高考数学复习01数列（解析版）-2021年高考数学专练(新高考).pdf

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1、重 难 点 01 数 列【高 考 考 试 趋 势】新 高 考 中 考 查 数 列 难 度 不 大，但 解 答 题 中 作 为 了 必 考 内 容，一 般 是 解 答 题 的 前 两 题，会 考 察 开 放 式 的 题 型。知 识 点 考 查 比 较 简 单，也 是 高 考 中 务 必 拿 分 题 目，对 于 大 部 分 人 来 说，数 列 这 一 知 识 点 是 不 容 失 分 的。本 重 点 专 题 是 通 过 对 高 考 中 常 见 高 考 题 型 对 应 知 识 点 的 研 究 而 总 结 出 来 的 一 些 题 目，通 过 本 专 题 的 学 习 补 充 巩 固，让 你 对 高 考 中

2、 数 列 题 目 更 加 熟 练，做 高 考 数 列 题 目 更 加 得 心 应 手。【高 考 常 见 题 型 分 类 总 结】通 项 公 式 的 求 法 1、累 加 法（叠 加 法）若 数 列 上 满 足,则 称 数 列 为“变 差 数 列，求 变 差 数 列，的 通 项 时，利 用 恒 等 式 a,t=卬+（%-%）+（%_ g）+（a“-4-1）=%+/（D+/（2）+/（3）+（22）求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 加 法。2、累 乘 法（叠 乘 法）若 数 列 电 才 满 足 a,则 称 数 列 也 为“变 比 数 列，求 变 比 数 列 的 通 项 时，利 a=卬 生=

3、1）（N 2）用。2%求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 乘 法。3、由 数 列 的 前 n 项 和 S”与%的 关 系 求 通 项 公 式 若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 5,=/（），则 不 论 数 列 卜 是 否 为 等 差 数 列 或 等 比 数 列，当 2 2 时，E，n-1an s者 萌 可 利 用 公 式 3,S,I，2 2求 通 项。4、构 造 新 数 列对 于 二 p a q 的 形 式，主 要 是 利 用（4+机）=P（%T+机）的 形 式 进 行 转 化；+1 2-冬=加 对 于-P+P，主 要 采 用 p P 的 形 式 进 行 转 化 运 算；1 1-

4、p对 于 4 一 4=见。”一 般 采 用 转 化 成%-的 形 式 进 行 转 化 运 算。对 于 求 和 问 题 1 1,1 1、1an-a=（-）1、裂 项 求 和 形 如（2-1）（2+D 的 形 式 一 般 采 用 裂 项 2 2/?-1 2+1 的 形 式，注 意 前 面 的 2此 系 数，是 由 2-1与 2+1系 数 只 差 确 定。2、错 位 相 减 求 和 问 题，本 专 题 题 目 中 有 出 现。3、分 组 求 和 问 题，分 为 两 种，一 种 是 绝 对 值 分 组 求 和 问 题，另 外 一 种 是 两 种 不 同 数 列 的 分 组 求 和 问 题。【限 时 检

5、 测】（建 议 用 时：50分 钟）一、单 选 题 1.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）等 比 数 列 中=L 且 4%,2%,生 成 等 差 数 列，则（n&N*的 最 小 值 为（）16 4 1A.25 B.9 C.2 D.1【答 案】D【分 析】首 先 设 等 比 数 列%的 公 比 为 q（q*），根 据 4%,2a2,a3成 等 差 数 列，列 出 等 量 关 系 式，求 得 4=2，比 较/相 邻 两 项 的 大 小，求 得 其 最 小 值.【详 解】在 等 比 数 列%中，设 公 比 q（q/）,当 q=i 时，有 4%,2a2,%成 等 差 数 列，所 以 4a

