高等数学作业册.pdf

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1、1.1 函 数 的 概 念 及 基 本 性 质 1.求 函 数/U)=半;2 的 定 义 域.A/5-X2.求 函 数/(%)=，一=+arcsin(1-2工)的 Jlg(3-x)定 义 域.Y3.求 函 数 y=arcsin-的 定 义 域 及 其 反 2函 数.4.设 函 数/(x)=l-ln(2x+1)，求 其 反 函 数 尸 匕).3,5.设 函 数/(x)=不 求 其 反 函 数/T(x).TT TT6.设 函 数 f(x)-3cos 2x,(-x 4),求 4 4其 反 函 数7.若 f(x)=ax5+bf+cx+1,(为 非 零 常 数)，且/=5,求/(2).10.函 数 y=

2、sin 是 定 义 域 内 的（）XA.周 期 函 数 B.单 调 函 数 C.有 界 函 数 D.无 界 函 数 11.设/（X）是 定 义 在/,/上 的 任 意 函 数，证 明：f（x）+f（-x）是 偶 函 数；8./（x）=|sinA|在 其 定 义 域（-。,+8）上 是（）A.奇 函 数 B.非 奇 函 数 又 非 偶 函 数 C.最 小 正 周 期 为 2兀 的 周 期 函 数 D.最 小 正 周 期 为 7 t的 周 期 函 数 是 奇 函 数.9.设）,定 义 域 为（-00,+00）,则/（X）为（）12.证 明:函 数 在 区 间【上 有 界 的 充 分 与 必 要 条

3、 件 是:函 数 在 I 上 既 有 上 界 又 有 下 界.A.有 界 函 数 B.奇 函 数 C.偶 函 数 D.周 期 函 数 21.2 常 见 函 数 1.若，(x)=2，求/(幻,3 卜-X/W4.设 函 数 g(x)=1 xx+1,当 1X H O时，有 g(x)=X求 生-).5.设/(x+)=AX2 1、H，求 f(%)X2.设 函 数/(x)=2x+5,/(x)-l.3.设/(x+l)=x2+2,求/(X-2)6.设/(x)=一 1+X/p-，(x).，(p(x)=J ex-1,求 342.1 函 数 的 极 限 1.f(x)在 点 及)处 有 定 义 是 极 限 lim/(

4、%)存 在 的()A.必 要 条 件 B.充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 非 必 要 又 非 充 分 条 件 2.若 lim/(x)=A(A 为 常 数)，则 当 XT%)X T 沏 时，函 数 f(x)-A().A.无 穷 大 量 B.无 界,但 非 无 穷 大 量 C.无 穷 小 量 D.有 界，而 未 必 为 无 穷 小 量 3.下 列 极 限 中，不 正 确 的 是()1A.lim(x+1)=4 B.lim ex=01 3 xf0/1、；八 sin(x-1)八 C.hm(-)A=0 D.hm-=0XfO 2 XTl x4.判 断 对 错 并 说 明 理 由：(1)若

5、 lim|a|=a,则 lima”=a.如 果|/(x)|V(M为 常 数)，则/(x)为 无 穷 大.(3)当 X-oo时,e,为 无 穷 大 量.为 偶 数 5.设 数 列%=1-2，试 判 断 该 伫 工,为 奇 数 1 2 数 列 的 极 限 是 否 存 在？6.已 知/(x)=3/+2/lim/(x)，且 l、i*/(x)存 在，求/(%).57.设/(x)=ex-2,x 01,x=0,求 lim/(%).v-0 x-cos 09.设 y(x)=0 xa r c t a n x 0im f(x)，lim f(x).t0+J x-0 8.设/(x)=lim/(x),liA-1 X-1-

6、X,X 1COS,-1 X 1m/(x).10.证 明 题：设 函 数）=/（入）在（-00,+00）单 调 增 加，并 且 对 任 何 x 有/（X）W g（x）,求 证 62.2 函 数 极 限 的 性 质 及 运 算 法 则（一）1.计 算 下 列 极 限 lim(J及-2 7 n+2)“f 82 2(6f+x)-a(2)lim-X2-x-6x+8(3)lim-I x2-5x+4/八 1-Jl+X Jl x(4)h m-5%(2x+3)50(5)lim-2(r(2x-l)3(x+1)lim+-!-1x3 3x5 5x7(2/7-l)(2n+1)7l+X！*7 产 x2+l(8)lim-(

