2020年数学建模保险产品的设计方案.pdf

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1、数学建模保险产品的设计方案文档仅供参考保险产品的设计方案摘要随着人们的生活水平不断提高，社保、养老等问题已引起人们的普遍关注。针对这一现象，保险公司计划设计一种新产品推向市场。本文为解决保险产品的设计问题，建立了相应的模型。针对模型一、二、三：首先根据题目中已知信息，结合当投保人恰好满加岁死亡(*加为整数),保险公司不盈不亏,能够得出每月交纳费用(。)、交纳年限()、固定工资3)、月利率(c)与死亡年龄(m)之间的一个关系式：a(l+c)-(1+c y2(i(a+b)+0=0,其次运用侬山仍软件，能够求得问题2中的6=983.7302元，问题3中风的关系式为：n=m-33.371og(0.33

2、3e002996,n)+0.667最后绘制出根与的图形。针对模型四：首先列出完成本产品的最终设计所需要的数据种类，再结合这些数据以及全国第五次人口大普查的死亡概率分布图得出的信息，综合模型三中建立的关系式计算出“年后的缴费年限，再来确定每月工资发放的额度。针对模型五、六：解决保险公司不盈不亏的概率。首先，对于问题5,上面已经求出在保险公司不盈不亏情况下的关系式，而且已知投保人恰好A岁死亡的概率是“,因此保险公司不盈不亏的概率即为乙。其次，在问题6中，考虑的是投保人都是恰好满整数岁死亡，对此分为两种方案进行计算。由已知条件列出关系式，先求出投保人在两种方案下的平均死亡概率分别为：0+2 2+3

3、n+.+叩“P1+P2+P3+.+P”4件 2 认当.+m“P5+1 寸 P*甘,+P,投保人平均死亡概率即为保险公司不盈不亏的概率。针对模型七：首先，已知投保人大于4-1岁，小于等于女岁的死亡概率为“，且交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡。其次，需对模型六出现的两种情况进行分析求解，运用水平法求出每个月的平均死亡概率，以此得出月平均增长率。根据月平均增长率，累加算出每个月的死亡概率，对其求出期望值，由期望值确定出保险公司不盈不亏的概率。最后，第二种方案是在投保人的死亡年龄大于交费年龄下进行计算，方法同第一种方案相同。两种情况下分别求得保险公司不盈不亏的概率为:P,PPi

4、+2P2+/Vr,七(1於，箫/M 1 注 *4)1 9P+P2+Pr P l +i P +1增 2 +Pr针对模型八：首先，第一种情况：分别取a、b,a.n,a、机进行比较；第二种情况：选取d、加进行比较。其次，根据从上面获取的已知信息，结合模型一得到的关系式，在选择时把不考虑的因素看作常数，求出它们之间存在的关系式，最后从关系式能够看出各因素间的相互影响程度，以 此 求 出b,d,合适的值。最后对模型进行了灵敏度分析，并对模型作了进一步的评价与推广。关键词：ma 必 软 件 死 亡 概 率 水 平 法 不 盈 不 亏 期 望 值文档仅供参考1 问题重述某保险公司要设计一个新的产品。1.1

5、已知信息1、投保人从一出生开始，每月交纳固定费用。元，交满年（是正整数）停止缴费，并从下个月开始按月领取固定额度的工资6元，直到其死亡。2、只考虑一种例外情况：投保人交费未满年死亡，保险公司全额退还其所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。3、为简单起见，这里不需要考虑其它例外情况。银行的月利率为c一直不变。保险公司只将投保人的交费即使存入银行，不进行其它投资。1.2 提出问题1、投保人恰好满加岁死亡（利，m为整数），保险公司不盈不亏，建立关于常数 的 关 系 式，并尽量简化。2、根据问题1中的关系式，假设 =1 0 0御，=2昨，c =0.2 5%,m=8 0岁，求的具体值。并写出所用计