6、2=4%+%,即 4q=4+/，解 得 q=2,_ _ 2=空 所 以%=2，,所 以，%+i、+=2。.4 一+1，当 且 仅 当=1 时 取 等 号，所 以 当=1 或=2 时，n、取 得 最 小 值 1,故 选：D.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 数 列 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 等 比 数 列 的 通 项 公 式，三 个 数 成 等 差 数 列 的 条 件，求 数 列 的 最 小 项，属 于 简 单 题 目.2.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 数 列%的 前 项 和 则 包 的 值 为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答 案】C【

7、分 析】利 用 q=84-83计 算.【详 解】由 己 知 知=邑 一 53=(42+4)-(32+3)=8故 选：C.3.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 等 比 数 列 的 前 项 和 为 Z，若 即 7,即 63,则 数 列 当,的 前 项 和 为()A.-3+(n+l)X2n B.3+(/?+1)X2nC.1+(加 1)义 2 D.l+(hl)X2”【答 案】D【分 析】利 用 已 知 条 件 列 出 方 程 组 求 解 即 可 得 应，求 出 数 列/的 通 项 公 式，再 利 用 错 位 相 减 法 求 和 即 可.【详 解】设 等 比 数 列 为 的 公 比

8、 为 Q,易 知 q W L邑=业=7i-qS6=-=63所 以 由 题 设 得 I 1一，两 式 相 除 得 1+炉=9,解 得 犷 2,进 而 可 得=1,所 以 a产 4 仁 1=2叽 所 以 na=nX2l.设 数 列 的 前 项 和 为&则 T,r X 20+2 X 21+3 X 22+-+/X 2r l,2 勿=1 X 242 X 22+3 X 23+X 2,1-2”两 式 作 差 得-=l+2+22+2门-义 2七 1-2-/7X2n=-l+（l-/7）X2S故 7；=l+（/2-l）X2.故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 求 等 比 数 列 的 通 项 公 式

9、问 题 以 及 利 用 错 位 相 减 法 求 和 的 问 题.属 于 较 易 题.%4.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 数 列 满 足=1,+，2%+1,则 数 列 4+J 的 前 项 和（）n n 2n nA.2/?-l B.2/7+1 c.2M+1 D.4/7+2【答 案】B【分 析】利 用 倒 数 法 求 出 数 列%的 通 项 公 式，进 而 利 用 裂 项 相 消 法 可 求 得 看.【详 解】已 知 数 列 4 满 足 弓=ian 1 1+2凡 1.%+】=%-77-=-二 一 十 2在 等 式 两 边 同 时 取 倒 数 得 4+1%1所 以，数 列 I

10、。是 等 差 数 列，且 首 项 为=1=1+2（-1）=2-1.a-14，公 差 为 2,则 凡，2-11 1 1A,A+（2M-1）（2M+1）22n-1 2+l因 此,故 选：B.【点 睛】使 用 裂 项 法 求 和 时，要 注 意 正 负 项 相 消 时 消 去 了 哪 些 项，保 留 了 哪 些 项，切 不 可 漏 写 未 被 消 去 的 项，未 被 消 去 的 项 有 前 后 对 称 的 特 点，实 质 上 造 成 正 负 相 消 是 此 法 的 根 源 与 目 的.5.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S”，=5,且 满 足%

11、2 二%.2-5 2-7,若 P,N*,p q,则 S-Sg 的 最 小 值 为（）A.-6 B.-2 C.-1 D.0【答 案】A【分 析】转 化 条 件 为 2-5 2 7,由 等 差 数 列 的 定 义 及 通 项 公 式 可 得 4=（2 3）（2-7）,求 得 满 足/的 项 后 即 可 得 解.【详 解】一 向 2-册 册.2因 为 2-5 2 一 7,所 以 2-5 2-7,卫=-1又 2-7,所 以 数 列 12 一 7J是 以 一 1为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列,所 以 击 7+2（-1）=2-3,所 以 3（2-3）（2-7）,3 J令/=（2 3）（2”