7、3+cosx)工、+xf+12.若 lim-ax-0)=l，求 a,0.5 8 X-l L3.设 lim(x+4)i=J,求 值.x te x-a82.2 函 数 的 性 质 及 运 算 法 则（二）1.利 用 等 价 无 穷 小 代 换 计 算 ln(l+2tanx)(1)h m-a。sin(3x)(2)lim U r C s i n X)4x(1-cos x)5x ie 1(3)lim-ln(l+2x)(4)lim(-)tan x sin x arcsin 3x(5)h m-V1+x-1小 1 tan x-sin x(6)lim-kto sin 3 2x9(7)l.im,3。Jl-c o

8、s2 xJ l 4-fix)-tan x-14.已 知 lim y-、-=3，T。e求 lim/(x).x-0 J2.当 X T 0 时，J1+tanx-V l+sinx J,求 攵 的 值.45.当 x 0时，/(x)与 1 一 cos x 等 价，求 3.当 x co时，若 o，求./(X)lim-x sin xax+bx+c x+a,b,c的 值。i6.若 当 x f 0 时,a(x)=(1+6FX2)3 一 1 与 0(x)=c o s x-l是 等 价 无 穷 小，求。值.102.3 经 济 管 理 中 的 例 子 2.5 函 数 的 连 续 性 1.设 本 金 为 p 元，年 利

9、率 为 r,若 一 年 分 为“期，存 期 为/年，则 本 金 与 利 息 之 和 是 多 少？现 某 人 将 本 金 p=1000元 存 入 银 行，规 定 年 利 率 为 r=0.06=2,请 按 季 度、月、日 以 及 连 续 复 利 计 算 本 利 和，并 作 出 评 价.2.某 大 学 生 在 大 学 四 年 上 学 期 间，每 年 9 月 初 从 银 行 借 款 4000元 用 以 支 付 一 年 学 费，若 按 年 利 率 为 6%的 连 续 复 利 计 算，毕 业 后 一 次 归 还 全 部 本 息 需 要 多 少 钱？3.求 下 列 函 数 的 间 断 点，判 断 其 类 型

10、.若 为 可 去 间 断 点，请 补 充 使 之 连 续.x-2/(x)=2 u/x-5x+6X/(x)=tanx人 一 Jl+X _ Jl-x/(x)=X0 x l(4)f(x)=2x+1 1 x 21+x2 2 0 f(x)=.1 sin x 八 x sin H-x 0 X X1 1数，求 z./+1,x 0I x 设/(x)=lim上+。X，求/(x)的 间 断 点.1-冗 sin+/,x 0X(2)设/(x)=0X(a)lim/(x),lim f(x)；X TO X-0(b)上 为 何 值 时，/(x)在 定 义 域 内 连 续 5.(1)证 明 方 程 f-2 d+5/+1=0 至

11、少 有 一 个 实 根.(2)证 明 方 程 xex=2 在(0,1)内 至 少 有 一 个 实 根.12第 2 章 综 合 练 习 判 断 题 1.如 果|/(无)|M(M 为 一 个 常 数)则/(x)为 无 穷 大.()2.如 果 数 列 有 界，则 极 限 存 在.()3.若，则 l i m。.()n-oo1 n-x4.如 果 a p,则 a-0=o(a).()5.函 数/(x)=L 在 闭 区 间 内 必 取 得 最 X大 值 和 最 小 值.()二.选 择 题 1.如 果 lim=a,则 数 列 4 是()n o cA.单 增 数 列 B.单 减 数 列 C.有 界 数 列 D.发

12、 散 数 列 5.当 x-0 时;InU+x?)是 比 1-cos x 的).A.低 阶 无 穷 小 B.高 阶 无 穷 小 C.等 价 无 穷 小 D.同 阶 但 不 等 价 无 穷 小 6.当 x-0 时，下 列 无 穷 小 量 中 与 x 等 价 的 是)._A.2x2-X B.yfxC.ln(l+x)D.sin2 x2.如 果 函 数/(X)在 点 看 的 某 邻 域 内 恒 有 f(x)0sin xxC.limtan xA-()xD.limX-00sin xx1().A.连 续 点 C.跳 跃 间 断 点 B.可 去 间 断 点 D.第 二 类 间 断 点 139.设 l+(x+l)

