高考复习-3-5正余弦定理（精练）（基础版）（解析版）.pdf

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1、3.5 正 余 弦 定 理（精 练）（基 础 版）题 组 一 正 余 弦 定 理 公 式 选 择 1.（2022广 西 广 西,模 拟 预 测（文）在-A B C中,角 4 B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,5=30。，加 inA=l,则 a=()A.-B.1 C.2 D.4【答 案】c【解 析】由 正 弦 定 理,得 号=4,sin A sin B所 以 人 蛆 除 sm B.=2 故 选：C2.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 A A BC中，A=45。，C=30,c=6,则 a 等 于（)A.372 B.6&C.2瓜 D.376【答 案】B 6 x【解 析】由 正

2、 弦 定 理 得 三=三，a=坐-=-=6夜.故 选：Bsin A sin C sin 30 1223.（2022四 川 宁 南 中 学）在 中，角 A,B,。所 对 的 边 分 别 是 m b,c,若。=4,b=3,sinA=-f故 选：A贝|J 3=()7 1A.B.-c 717571C.;或 LD.9 或 2兀 6 3 6 6 3 3【答 案】A【解 析】由 题 意 可 得 5亩 8=如 上 23 X3 1,则 B=,或 8 T.因 为 4,所 以 8 A,所 以 8=g6a 4 24.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 一 ABC中，角 A B,C所 对 的 边 分 别 是

3、也 c,已 知 a=2,b=娓,B=三,则 人 二()C 2 九 一 5万 D-忆 或 7【答 案】B【解 析】由 正 弦 定 理 可 得 号=二，则.A asinfi 工 血.sinA sinB sinA=-=-r=b V6 2TV因 为，所 以 A 故 选：B.5.（2021 宁 夏 青 铜 峡 市 宁 朔 中 学）在 中，人 从 c分 别 为 内 角 A、8、C 所 对 的 边，若 a=8,B=6O。，C=75,则 人=（）A.4夜 B.C.4A/6 D.32【答 案】C【解 析】因 为 8=60。，C=75,所 以 4=180。一 60。-75。=45。，因 为 一=一 丝，sin A

4、 sin B8 x 3所 以 匕=丝 邛=_ _=4 故 选：c.sin A V2T6.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）A A 8 C 的 内 角 人 民 C 的 对 边 分 别 为 a、/c,若“=4,b=3,c=2,则 中 线 A。的 长 为（）A.75 B.V10 C.亚 D.叵 2 2【答 案】D【解 析】如 图，由 余 弦 定 理 得 AB2=D 42+Q B 2 _ 2 D 4 Q 8 COSN A Q B,AC2=DA2+DC22DA DCCOSZ A D C,又 cos/AZ）8=-cosNAZ）CAB D C两 式 相 加 得 482+4。2=242+82+2,g

5、p 22+32=2D/l2+22+22,：.2DA2=5,：.DA=-.i：D27.（2021.云 南 丽 江 第 一 高 级 中 学）在 中，角 A,B,C 所 对 边 分 别 为 a,b,c且 b：c=3：5：7,则 cosC=.【答 案】【解 析】.:江。=3:5:7,.设 A=3,=5,C=7,;.cosC=-十 一 厂=9+2 5-4 9=一 二 故 答 案 为:_1.lab 2x3x5 2 28.（2022上 海 市 奉 贤 中 学）在 二 AfiC中，已 知 a=8,6=5,c=Ji羽，则 A B C 的 面 积 S=.【答 案】12【解 析】：。=8,b=5,c=V153，根

6、据 余 弦 定 理 得 c o s C=-,2ab 2x8x5 5i Q 1 1 Qsin C=J cos C/.S 6z/?sinC=x 8 xx=12，故 答 案 为：12.9.（2022 上 海 市 实 验 学 校 高 三 阶 段 练 习）在 一 ABC中，内 角 4 氏。成 等 差 数 列，则 sin%+siY C siM sinC=【答 案】434【解 析】由 内 角 A a C成 等 差 数 列，知：26=A+C,而 A+B+C=乃，jr=而 由 余 弦 定 理 知：b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac，山 正 弦 定 理 边 角 关 系，得：sin2 8=sin2

7、A+sin2C-sinA sinC=j 故 答 案 为：4 410.（2022上 海 市 宝 山 中 学）A 3C的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 呢 b、c,已 知 a=石,c=2,cosA=与，则 6=【答 案】4【解 析】由 余 弦 定 理 片=+02 一 2历 cos A得 5=y+4-4 x与,4后-1 5 5-4=0，解 得 匕=4 或 6=，（舍 去）.故 答 案 为：4.4题 组 二 边 角 互 化 1.（2022 四 川 达 州 二 模）在.A 8C中，A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a也 c,2从 sin A=+，合，则 人=（）九 r K 八 冗 71