12、7）40 解 得 广，所 以 其 余 各 项 均 大 于 0,所 以 6P 一 Sg L=邑-B=生+%=1X（-3）+3X（-1）=-6故 选：A.【点 睛】解 决 本 题 的 关 键 是 构 造 新 数 列 求 数 列 通 项，再 将 问 题 转 化 为 求 数 列 中 满 足 为 4 的 项，即 可 得 解.6.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（文）已 知 数 列 的 前 项 和 为 S”且 满 足 4+3 S T=0（？2）吗=；3,下 列 命 题 中 错 误 的 是（）A.J 是 等 差 数 列 B.3 C.0 D.63 是 等 比 数 列【答 案】C【分 析】由%=S,-

13、S,T（2）代 入 得 出 S,J的 递 推 关 系，得 证 l5J 是 等 差 数 列，可 判 断 A,求 出 国 后，可 判 断 B,由 的 值 可 判 断 C,求 出 邑 后 可 判 断 D.【详 解】1-1-=3_ 22 时，因 为 为+35_1=0,所 以 S,-S._+3 S T=0,所 以 S,Sn_1,1-?所 以 2，是 等 差 数 列，A 正 确；1 1 c I 1S=q=-W=3=3+3（n-l）=3n S,=3,5,公 差 1=3,所 以，所 以 3”，B正 确；1 1ax=即=-3 不 适 合 错 误；3M,数 列 13+iJ是 等 比 数 列，D 正 确.故 选：c

14、.【点 睛】易 错 点 睛：本 题 考 查 由 数 列 的 前 项 和 求 数 列 的 通 项 公 式，考 查 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 判 断，在 公 式 为=S“-S,T中 2 2,不 包 含 胃,因 此 由 S.求 出 的 4 不 包 含 6,需 要 特 别 求 解 检 验，否 则 易 出 错.夕=S 卫 7.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 等 比 数 列 匕 的 前 项 和 为 S，若 公 比“25 6 4,则 数 列%的 前 n 项 积 T”的 最 大 值 为（）A.16 B.64 C.128 D.256【答 案】B【分 析】利 用 等 比 数

15、列 的 前 项 和 公 式 求 出 q=8,观 察 等 比 数 列 的 各 项 的 值 及 其 规 律，从 而 可 求 出 前 项 之 积 北 的 最 大 值.【详 解】1q=一 由 2所 以 数 列 J 为 8,-4,2,-1,2,4,前 4 项 乘 积 最 大 为 64.故 选：B.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 利 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 求 基 本 量 的 运 算，等 比 数 列 的 各 项 的 积 的 最 值 问 题，属 创 新 题.8.(2021 全 国 高 三 其 他 模 拟(理)已 知 数 列 M 满 足)=1，生+1=%，/+2 则 a+a2。128

16、=()A.1024 B.1101 C.1103 D.1128【答 案】B【分 析】由 数 列 的 递 推 关 系 得 出 与 之 间 的 关 系，然 后 计 S=%+旬+2+%“，可 归 纳 出 S/+1)与 S/)的 关 系 得 5()的 表 达 式，从 而 可 计 算 4+4+囚 28.【详 解】因 为 数 列 满 足=L2+I=%，“2+2=an+4+1(0),所 以 6=%=。7=-=。2、=1,+a 1+旬 F=,%+2=好+旬 T+1,旬+3=+1,，好=。2J+勺，设 S=%用+旬+2+.+%*所 以 5(左)=%*+%*+2+h a2*+,=3(%z+%T+2+。2*)+2。2

17、1-2%*=S(后-1)-2又 4=1,所 以 6=1,a2=2%=1,%=3,5(1)=%+%=4所 以 S/)1=3S 一 1 S(l)1=3 S(幻 一 1=3、即 S(%)=3+1所 以 q+4+，+128=+2+S(l)+S(6)=3+(3+1)+(3+1)+,+(3f,+1)=1101故 选：B.【点 睛】木 题 考 查 由 递 推 公 式 求 数 列 的 和，解 题 时 需 寻 找 规 律，解 题 关 键 是 记 S(外=4+旬+2+%”，然 后 通 过 项 的 关 系 得 S/)的 关 系，从 而 得 出 S/)的 表 达 式，然 后 可 求 数 列 的 某 些 和.二、填 空

