高考数学复习第14讲双元同构、指对同构与二次同构思想（解析版）.pdf

《高考数学复习第14讲双元同构、指对同构与二次同构思想（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习第14讲双元同构、指对同构与二次同构思想（解析版）.pdf（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 14讲 双 元 同 构、指 对 同 构 与 二 次 同 构 思 想【典 型 例 题】例 1.设 实 数 相 0,若 对 任 意 的 x w(l,+o o),不 等 式 2e”-妈.0恒 成 立，则 实 数，的 取 值 范 围 是()mA.,+co)B.,-H)C.1,+00)D.e,+oo)2e 2【解 析】解：依 题 意，2/小-/火.0,即 2如 加 0,e2mx-In e.x ln x,设/(x)=xlnx(x 1),f x)=/nx+1 0,则 f(x)在 上 单 调 递 增，e.x 在(1,+1)虫，()=匚 竺，易 知 函 数 g(x)在(l,e)单 调 递 增，在(e,R)单

2、 调 递 减，X X-2m.g(x)“”=g(e)=-，则 m.X-e 2e故 选：A.例 2.设 实 数 帆 0,若 对 任 意 的 x e(0,e)，不 等 式 6皿-姐.0成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是()mA.1,+oo)B.,4-oo)C.e f+oo)D.,+co)2 e【解 析】解：法 一：原 问 题 等 价 于(e侬-也)喻.0,m设/(%)=e侬 一 蛆，m则(幻=加 八 一-mx令/。)=0,可 得 e加=，m x由 指 数 函 数 和 反 函 数 在 第 一 象 限 的 图 象，可 得 y=e，和 y=-有 且 只 有 一 个 交 点，设 为 3 力，n

3、rx当 x a 时，f(x)0,f(x)单 调 递 增，当 0 x a时，f x)0,/(x)单 调 递 减，即 有/(x)在 x=。处 取 得 极 小 值，且 为 最 小 值.即 有*=-,m af m in=e，a-=0,可 得。=C,?=Lm e则 当 机 时，不 等 式*、-妈.0恒 成 立，e tn则，的 最 小 值 为 1.e所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 为 上，+00).e法 二：泮-也 圃 o，n x*xlnx=lme,m,m令 f(x)=xex,f(x)=(x+)ex,则/(x)在(0,+00)上 单 增，当 x 0时，/(x)0,当 x v O 时，/(x)0,原

4、 不 等 式 等 价 于/(/nr)./(/lx),当 工(0,1)时，lnx 0,f(lnx)0 0,当 x s U，+oo)时，Inx.0,结 合/(x)的 单 调 性 知，恒 成 立，即 加.”在 1,+8)上 恒 成 立，X令 丫=处，y=lz，易 知 广 蛆 在 口，e 递 增 在 e,+8)递 减，X X Xy.=L 所 以 机 e e故 选：D.例 3.己 知 a 2恒 成 立，则 实 数 a 的 最 小 值 为(A.2e B.e C.D.-e 2e【解 析】解：不 等 式 炉 用/+。/心.0可 化 为 xelx-,7nx一“，即 友.6乜 磔，a v O,x 2,贝 女 一

5、1,ex,设/(x)=x/n x,则/(x)=/n x+l,%1 时，ff(x)0,/(x)是 增 函 数，所 以 由 exlnex.xalnx7a,得 e.xa,x.-alnx,一&,Inx所 以 x 2 时，-二 上 恒 成 立.Inx设 g(x)=-，贝 陵(幻=纸，Inx IrTx当 2 v x v e 时，gx)e时,gx)0,g(x)单 调 递 增，所 以 g(x)而“=g所 以 一 e,a.e.所 以。的 最 小 值 是-e.故 选：B.例 4.已 知 函 数/(x)=x+2+a/(o r).(I)求 函 数/(x)的 单 调 区 间；(I I)设 a 0,r e3.4,若 对

6、任 意 内，x2 e(0,1 且 不#，都 有|/(斗)-|求 实 数 4 N。的 取 值 范 围.【解 析】解：(I)已 知 函 数 f(x)=x+2+H(奴).f(x)=l+-,x当 a 0时，函 数 定 义 域 为(0,3),/(x)0恒 成 立，此 时.，函 数 在(0,4w)单 调 递 增；当 a 0恒 成 立，此 时，函 数 在(9,0)单 调 递 增.(II)a 0时，函 数 定 义 域 为(0,*),/*)在(0,1上 递 增，而 y=L 在(0,1上 递 减，X不 妨 设 0%轰%1，则 i/a)/5)i=/()一/(石)，即-1=-菁%工 2./a)-f(七)i，1，等 价

