高三数学第七章立体几何(二)讲义.pdf

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1、第 七 章 立 体 几 何 第 一 节 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 及 三 视 图 和 宜 观 图 内 容 要 求 考 题 举 例 考 向 规 律 1.认 识 柱、锥、台、球 及 其 简 单 组 合 体 的 结 构 特 征，并 能 运 用 这 些 特 征 描 述 现 实 生 活 中 简 单 物 体 的 结 构 2.能 画 出 简 单 空 间 图 形（长 方 体、球、圆 柱、圆 锥、棱 柱 等 的 简 易 组 合）的 三 视 图，能 识 别 上 述 三 视 图 所 表 示 的 立 体 模 型，会 用 斜 二 测 画 法 画 出 它 们 的 直 观 图 3.会 用 平 行 投 影 方

2、法 画 出 简 单 空 间 图 形 的 三 视 图 与 直 观 图，了 解 空 间 图 形 的 不 同 表 示 形 式 2020全 国 I I卷 F（三 视 图 还 原 几 何 体）2020”全 国 III卷 三 视 图 及 表 面 积）2019全 国 n卷 空 间 几 何 体 结 构 特 征）2018全 国 I 卷 F（三 视 图 与 距 离）2018,全 国 in卷 F（三 视 图 的 辨 析）考 情 分 析：空 间 几 何 体 的 结 构 特 征、三 视 图、直 观 图 是 高 考 重 点 考 查 的 内 容。主 要 考 查 根 据 几 何 体 的 三 视 图 求 其 体 积 与 表 面

3、 积。对 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征、三 视 图、直 观 图 的 考 查，以 选 择 题 和 填 空 题 为 主 核 心 素 养：直 观 想 象 教 材 回 扣 基 础 自 测 自 主 学 习 知 识 积 淀 基 础 和）梳 理 a汉&根 1.简 单 几 何 体（I）多 面 体 的 结 构 特 征（2）旋 转 体 的 结 构 特 征 名 称 棱 柱 棱 锥 棱 台 图 形 二 R M点 A B抵 底 面 互 相 屿 且 至 笠 多 边 形 互 相 注 且 相 似 侧 棱 互 相 担 且 相 笔 相 交 于 二 点，但 不 一 定 相 等 延 长 线 交 于 二 侧 面 形 状 平

4、行 四 边 形 三 角 形 梯 形 名 称 圆 柱 圆 锥 圆 台 球 图 形 信 李 母 线 互 相 平 行 且 相 等，垂 直 于 底 面 长 度 相 等 且 相 交 于 一 点 延 长 线 交 于 1 点 轴 截 面 全 等 的 矩 彪 全 等 的 等 腰 三 角 形 全 等 的 笠 腰 梯 形 圆侧 面 展 开 图 矩 形 扇 形 扇 环 薇 提 3 球 的 截 面 的 性 质 1.球 的 任 何 截 面 是 圆 面。2.球 心 和 截 面（不 过 球 心）圆 心 的 连 线 垂 直 于 截 面。3.球 心 到 截 面 的 距 离 d 与 球 的 半 径 R 及 截 面 的 半 径 的

5、 关 系 为 r=m 三 K2.直 观 图（1）画 法：常 用 斜 二 测 画 法。（2）规 则：原 图 形 中，x 轴、），轴、z 轴 两 两 垂 直，直 观 图 中，/轴、了 轴 的 夹 角 为 45。（或 135。），z轴 与/轴 和 V 轴 所 在 平 面 垂 直。原 图 形 中 平 行 于 坐 标 轴 的 线 段，直 观 图 中 仍 平 行 于 坐 标 轴。平 行 于 x 轴 和 z轴 的 线 段 在 直 观 图 中 保 持 原 长 度 丕 变，平 行 于 y 轴 的 线 段 长 度 在 直 观 图 中 变 为 原 来 的 二 微 提 醒 斜 二 测 画 法 中 的“三 变”与“三

6、不 变”坐 标 轴 的 夹 角 改 变，“三 变”，与 y轴 平 行 的 线 段 的 长 度 变 为 原 来 的 一 半，.图 形 改 变。平 行 性 不 改 变，“三 不 变”与 x轴 和 z轴 平 行 的 线 段 的 长 度 不 改 变，.相 对 位 置 不 改 变。3.三 视 图 几 何 体 的 三 视 图 包 括 正 视 图、侧 视 图、俯 视 图，分 别 是 从 几 何 体 的 正 前 方、正 左 方 和 正 上 方 观 察 几 何 体 画 出 的 轮 廓 线。强 提 醒 三 视 图 的 长 度 特 征“长 对 正、高 平 齐、宽 相 等“，即 正 俯 同 长、正 侧 同 高、俯 侧