18、 题%=1,5,=9.(2021 全 国 高 三 其 他 模 拟(文)记 S”为 等 比 数 列 a 的 前 项 和.若 4,则 S1二.5【答 案】8.【分 析】本 题 根 据 己 知 条 件，列 出 关 丁 等 比 数 列 公 比 夕 的 方 程，应 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式，计 算 得 到$4.题 目 的 难 度 不 大，注 重 了 基 础 知 识、基 本 计 算 能 力 的 考 查.【详 解】详 解：设 等 比 数 列 的 公 比 为 夕，由 已 知 33=+aq+a/=l+=,1 q+：=0即 41q=解 得 2%（1一 一）-（-；）4_5白 4=-=-：-=-1-（

19、4 8所 以 2【点 睛】准 确 计 算，是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求.本 题 由 于 涉 及 幕 的 乘 方 运 算、繁 分 式 分 式 计 算，部 分 考 生 易 出 现 运 算 错 误.一 题 多 解:S4=S3+。4=S3+a 本 题 在 求 得 数 列 的 公 比 后，可 利 用 己 知 计 算 1+(4)34,避 免 繁 分 式 计 算.10.（2021 山 东 高 三 专 题 练 习）我 国 古 代 数 学 家 杨 辉，朱 世 杰 等 研 究 过 高 阶 等 差 数 列 的 求 和 问 题，如 数 j（r t+l）j j 72（M+1）|列 I 2,就 是 二

20、阶 等 差 数 列，数 列 I 2 1（eN*）的 前 3 项 和 是【答 案】1 0【分 析】根 据 通 项 公 式 可 求 出 数 列 的 前 三 项，即 可 求 出.【详 解】a，（+l）因 为 2,所 以 q=1，。2=3,43=6l；|j S3=。+2+%=1+3+6=10故 答 案 为：10.【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 数 列 的 通 项 公 式 写 出 数 列 中 的 项 并 求 和，属 于 容 易 题.11.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 数 列 a 是 首 项 为 一 34,公 差 为 1 的 等 差 数 列，数 列 满 足 4+1 一=

21、2（e N*）,且=如，则 数 列 I 的 最 大 值 为.1【答 案】236【解 析】根 据 题 意，数 列 也 是 首 项 为 一 34,公 差 为 1 的 等 差 数 列，则=（-34）+1X（-1）=-35,加=37-35=2,对 于 数 列”满 足+1 一%=2（e N）,a,=b31=2,则 有 an-3 一 4+-4-2）+（。2-q）+q=（2T+2T+.+2）+2=22 T,数 列 的 通 项 为：a”2”,分 析 可 得：当=3 6 时，数 列 4 取 得 最 大 值，此 时 46 236.故 1答 案 为 2,6.点 睛：根 据 题 意，由 等 差 数 列 的 通 项 公

22、 式 可 得 数 列 也 J 的 通 项 公 式，进 而 对 于 数 列 S I,由 也-限）+（%-4）+4,计 算 可 得 数 列 4 的 通 项 公 式，即 可 得 数 列 的 通A.项，结 合 数 列 的 性 质 分 析 可 得 当=3 6 时，数 列 取 得 最 大 值，计 算 即 可 得 答 案.12.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（文）若 正 项 数 列 满 足”向 一/1,则 称 数 列 J 为 型 数 列，以 1 1,一 4W2 2-1 an+l 2 i满 足 的 递 推 关 系 分 别 为:=1 刊,%+1-2%=1,则 型 数 列 包,的 序 号 为.【答 案