13、sin,x-1x+1y(x)=J i,ix 0则().A.f(x)在 x=-1处 连 续，x=0 处 不 连 续 B./(x)在 x=0 处 连 续，x=-1处 不 连 续 C./(x)在 x=1,0处 均 连 续 D./(%)在 x=1,0处 均 不 连 续 10.下 列 方 程 在 0,1 上 有 实 根 的 是().A.sin x+X-=022B.x+3x+l=0C.arcsin x+3=01 八 D.x-sm x+-=02二.求 下 列 极 限 2x1.lim-X T tan 5xJ+、2.-(3+cosx)X X+X X2+l.13.lim-sin-x e x-1 XJl+xsinx

14、-l4.lim-f)1 一 cosX.sin x5.lim-I兀 X 一 兀 146.lim nn(n+2)-In nT8yjx4-410.lim-/，我+27.lim(lx-yfx-yjx-y/x)X H011.lim V7(Jx+2-Jx-3)12.当 W 1 时，求 极 限 rlx3+X28.h m-1。+x+sinxlim(l+x)(l+)(1+/)三.计 算 题 n-x+sinx9.lim.A/1+X-11.求 人 的 值，使 lim=4.-3 X-315+I（）/（In 2）4.设 p（x）是 多 项 式 且 l i m&N2,1面=1,求 0（力 x163.1 导 数 的 概 念

15、 1.选 择(1)已 知/(%)=A，则 l i m/(x0-Ax)-/(x0)=()-AxA.-A B.2A C.A D.-2A(2)函 数/(x)在 点 沏 连 续 是/(X)在 点 X。可 导 的()A.必 要 不 充 分 条 件 B.充 分 不 必 要 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(3).设 函 数/(x)在 x=0 处 可 导，且/(0)=0,则 吗)A.f(x)B.尸(0)C.不 存 在 D.oo(4).设/(X)是 可 导 函 数，且 满 足 条 件 lim T d)=T,则 曲 线 XT。2xy=/(x)在 点(L/(l)处 的

16、 切 线 斜 率 为()A.2 B.-1 C.-D.-22(5)设 函 数 f(x)=卜 3-l|q)(x),其 中(p(x)在 X=1处 连 续，则 9(1)=0 是 f(x)在 X=1处 可 导 的()A.必 要 不 充 分 条 件 B.充 分 不 必 要 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 f2x x 12.判 断 函 数/(x)=,在 分 段 点 x X 1处 是 否 可 导，若 可 导，求 出 其 导 数.3.设/(x)=x(x-l)(尤 一 2)(x-100),求 广.174.已 知 x)=一+x 1o%=1,试 问 a,b,c分 别 h

17、x+c X 1兀，f(x)在 X C O S X,X 12a.b.(2)/(x)在 x=0 处 是 否 可 导？(3)求 广 求).8.若 广(。)存 在，证 明：lim上 伍)一 山(X)=/,矿.x-a183.2 求 导 法 则（一）1.选 择（1）设 y=e*）且/（x）二 阶 可 导，则 y=()A.B.2.(1)求 下 列 函 数 的 导 数 sinxy=c.ef(x)fXx)f(x)XD-ef Mf(x)f+fx)y2=x arctanx+cose 设 小+2）=，则/“（）1A_ B 1d)2 U+l)2(3)y-cos(x2-x).1c.-D.x+1 x-(4)y=ln(x+y

18、lx2+/)已 知 y=sinx,则 y)=()A.sin x B.COSXC.-sin x D.-COSX y=f(ex+e-x),/(“)可 导(4)设/(X)=1 B.九 2 D.X 2193.求 下 列 函 数 在 给 定 点 的 导 数.y=d+3，求 y 2、+办(2)y，求 x dx X=14.设/(x)=sin1+cos2x,求：/27)(TI).5.已 知/(x)=ln(x+1),求/()(%).6.设 f(sinx)=3-2cos2x,求/(x).7.证 明 双 曲 线 xy=/上 任 一 点 处 切 线 与 两 坐 标 轴 构 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于 2a