7、 同 宽,、小 题 改 演 练 收 屹,一、常 规 题 I.若 一 个 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示，其 俯 视 图 为 正 三 角 形，则 这 个 三 棱 柱 的 高 和 底 面 边 长 分 别 为（）m a 的 视 图 A.2,2小 B.2啦，2C.4,2 D.2,4解 析 由 三 视 图 可 知，正 三 棱 柱 的 高 为 2,底 面 正 三 角 形 的 高 为 2小，故 底 面 边 长 为 4。故 选 D。答 案 D解 析 由 棱 柱 的 结 构 特 征 可 知 C 是 棱 柱。答 案 C二、易 错 题 3.（棱 柱 的 概 念 不 清）如 图，长 方 体 A8CD-A

8、B C D 被 截 去 一 部 分，其 中 EH 1。剩 下 的 几 何 体 是（）A.棱 台 B.四 棱 柱 C.五 棱 柱 D.六 棱 柱 解 析 由 几 何 体 的 结 构 特 征 可 知，剩 下 的 几 何 体 为 五 棱 柱。故 选 C。答 案 C4.（三 个 视 图 间 的 关 系 不 清）将 一 个 长 方 体 沿 相 邻 三 个 面 的 对 角 线 截 去 一 个 棱 锥，得 到 的 几 何 体 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 恻 视 图 为（）NF 视 图 01 8 视 图 NNL4A B C解 析 先 根 据 正 视 图 和 俯 视

9、图 还 原 出 几 何 体，再 作 其 他 视 图。D由 几 何 体 的 正 视 图 和 俯 视 图 可 知 该 几 何 体 为 图，故 其 侧 视 图 为 图。故 选 B。0 N 答 案 B5.（斜 二 测 画 法 的 规 则 不 清）利 用 斜 二 测 画 法，以 下 结 论 正 确 的 是（）A.三 角 形 的 直 观 图 一 定 是 三 角 形 B.正 方 形 的 直 观 图 一 定 是 菱 形 C.等 腰 梯 形 的 直 观 图 可 以 是 平 行 四 边 形 D.菱 形 的 直 观 图 一 定 是 菱 形 解 析 由 斜 二 测 画 法 的 规 则 可 知 A 正 确；B 错 误，

10、是 一 般 的 平 行 四 边 形;可 能 是 平 行 四 边 形；菱 形 的 直 观 图 不 一 定 是 菱 形，D 错 误。答 案 AC 错 误，等 腰 梯 形 的 直 观 图 不考 点 例 析 对 点 微 综 互 动 课 堂 考 向 探 究 考 点 一 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 自 主 练 习 1.下 列 命 题 中 正 确 的 是（）A.在 圆 柱 的 上、下 底 面 的 圆 周 上 各 取 一 点，则 这 两 点 的 连 线 是 圆 柱 的 母 线 B.直 角 三 角 形 绕 其 任 一 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 所 形 成 的 几 何 体 都 是 圆 锥 C

11、.棱 台 的 上、下 底 面 可 以 不 相 似，但 侧 棱 长 一 定 相 等 D.棱 台 各 侧 棱 的 延 长 线 交 于 一 点 解 析 A 不 一 定，只 有 当 这 两 点 的 连 线 平 行 于 轴 时 才 是 母 线：B 不 一 定，当 以 斜 边 所 在 直 线 为 旋 转 轴 时,其 余 两 边 旋 转 形 成 的 面 所 围 成 的 几 何 体 不 是 圆 锥，如 图 所 示，它 是 由 两 个 同 底 圆 锥 组 成 的 几 何 体；C 错 误，棱 台 的 上、下 底 面 相 似 且 是 对 应 边 平 行 的 多 边 形，各 侧 棱 延 长 线 交 于 一 点，但 是

12、 侧 校 长 不 一 定 相 等；由 棱 台 的 定 义 知，棱 台 各 侧 棱 的 延 长 线 交 于 一 点，D 正 确。答 案 D2.（多 选）下 列 命 题 中 正 确 的 是（）A.棱 柱 的 侧 棱 都 相 等，侧 面 都 是 全 等 的 平 行 四 边 形 B.在 四 棱 柱 中，若 两 个 过 相 对 侧 棱 的 截 面 都 垂 直 于 底 面，则 该 四 棱 柱 为 直 四 棱 柱 C.存 在 每 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 D.棱 台 的 侧 棱 延 长 后 交 于 一 点 解 析 A 不 正 确，根 据 棱 柱 的 定 义，棱 柱 的 各 个 侧