6、算工具及操作步骤。3、根据问题1中的关系式，假设a =1（X）（）元，8 =2 0 0（）元，c =0.2 5%,求相，的关系式，并用图形或表格形象描述加，的关系。4、要完成本产品的最终设计，需要那些数据？并探讨获取和加工数据的有效方案。5、假设投保人都是恰好满加岁死亡（利小 机为整数）。已知投保人恰好4岁死亡200的概率是“a=+l,+2,2 0 0）,且 之p*=l。建立数学模型，求保险公司不盈k=n+不亏的概率。6、假设投保人都是恰好满整数岁死亡。已知投保人恰好k岁死亡的概率为0200（k=+1,+2,2 0 0）,且Z=1。投保人/九 岁死亡（加，加为整数）时，k=n+保险公司全额退还

7、投保人所有交费（不付利息），并在按所有交费的d倍赔付。建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。7、保险公司经过某种方法获知，投保人大于女-1岁，小于等于左岁得死亡概率为0200（女=+1,+2,2 0 0）,且5 *=1。因为交费和领取工资是按月进行的，投保人k=n+不一定恰好满整数岁死亡，问题6中退款和赔付也要按月计算。根据已知按岁死亡的概率，估算按月死亡的概率?并建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。8、从直觉上知道，a,越小，仇d越大，投保者越多。但也可能是公司的风险增大。根据以上模型，探讨如何确定合适的a,b,d,（能够引入以上没有提及的影响因素）。2 问题假设与符号说明2.1 问题

8、假设1假设投保人的不会自行退订2假设每个月的第一天缴费3假设每个月的第一天领取固定工资2.2 符号说明a：每月交纳的固定费用c：银行的月利率：投保人缴费的年数b:每月领取的固定费用相：投保人死亡时岁数4:保险公司赔付的倍数文档仅供参考S:总的投保人数 口平均死亡年龄P-：保险公司不盈不亏的概率 工：前Z-1年一共死亡的概率 ：前k年一共死亡的概率 x:第A年的第一个月死亡的概率r：死亡时的月数 R：第，月内死亡的平均月数K:死亡概率最高的年龄段 A:前年交的本息和pk:Ck=n+1,n+2,，200）不同年龄对应的死亡概率P；：。=1,2,3）前年投保人在i岁的死亡概率4：（%=2,3,4,2

9、00）平均每月增长速度p,.:（r=l,2,3,2400）第1个月到2400个月的死亡概率3问题分析已知投保人从一出生开始，每月交纳固定费用。元，交满年（是正整数）停止缴费，并从下一个月开始按月领取固定额度的工资b元，直到投保人死亡。在此期间，假设银行月利率C不变，而且保险公司只将投保人的交费及时存入银行，不进行其它投资。如果投保人交费未满年死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。本文针对题目中给出的各个问题进行如下分析：问 题1、2、3的分析首先，假设投保人在恰好满，岁 死 亡 时（桃八，根为整数），保险公司不盈不亏,根据上面的已知条件，能够建立常数a,b,c

10、,利，的关系式。然后，假设“=1000元，=20年，c=0.2 5%,在问题2中，当巾=80岁时，根据问题1得到的关系式，运用加”/出?软件求解出的具体值。在问题3中，未知、b=20007 C,把已知的a,b,c代入问题1中建立的关系式，得出机与的关系。最后，经过皿油软件绘制出投保人死亡的年龄机与缴费总年数的图形，直观地描述相、的关系。问题4的分析首先，列出完成本产品的最终设计所需要的数据，再画出全国第五次人口大普查的死亡概率分布图，并根据图中得到的信息结合前面的数据，综合问题3中建立的关系式计算出年后的缴费年限，再来来确定每月工资发放的额度。问题5、6的分析首先，在问题5中，假设投保人都是恰

11、好满加岁死亡，而且已知投保人恰好k岁死200亡的概率是0 帆=8 0 代人模型1中，即1 0 0 0(1+O.25%)1 2*8 0-(1 +0.25%),2 火=1，可算出每年的平均每月死亡的概率k=n+(1)当=1 时，即投保人在0 1 死亡的概率为P-由于0 1 中包含12个月，我们近似的把这种情况下每个月的死亡概率都为与1 2(2)当 1 (=2,3,4,2 0 0)时，前人-1 年一共死亡的概率为.力=月+2+.+A-!前 4 年一共死亡的概率为f2=p+p2+.+A-.+A平均每月死亡的概率为=J.+P 2 +二V /Py+Pi+.+Pk-平均每月增长速度为J+工1p,+p2+A-