7、 于)-/(石)v)%x2%l|J f(xo)H V f(%)4X2%令 g(x)=/M+,=x+2+alnax)+x x(%)-J-L 等 价 于 函 数 g(x)在(0，1上 是 减 函 数，玉 七 t/.x XA令 g.(.x.)=-X-C-l-t=即 A rl X2 42-一 OX,t，o,X X X即+OXT,0在(0,1恒 成 立，分 离 参 数,得 4,-x X令 h(x)=-x,hx)=-y-l 0,故 实 数。的 取 值 范 围 为(0,2.例 5.已 知 函 数/(x)=e*-ar和 g(x)=ox-/nr有 相 同 的 最 小 值.(1)求。；(2)证 明：存 在 直 线

8、 y=b,其 与 两 条 曲 线 y=/(x)和 y=g(x)共 有 三 个 不 同 的 交 点，并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 列.【解 析】解：(1)/(x)定 义 域 为 R,fx)=ex-ax,fx)=ex-a,若 处 0，则/(x)0，/(x)无 最 小 值，故。0,当 r(x)=O 时，x=lna,当 g(x)=O 时，x=2，a当 时，r(x)0,函 数 f(x)在(/w,+oo)上 单 调 递 增，故 fMmin=flnd)=a-alna.g(x)的 定 义 域 为(0,+oo),g(x)=ax-lnx,-gx)=a.X令 g，(x)

9、=0,解 得 x=1，a当 0 x L 时，g(x)L 时，g(x)0,函 数 g(x)在 d，+oo)上 单 调 递 增，a a故 g。)而“=1+/加”，,函 数 f(x)=ex-ax和 g(x)=or-加 x 有 相 同 的 最 小 值/.a-alna=1+Ina,1.a0,a alna=1+Ina 化 为 Ina-=0，a+1令 h(x)=lnx,x0,x+1贝 i j/(%)=L 一=1 一 一 J=，X(X+1)2 x(x+l)2 X(X+1)2x 0,-L 1h(x)=,0 恒 成 立，X(X+1)2/i(x)在(0,w)上 单 调 递 增，又-h(1)=0，:.h(a)=h(1

10、),仅 有 此 一 解，:.a=.(2)证 明：由(1)知 a=l,函 数/(幻=/-x 在(YO,0)上 单 调 递 减，在(0,4*00)上 单 调 递 增,函 数 g(x)=x-/nx在。1)上 单 调 递 减，在(l,+oo)上 单 调 递 增，设 u(x)=f(x)-g(x)=ex 2x+lnx(x 0),则(x)=e*2+,e*-2,当 x.l 时，u(x).e-20,X所 以 函 数“(x)在(1,+00)上 单 调 递 增，因 为(I)=e-20,所 以 当 X.1时，U(X).M(1)0 恒 成 立，即/(x)g(x)0在 x.l时 恒 成 立，所 以 X.1 时,f(x)g

11、(x)因 为 0)=1,函 数 y a)在(0,+00)上 单 调 递 增，g(I)=1,函 数 g(x)在(0,1)上 单 调 递 减，所 以 函 数 f(x)与 函 数 g(x)的 图 象 在(0,1)上 存 在 唯 一 交 点，设 该 交 点 为/(机)(0加 1),此 时 可 作 出 函 数 y=/(x)和 y=g(x)的 大 致 图 象，由 图 象 知 当 直 线 y=b 与 两 条 曲 线 y=/(x)和 y=g(x)共 有 三 个 不 同 的 交 点 时,直 线 y=匕 必 经 过 点”(加，/(%),即。=/(/),因 为 f(jn)=g(m)，所 以 em-m=m Inm,即

12、 e,n 2m+Inm=0,f(x)=b=f(ni)M ex-x=em-m=m-Inm,解 得 x=或 x=。仍？，由 Ov 2Vl，得 加 加 vOvm,令 g(x)=h=x-lnx=en,-m=m-lnm,解 得 冗=机 或 x=e,由 0 v m v 1,W tn 0),g(x)=(x).x Inx(1)讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性；(2)当 4=1时，函 数/“)、g(x)满 足 下 面 两 个 条 件：方 程/(x)=g(x)有 唯 一 实 数 解 内)e(1,2)；直 线 y=/(x0)与 两 条 曲 线 y=/(%)和 y=g(x)有 四 个 不 同 的 交 点，从 左