13、面 都 是 平 行 四 边 形，但 不 一 定 全 等：B 正 确，因 为 两 个 过 相 对 侧 棱 的 截 面 的 交 线 平 行 于 侧 棱，又 垂 直 于 底 面；C 正 确，如 图，正 方 体 A8CQ-A由 iG。中 的 三 棱 锥 Ci-ABCf四 个 面 都 是 直 角 三 角 形；D 正 确，由 棱 台 的 概 念 可 知。答 案 BCD3.若 四 面 体 的 三 对 相 对 棱 分 别 相 等，则 称 之 为 等 腰 四 面 体，若 从 四 面 体 的 一 个 顶 点 出 发 的 三 条 棱 两 两 垂 直，则 称 之 为 直 角 四 面 体，以 长 方 体 A8C6A山

14、iG。的 顶 点 为 四 面 体 的 顶 点，可 以 得 到 等 腰 四 面 体 的 个 数 是，直 角 四 面 体 的 个 数 是。解 析 因 为 矩 形 的 对 角 线 相 等，所 以 长 方 体 的 六 个 面 的 对 角 线 构 成 2 个 等 腰 四 面 体。因 为 从 长 方 体 的 每 个 顶 点 出 发 的 三 条 棱 都 是 两 两 垂 直 的，所 以 长 方 体 中 有 8 个 直 角 四 面 体。答 案 2 8 洞 解 决 空 间 几 何 体 概 念 辨 析 题 的 常 用 方 法 I.定 义 法：紧 扣 定 义，由 已 知 构 建 几 何 模 型，在 条 件 不 变 的

15、 情 况 下，变 换 模 型 中 的 线 面 关 系 或 增 加 线、面 等 基 本 元 素，根 据 定 义 进 行 判 定。2.反 例 法：通 过 反 例 对 结 构 特 征 进 行 辨 析。考 点 二 空 间 几 何 体 的 三 视 图 微 专 题 微 考 向 1：由 几 何 体 识 别 三 视 图【例 1】（2021湖 南 师 大 附 中 月 考）如 图，在 正 方 体 4BCQ-A用 IG O I 中，M 为 线 段 85 的 中 点，现 用 一 个 过 点 M,C,D 的 平 面 去 截 正 方 体，得 到 上 下 两 部 分，用 如 图 的 角 度 去 观 察 上 半 部 分 几

16、何 体，所 得 的 侧 视 图 为（）解 析 上 半 部 分 的 几 何 体 如 图：由 此 几 何 体 可 知，所 得 的 侧 视 图 为 答 案 Bo 故 选 B。率 71空 间 几 何 体 的 三 视 图 的 画 法 1.搞 清 正（主）视、侧（左）视、俯 视 的 方 向，同 一 物 体 由 于 放 置 的 位 置 不 同，所 画 的 三 视 图 可 能 不 同。2.看 清 简 单 组 合 体 是 由 哪 几 个 基 本 几 何 体 组 成。3.画 三 视 图 时 要 遵 循“长 对 正，高 平 齐，宽 相 等”的 原 则，还 要 注 意 几 何 体 中 与 投 影 垂 直 或 平 行

17、的 线 段 及 面 的 位 置 关 系。微 考 向 2：由 三 视 图 还 原 几 何 体 例 2（2020全 国 II卷）如 图 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，这 个 多 面 体 某 条 棱 的 一 个 端 点 在 正 视 图 中 对 应 的 点 为 M,在 俯 视 图 中 对 应 的 点 为 N,则 该 端 点 在 侧 视 图 中 对 应 的 点 为（）A.E B.FC.G D.H解 析 由 三 视 图 知，该 几 何 体 是 由 两 个 长 方 体 组 合 而 成 的，其 直 观 图 如 图 所 示，由 图 知 该 端 点 在 侧 视 图 中 对 应 的 点 为 E。故 选 A

18、。答 案 A由 三 视 图 确 定 几 何 体 的 3 个 步 腺 定 底 面 F根 据 俯 视 图 判 断 出 底 面 形 状 定 棱 及 侧 面 卜 根 据 正、侧 视 图 确 定 几 何 体 的 侧 棱 与 侧 面 的 特 征；i _ J-定?状 海 廉 或 亩 市 窟 嬴 陵 而 花.由 藤 海 戒 函;【题 组 对 点 练】I.（微 考 向 1）如 图，正 方 体 A8CQ-A用 C i d 的 顶 点 A,B 在 平 面 a 上，AB=啦,若 平 面 与 平 面 Q 所 成 的 角 为 30。，由 如 图 所 示 的 俯 视 方 向，正 方 体 ABCQ-A/CQi在 平 面 a

19、上 的 俯 视 图 的 面 积 为（）A.2C.2小 解 析 由 题 意 得 4B在 平 面 a 上，且 平 面 a 与 平 面 A I i G D 所 成 的 角 为 30。，则 平 面 a 与 平 面 4 3 曲 所 成 的 角 为 60。，故 所 得 的 俯 视 图 的 面 积 S=啦（g cos 30。+啦 cos 60。）=1+5。答 案 B2.（微 考 向 2）某 三 棱 柱 的 底 面 为 正 三 角 形，其 三 视 图 如 图 所 示，该 三 棱 柱 的 表 面 积 为（）A.6+小 C.12+小 B.6+25D.12+23解 析 将 三 视 图 还 原 为 直 观 图（图 略