19、2.8.设 函 数/(x)在 x=2 的 某 邻 域 内 可 导，且/八)=/%/=1,求 广.203.2 求 导 法 则（二）1.设 g 是/的 反 函 数，且/(4)=5 和 2r(4)=,求 g(5).(4)arctan)=In yjx2+y 2,求 yfX2.求 下 列 隐 函 数 的 导 数.dy(5)ysinx-cos(x+y)=0,求 一 dx 孙 求 y,丫 匕*）(2)sinxy+-=0,求 y3.孙 八、出 a x+bt()(1)右 y=-7，求 yex+a(3)4x+yy=J 2,求 y(2)右 y=、，求 yx(l-x)214.求 下 列 函 数 的 导 数 八 sin

20、x _p.，(1)y=x，求 y4.求 下 列 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 导 数 2x=ln(l+r)4 dy，求 上 y=r-arctan t dx(2)y=j曾 3|(x-3)(x-4)尸=)，广 存 在 且 不 为),=0 7(，)求 空 dx223.3 微 分 3.4 经 济 中 的 例 子 1.选 择 d(xe”)=()A.exdx B.xd(ex)C.xexdx D.(1+x)exdx(2)如 果 函 数 y=/(x)有/(x0)=则 当 Ax r 0 时/(x)在 x=x()处 的 微 分 d y是()A.与 A x 等 价 无 穷 小；B.与 A x 同 价 无

21、穷 小 但 不 是 等 价 无 穷 小 C.比 A x 高 阶 无 穷 小 D.比 A x 低 阶 无 穷 小(3)设 函 数/()可 导，y=/(J)当 自 变 量 x 在 x=-1处 取 得 增 量 Ax=-0.1时，相 应 的 函 数 增 量 A y 的 线 性 主 部 为 0.1,则/=()A.-1 B.0.1 C.1 D.0.5(4)一 元 函 数 连 续 是 可 导 的()；一 元 函 数 可 导 是 可 微 的().A.必 要 条 件 B.充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 非 充 分 条 件 又 非 必 要 条 件(5)函 数/*)=(丁 一 x 2)k 3 不 可 微

22、 点 的 个 数 是().A.3 B.2 C.1 D.02.求 下 列 微 分(1)y=(x-tanx)sin x 求(2)y=arccosy/1-x2 求 dyx=_223(3)xy+lny=l 求 时 日)5.某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q=75-p2(p为 价 格，Q 为 需 求 量)(1)求 P=4 时 的 边 际 需 求；(2)求 P=4 时 的 需 求 弹 性，说 明 经 济 意 义；(3)尸=4 时，若 价 格 上 涨 1%,总 收 益 变 化 百 分 之 几？(4)P 为 多 少 时，总 收 益 最 大？最 大 总 收 益 是 多 少？3.利 用 微 分 求 arcta

23、n 1.02的 近 似 值.4.已 知 测 量 球 的 直 径 D 时 有 1%的 相 对 误 差，问 用 公 式 V=3 计 算 球 的 体 积 时，6相 对 误 差 有 多 少？244.1 中 值 定 理 1.检 验 下 列 函 数 在 给 定 区 间 上 是 否 满 足 Rolle定 理:y=丁-5%+6,2,3(2)y=/,0,2W-1)-(3)y=xe-,0,l(4)y=V/,-l,l2.求 函 数 y=lnsinx在 区 间(7巴 r，把 SIT)上 满 6 6足 罗 尔 定 理 公 式 中 的 匕.3.对 于 函 数/(x)=X3,求 在 区 间 0,1 上 满 足 拉 格 朗

24、日 定 理 的 4.设/(x)=(x l)(x 100),研 究 方 程/(x)=0 有 几 个 实 根？255.证 明 等 式 71arctan x+arc cotx=.27.设/(x)在 a,可 上 连 续,在(a,b)内 可 导,证 明 在(a,b)内 至 少 存 在 一 个&,使 得(.R=/)+自 广 心)b-a6.利 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明 当 x 0 时 有 ln(l+x)-In x.1+X8.已 知/(x)在 0,1 上 一 阶 可 导，且/=0,试 证：存 在 点&e(0,l)使/0)+?()=0.264.2 洛 4 Z、达 法 则,4.ln、，l+5x1

25、.求 h m-.c cos3x2.求 h m-.cos5x2e-4j r In3x3.求 lim-.f Inxtan2x-sinx4.计 算 h m-.1。X35.求 lim.+8 _2_e而 16.求 lim x2.Xf 0.7.计 算 limlnxln(l+x).Xf 0，8.计 算 lim(，-)1。广 tan-x279.求-).x-1 x-ii10.求 lim(e-5 x)x.X T+0+14.当 a 4 为 何 值 时，.,sin3x a 吧(3+2+加=0 X X284.3 泰 勒 公 式 1.求 函 数，(x)=xe的 阶 麦 克 劳 林 公 式.2.求 函 数 f(x)=sin

