还是没有成功。有一到两年的时 间，爱因斯坦几乎想放弃等效原理这样基本的看法，企图采取特 殊的坐标来解决和观察不和谐的问题。作为一代大师的数学家希 尔伯特却不愿意

23、这样做。因为从数学的观点来讲，不能找特殊的 坐标系统来解决这个问题。希尔伯特答应他，用数学的美来解决 这个问题。当广义相论论最后成功解释天体现象的时候，有人问 爱因斯坦，假如你观测到的现象和你的理论有不同的时候，你会 怎么想？爱因斯坦说，“我会替造物者惋惜，居然不懂得用到这 样漂亮的理论。”为什么漂亮呢？因为用了等效原理，同时能够 解释天体的问题。爱因斯坦后来多次讲到，数学的美是很重要的， 甚至比实践还要重要。爱因斯坦方程的成功，起源于对称应用在 物理学上的巨大威力。等效原理可以说是用对称学来找到物理方 程的重要的方法。推导爱因斯坦的场方程的时候，最重要的就是 等效原理，等效原理其实就是对称群

24、的利用。对称群的应用起源 于十九世纪数学家伽罗华(Evariste Galois )和索菲斯李(Marius Sophus Lie),以及二十世纪的女数学家埃米诺特(Emmy Noether) o艾米诺特是有史以来最伟大的女数学家。1915年， 诺特正在哥廷根，和希尔伯特是同事。她有没有直接影响爱因斯 坦的想法不得而知，但是诺特用对称群来研究物理方程的理论影 响至今。艾米诺特可以说是有史以来最伟大的女数学家。所以 我们知道，爱因斯坦完成广义相对论的时候，主要想法是对时空 有一个哲学的思想，就是尽量满足等效原理，同时要跟牛顿力学 是能够推导，能够平行的。通过思想的实验，也通过数学的思维， 他能够

25、得出这样的结论。所以他坚持物理最基础的部分必须要通 过这个过程：要有思想实验般的思考，同时要有哲学的思想，还 有数学的思维。广义相对论的这个方程，通过一百年的观察，基 本上都是正确的。爱因斯坦跟希尔伯特互相竞争，也互相帮忙。 1915年，二人相遇。他们之间的讨论激发了两人的灵感并促成了 广义相对论中爱因斯坦运动方程的诞生（希尔伯特发现了希尔伯 特作用量，可以用来简洁地推导爱因斯坦方程，而爱因斯坦直接 创建了这个方程）。数学家希尔伯特甚至比爱因斯坦更早地推导 出了这个方程。爱因斯坦发觉他的方程可以用来解释时空和物质 的分布是互相影响的，不像牛顿力学里面认为的时空是固定的， 时间和空间是没有关系的

26、。他发觉时空不停在改变。发现这些方 程可以用来解释光线偏折。在此过程中，爱因斯坦做出了一个基 础性的概念突破：不仅仅物质的存在产生重力从而弯曲时空纤维, 而且重力直接来源于时空的曲率。过了不到两年，天文观察证实 了这个发现。1918年爱因斯坦因此一举成名。这是一个划时代的 观念上的大突破。爱因斯坦方程有很多不同的解，因为爱因斯坦在构造这个方 程的时候，他找到了方程，可是并没有限定这个解的唯一性。这 个解有它的边界条件，有它的初始条件，这两个条件爱因斯坦都 没有解决。不但不晓得，直到现在过了一百年以后，我们对这个 问题还是在辩论。爱因斯坦在1915年发现这个方程，不到一年， 当时正研究球形对称星

27、系如何影响重力的史瓦西(Karl Schwarzschild)发现爱因斯坦方程的一组解，这个解是球对称的 (史瓦西解可以应用于单一球状行星的天文研究)。史瓦西解让爱因斯坦得以计算并观察很多引力场的重力是 怎么样的。通过这个解，我们可以模拟太阳系：行星的质量远轻 于太阳，它们在史瓦西几何里可以被看成是沿着测地线移动的微 粒。测地线可以通过计算得到，它们不必是闭合的圆周。例如水 星的运行轨道已经被发现是一个具有微小偏差的圆形轨迹，每世 纪进动43秒。同时，史瓦西解还有助于推算光线弯曲度。正如爱 因斯坦所预测的，太阳产生的重力会改变时空的几何。因此，从 行星射向地球的光线在经过太阳附近时会产生弯曲。