23、】【分 析】根 据 型 数 列 的 定 义,逐 个 判 断 正 项 数 列“是 否 满 足+|一%1即 可.【详 解】对,因 为 一 片=1,且 正 项 数 列 的.故 吮=d+1 d+2勺+1=Q+1)2,故 勺+1 所 以 a+I-al成 立 1 1,-1 1,一 a-=1D=+1D a+=对，+i 册 a+i an a+1故+l a+l%+1 成 立.对“3-2。n 1=2al i+1 a；+2an+1=(an+1)故%M 4+1,1 成 立 综 上，均 正 确.故 答 案 为：【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 新 定 义 的 问 题，需 要 根 据 递 推 公 式 证 明 4+1

24、一%1.属 广 中 等 题 型.三、解 答 题 13.(2020 海 南 高 考 真 题)已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 也，满 足%+%=20,%=8.(1)求 6 J 的 通 项 公 式；(2)求 2a3+(一 1尸 64+1.2 L-1 W【答 案】(1)；(2)5 5【分 析】(1)由 题 意 得 到 关 于 首 项、公 比 的 方 程 组，求 解 方 程 组 得 到 首 项、公 比 的 值 即 可 确 定 数 列 的 通 项 公 式:-I f-1Y 1 a a.1(2)首 先 求 得 数 列 J的 通 项 公 式，然 后 结 合 等 比 数 列 前 项 和 公 式 求

25、解 其 前 项 和 即 可.【详 解】a2+a4=a,D,则,3=%/=8,整 理 可 得：2/-5 夕+2=0,/q l,q=2,q=2数 列 的 通 项 公 式 为：A=2 2I=2 由 于：S V%=2 x 2*4避 2-a2a3+(-1)”I anan+i=23-25+27-29+.+(-1)-22n+l23 1-(-22),*)=|-(-1)5【点 睛】等 比 数 列 基 本 量 的 求 解 是 等 比 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌 握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用，等 差 数 列 与 等

26、 比 数 列 求 和 公 式 是 数 列 求 和 的 基 础.14.(2020 天 津 高 考 真 题)己 知 4 为 等 差 数 列，4 为 等 比 数 歹 U,q=瓦=l,a5=5(&4-。3)也=4(“-4)(1)求 S 和 也 的 通 项 公 式;(I I)记 J 的 前 项 和 为 S”，求 证：S+2S,+i(eN)：(3%-2)亿。%+24=J也，(I I I)对 任 意 的 正 整 数，设 I】为 奇 数,为 偶 数.z 1求 数 列 的 前 2 项 和.4 6n+5 4【答 案】(I)=，=2；(H)证 明 见 解 析；(III)2+1 9x4 9.【分 析】(I)由 题 意

27、 分 别 求 得 数 列 的 公 差、公 比，然 后 利 用 等 差、等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 到 结 果;(11)利 用(I)的 结 论 首 先 求 得 数 列 前 项 和，然 后 利 用 作 差 法 证 明 即 可;(Ill)分 类 讨 论 n 为 奇 数 和 偶 数 时 数 列 的 通 项 公 式，然 后 分 别 利 用 指 数 型 裂 项 求 和 和 错 位 相 减 求 和 计 算 乙 C2k-*=和 的 值，据 此 进 一 步 计 算 数 列 I 的 前 2 项 和 即 可.【详 解】(1)设 等 差 数 列 的 公 差 为，等 比 数 列 4 的 公 比 为 q.由

28、6 T,%=5 应 一),可 得 0tl.从 而 4 的 通 项 公 式 为 4=.山 4=1也=4 但-4),又 4W 0,可 得 q2-4q+4=,解 得 于 2,从 而 的 通 项 公 式 为=2”.0”(+1)0=-(H)证 明：由(I)可 得“2,1 1 0 c,SS+2=1(+1)(+2)(+3)S：+=:(+1)(+2)故 4,4,SS+2-S；+|=-:(+1)(+2)0从 而 2,所 以 SS+2._(3%-2汝，_(3-2)2T _ 2田 2T(HI)当 为 奇 数 时，%+2(+2)+2，a.n-1cn=当 为 偶 数 时，以 1 2,对 任 意 的 正 整 数 n,入