20、），知 该 三 棱 柱 是 正 三 棱 柱，其 高 为 2,底 面 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，正 三 棱 柱 的 上、下 两 个 底 面 的 面 积 均 为 2X2Xsin60=；X2X2X害=小，三 个 侧 面 的 面 积 均 为 2X2=4,故 其 表 面 积 为 25+12。故 选 D。答 案 D3.（微 考 向 2）汉 朝 时，张 衡 得 出 圆 周 率 的 平 方 除 以 16等 于 志 如 图，网 格 纸 上 的 小 正 方 形 的 边 长 为 1,粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图，俯 视 图 中 的 曲 线 为 圆，利 用 张 衡 的

21、结 论 可 得 该 几 何 体 的 体 积 为（）/、A.32 B.40c3210 p 4010解 析 由 几 何 体 的 三 视 图 可 知，该 几 何 体 是 半 个 圆 柱 和 半 个 圆 锥 的 组 合 体，其 底 面 半 径 为 2,高 为 4,则 体 积 兀 22乂 4+（义 5 乂 22乂 4=争 1,利 用 张 衡 的 结 论 可 得 亲=,所 以 兀=4!”从 而 4=邛 沁。故 选 C。答 案 C考 点 三 空 间 几 何 体 的 直 观 图 例 3（1）用 斜 二 测 画 法 画 一 个 水 平 放 置 的 平 面 图 形 的 直 观 图 为 如 图 所 示 的 一 个

22、正 方 形，则 原 来 的 图 形 是（）解 析 由 直 观 图 可 知，在 直 观 图 中 多 边 形 为 正 方 形，对 角 线 长 为 啦，所 以 原 图 形 为 平 行 四 边 形，位 于），轴 上 的 对 角 线 长 为 2 M L 故 选 A。答 案 A（2）已 知 正 三 角 形 ABC的 边 长 为 2,那 么 ABC的 直 观 图 B C 的 面 积 为。解 析 如 图，图、图 分 别 表 示 48C的 实 际 图 形 和 直 观 图。从 图 可 知，A B=44=2,O C=；0。=坐，C=0 C sin 45=坐 X=乎。所 以/r c=%B C D=；X2X件 乎。答

23、案 坐 率 71平 面 图 形 与 其 直 观 图 的 关 系 1.在 斜 二 测 画 法 中，要 确 定 关 键 点 及 关 键 线 段。平 行 于 X轴 的 线 段 的 平 行 性 不 变，长 度 不 变；平 行 于 y轴 的 线 段 的 平 行 性 不 变，长 度 减 半。2,按 照 斜 二 测 画 法 得 到 的 平 面 图 形 的 直 观 图，其 面 积 与 原 图 形 的 面 积 的 关 系：S“观 图=乎 5划 舱。【变 式 训 练】有 块 多 边 形 的 菜 地，其 水 平 放 置 的 平 面 图 形 的 斜 二 测 直 观 图 是 直 角 梯 形（如 图 所 示）,ZABC=

24、45,AB=AD=,DC BC,则 这 块 菜 地 的 面 积 为。解 析 在 直 观 图 中，过 点 A 作 A E _LB C,垂 足 为 旦 则 在 R lZ4B E中，AB=,NABE=45。，所 以 BE=乎。而 四 边 形 4EC。为 矩 形，A D=,所 以 E C=A D=1,所 以 8 c=8 E+E C=+1。由 此 可 还 原 原 图 形 如 图 所 示。在 原 图 形 中，A D=1,A B=2,B,A B B C,所 以 这 块 菜 地 的 面 积 为 S=*A D+8 C答 案 2+坐第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 内 容 要 求 考 题

25、 举 例 考 向 规 律 了 解 柱、锥、台、球 的 表 面 积 和 体 积 的 计 算 公 式 2020全 国 I卷（）（球 的 表 面 积）2020全 国 n卷 Trn（球 的 几 何 性 质）2020全 国 川 卷,5（圆 锥 的 内 切 球）2019全 国 I卷（球 的 体 积）2019全 国 m卷 6（组 合 体 体 积）考 情 分 析：主 要 考 查 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积。常 以 选 择 题 与 填 空 题 为 主，涉 及 空 间 几 何 体 的 结 构 特 征、三 视 图 等 内 容，要 求 考 生 要 有 较 强 的 空 间 想 象 能 力 和 计 算