12、)设第k 年的第一个月死亡的概率为x,则 x(l +/)”=0,算 出 工=谭 严，根据X 可算出以后的每个月的死亡概率表4-5第k年中每个月的概率上表中不同的k (左=2,3,4,2 0 0)所对应的增长速度/也不同，当左=1 时，每月数123456死亡概率Pk(1+/J IPkPk(1 +Q 9Pk(1 +小Pk(1 +/J 7Pk(1+4)6月数7891 01 11 2死亡概率Pk(1 +4)5Pkd+4)4Pk(1 +行Pk(l +/.)2Pk(1 +/JPk(1+0 文档仅供参考个月的死亡概率都为心,由2可知总共有2400个月。设 第 1 个月到2 4 0 0 个月的死亡1 2概率为

13、 p,.（r =l,2,3,2 4 0 Q o已知每个月的死亡概率，要求出保险公司不盈不亏的概率，我们考虑以下两种方案第一种方案投保人死亡时的月数厂 1 2 ，分为前1 2 个月和1 2 +1 厂个月。已知每个月死亡概率p,如下表表4 8每个月的死亡概率的分布列文档仅供参考月份12r2400死亡概率P1PiPrP2400总投保总人数为S,可算出岁后每个月份的概率”;P：=,(i=12 +l,12 +2,/)Z Ai=12+l如下表表4-9投保人岁后每个月的死亡的概率分布列根据表4-9可得死亡年龄的数学期望即厂月内死亡的平均月数月数12n+l12 +212 +jr死亡概率P2n+Pl 2+2P1

14、N2+jp;/jy ：_ j=l2”+l(1 2L+1)P|2“+I+(1 2L+2)|2n+2+rPrA y p Pl2+l+P12+2+?+Pri=2n+l要保证保险公司不盈不亏的概率，必须满足以下等式2n 12 r-2n一12 (1+)+2。(1 +。)/-Z 仇l+c=0z=0 j=0 k=Qd a(l+c)(l+c)+(l+c)(l+c)a+b(l+c)”a+人I2nac即当保险公司满足d倍赔偿时，公司不盈不亏的概率为七 一 P(1 2+1)1 2+1+(1 2/+2)2+2+RP12/1+P12+2+?+P,-4.8模型八的建立与求解(1)当初 时，根据模型一*建 立 的 关 系

15、式：A(l+c)i2(m-Z 0(l+c)i2(时 Z _/l +c)i2(i)_.-b(l+c)-b=0a(l+c)”一 (1+。)(a+b)+b=0得出。与人之间的关系式，解出松 了,皿 为 常 数)(l+c)l2m-(l+c)l2ra-n)分析。与人之间的关系，a与b之间为单调递增函数。与之间的关系式(l+c)12,n-(l+c)12(m-n,（c,机乃为常数）分析。与之间的关系，”随着的增加而减少。（2）当2 c=0.25%确定的相与8 附录mnmnmn10.6 6 3 3 4 22 1.6 4 9 8 8 33 1.5 3 0 921.3 1 9 9 4 32 2.0 0 8 7 8

16、 43 1.6 7 1 631.9 6 9 7 4 42 2.3 6 0 7 8 53 1.8 0 8 942.6 1 2 7 4 52 2.7 0 5 9 8 63 1.9 4 2 653.2 4 8 8 4 62 3.0 4 4 48 73 2.0 7 2 863.8 7 7 9 4 72 3.3 7 6 1 8 83 2.1 9 9 774.4 9 9 9 4 82 3.7 0 1 3 8 93 2.3 2 3 485.1 1 5 0 4 92 4.0 2 0 0 9 03 2.4 4 3 895.7 2 2 8 5 02 4.3 3 2 1 9 13 2.5 6 1 11 06.3 2