13、 到 右 依 次 为 玉，x?,x3,问 是 否 存 在 1,2,3,4 的 一 个 排 列 i,j,k,I,使 得 王 弓=无 为？如 果 存 在，请 给 出 证 明；如 果 不 存 在，说 明 理 由.【解 析】解(I)/r(x)=z-(ox-l),X当&0 时，尸(x)vO,函 数/(x)在(0,+O0)上 单 调 递 减；当”0 时，对 于 xe(0,L),/(x)0，函 数/(x)单 调 递 增；a证 明：(2)由 a=l,/(x)=,当 x 0 时，/(x)+oo；当 X+8 时，/(x)4,X又 因 为 八 工)=二(工-1),所 以/(幻 在(0,1)上 单 调 递 减，在(l

14、,+oo)上 单 调 递 增，/*)*=/(1)；X由 g(x)=2-，知 当 X 1 时，(x)-4-00;当 X-+00，g(x)f+oo，Inx又 gx)=,可 知 g(x)在(l,e)上 单 调 递 减，在(e,+oo)上 单 调 递 增，gM,in=g(e)=e,(Inx)z Y令(x)=f(x)-g(x)=-即 当 x 1 时，h(x)0.x Inx结 合 条 件 中 方 程，(x)=g(x)有 唯 一 实 数 解%e(L2),知：当 xe(l,/)时，f(x)g(x),综 上，画 出 函 数 f（x）,g（x）的 简 图:小 送）八 初，贝 I X v 1 v W v/曰，e1,

15、lnx4 1,得&=/%,=-，由 A 1,lnx2 2 时，令 fx)0,即 一-e+a 0 o+-a v 0,即 e2x-aex+l 0,a-da2-4 x a+V-4-e-,2-2,a-la2-4.a 4-yja2-4.lit x 2 时，f(x)在 区 间(/-二-4,/+/一 匕 单 调 递 增,在 y J 伫 业 1),2 2 2(/+后 T,+8)单 调 递 减；(2)%，9(与/)是/(元)的 两 个 极 值 点，/.王，x2(x)0.要 证 明/(.一)0.就 是 证 明：+办 2)=2(e,-6-)+(-当)=2(*-0+a 2%.令 h(x)=ex-e-x-2x(x 0)

16、,则 h(x)=ex+e-*-2.2&，5-2=0,(x)=e，-e-x-2x 在 区 间(0,-KO)上 单 调 递 增，/.h(x)h(O)=0，.当 X 0 时，e*e-*2K 0恒 成 立,即 e2-e 2电 成 立.原 结 论 成 立.例 8.已 知 函 数/(x)=2x+a/x2(x0)在 x=l处 的 切 线/与 直 线 4x-y=0平 行，函 数 g(x)=/(x)+bx2-4x.（1）求 实 数。的 值;(2)若 函 数 g(x)存 在 单 调 递 减 区 间，求 实 数 6 的 取 值 范 围；(3)设%,%(不%)是 函 数 g(x)的 两 个 极 值 点，证 明：g(X

17、1)-g(X2)0),J U lJ/,(x)=2+(x0)x因 为 x=l 处 的 切 线/与 直 线 4 x-y=0 平 行，则 切 线 的 斜 率 为(1)=2+勿=4,解 得。=1；(2)解：由(1)可 得，函 数 g(x)=f(x)+bx2 4x=/u2+bx2 2x,则 g，(x)=-+2hx-2=-,X X因 为 函 数 g(x)存 在 单 调 递 减 区 间，则 g，(x)0,设 e(x)=2fev2-2x+2,则 被 0)=2 0,4 0所 以 只 需 生 0或 士 20,bA=4-16/70解 得&,0或 0 人，4故 实 数 匕 的 取 值 范 围 为(-0,；)；(3)证

18、 明：由 题 意 可 知，g(x)=2+2加 一 2=也 三 出，X X因 为 g(x)有 两 个 极 值 点 耳，&(氏)，所 以,超 是 处 x?-2x+2=0的 两 个 根，所 以 g（X）-g（x2）=（仇+如 2-2 为）一（。瑁+叱-2 X2）=2/H+b（x；x；）2（x 9）2 _ 2=2ln+-2（x,-x2）x2 X j+x2=2ln-(xl-x2),X 所 以 要 证 g(X1)-g(W)(2b-l)(X1-工 2),即 证 2ln(%|x,)(2/7 1)(4 X,),x2即 证/土 b(xt-x2),x2即 证/正 土 注，x2 X,+x2A-1即 证/土(土 一，J