8、A.B.-C.-D.一 6 4 3 2【答 案】B2 2 _ 2【解 析】由 2/7csin A=b?+/-a?得：sin A=-=cos A,B J tan A=1,2hc-r r4 w（0,乃），A=i.故 选：B.2.（2022 四 川 泸 州 二 模）ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 csin A=G cosC,c=2。，ab=S9则 a+Z?的 值 是（）A.6 B.8 C.4 D.2【答 案】A【解 析】因 为 csin A=/acosC,根 据 正 弦 定 理 得 到：sin C sin A=/3 sin A cos CsinAwO 故 得

9、 到 tanC=J 5 C G(O,7T).C=y再 由 余 弦 定 理 得 到：c o s c/+J 2=(伫 3 二 2 叱 代 入 c=2 6,ab=8,得 到 a+A=6.2ab lab 2故 选：A.3.(2022安 徽 马 鞍 山 一 模)3 知 A B C的 内 角 A,&C的 对 边 分 别 为 a,b,c,设(sinB+sinC)2=sin2 A+(2-/2)sinBsinC,/2sinA-2sinB=0,贝!J s i n C=()A.|B.3 C,R-近 D.2 2 4 4【答 案】C【解 析】在 ABC中,由(sinB+sinC fusinA+Q-亚)sinBsinC

10、及 正 弦 定 理 得：(b+c)2=a2+(2-y2)bc,即+02 一 病=_ J为 c，由 余 弦 定 理 得：COSAJ W M=-变,而 0 A 180,解 得 A=135,2bc 2五 1由 0 sin A-2 sin 8=O 得 sinB=J s i n A=,显 然 0 B 9 0,则 8=3 0,C=1 5,2 2/7 _ JZ所 以 sinC=sin(60-4 5)=sin60 cos45-c o s 60 sin45=-.故 选：C44.(2022四 川 乐 山 市 教 育 科 学 研 究 所 二 模)设 一 ABC的 内 角 A,B,。所 对 的 边 分 别 为 m b

11、,c,且 C+tan A+tan 8=0,则 A=()cos BA.-B.-C6 4【答 案】D【解 析】由 题 意 知，力 二=-(tan A+tan B),acosB acosB cos A cos B)百 C y3c-cos A=-(sin A cos B+sin B cos A),-cos A=-s in(A+3)=-sinC,由 正 弦 定 理，得 正 叫 cosA=-sin C,又 s in C w O,所 以-cosA=-l,sin A sin A2万 即 tanA=-J J,由 0 A,得 A=-.故 选：Djr 15.(2022广 西 高 三 阶 段 练 习)已 知，ABC

12、中，C=-,-a=(2b-c)cosA,则 8=.【答 案】y【解 析】=(2/7-c)cosA,根 据 正 弦 定 理 得，gsinA=2sinBcosA-sinCcosA,又 3=。5(7,n 2兀 D.3It3sin A sin Bsin A cos C+cos/Asin C=2 sin Bcos A,sinB=2sinBcos A：8 是 三 角 形 内 角，.入 山 理 0,.cosA=g,是 三 角 形 内 角，小=.故 答 案 为：y.6.（2022广 西 高 三 阶 段 练 习）在 3 A B e中，b=acos2B+ZcosAcosB,sin C=，b=3,则 c 的 值 为

13、 3【答 案】2百【解 析】1 人=。8528+力 8；4 8 5 8,根 据 正 弦 定 理 得，sin B=sin Acos2 B+sin Bcos Acos B，sin B=cos 5(sin Acos B+cos Asin B),?.sinB=cosBsinC,tanB=sinC=，VB 是 三 角 形 内 角，A B=,3 6c 卜 bsnC _ 6 H由 正 弦 定 理，=A 得，c=飞 港=7=2 3 故 答 案 为：2 Gsin C sin B-7.(2022吉 林 长 春 模 拟 预 测(理)已 知 ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 外 二

14、 照 场,C l Z.D C贝 I 4=.【答 案】y(解 析】由 正 弦 定 理 可 知，.CT。G,整 理 得 sin AcosC+cos Asin C=2sin Bcos Asin A 2sin n-s m C即 sin(4+C)=2sin B cosA,sin B=2sin 8 c o sAI J T T T因 为 sinbw O,A E(0,乃)所 以 cosA=A=g 故 答 案 为：2 3 38.(2022.上 海 市 建 平 中 学 高 三 阶 段 练 习)AABC中，a,b,c 分 别 为 角 A,B,C所 对 的 边.若(6/+/?+c)(sin B+sin C-sin A

15、)=3b sin C,则 A=.【答 案】y【解 析】结 合 正 弦 定 理 可 得（a+b+c）（b+c-a）=3 6 c,即（b+c p/=3%,故 加+/一=儿,所 以 cosA=+c 2=生=2,因 为 A e(0,所 以 A=f,故 答 案 为：g2hc 2bc 2 3 39.（2022黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 阶 段 练 习）在-/IB C中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 是，b,c,满 足 2a=b+c,sin B=#sin C，贝 U cos B=.6【答 案】二 4【解 析】因 为 sinB=#s i n C,所 以 由 正 弦 定 理 得 人=辰，k=