17、 3 6 5 12 4.6 3 7 9 9 23 2.6 7 5 31 16.9 1 7 15 22 4.9 3 7 49 33 2.7 8 6 51 27.5 0 3 4 5 32 5.2 3 0 6 9 43 2.8 9 4 81 38.0 8 2 4 5 42 5.5 1 7 6 9 53 3.0 0 0 21 48.6 5 4 0 5 52 5.7 9 8 5 9 63 3.1 0 2 91 59.2 1 8 3 5 62 6.0 7 3 5 9 73 3.2 0 2 81 69.7 7 5 3 5 72 6.3 4 2 5 9 83 3.3 0 0 01 71 0.3 2 4 8 5

18、 82 6.6 0 5 6 9 93 3.3 9 4 7文档仅供参考1 81 0.8 6 6 9 5 92 6.8 6 3 0 1 0 03 3.4 8 6 81 91 1.4 0 1 5 6 02 7.1 1 4 7 1 0 13 3.5 7 6 42 01 1.9 2 8 7 6 12 7.3 6 0 8 1 0 23 3.6 6 3 62 11 2.4 4 8 5 6 22 7.6 0 1 4 1 0 33 3.7 4 8 52 21 2.9 6 0 7 6 32 7.8 3 6 5 1 0 43 3.8 3 1 12 31 3.4 6 5 4 6 42 8.0 6 6 3 1 0 53

19、 3.9 1 1 42 41 3.9 6 2 7 6 52 8.2 9 0 8 1 0 63 3.9 8 9 52 51 4.4 5 2 5 6 62 8.5 1 0 2 1 0 73 4.0 6 5 62 61 4.9 3 4 7 6 72 8.7 2 4 5 1 0 83 4.1 3 9 52 71 5.4 0 9 6 6 82 8.9 3 3 7 1 0 93 4.2 1 1 42 81 5.8 7 6 9 6 92 9.1 3 8 1 1 1 03 4.2 8 1 32 91 6.3 3 6 8 7 02 9.3 3 7 6 1 1 13 4.3 4 9 33 01 6.7 8 9 2

20、 7 12 9.5 3 2 4 1 1 23 4.4 1 5 53 11 7.2 3 4 3 7 22 9.7 2 2 6 1 1 33 4.4 7 9 83 21 7.6 7 1 9 7 32 9.9 0 8 1 1 1 43 4.5 4 2 33 31 8.1 0 2 2 7 43 0.0 8 9 2 1 1 53 4.6 0 3 13 41 8.5 2 5 2 7 53 0.2 6 5 9 1 1 63 4.6 6 2 23 51 8.9 4 0 9 7 63 0.4 3 8 2 1 1 73 4.7 1 9 73 61 9.3 4 9 3 7 73 0.6 0 6 4 1 1 83 4

21、.7 7 5 53 71 9.7 5 0 5 7 83 0.7 7 0 3 1 1 93 4.8 2 9 83 82 0.1 4 4 5 7 93 0.9 3 0 2 1 2 03 4.8 8 2 63 92 0.5 3 1 4 8 03 1.0 8 6 2 1 2 13 4.9 3 3 94 02 0.9 1 1 2 8 13 1.2 3 8 2 1 2 23 4.9 8 3 84 12 1.2 8 4 0 8 23 1.3 8 6 4 1 2 33 5.0 3 2 2mnmnmn1 2 43 5.1 2 5 1 1 5 03 5.9 5 0 2 1 7 63 6.3 3 5 7文档仅供参考

22、附录B1 2 53 5.1 6 9 6 1 5 13 5.9 7 1 1 1 7 73 6.3 4 5 41 2 63 5.2 1 2 8 1 5 23 5.9 9 1 4 1 7 83 6.3 5 4 91 2 73 5.2 5 4 8 1 5 33 6.0 1 1 2 1 7 93 6.3 6 4 01 2 83 5.2 9 5 7 1 5 43 6.0 3 0 3 1 8 03 6.3 7 2 91 2 93 5.3 3 5 3 1 5 53 6.0 4 8 9 1 8 13 6.3 8 1 51 3 03 5.3 7 3 9 1 5 63 6.0 6 7 0 1 8 23 6.3 8