29、21=Z有 I白 C k-1 1 3 522*2A+122*-2)2k T)二 12+12-3 2-1 4-：I-4-i 甲 1 3 5 2-3 2-1由 得 4 I 4 4 4 4 4 由 得 42/7-14a+14 V J 1 2-1 2 2 1 1 2-1 1 5 6+5 x-_ _ x _-1 4 4,+,3 3 4 4 4 4 12 3x4m由 于 匕 从 而 得：*=15 6/2+59 9x4因 此,2 Z，=Z，2*T+XC2X=k=k=k=4 2/1+16+5 49x4-54 6+5 4所 以，数 列 g 的 前 2 项 和 为 2+l 9x4 9.【点 睛】本 题 主 要 考

30、 查 数 列 通 项 公 式 的 求 解，分 组 求 和 法，指 数 型 裂 项 求 和，错 位 相 减 求 和 等，属 于 中 等 题.15.(2020 浙 江 高 考 真 题)已 知 数 列 aj,勿,圆 中，b%=4=C|=l,c=a+1-an,cn+i=U,c,(e N*)(1)若 数 列 小 为 等 比 数 列，且 公 比 夕,且 伉+仇=6 4,求 g 与 为 的 通 项 公 式;c+c+，+c,证 明：（e N）1 4n-+2q=N，a“=-.【答 案】（I）2 3.（II）证 明 见 解 析.【分 析】（I）根 据 4+4=6 4，求 得 q,进 而 求 得 数 列 c j 的

31、 通 项 公 式，利 用 累 加 法 求 得 数 列%的 通 项 公 式.（II）利 用 累 乘 法 求 得 数 列 k J 的 表 达 式，结 合 裂 项 求 和 法 证 得 不 等 式 成 立.【详 解】（I）依 题 意 4=112=0,所 以 解 得 4 2,所 以 b=-J-2一 i1,一 1 明=。-=4 6所 以 2 2,+|,故 2向，所 以 数 列 上 是 首 项 为 1,公 比 为 4 的 等 比 数 列，所 以 二 所 以。“+1一%=%=4i（N2,eN*）“北 2 代+24=q+1+4+4=-_ 所 以 3,又=1,符 合，4”T+2故“一 3.c,M=b”（H）依 题

32、 意 设“=（一 1）=+1一，由 于 孰”+2,c-b 2 2,N*)所 以 c T 4+1),c=_S_.L.1.C=M故*Cn-2 C2 q b,+-一-2-T-b?.b Gb.如 b4 bbb2 _ 1+d(1b b+i d bn1 b+i)X+1匚 b+i)(n 2),c.=1又 I，而 1+7_L_L、A b2d+1 d d+1 d _ x _x _ 1d bb2 d lx(/+1)C“故 1+(N1)所 以 G+Q+L+C L 1+1、7_L_L、2,+1 1、b?4)+L+1+7、7、7由 于 d o,4=l,所 以 加 所 以 1+x+l,iC+。2+.+C“45“=e+2

33、勺-3；数 列 也 为 等 比 数 列，且 3=2,&=16(1)求 凡，4；（2）求 数 列 3 的 前 项 和 4.T _ 1 A 2,1+5【答 案】（1），=2+1.=2 1 2”：【分 析】（1）由 递 推 式 可 得（见 一 q i-z X%+q-）=。，结 合 己 知 条 件 即 可 求 见，利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 瓦，q,写 出 通 项 公 式 即 可.（2）由（1）结 合 错 位 相 减 法 求 的 前 项 和【详 解】（1）“2 2 时，由 4S“=an+2a“-3得 45/1_|=an_x+2 a 3,所 以 4an=an an_+2an 2 a,

34、整 理 得（4%-i 一 2）（a“+%_）=0,又 a,。,所 以-I=2（2 2）,又 斜=片+2%-3,即 有 a：3=0,得=3或%=7（舍 去），所 以 是 以 q=3 为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列，则 有%=2+1.设 等 比 数 列 也 公 比 为 九 则 如=2,姐 4=1 6,解 得 4=1,g=2,则 有 a=2 i,2/2+1 3 5 7 2/+1（2）由 知 凡 也=k,则 骞 Y+5+A+k 1丁 3 5 7 2/7+1T=-H-7-F+4-.2 21 22 23 2 n 7；=6+4 1 一 出 i i-f i r2M+1、c 2=l(1)求 数