19、 1X2令=工(0/1),*2则 证 明 加 3,f+1令 h(t)=Int-,r+1所 以 在(0,1)上 单 调 递 增，则(1)=0,BP Int,f+1所 以 原 不 等 式 g(X1)-g(x?)0,/(x)-/nx.(a+2)x+l恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.解 析 解：(1)fx)=(M y=e3t+3 M=(1+3x)eix,所 以 r(0)=1.又/(0)=0,所 以 曲 线 y=.f(x)在 点(0,f(0)处 的 切 线 方 程 为 了=九(2)解 法 l:/(x)-/nr凰 a+2)x+l=a+2 e3x-,X X令 g(x)=-1,则 g(x)=3

20、；+,X X X令(幻=3/、+阮 c,则(x)=6xe3+9de3*+10,所 以 阿 尤)是 增 函 数，X又 力(g)=_/3g-/3=/e-/3 0,由 零 点 存 在 定 理 及 人(x)是 增 函 数,知 存 在 唯 一 的 x0 G（-,1），使 得（%0）=0，当 x e/）时，（x）0,g%）v O,g（x）单 调 递 减,当 X(%o，+00)时，hx 0,g，(x)0,g(x)单 调 递 增,所 以 g(x)而=g(%0)=e*-毛 不 法 1（同 构 法）：由（工 0）=3看/玉+/啄=。，得 3*/%=历 _!_,即/丽 历/,令 p(x)=xlnx(x 1)则 pr

21、(x)=1+Inx 0,p(x)=xlnx(x 1)是 增 函 数,又 _ L i,e e=l,所 以 e3 M=工，与 与 两 边 取 自 然 对 数，W3x0=/n,即 3玉=%),所 以-也=3，%xo由，得 g(x)mil,=g(xa)=eyxa-她=3,于 是 4+2,3,即 q,l.所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是（-8,1.法 2（换 元 法）：由（与）=3片 e乐+lnx0=0,得 3&乐=In，令：X2e3x,=t,则 产）+3%+恤）=1*两 式 左 右 分 别 相 加，得 历（3x0）+3x0=t+ln t,In=t,=t.又 了=1+版 是 增 函 数，所 以

22、 3%=f=及,，所 以 一 如=3.由 3%=加 工，得/%=-!,七 与/X。由，得 g（x）*=g（xu）=eiXu-=3，于 是 a+2,3,即 凡 1.所 以 实 数。的 取 值 范 围 是(-8,小 解 法 2:f(x)-Inxfci+2)x+1 x e Inx(a+2)x 1 0 g+l Inx(a+2)x 1?0,先 证 明：e.x+l,当 且 仅 当 x=0 时 取 等 号，令、=-尤 一 1,则 y=e-l.所 以 y 0 o x 0；y 0 o x 0,所 以，函 数 y=e*-x-l在(YO,0)上 单 调 递 减，在(0,内)上 单 调 递 增，所 以，当 犬=0 时

23、，y*=0,所 以 e*-x-l.O.所 以 e，.x+1,当 且 仅 当 x=0 时 取 等 号,因 此 g3x+lm Inx-(a+2)x-1.(3x+Inx+1)-lux-(a+2)x-1=(1-a)x,当 且 仅 当 3x+/=0时 取 等 号,令 P(x)=3x+/nr,则 p()=l-加 30,又 p(x)为 增 函 数，由 零 点 存 在 定 理，知 存 在 唯 一 的 入 0(/(g)，使 得 pC)=3xo+/啄=0,所 以 y=/+加，一 历%-3+2)%一 1的 最 小 值 为(1 一)后,由 题 意,(1-C L)X.0 又 玉)0,所 以 1 a.0,即&1,所 以

24、实 数 的 取 值 范 围 是(-8,1.【同 步 练 习】一.选 择 题 1.设 a 0,若 对 任 意 的 xw(0,+oo),不 等 式 a*-阮 x.O恒 成 立，则 a 的 最 小 值 为()A.-B.C.-D.-e 2e e 3【解 析】解：对 任 意 的 xe(0,w),不 等 式 a/-阮 c.O恒 成 立，即*-妈.0恒 成 立，a函 数 y=*与 函 数=等 互 为 反 函 数，原 问 题 等 价 于*-X.0,则,X设/。)=妈，则/。)=上 雪，令 广(x)=0,解 得 X=e,易 知，/U U=/(e)=-.x x e故 a.l e故 选：A.2.已 知 函 数 f(

25、x)=ex-aln(ax-a)+a(a 0),若 关 于 x 的 不 等 式/(x)0恒 成 立，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为()A.(0,e2 B.(0,/)C.1,e2 D.(1,/)解 析 解：f(x)=ex-aln(ax 一 a)+a 0(0)恒 成 立,ex ln(x-1)4-Ina-1,acx 4-x Inci/H(X-1)+x 1,e-M+x-lna eh,(x-l)+ln(x-1).令 g(x)=ex+xf易 得 g(x)在(l,4oo)上 单 调 递 增,/.x-Ina ln(x-1),/.-Ina ln(x-l)-x.ln(x-V)-x,9 x-2-x=-2,-I