26、x2的 n阶 麦 克 劳 林 公 式.3.求 函 数/(x)=cosx的 三 阶 麦 克 劳 林 公 式.4.按(X+1)的 乘 幕 展 开 多 项 式 3x3+2x2-x+2.5.求 函 数/(x)=,在 的=一 1处 的 二 阶 泰 X勒 展 开 式.292 _+1-V1+A：26.求 极 限 lim-.(cosx-e、)x7.利 用 ln(l+x)的 展 开 式 求 In 1.5的 近 似 值.8.设/（X）在 上 具 有 阶 导 数，且/（0）=/=广（。）=/f（0）=o,证 明 在（0,1）内 至 少 存 在 一 点 虞 使/气）=0.304.4 函 数 的 上 自 调 性 与 极

27、 值 1.选 择 题(1)以 下 说 法 正 确 的 是()A.极 大 值 一 定 大 于 极 小 值；B.最 大 值 一 定 是 极 大 值；C.极 值 一 定 在 区 间 内 部 取 得；D.极 小 值 一 定 是 最 小 值.(2)对 于 函 数，(x),有 广(即)=(),/(为)不 存 在，贝 lj()A.Xo，X1都 是 极 值 点；B.只 有 X。是 极 值 点；C.而,再 都 可 能 不 是 极 值 点；D.Xo，X 至 少 有 一 个 是 极 值 点.(3)已 知/(x)在。,句 上 连 续,(。/)内 可 导，f(a)0,则()A./(x)在 a,切 上 单 调 增 加，且

28、 f(b)0B.f(x)在 a,4 上 单 调 增 加,且(b)0C/(x)在 a,句 上 单 调 减 少，且/(b)0)X(2)/(x)=l2x-x 23.求 函 数 y=x?Inx在 l,e 上 的 最 值.4.利 用 函 数 单 调 性 证 明 不 等 式 x2 x-0 时，l+Jl+x2315.求 下 列 函 数 的 极 值(1)y-2xi-6x2-18x+7(2)y=(x l)2(x 2)3(3)/(%)=(X-1)席 6.一 玩 具 经 营 商 当 产 量 xw 0,6000时，以 下 列 成 本 和 收 益 函 数 销 售 某 种 产 品：C(x)=2.4x-0.0002c2,R

29、(x)=7.2%-0.00Lx2,试 问 如 何 控 制 产 量 才 能 使 利 润 随 产 量 增 加 而 增 加？7.设 函 数/(x)=asinx+；sin3x在 TTx=一 处 取 得 极 大 值，求 常 数 a.3324.5 曲 线 的 凹 凸 性 与 函 数 作 图 1.求 下 列 曲 线 的 凹 凸 区 间 和 拐 点.丁=Q)y=21+X2 x2)”八、2(1 1)2.试 确 定 a,b,使 曲 线 y=a x+b x2+4 x有 拐 点(1,2).3.已 知 曲 线 y=+c x+d(4 K 0)有 一 个 拐 点，且 拐 点 处 有 一 水 平 切 线，求 之 间 的 关

30、系.334.求 下 列 曲 线 的 渐 近 线.4 丫 2 0 2x+2x-33-x=/1,2（X 1）Y5.作 出 y=的 图 形.1-X344.6 最 优 化 问 题 C=60000+20%,求：(1)收 益 函 数 和 边 际 收 益；(2)利 润 函 数 和 利 润 取 得 最 大 时 的 产 量 及 最 大 利 润；(3)收 益 取 得 最 大 时 的 销 售 量。1.将 8 分 成 两 数 X1,必 之 和，问 当 再，工 2为 多 少 时，其 立 方 和 最 小？3.设 某 产 品 的 价 格 函 数 为 X=60,(x1000),成 本 函 数 为 10002.某 车 间 靠