26、 能 力，难 度 为 中 低 档 核 心 素 养：直 观 想 象、数 学 运 算 教 材 回 扣 基 础 自 测 自 主 学 习 知 识 积 淀 基 础 细 Mi理.1.金&K推”.I.多 面 体 的 表 面 积、侧 面 积 因 为 多 面 体 的 各 个 面 都 是 平 面;所 以 多 面 体 的 侧 面 积 就 是 所 有 侧 面 的 面 积 之 和，表 面 积 是 侧 面 积 与 底 面 面 积 之 和。2.圆 柱、圆 锥、圆 台 的 侧 面 展 开 图 及 侧 面 积 公 式 圆 柱 圆 锥 圆 台 侧 面 展 开 图 一 7上 感，侧 面 积 公 式 S 快 枝 用=2 兀 77 S

27、 1H 惟 便=匹 旦 S 血 合 的=兀（+地 3.柱、锥、台、球 的 表 面 积 和 体 积 几 何 表 面 积 体 积 柱 体（棱 柱 和 圆 柱）S&面 枳=S*.+2S嵌 V=Sh锥 体（棱 锥 和 圆 锥）S 第+S 底 台 体（棱 台 和 圆 台）S 上 而 枳=S 渊+S 上+S 下 V=|(5 上+5 下+球 S=4nR24V=7t/?3微 提 醒 几 个 与 球 有 关 的 切、接 常 用 结 论 I.正 方 体 的 棱 长 为。，球 的 半 径 为 R,（1）若 球 为 正 方 体 的 外 接 球，则 27?=小 呢（2）若 球 为 正 方 体 的 内 切 球，则 2R=

28、a。（3）若 球 与 正 方 体 的 各 棱 相 切，则 2/?=啦 四 2.若 长 方 体 的 同 一 顶 点 的 三 条 棱 长 分 别 为 a,b,c,外 接 球 的 半 径 为 R,则 27?=1.2+方 2+/。3.正 四 面 体 的 外 接 球 与 内 切 球 的 半 径 之 比 为 3：1。小 题；:演 练 小）第 生 一、常 规 题I.圆 柱 的 底 面 直 径 与 高 都 等 于 球 的 直 径，则 球 的 体 积 与 圆 柱 的 体 积 比 V 理：V 住 为（）A.1：2 B.2：3C.3：4 D.1：3泰 3解 析 设 球 的 半 径 为 R,贝 噌=喋 乂 2氏=1。

29、故 选 B。答 案 B2.体 积 为 8 的 正 方 体 的 顶 点 都 在 同 球 面 上，则 该 球 的 表 面 积 为（）32A.B.亍 tC.871 D.4兀 解 析 设 正 方 体 的 棱 长 为 a 则 加=8,解 得=2。设 球 的 半 径 为 R,则 2/?=5。，即 R=小。所 以 球 的 表 面 积 Sndjt&nlZTU故 选 A。答 案 A3.如 图 是 将 一 个 长 方 体 用 过 相 邻 三 条 楼 的 中 点 的 平 面 截 出 的 一 个 棱 锥，则 该 棱 锥 的 体 积 与 剩 下 的 几 何 体 的 体 积 的 比 为。解 析 设 长 方 体 的 相 邻

30、 三 条 校 长 分 别 为 a,b,c,它 截 出 的 棱 锥 的 体 积 W=g x g x&x*x&$a b c,1 47剩 下 的 几 何 体 的 体 积 V2=abc7abc=7abc,所 以:V2 1：47。答 案 1：47二、易 错 题 4.（长 度 单 位 与 体 积 单 位 的 换 算 出 错）九 章 算 术 商 功 章 有 题：一 圆 柱 形 谷 仓，高 1丈 3尺 W 寸，容 纳 米 2 000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛 为 容 积 单 位，I斛*1.62立 方 尺，兀*3）,则 圆 柱 底 面 圆 的 周 长 约 为（）A.1丈 3 尺 B.5 丈 4 尺 C.

31、9 丈 2 尺 D.48丈 6 尺 解 析 设 圆 柱 高 为 h 尺，底 面 圆 的 半 径 为 r 尺，依 题 意，得 圆 柱 体 积 为 V=itrh=2000X1.623XX13.33,所 以 产-81,即，七 9,所 以 圆 柱 底 面 圆 的 周 长 为 2村-54.54尺=5 丈 4 尺，即 圆 柱 底 面 圆 的 周 长 约 为 5 丈 4 尺。故 选 B。答 案 B5.（不 会 分 类 讨 论 致 误）圆 柱 的 恻 面 展 开 图 是 边 长 为 6兀 和 4兀 的 矩 形，则 圆 柱 的 表 面 积 为 o解 析 分 两 种 情 况：以 长 为 6兀 的 边 为 高，4五