26、nci-2 0 a 0 恒 成 立，则 实 数 的 取 值 范 围 为()A.(，e)B.(，+oo)C.(，e)D.(e,4 o o)e e e【解 析】解：令 x=l,则 碇*0,.a 0.不 等 式 ae(lx Inx 0 恒 成 立 o axe xlnx,当 x w(0,1)时，/n x xlnx 恒 成 立；当 x(l,+co)时，令 g(x)=x/nx,(x.1)g 0,g(x)在 1,+8)单 调 递 增，即 eiLXlne(u xlnx 等 价 于 g(*)g(x),=6 心 不 在 口，+oo)恒 成 立.即 加;，。妈 在 口，+oo)恒 成 立.x令(%)=(工.1),则

27、(=!吧=0,可 得 x=e.x x(x)在(l,e)递 增，在(e,+oo)递 减，.(%)“*=h(e)=,a te ea 的 取 值 范 围 为(L+oo).e故 选：B.4.已 知 l恒 成 立，则 实 数 a 的 最 小 值 为()A.-B.-2e C.-D.-l恒 成 立,显 然/(X)是。,物)上 的 增 函 数，/.xIS-adnx=-a(二 一)疝“=e=?-e Inx故 选：D.5.若 对 任 意 x 0,恒 有 a(e+l).2(x+2)/m;，则 实 数 的 最 小 值 为()XA.41 2B.4 C.-1 2D.-e e e e【解 析】解：由 不 等 式 a(eax

28、+1).2(x+-)lnx,可 得 eax+.(x2+l)/nx2,X设/=Q+l)/m0),则-=加，+；+1,广=；q=与 1,故(f)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+00)上 单 调 递 增，因 此:./(1)=20,因 此 了 在(0,40)上 单 调 递 增，由/代)./)得 e R.f，即”竺，X,n设 g(x)=02bvc，g,(x)=2-2l nx，X X易 得 当 x e 时，g，(x)0,函 数 单 调 递 减，当 O v x 0,函 数 单 调 递 增,2从 而 g(x)m=8(e)=_,e故 e故 选：D.6.已 知 不 等 式 x+对 xw(l,+oo)恒

29、成 立，则 实 数。的 最 小 值 为()exA.y/c B C.e D.2e2【解 析】解：不 等 式 x+a/ir+-.在(l,+oo)上 恒 成 立，exB|J x+.xa-abvc=xa-lnxa 在(1,+oo)上 恒 成 立，ex即 ex-lnex.xa-lnxa 在(l,+oo)上 恒 成 立.设 函 数/(x)=x/nr,则 r(x)=l-=l,X X所 以/(x)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,长 0)上 单 调 递 增，即/(，./(尸)在(1,+00)上 恒 成 立.xe(l,+oo)时，ex(0,-),e根 据 选 项，只 需 讨 论 a 0 的 情 况，当 a

30、 l),Inx设 函 数 h(x)=,则(x)=,Inx(Inx)所 以 人(幻 在(l,e)上 单 调 递 增，在 g y)上 单 调 递 减，贝|J力(%)最 大 值=力(e)=-e,即.一 e.故 选：C.7.已 知 不 等 式 e”+/心.(a+l)x对 xw(l,+oo)恒 成 立，则 正 实 数。的 最 小 值 为()A.B.y/e C.e D.e2e【解 析】解：函 数 y=/r 在(0,+a)上 为 增 函 数，而 原 不 等 式 即 为 C1X.X bix=elnx Inx,ax.I.nx 即 Hrl a.；Inx，x令 人 f，i/(x)、=欣，则 m.|”,(.幻=-ln

31、x，X X令(x)0,解 得：0 e f故 力(x)在(0,e)递 增，在(e,yo)递 减,故(x)的 最 大 值 是(e)=-,e1.Cl.r fe故 选：A.二.填 空 题 8.已 知 函 数 f(x)=a e i-仇 x+,若 不 等 式 恒 成 立，则 实 数。的 取 值 范 围 为(解 析 解：由 f(x)=aex-lnx+Ina.A,移 项 得 aexx+lna.lnx+,即 e/w+v-1两 边 同 时 力(x-1)W eh,a+x+x+lna-.lnx+x,即 eb,a+xl+(x+Ina-1).Inx+ebtx,设 g(x)=x+ex,则 g(x)=1+r”0，所 以 g(