31、墙 壁 要 盖 一 间 长 方 形 小 屋，现 有 存 砖 只 够 砌 20米 长 的 墙 壁，问 应 围 成 的 长 方 形 其 长、宽 比 为 多 少 时，小 屋 面 积 最 大？354.设 某 厂 每 年 需 要 某 种 零 件 8 0 0 0件，每 个 零 件 的 年 保 管 费 为 4 元，每 次 的 订 购 费 为 4 0元,假 定 平 均 库 存 量 为 批 量 的 一 半，求 一 年 中 订 购 费 和 库 存 量 总 和 为 最 小 的 批 量。6.设 某 企 业 生 产 某 种 商 品 的 总 收 益 函 数 R(Q)=25。一 1 总 2成 本 函 数 为。(0)=100

32、+。+。2,其 中 Q表 示 该 产 品 的 产 量(需 求 量).求 边 际 收 益 函 数，边 际 成 本 函 数，利 润 函 数，以 及 使 利 润 取 得 最 大 值 的 产 量 和 最 大 利 润.5.已 知 某 厂 生 产 x 件 产 品 的 成 本 为 1 2C=250000+200X+-%-(元)，若 产 品 4以 每 件 5 0 0元 售 出，要 使 利 润 最 大，应 生 产 多 少 件 产 品？365.1 定 积 分 的 概 念 及 基 本 性 质 1.判 断 题:若 f(x)在 口，句 上 可 积,则 f(x)在 口，句 上 必 连 续.()Jy(2)若/(x)在(/)

33、连 续，则 必 定 存 在.()b(3)若 c,d 包 含 于 口,句，则 必 有 f f(x)dx/f(x)dx.()2.填 空：J x1 dx_x3dx.4 4(2)Inxdx_J(nx)2dx.n n(3)sin10 xdx_ sin 2 xdx.A J 2(4)exdx_ ex dx.(5)曲 线 y=*2,x=0,y=i,所 围 成 的 图 形 的 面 积 可 用 定 积 分 表 示 为 _.(6)函 数/(x)在 区 间 切 上 有 界，是/(x)在 区 间 a,b 上 可 积 的 _条 件；而/(x)在 区 间。,句 上 连 续，是 f(x)在 区 间 a,b 上 可 积 的 _

34、条 件.3.设 J 3/（xyZx=18，j J（x）rfx=4,f3j_ig（x）Jx=3.求 f J（X心（2）J,f（x）dx A 3g（无 声 J：g 4/（x）+3g（x）p x5n4.估 计 积 分 j O+s i M x H x 的 值.45.利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 及 其 性 质，求 定 积 分：2,d 4-f dx37(2)jol-x2 dx=q;(3)J 兀 sin M x=06.利 用 定 积 分 定 义 求 极 限 r i n n(1)lim(_+_ _+.+_ _).n-+2-n+n7.设/(x)在 区 间 0,1上 连 续，在(0,1)内 可 导，1

35、且 满 足/=3jj/(x0 x,试 证：在(0,1)内 至 少 存 在 一 点 g,使 得/值)=0.8.试 判 断 下 列 定 积 分 是 否 有 意 义(即，被 积 函 数 在 相 应 的 积 分 区 间 上 是 否“可 积”)，并 说 明 理 由.2/(出,其 中/(町=X,X 1J。2,x=1385.2(-)微 积 分 第 一 基 本 定 理 原 函 数 与 不 定 积 分 1.选 择 题 设 f(x)为 可 导 函 数，则()Aj/(x)dx=/(x);B j/a)d x=/(x)；C(J/(x)dx)，=/(x)；D.(J/(x)dxy=x)+C 若 j f(x)dx=x2e2+

36、C 则 f(x)=()A.2xe2 1;B.2x2e2 x;C./*；D.2x(+x)e2 x.(4)J(1-sin x-cos x)dx=I*乙 2(5)(,-sec x)dx-.J V l-X2(3)设 y=J。sin(l+J)力，y(o)=()A.0 B.cosl C.sin 1 D.13.求 下 列 函 数 关 于 x 的 导 数:则 X 1(1)(2-sin 3f)7 力；(J-)dt(4)lim-j-=()10%A.0 B.-C.3 D.-13 3pX2 1 J dt.2.填 空：(.(1+X)2,(1)-f=dx=_.J Xy/X394.计 算 f(arctan r)2 J?(1