32、 为 圆 柱 底 面 的 周 长 时，则 2兀 厂=4兀，r=2,所 以 5 底=4见 S 饵=6兀 X4兀=24兀 2,S*=2S在+S 例=8兀+24兀 2=8兀（3兀+1）;以 长 为 4兀 的 边 为 高，6兀 为 圆 柱 底 面 的 周 长 时，则 2“=6兀，r=3,所 以 S&=9兀，S&=2S&+S 包=1 阮+24兀?=6兀（4兀+3）。答 案 6几（4兀+3）或 8兀（3兀+1）考 点 例 析 对 点 微 练 互 动 课 堂 考 向 探 究 考 点 一 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 自 主 练 习 1.（2018全 国 I卷）已 知 圆 柱 的 上、下 底

33、 面 的 中 心 分 别 为 Oi,02,过 直 线 0。2的 平 面 截 该 圆 柱 所 得 的 截 面 是 面 积 为 8 的 正 方 形，则 该 圆 柱 的 表 面 积 为（）A.I2t B.12冗 C.8、t D.10K解 析 因 为 过 直 线。i Q 的 平 面 裁 该 圆 柱 所 得 的 版 面 是 面 积 为 8 的 正 方 形，所 以 圆 柱 的 高 为 2娘，底 面 圆 的 直 径 为 2吸，所 以 该 圆 柱 的 表 面 积 为 2 X T T X（啦）2+2/兀 X2啦=12兀。答 案 B72.已 知 圆 锥 的 顶 点 为 S,母 线 SA,SB所 成 角 的 余 弦

34、 值 为 O迹 SA与 圆 锥 底 面 所 成 的 角 为 45。若 S4B的 面 积 为 5小，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为（）A.2 M B.4072C.207271 D.4即 允 解 析 如 图 所 示，设 S 在 底 面 的 射 影 为 5,连 接 AS,SSf a 则 A S A B 的 面 积 为*S4SBsinN4SB=1.SA21-cos2ZASB=y-SA2=5VT5,所 以 SA2=80,S A=4 因 为 SA 与 底 面 所 成 的 角 为 45。，所 以 NSAS=45,AS=S4cos45=4小 X 坐=2屈。所 以 底 面 周 长/=2S=4/兀，所 以 圆

35、 锥 的 侧 面 积 为;X44乂 叭 口 金=4（八 尼 万。故 选 D。答 案 D3.（2021.八 省 联 考）圆 台 上、下 底 面 的 圆 周 都 在 一 个 直 径 为 10的 球 面 上，其 上、下 底 面 半 径 分 别 为 4 和 5,则 该 圆 台 的 体 积 为。解 析 圆 台 的 下 底 面 半 径 为 5,故 下 底 面 在 外 接 球 的 大 圆 上，如 图 所 示，设 球 的 球 心 为 O,圆 台 上 底 面 的 圆 心 为 0,则 圆 台 的 高 0。=jo-O C2=V5 2-4 2=3 据 此 可 得 圆 台 的 体 积 V=5 X 3 X（52+5X44

36、-42)=617to答 案 61几 图 014 诃 1.几 何 体 表 面 积 的 计 算：根 据 几 何 体 的 直 观 图 或 三 视 图 所 给 的 条 件，确 定 几 何 体 的 形 状，选 择 正 确 的 平 面 图 形 的 面 积 公 式 求 解，注 意 表 面 积 与 底 面 积、侧 面 积 的 区 别。2.几 何 体 体 积 的 计 算：简 单 几 何 体 可 用 体 积 公 式 直 接 求 解，一 些 组 合 体 的 体 积 需 用 转 换 法、分 割 法、补 形 法 等 方 法 进 行 求 解。考 点 二 转 化 法 求 几 何 体 体 积【例 1】（1）（2021贵 州

37、部 分 重 点 中 学 联 考 汝 口 图，在 直 四 棱 柱 A B C O-4 B G A 中，底 面 A3c。是 平 行 四 边 形，E 是 棱 BBi的 中 点，F 是 棱 C G 上 靠 近 Ci的 三 等 分 点，且 三 棱 锥 A-AEF的 体 积 为 2,则 四 棱 柱 ABCD-ACiDi 的 体 积 为（）A.12 B.8C.20 D.18解 析 设 点 尸 到 平 面 ABBA的 距 离 为 h,由 题 意 得 VAt-AEF=VF-AIAEO又 附=（义/44/8）力=1（A4i Afi）/z=1s 四 边 形 ABBA h=VABCD-AlBlCiDl,所 以 VAB