32、x)单 调 递 增，所 以 出 a+x-，即 xlnx+lna-l.O.hx)=x-hvc+lna-,则”(=1一，所 以(x)在(0,1)上 单 调 递 减，在(l,+oo)上 单 调 递 增，X所 以，力(幻 加=力(1)=1 M 0 所 以 a.1.故 实 数。的 取 值 范 围 为 1,-HO).9.若，一 上./优+。对 一 切 正 实 数、恒 成 立，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.【解 析】解：设/(幻=，一。一 仇-，(x0),则/(x)=-加 x-a.O恒 成 立，由 fx)=ex-a-,令(x)=e-,则 hx)=exa+0 恒 成 立，X X X.(x)=e，-L

33、(x0)为 增 函 数，令 e*-L=O得 x=x。，(x0),X X当 0cx/时 h(x)0,.(X)在(0,飞)递 减，在(%,+8)递 增，故/在 x=/处 取 得 最 小 值，故 最 小 值/(%)=*-lnx()-a.,0,因 为 淖，贝 I J/一 a=-/阿，%-F x()ci a.0 h i成，得 2%+x(),/%又-2,+x0(当 且 仅 当 x0=l时 等 号 成 立)，/.2a,2,即 4,1,a 的 取 值 范 围 是(-00,1.故 答 案 为：(-00,1.三.解 答 题 10.己 知 函 数 x)=x+2+H(ax).(I)求 函 数 f(x)的 单 调 区

34、间；(H)设 a 0,若 对 任 意 王，x,e(0,1,且 都 有 I/(%)X2)|3|L-L|,求 实 数”的 取 值 范 围.【解 析】解：0,函 数 定 义 域 为(0,+oo),fx)=+-=,广(x)0恒 成 立，此 时，函 数 在 X X(0,o)单 调 递 增；当 a 0,函 数 定 义 域 为(T O,0)，八；0=1+0=江 色，则 x+a0,x 0 恒 成 立，此 时，函 数 在 X X(0,g)单 调 递 增；(II)4 0 时，/(x)在(0,1 上 递 增，=在(0,1 上 递 减，X不 妨 设 0 斗 叫 1,则()/1(巧)1=1%)(%).X x2 Xj x

35、21/(%)-f(x?)|31-1 等 价 于 有/(%)/(%)3(-)，Xy x2%)x23 3HI/(x。/(玉)，Z 玉 令 g(x)=/(x)+=x+2+alnx+，x x./(%)/(尤 2)l3 J-L 等 价 于 函 数 g(x)在(0，1 上 是 减 函 数，%W即 f+以 _3,0在(0,1 恒 成 立，分 离 参 数，得 x,X令 人(x)=2 x,(幻=一 二 _i0,故 实 数。的 取 值 范 围 为(0,2.11.已 知 函 数 f(x)=x-alnxa G R).(1)求 函 数/(x)的 极 值；(2)求 证：若/(x).O对 x(0,+co)恒 成 立，贝！|

36、a=l；(3)设 a 0,对 任 意 的 0 西 0),X X若 4,0,则 r(x)0在(0,y)上 恒 成 立，/(幻 在。y)上 单 调 递 增，原 函 数 无 极 值；若 a0,则 当 w(0,a)时,ff(x)当/e(a,+oo)时,ff(x)0,.(%)在(0M)上 为 减 函 数，在 3”)上 为 增 函 数，则/(x)的 极 小 值 为/(a)=a-alna；证 明：(2)由(1)知，当 为 0 时，函 数/(X)在(0,y)上 是 增 函 数，而/(1)=0,.,.当 xw(0,l)时，/(%)0,与/(x).O恒 成 立 相 矛 盾，二 6,0不 满 足 题 意;当。0 时

37、，函 数/（X）在（a,E）上 是 增 函 数，在（0,。）上 是 减 函 数,f(x).f(a)=t7-l-alna-f(1)=0，.当“Hl 时，f(a)f(1)=0.此 时 与/(x).O 恒 成 立 相 矛 盾.a=；解:(3)由(2)可 知，当 a 0 时，函 数/(X)在(0,1 上 是 增 函 数，又 函 数)，=在(0,1 上 是 减 函 数，X不 妨 设 0%1领/2 1，则 心)/心)|=/(8)1心)，.1 7(%)I，41-1,即/(9)+4 x,/(%)+4 x.X,x2%2 X1 4 4设/z(x)=/(x)+=x-1-alnx+,x x则 I f(xj-f(x,)