37、)lim J。.-&+1,1-V2 L(2)lim(l-cosV)d.(3)设/(x)在 区 间(0,+oo)上 可 导，且 fX 1/(x)=l+求 JI X5.若 尸(e、)=l+e2x,且 0)=l,求/(x).6.求 下 列 不 定 积 分 J3e dx.-1 求，(2 1)公.J COS“X(3)Xylxy/dx.3 r dx(4)求-.J 1-cos 2x(5)求 j sec x(sec x-tan x)dx.405.2（二）微 积 分 第 二 基 本 定 理 5.3（一）第 一 类 换 元 法（不 定 积 分）1.填 空 题 I(1)f(2x+k)dx=1.k=(2)j|cos

38、x dx1.(3)(x+)dx=J x1,(3)L-5-2dCsin x-cos x(4)dxxlnx dxx(x)+1)(4)J。卜 inx|cZx（6）尸（x）是/（x）的 一 个 原 函 数，则 5 dx二 1+F(x)3.求 下 列 不 定 积 分（第 一 换 元 法）r 1+COS yx,7r（7）已 知=尸（*）+C,则 dxJ e X+,e2.用 莱 布 尼 兹 公 式 求 下 列 定 积 分(dxJ 1+x241(3)J cos2(cor)sin。力(4)Jxvl-x2 dxrdx(5)f-J 1+ec sin x,(6)-dxJ a+hcosx sin x cos x,j-.

39、-d xJ V2-3cos xc1+cosx,(8)：dxJ x+sin A:r 2 3(9)sin xcos xdx425.3(-)第 二 类 换 元 法(不 定 积 分)与 定 积 分 换 元 法 L 求 一=4 r arctan Jx,5.求=-axJ vx(l+x)，兀 716.计 算 sin(x+)dxJ T 37.计 算 J；(1 sin3 0)4。、j r J dx8.计 算 一,xjl+lnxJ J(/+l)323.求 f X dx3/74.求 f/dxJ xQx+Y x)43 5 xo9.计 算 Jo x2!a2-x2d x.13.J:计 算/(x)=./(x-l)d x.x

40、+1,求-x 0,均 有 1.(5 cos x sin x,11.f,_ dx；A V F-x2J o X f(x)d x.2.2x rx sin x+l)+l4 2 dx-x+2x+1445.3(H)分 部 积 分 法 1.求 J x2exd x.5.求 J x frt(x)d x.2.求 卜 2 cos xdx.6.求 j(tan x+sec2 x)exd x.3.求 J In 2 x d x.7.求 j arctan Jxdx.4.求 j arcsin xdx.8.计 算()泥 一 公,459.计 算 J J Inxdx.13.计 算 jo(xsinx)2dx.2ri14.已 知/(x)

41、的 一 个 原 函 数 是/x,求 10.计 算 arcsin xdx.Jo x f x)d x.11.计 算 x arctan xdx.Jo15.设 F(冗)为/(x)的 原 函 数，当 x0时，有 f(x)F(x)=sin2 2x，且 F(0)=1,n12.计 算 f 2 e sinxdx.J。产(x)N0 试 求/Xx).46477.计 算+0 0 dx 1+A-2 8.计 算+dx2 x2-1,9.计 算 arcsin x./dx.i i.计 算.dx.12.计 算 2 dxj(1-x)2 413.计 算+dx。M48第 5 章 综 合 练 习 一.填 空 题 n1.尸(x)=/(x)

42、，则 7,1(x+sin2 x)sin xdx=_Lf fr(ax+b)dx=_;2.设 J/(x)dx=y+C,则 edt8.=i。%、dx-；J e3./(Inx)=1+x,则/(x)=_;J9.如 果 J o/W=5 O,则 f tf(t ylt Jo八 尸 4.设=arcsin x+C,则 产=;“1-J/(X)10.lirn V 5*1+=圾 从 台、ne i n Y5.若-是 f(x)的 一 个 原 函 数，则 XJ x 2f(x)dx=_选 择 题 1.设/(x)的 一 个 原 函 数 是 泮,则 6.设/(x)=_/)/(l)公(Q W-1)，贝 I J/(%)=().A.e2

43、 B.-2 e2xJo f(x)dx=_,C.-4 e2x D.4 e2x492.下 列 各 式 中 错 误 的 是()A.,f(x)dx=f(x)B.f(x)dx=f(x)C.df(x)dx=f(x)dxD.W(x)=/(%)+c3.设/(x)=I*,则 f/皿)d x=()J X1,A.be;B.Inx+C;XC.-F C;D.In x+C.XP 14.,dx=()1/A.arcsin Vx+C;2B.arcsin Vx 4-C;C.2arcsin(2尤 一 1)+C;D.arcsin(2x-l)+C.5,若 叱 是 f(x)的 一 个 原 函 数，则 Xj 矿(x)dx=()A“.-1-