38、CD-A1BC ID1=6 V A-AEF=6 X 2=12 所 以 四 棱 柱 ABCD-AIBIG U 的 体 积 为 12。故 选 A。答 案 A（2）在 如 图 所 示 的 斜 截 圆 柱 中，已 知 圆 柱 底 面 的 直 径 为 4 c m,母 线 长 最 短 5 cm,最 长 8 c m,则 斜 截 圆 柱 的 体 积 V=cn?。臼 工 一 解 析 解 法 一：（分 割 法）将 斜 截 圆 柱 分 割 成 两 部 分，下 面 是 底 面 半 径 为 2 c m,高 为 5 c m 的 圆 柱，其 体 积 Vi=nX 22X 5=207t（cm3）;上 面 是 底 面 半 径 为

39、 2 cm,高 为 85=3（cm）的 圆 柱 的 一 半，其 体 积 V2=1xnX22X3=6n（cm3）o 所 以 该 组 合 体 的 体 积 V=U+匕=20兀+6兀=267r（cm，）。解 法 二：（补 形 法）在 该 几 何 体 上 方 再 补 上 一 个 与 其 相 同 的 几 何 体，让 假 面 重 合，则 所 得 几 何 体 为 一 个 圆 柱，该 圆 柱 的 底 面 半 径 为 2 c m,高 为 8+5=13 c m,该 圆 柱 的 体 积 U=TIX2?X 13=52兀（5?）。所 以 该 几 何 体 的 体 积 为 圆 柱 体 积 的 一 半，即 V=Vi=26n（c

40、m3）o答 案 267r求 体 积 的 几 种 转 化 方 法 1.分 割 法：通 过 对 不 规 则 几 何 体 进 行 分 割，化 为 规 则 几 何 体，分 别 求 出 体 积 后 再 相 加 即 得 所 求 几 何 体 的 体 积。2.补 形 法：通 过 补 形 构 造 出 一 个 规 则 几 何 体，然 后 进 行 计 算。3.等 体 积 法：三 棱 锥 的 体 积 求 解 具 有 较 多 的 灵 活 性，因 为 三 棱 锥 的 任 意 一 个 顶 点 都 可 以 作 为 顶 点，任 何 一 个 面 都 可 以 作 为 棱 锥 的 底 面，常 常 需 要 对 其 顶 点 和 底 面

41、进 行 转 换，以 方 便 求 解。【变 式 训 练】（1）如 图 所 示 的 几 何 体 是 从 棱 长 为 2 的 正 方 体 中 截 去 到 正 方 体 的 某 个 顶 点 的 距 离 均 为 2 的 几 何 体 后 的 剩 余 部 分，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为（）A.2 4-3加 B.24九 C.2 4+兀 D.24+5兀 解 析 由 题 意 知 该 几 何 体 是 从 棱 长 为 2 的 正 方 体 中 截 去 以 正 方 体 某 个 顶 点 为 球 心，2 为 半 径 的 5球 后 的 剌 O余 部 分，则 其 表 面 积=6 X 2 2-3 X（X7tX22+1x4

42、X7tX22=24兀。故 选 B。答 案 B（2）如 图，在 正 六 棱 锥 P-48CDEF中，若 G 为 P B的 中 点，则 三 棱 锥。-GAC与 三 棱 锥 户-G 4C的 体 积 之 比 为（）A.1：1 B.1：2C.2：1 D.3：2解 析 设 正 六 棱 锥 的 高 为 人，VDGAC=VGDC=J PGAC=V P BC=VG-AB S ABC0 又：A8c=2：1,故 VD-G A C:Vp.GAC=2:1。答 案 c考 点 三 空 间 几 何 体 的 外 接 球 问 题 微 专 题 微 考 向 1:交 轨 法 确 定 球 心【例 2】（2021.安 徽 高 三 联 考）

43、己 知 ABC是 以 8 C 为 斜 边 的 直 角 三 角 形，P 为 平 面 A 8 C外 一 点，且 平 面 尸 BC_L平 面 ABC,BC=3,PB=2&,P C=#，则 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 的 表 面 积 为。解 析 如 图 所 示，设 M 为 8。的 中 点，在 平 面 P 8 c内 过 点 M 作 A/N _L8C,因 为 平 面 P8C_L平 面 ABC,所 以 MN_L平 面 ABC。又 4 c 是 以 8 c 为 斜 边 的 直 角 三 角 形，所 以 直 线 M N上 任 意 一 点 到 A,B,C 的 距 离 相 等，在 平 面 PBC内 作 线 段 户

44、 8 的 垂 直 平 分 线 设 D E 与 M N 的 支 点、为 0,则 点。到 忆 A,B,C 的 距 离 都 相 等，即 点。为 三 棱 锥 2 4 8。外 接 球 的 球 心，并 且。也 是 P 3C的 外 心，因 此 三 棱 锥 P-A 5c外 接 球 的 半 径 与 PBC的 外 接 圆 半 径 相 等。又 尸 8=2啦，BC=3,PC=小,所 以 cosNP8C=2芸%工=坐,则 sinNPBC=室 设 三 棱 锥 P-A8C外 接 球 的 半 径 为 R,则 2/?=春=，而，即 则 2外 接 球 的 表 面 积 5=4n/?2=10兀。答 案 1 0 7 1本 题 由 过