38、|,4-I等 价 于 函 数(X)在 区 间(0，I 上 是 减 函 数 xi x2hx)=1 g=-字-,x2-ax-4 0 在(0,1 上 恒 成 立，x x x即 a./-3 在(0,1 上 恒 成 立，即。不 小 于 y=在(0,1 内 的 最 大 值.x x而 函 数 y=x 在(0,1 是 增 函 数，.y=x 3 的 最 大 值 为 3.x xCL.-3,又 a v 0,。-3,0).12.已 知 函 数/(%)二 工 一 1 一 a/nx,g(x)=,(a w R).x(1)当=一 2 时，求 曲 线 y=/(x)在 x=l处 的 切 线 方 程；(2)若 a v O,且 对

39、任 意 石，七(0,1,都 有 I/(%)-/()10,x故 函 数/(九)在(0,1 上 是 增 函 数，的 取 值 范 围.又 函 数 y=上 在(0,1 上 是 减 函 数 x不 妨 设 O v石 领 灯 1则&)/(%)1=f(%2)7(%)，.1 7(%)一/(尤 2)I，4|-1 即/(X2)+4 X/(X j)4-4 x,%x2 x2 x、4 4设 h(x)=f(x)+=x-1-alnx+，x x则 y a)-/区)，4 J-L 等 价 了 函 数 h(x)在 区 间(o，i 上 是 减 函 数，X x2因 为“(x)=_ g _ 3=一 如 一 4,所 以*2方-4,0在(0,

40、1 上 恒 成 立，X X XA、4即 a.x-2 在(0,1 上 恒 成 立，即。不 小 于 y=x-2 在(0,1 内 的 最 大 值，X X而 函 数 y=x-d 在(0,1 是 增 函 数，所 以 y=x-9 的 最 大 值 为 一 3,X X所 以.一 3,又 a v O,所 以-3 0).1 3.已 知 函 数/(x)=竺 和 g(x)=处 有 相 同 的 最 大 值.ex ax(1)求 a；(2)证 明：存 在 直 线 丁=人，其 与 两 条 曲 线 丁=/(%)和)=以 幻 共 有 三 个 不 同 的 交 点，并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等

41、比 数 列.【解 析】解：广 0)=幺 匕 2，g，(x)=K 二 2,ex ax)又/(x)与 g(x)有 相 同 的 最 大 值，:.a0,且 f(x)与 g(x)的 符 号 草 图 分 别 为:.,/(X)在(-00,1)上 单 调 递 增，在(1,内)上 单 调 递 减，g(x)在(T,e)上 单 调 递 增,在(自 内)上 单 调 递 减，.两 函 数 的 最 大 值 f(1)与 g(e)相 等，即 q=_ L,又 a 0,e ae.a=；(2)证 明：根 据(1)知 当 直 线 y=b 过 两 函 数 的 交 点 A 时，满 足 题 意，设 A(x,b),直 线 y=b 与 f(x

42、)在 A 的 左 边 交 点 为 尸(百，b),直 线 y=匕 与 g(x)在 A 的 右 边 交 点 为。(当，力，则 0 1，bvc3lne=,且 f(x)在(l,+oo)上 单 调 递 减,x2=bvc3，.二=1X2 12c3 b.X-,.3 _ 1,W b中 3.士,x2,七 成 等 比 数 列 故 原 命 题 得 证.1 4.已 知 函 数/。)=擀 和 8(幻=妈 鲁 有 相 同 的 最 大 值.(1)求 a；(2)证 明：存 在 直 线 丫=人 与 两 条 曲 线 y=/(x)和 y=g(x)共 有 三 个 不 同 的 交 点，并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横

43、 坐 标 成 等 比 数 列.【解 析】解：(1)/(x)=m 的 定 义 域 为 R,且 广(=詈，当 4,0 时，函 数 为 增 函 数，无 最 大 值，故 a 0,当 时，/(x)0,f(x)递 增；当 工!时，fx)0,/(x)递 减;所 以 皿=)=，1,j-Incixg(x)=9 的 定 义 域 为(0,yo),且 g，(x)=J X X,r z 0,I 1 I 1当 0 x 0,g(x)递 增；当 x-e。时，g，(x)0,所 以 4=1；证 明：(2)由(1)可 知:/(x)=W 在(-8,1)递 增，在(1,y0)递 减，且 x f+8,y f 0,则 当 直 线 y=b 经

44、 过 点 A 时，直 线 y=与 两 条 曲 线 y=f(x)和 y=g(x)共 有 三 个 不 同 的 交 点，则 且 三=6,歪=3=6,她=6,ex e 2 x2 x3因 为 方=工=处，ex x2所 以 a=答，即/(%)=/(生)，因 为 与 l,lnx2 Ine-1，且 f(x)=土 在(-oo,1)递 增,所 以%=lnx2,所 以&=旦=，%lnx2 b因 为 6=工=处，e&七 所 以=皑，即/(%)=%),e-e,因 为 电 1，/几 q 秘=1,且/(幻=一 在(1,+oo)递 减，ex所 以 马=欣 3，所 以 a=二=1,Xj InXy b所 以 生,=9=工，即 超