44、2-1-n-x-+C门;BD.1+lnx 5+C；X XInx _ n 1 厂 C.-F C;D.+C X X6.设/(x)在 区 间,加 上 连 续，则 下 列 说 法 不 正 确 的 是().hA.j/(x)曲:是 常 数；bB.力 是 x 的 函 数；C.，/dr是 x 的 函 数；hD.力 是 X 和 f的 函 数.7.已 知 尸(x)是 f(x)的 原 函 数，则 Q+a)力=().A.F(x)-F(6r)；B.F(Z)-F(a)；C.F(x+a)-F(x-a)；D.F(x+a)-F(2ay508.设/(x)在 m，b 上 连 续，则 三.计 算 下 列 不 定 积 分 ddx；(-

45、/)力=().1.J(y/x+-=)dx；A.B.-x f(x2y.c.2xf(x2)；D.-2 V U2).2.sin yx.,dx;V7ax9.若 lim-V-oc”)7-0 0te d t，则 a=().A.0；B.1；C.-1；D.2.10.下 列 反 常 积 分 中 收 敛 的 是()A.,+8 dxxnxJ dxB.-r3.4.sin x(cosx+l).-dx；1+cos x1 _ dx；xy/2x-9Q+O O xC.7J 1+X2dx;D.,+8 dx1 Xx5.arctan 4xdx；516.jcos(ln x)dx；四.计 算 下 列 定 积 分 r2n1.0|sin x

46、ix7.卜 力 l-f d x；2.xyjl-x2 dxX8 双 J(e*+1)2a J&/3.1-T=-clxJ l+Vx八 r 1 1+x9.-7 In-axJ 1-x 1-x4.t a n x d xtan-dx10.-J 1+sin x+cos x52，dx5.f-2+sinx五.证 明:兀.3ry Sin X,-dx=Jo sinx+cosxI t 3-COS X,-ax sinx+cosx,并 求 出 积 分 值。6.J-e2x cosxdx dxJ X+1+1)六,设 函 数/（x）在 0 上 可 导，且 1/（1）=2 4（幻 右，证 明：必 存 在 点&（0,1）,使 得/）

47、=一.（提 示：使 用 积 分 中 值 定 理 和 Rolle定 理）53八.函 数/（%）在 区 间 0,271 上 单 调 递 减，证 明 Jo/（x）sin xdx 0.七.设/（x）是 R 上 的 连 续 函 数，并 满 足 九./（）/（九 一/歹”=尤*,试 求/（X）.(1)求 j m a x l M 22(2)求 J,maxl，kMx546.1定 积 分 微 元 法 6.2 定 积 分 在 几 何 中 的 应 用 1.求 由 y=与 直 线 y=x 及 x=2 所 围 的 X面 积，及 此 面 积 分 别 绕 x 轴、y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积.TT2.

48、求 由 曲 线 y=s in x和 它 在 x=一 处 的 切 线 2以 及 直 线 X=7 l所 围 成 的 图 形 的 面 积 和 它 绕 X轴、y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积.556.3 定 积 分 在 经 济 学 和 管 理 学 中 的 应 用 1.已 知 某 产 品 每 周 生 产 X 单 位 时，边 际 成 本 为 c(x)=0.4x 12(元/单 位)，固 定 成 本 100元.求 成 本 函 数.如 果 这 种 商 品 的 销 售 单 价 是 20元，求 利 润 函 数/(%).并 问 每 周 生 产 多 少 单 位 才 能 获 得 最 大 利 润？2.细 菌 的 增 长 率 与 总 数 成 正 比，如 果 培 养 的 细 菌 总 数 在 24小 时 内 由 100增 长 为 200,那 么 前 12小 时 后 总 数 是 多 少？3.已 知 某 产 品 的 边 际 成 本 与 边 际 效 益 分 别 为(0 为 产 量)：C(0)=5+-Q(万 元/百 台)，*(Q)=11 Q(万 元/百 台)，试 求：(1)当 固 定 成 本 C(0)=1万 元 时，成 本 函 数、总 收 益 函 数 与 总 利 润 函 数；(2)产 量 为 多 少 时，总 利 润 最 大？最 大 利 润 是 多 少？5657