35、列“的 通 项 公 式;J-1 设 为 数 列 的 前 项 和，求 证：3注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.a n=【答 案】(1)3及 一 2；(2)证 明 见 解 析.【分 析】1 1(1)若 选 条 件，由 数 列 的 推 式 可 得“向 怎 3-,从 而 得 数 列%是 以 1为 首 项，3为 公 差 的 等 差 数 列，由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 求 得%的 通 项 公 式;-若 选 择，设 数 列 4 的 公 差 为&由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质 可 得 方 程(2+2d了=

36、(1+d)(l+5 d),解 之 可 得 以 的 通 项 公 式：1 1 1 1 32-M-1-1-1-1=-若 选 择，由 q 的 的 册 2得，当 2 2 时，1,1,1,1 3(-1)2-(-1)1,1-1-F d-=-为 出 四 2，两 式 相 减 可 求 得 见,从 而 求 得 S 的 通 项 公 式；b=a a.1=l(1_ M 由 得(3/?-2)(3+1)3(3-2 3+1人 运 用 裂 项 求 和 法 可 得 证.【详 解】a 1 1、1,1、Q+=-9-=3-1(1)若 选 条 件，产,3%+1%，又 勾，所 以 数 列 凡 是 以 1为 首 项，3为 公 差 的 等 差

37、数 列，=1+3(-1)=3-2,-,a=所 以 为 3/2-2；=+d,+1=2+2d,=1+5d若 选 择，设 数 列 a 的 公 差 为 d,则 4%4,1 1,1-F 1 因 为。2%a6 成 等 比 数 列，二(2+2)2=(l+d)(l+5),解 得=3 或 d=_ l；，=l+d=O 1 1 1当 d=_ 时，/.1-1，此 时 4 q%不 能 构 成 等 比 数 列，所 以=3,=1+3(/7-1)=3/7-2,.an=X所 以 4 3 一 21 1 1 1 3n2-w-1-1-1-1-=若 选 择，由%3%2 得，当 2 2 时,+L L.J=3(l)2(a2。3 an-21

38、 3 2 3(/2-1)2-(M-1),C 1丁=一-2-%=丁 一?(22),。两 式 相 减 得，a 2 2 所 以 3/7-2,当=1 时，6 1也 1适 合 上 式，所 以“3-2,=。,4+|(2)由(1)得-1-=i p _ _ _ q(3-2)(3+l)3(3-2 3/7+l J1 1 1所 以 T 1,1、/I 1、T-1=3(y)+L)3H-2 3/2+1 3 3/2+1 3 9+3 3故 T【点 睛】在 由 数 列 的 求 和 公 式 求 数 列 的 通 项 公 式 时，注 意 检 验=1 的 情 况 是 否 满 足 通 项 公 式 证 明 数 列 不 等 式 的 常 用

39、方 法 之-：放 缩 法，即 是 从 不 等 式 的 一 边 着 手，用 不 等 式 的 传 递 性 等 性 质，舍 去（或 添 上）一 些 正 项 或 者 负 项，扩 大 或 缩 小 分 式 的 分 子、分 母，逐 渐 适 当 地 有 效 放 大 或 缩 小 到 所 要 求 的 目 标，注 意 放 缩 时 要 适 度，否 则 就 不 能 同 向 传 递.在 数 列 求 和 型 不 等 式 证 明 中，一 般 来 说 有 先 放 缩 再 求 和 或 先 求 和 再 放 缩 两 种 形 式。若 数 列 易 于 求 和，则 选 择 先 求 和 后 再 放 缩；若 数 列 不 易 求 和，要 考 虑 先 放 缩 后 再 求 和.