45、 2=占 用，x x2 b所 以 得 X，x2,七 成 等 比 数 列.1 5.已 知 函 数 f(x)=二 和 g(x)=.ex x(1)分 别 求 函 数 7(%)和 g)的 最 大 值;(2)证 明：曲 线 y=/(%)和 y=g(x)有 唯 一 交 点 P(x(),%),且 直 线 y=%与 两 条 曲 线 y=/(x)和 y=g(幻 共 有 三 个 不 同 的 交 点，从 左 向 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 比 数 列.【解 析】解：(1)由/。)=土，得 尸(x)=，_：x=T，ex(er e所 以 在(-8,1)上，f(x)0,/(x)单 调 递 增，在(1,

46、”)上，f(x)0,g(x)单 调 递 增，在(e,+oo)上，g(x)e e综 上 所 述，f(x)和 g(x)的 最 大 值 均 为 e(2)证 明：由(1)可 得 函 数“力 和 g(x)的 图 像 如 下:/(X)与 g(x)的 图 像 有 唯 一 交 点 P(x0,%),设,y j,。(鼻，%),贝 10项 1 e 即 王=工=她=旭 _=/，/因 为 她=咯,/e所 以 a=翳，即%)=/(也)，因 为 O X1,0 1,/()=三 在(1,。)上 单 调 递 减,所 以/=lnx3，即 x3=e,所 以 百 毛=hvc。,又 因 为 工=如，*不 所 以 片=1啄*,所 以%入

47、3=0，16.已 知 函 数/(x)-x+2a2/nx(a0)(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)若 f(x)存 在 两 个 极 值 点%，%,证 明：/U|)/(X 2)0),=1-8/,当 a.；时，,(),(x).0,则 尸(x).0,/(x)在(0,田)上 单 调 递 增，当 时，(),p(x)的 零 点 为 百=-凶-，X2=-包-,且 0 玉 0,得 0 X 出，令/(X)V 0,得 看 X%2，.J(x)在(匕 正 更，1+0)上 单 调 递 减,在(0,匕 正 M),(匕 正 豆，+00)单 调 递 增,2a 2a la 2a当 a(),p(x)的 零 点 为 l-J

48、l-8 a.J(x)在(0,&-8a3)上 单 调 递 增,在(1-J T 32a 2a4HX)上 单 调 递 减.(2)证 明：由(1)知，当 0 a 3 时，/(x)存 在 两 个 极 值 点,不 妨 设 0 内 工 2，则 玉+九 2二，要 证：王)一/区)a-)(占+刍)=_ 三,西 一 马 丹 占 X,X2 X2 Xl只 需 要 证！(内-x2)a(x+x2)-2+2a2ln,2%2%即 证 2/历 土 五+!(马)，%工 2%2设 好 土，(0 f 1),%2设 函 数 g)=2a2l n t-t+,tt2-2a2t+1 g)=/.=4a4-4 0,g)v O,，g 在(0,1)匕

49、 单 调 递 减，则 g(r)g(1)=0,1乂(%)一/)v 0,则 g(r)0；(Xi-)，则 2a2/-2+强(占 一%),x2 x2 百 2从 而 幺 止&2 _L+_L.七 一 刍 x,x217.已 知 函 数/(x)=ef-e*+ar,a&R.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)若 f(x)存 在 两 个 极 值 点%，证 明：/(%,)-f(x2)2 时，由/(x)=0 解 得 x=In-一 4 或=+W,:y=e，是 增 函 数，此 时/(%)在(-,/一-4)和(/na+,+2.ex,eXz=1,x(+x2=0,x,=x2不 妨 设 x x2 9.Xj 0,/(%)-

50、f(0)-(a-2)(d e*)=(eXi-eXi+咐)一 一 泊+cuc2)-(a-2)(er,一 e)=a(e 一*+2%),令 g(/)=eTd+2f(f0),g()=_e-，_d+2=_(e，+=)+2,-2 e+2=Q,e V e.gQ)在(0,yo)上 是 减 函 数，g(/)g(0)=0,a(eXl-ex+2x)0,即/(A,)-f(x2)0,6e/?).(1)当。=1,讨 论 g(x)在 R 上 的 零 点 个 数;(2)若 关 于 x 的 不 等 式 g(x)-/“+/(x)-x恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【解 析】解：(1)当。=1 时，g(x)=eJC-x