45、A B C外 心 的 平 面 A B C 的 垂 线 与 线 段 P B 的 中 垂 线 的 交 点 找 到 了 三 棱 锥 P-ABC的 外 接 球 的 球 心，这 种 方 法 就 是 交 轨 法。微 考 向 2：补 体 积 确 定 球 心【例 3】在 三 棱 锥 A-8C Q中，A B=C D=g AC=BD=2,A D=B C=若 该 三 棱 锥 的 四 个 顶 点 在 同 一 个 球 面 上，则 此 球 的 体 积 为（）C.y/6n D.6n解 析 将 三 棱 维 A-BCO补 为 长 方 体 AEBF-GDHC,如 图 所 示。设 QG=x,DH=y,D E=z,则+/=3,DB2

46、=/+z2=4,O d=f+y=5,上 述 三 个 等 式 相 加 得 A2+BZ)2+C D2=2(x2+y2+z2)=3+4+5=1 2,所 以 该 长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 正 铲 片=m，则 其 外 接 球 的 半 径 为 R=芈，因 此 此 球 的 体 积 为 g住 卜 晒。故 选 C。答 案 C对 棱 相 等 的 三 棱 锥，可 补 形 成 长 方 体，此 时 三 棱 锥 的 6 条 棱 均 为 长 方 体 的 面 对 角 线。计 算 时，可 以 设 而 不 求，设 出 长 方 体 的 长、宽、高，利 用 勾 股 定 理 列 式，可 以 不 计 算 出 棱 长，直 接

47、 得 到 外 接 球 的 半 径。微 考 向 3：球 的 截 面 问 题【例 4】（2020 全 国 I 卷）已 知 A,B,C 为 球。的 球 面 上 的 三 个 点，。为 A B C的 外 接 圆。若。的 面 积 为 4兀，A 8=8 C=A C=O。，则 球。的 表 面 积 为（）A.64兀 B.48几 C.36冗 D.32冗 解 析 如 图 所 示，设 球。的 半 径 为 R,的 半 径 为 r,因 为。O i的 面 枳 为 4兀，所 以 4兀=兀/，解 得 rAD=2,S=B C=A C=0 0 i,所 以 而 而=2 r,解 得 A8=2小,故。G=2小，所 以/?2=。彳+户=（

48、2小 户+22=1 6,所 以 球。的 表 面 积 S=4兀/?2=64兀。故 选 A。求 解 球 的 表 面 积 问 题 的 关 键 在 于 过 好 双 关：一 是“方 程 关”，能 借 用 图 形，利 用 已 知 三 角 形 的 外 接 圆 的 面 积，得 三 角 形 的 边 长，从 而 得 球 的 半 径 R所 满 足 的 方 程，解 方 程，求 出 R 的 值；二 是“公 式 关”，能 应 用 球 的 表 面 积 公 式 S=4T C/冷 求 其 表 面 积。【题 组 对 点 练】1.（微 考 向 1）已 知 直 三 棱 柱 A 8 c 4 S G 的 6 个 顶 点 都 在 球。的

49、球 面 上，若 A B=3,A C=4,ABLAC,AAI=I 2,则 球 O 的 半 径 为（）B.2回 D.解 析 如 图 所 示，由 球 心 作 平 面 4 B C的 垂 线，则 垂 足 为 8 C的 中 点 M。又 A M=；8C=9,O M=；AAI=6,所 以 球 O 的 半 径 R=O A=、/5?+6 2=爹。答 案 C2.（微 考 向 2）在 直 三 棱 柱/1 8 C-4 B C中，ABLBC,BC=1,AB=小,4 4=2#,则 该 直 三 棱 柱 的 外 接 球 的 体 积 为（）32兀 C.解 析 如 图 所 示，将 直 三 棱 柱 A8G A山 iG 补 成 长 方

50、 体，则 长 方 体 的 外 接 球 即 直 三 棱 柱 的 外 接 球。长 方 体 的 体 对 角 线 长 为 4（2仍）2+（5）2+12=4。设 长 方 体 的 外 接 球 的 半 径 为 R,则 2 R=4,得 R=2,所 以 该 直 三 横 柱 的 外 接 球 的 体 积 丫=/求 3=苧。故 选 C。答 案 c3.（微 考 向 3）（2020全 国 H卷）已 知 ABC是 面 积 为 乎 的 等 边 三 角 形，且 其 顶 点 都 在 球。的 球 面 上，若 球。的 表 面 积 为 16几，则。到 平 面 4 8 c 的 距 离 为（）A.小 B.|C.1 D.当 解 析 由 等