28、通过计算史 瓦西几何中的零测地线，可以推算光线的弯曲度。计算结果与实 验数据的吻合令人满意。这是这一重力的新理论开创初期所取得 的重要成就之一。史瓦西解在今天依然重要，我们做全球定位GPS 的时候，仍然要用到这个解。因为地球是一个重力场，我们的光 线受到这个重力场的影响，假如不用这个解的话，算出来的结果 不对。史瓦西解让我们知道光线通过太阳的引力场时会有偏差, 这是很重要的成就。广义相对论受到黎曼几何发展的重要影响，反过来讲，爱因 斯坦所取得的巨大成功深刻影响了黎曼几何的发展。在广义相对 论提出之后，几何学家认识到了爱因斯坦度量的美一一特别是那 些满足真空爱因斯坦方程的度量。(三)广义相对论反

29、哺数学：规范场理论与卡鲁扎的创 意 卡鲁扎发现，在四维空间里有效的理论，在拿走这些圆之后， 通常是重力四维空间中的爱因斯坦方程的非真空解。这些圆创造 了一种物质，即电磁场。这绝对是一项惊人发现。为了进一步说 明，我们应该指出，在爱因斯坦的广义相对理论之后，很多作者 试图去理解如何将麦克斯韦的电磁理论与爱因斯坦的重力理论统 一起来。这项研究导致了几何学与物理学的一些重要发展。由于 麦克斯韦电磁学方程和重力场方程表面上看来并不接近，所以想 要将它们统一起来，就要融合对于这两个伟大的理论势必产生的 种种不同的建议，其中一个最重要的建议来自赫曼外尔 (Hermann Weyl)。外尔受到列维齐维塔(L

30、evi-Civita )和 嘉当(Joseph Cartan)的影响，成功地将麦克斯韦的电磁理论建 立在规范场论基础上。最初，外尔所用的不保持长度的规范群受 到爱因斯坦的否定。在他提出基本构想的十年后，受到量子力学 中相位理论的影响，外尔构建完成了阿贝尔规范场理论。这在数 学和物理中是一项根本性突破。在数学里，我们将规范场论称为 几何学中的联络理论，它给出了向量沿着空间中封闭环路移动的 规则，这些向量可以通过很广泛的方式来定义。规范场的理论在 数学上其实是相当普遍的理论，可是应用到物理上以后，它变成 重要的理论。因为在数学上，从嘉当、霍普夫、惠特尼，他们就 推广了规范场的理论，他们提出了所谓的

31、“向量丛”的观念，他 们认为基本上，我们给空间中的每一点都赋予一个线性空间。这 个附上的空间可以任意扭曲，正是这些扭曲给物理和几何注入了 新的观点。向量丛被应用于粒子物理学的量子化，其结果就是杨 一米尔斯理论。在这个理论中杨振宁和米尔斯将外尔的理论一般 化到更加广泛的丛(从交换的规范群到非交换的规范群)，到了 以后，整个规范场理论是影响到整个高能物理的重要的结果。现在，我们知道杨-米尔斯理论决定了自然界中所有基本力 的相互作用。有意思的是，这个理论影响到了数学本身的发展， 有助于理解四维流形几何拓扑的基本结构，其中就包括宇宙的几 何形态。西蒙唐纳森(Simon Donaldson)在这方面做了开创性 的工作，但四维空间的几何构造还远未被渗透。广义相对论除了 影响赫曼外尔的规范场的理论以外，还产生了第二个很重要的 理论。当时爱因斯坦的广义相对论是四维空间，爱因斯坦其实很 想从四维时空里面推导到电磁场，但是不知道如何做。1921年, 德国数学家和物理学家卡鲁扎(Kaluza)提出了将爱因斯坦广义 相对论推广到五维时空的大胆设想。他提出，通过在四维空间的 每个点附上一个圆，将爱因斯坦的工作平行推广到五维时空。他