23、9 91 3 13 5.4 1 1 3 1 5 73 6.0 8 4 5 1 8 33 6.3 9 8 01 3 23 5.4 4 7 7 1 5 83 6.1 0 1 5 1 8 43 6.4 0 5 91 3 33 5.4 8 3 0 1 5 93 6.1 1 8 1 1 8 53 6.4 1 3 51 3 43 5.5 1 7 3 1 6 03 6.1 3 4 1 1 8 63 6.4 2 1 01 3 53 5.5 5 0 7 1 6 13 6.1 4 9 7 1 8 73 6.4 2 8 21 3 63 5.5 8 3 1 1 6 23 6.1 6 4 8 1 8 83 6.4 3

24、5 21 3 73 5.6 1 4 6 1 6 33 6.1 7 9 5 1 8 93 6.4 4 2 01 3 83 5.6 4 5 1 1 6 43 6.1 9 3 8 1 9 03 6.4 4 8 61 3 93 5.6 7 4 8 1 6 53 6.2 0 7 6 1 9 13 6.4 5 5 01 4 03 5.7 0 3 7 1 6 63 6.2 2 1 1 1 9 23 6.4 6 1 21 4 13 5.7 3 1 7 1 6 73 6.2 3 4 1 1 9 33 6.4 6 7 21 4 23 5.7 5 8 9 1 6 83 6.2 4 6 8 1 9 43 6.4 7

25、3 11 4 33 5.7 8 5 3 1 6 93 6.2 5 9 1 1 9 53 6.4 4 8 61 4 43 5.8 1 1 0 1 7 03 6.2 7 1 0 1 9 63 6.4 7 8 81 4 53 5.8 3 5 9 1 7 13 6.2 8 2 6 1 9 73 6.4 8 4 31 4 63 5.8 6 0 1 1 7 23 6.2 9 3 9 1 9 83 6.4 8 9 61 4 73 5.8 8 3 7 1 7 33 6.3 0 4 8 1 9 93 6.4 9 4 81 4 83 5.9 0 6 5 1 7 43 6.3 1 5 4 2 0 03 6.4 9

26、9 91 4 93 5.9 2 8 7 1 7 53 6.3 2 5 7文档仅供参考表2第五次人口大普查调查表死亡概率平均人口死亡人口年龄别合计男女小计男女小计0岁2515836133985311759832410711533125740.00961岁2508000134283811651622390130210880.0012岁26451661414841123032616729477250.00063岁27144631447696126676714438026410.00054岁28508701518704133216611526824700.00045岁29383051561859137

27、644610486464020.00046岁2979795157883514009609725963760.00037岁3050907161403014368779035623410.00038岁31166601645776147088410227013210.00039岁35694181877981169143710306993310.000310岁40178672102767191510012217984230.000311岁40599902114366194562410566903660.000312岁4178252216787937311207054150.000313岁4106980

28、2119812198716811487384100.000314岁38900811978238191184410386983400.000315岁42855062119055216645210926824100.000316岁51999972523832267616512037254780.000217岁643740431319133305491158110575240.000218岁66721173308310336380812607510.000319岁594390730226292921278196012896710.000320岁5798238298355328146862380163

29、47460.000421岁566659029149442751646242516827430.000422岁523315626745122558645266417968680.000523岁524895326655022583451274618978490.000524岁5567113282024727468663148209310550.000625岁5814061294741928666423359231210470.000626岁616386331418623023414228511290.000627岁6454567331734031372273859260312560.000628岁

30、662047234189773 954120277113490.000629岁6939916359874333411734542311014320.000730岁6827725354784632798805277368215950.000831岁6668983347337431956094943334116020.000732岁5956089311382528422644847326215850.000833岁5404265282747225767934318292213960.000834岁5946837312613328207045345364517000.000935岁622868532

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