16、&b+c,所 以 可 得 a=2 c,所 以 6o 2 f)A 2/n a-+c-b-4c-+c-6 c-cos B=-=-T.故 答 案 为：lac 2 x2cxc题 组 三 三 角 形 的 面 积 1.（2022吉 林 德 惠 市 第 一 中 学）在 ABC中，内 角 A 氏 C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,4 4=60。=2,S则,ABC的 外 接 圆 直 径 等 于（）A.也 B.垣 C.逑 D.2石 2 3 3【答 案】C【解 析】S A B C=hcsin A=y/3,可 得 c=2,由 余 弦 定 理 得/=十 2 一 o s A=4,故 a=2,由 正 弦 定 理 得

17、 2R=乙=生 巨 故 选：Csin A 32.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 AfiC中，a,b,c 分 别 是 角 A,B,C所 对 的 边，若.C 的 面 积 则 0=（）A.生 B.空 3 3C.里 D.包 4 6【答 案】C【解 析】由 5 八 叱=彳。加 i n C,得,=O s in C 整 理 得:c*2=a2+b2-2absinC2 4 2S=*a 2 T-+丁.在 _ABC中，若/s i n C=6sinA,（q+c）?=1 6+,则 用“三 斜 求 积”公 式 求 得.A B C的 面 积 为（）A.9 B.73 C.2 0 D.4夜 2【答 案】C【解 析

18、】因 为 sinC=6sin A,所 以 a2c=6 a,即 a?=6,又（a+c1=16+/，+c2-h=4 所 以 S=g 3 6-4=2夜,故 选：C4.（2020.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知.ABC中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为。，b,。，若 a=4+2 0-c，由 余 弦 定 理 得：c2=a2+b2-2abcosC 即 sinC=-c o s C,H|J tan C=-137r又 C e（0 7）,解 得。=一.故 选：C.3.（2022内 蒙 古 赤 峰 模 拟 预 测（理）我 国 南 宋 著 名 数 学 家 秦 九 韶 提 出 了 由 三 角 形 三

19、边 求 三 角 形 面 积 的“三 斜 求 积”公 式，设：C 的 三 个 内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,面 积 为 S,“三 斜 求 积 公 式 表 示 为3tan A=x/l，cos C=,J/J i J ABC 的 面 积 为（）4A.477 B.2不 C.714 D.#7【答 案】D【解 析】依 题 意 tan A=-夕，cosC=，所 以 A 为 钝 角，B,C为 锐 角.4当=-5 他 夕 一 9 A 3cos A,解 得 smA=-,cos A=-.sm.2 Ax+cos2 Ax=i 1 4 4V14sin C=V l-co s2 C=.由 正 弦 定

20、 理 得,1-=3,=丘 c.4 c sine V74a=5/2c 厂 由 b c 所 以 历 4 4,当 且 仅 当 b=c=2 时，取 等 号，则 以 A sc=c sin A=0 k 5 所 以，ABC的 面 积 的 最 大 值 为 G 故 选：B.6.（2022天 津 市 宁 河 区 芦 台 第 一 中 学）在 一 4 3 c 中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,已 知 c=J F,C=y,S A B C=3 n,则 a+b=【答 案】7【解 析】S A B C=a h sm C=3 y/3,得 必=12 由 余 弦 定 理 得/=/+_ 2 c o sC,3=a

21、2+b2-a h可 得（0+0）2=13+12x3=4 9,故 a+b=7 故 答 案 为：7题 组 四 判 断 三 角 形 的 形 状 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）4 3 c 的 三 边 长 分 别 为 4,5,7,则 该 三 角 形 的 形 状 为（）A.没 有 满 足 要 求 的 三 角 形 B.锐 角 三 角 形 C.直 角 三 角 形 D.钝 角 三 角 形【答 案】D【解 析】因 为 4?+5 2 7 2,由 余 弦 定 理 易 知，最 大 角 为 钝 角，该 三 角 形 为 钝 角 三 角 形.故 选：D.2.（2022江 苏 高 三 专 题 练 习）在 A S

22、C中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为“，b,c,若 ccos8=a,则 这 个 三 角 形 的 形 状 为（）A.直 角 三 角 形 B.等 腰 三 角 形 C.锐 角 三 角 形 D.等 腰 或 直 角 三 角 形【答 案】A【解 析】因 为 ccosB=a,所 以 由 余 弦 定 理 可 得 C上 士=4,即/+02一 从=%22ac所 以 2=/+/,所 以 三 角 形 的 形 状 为 直 角 三 角 形 故 选：A3.（2022内 蒙 古 通 辽 高 三 期 末）ABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,h,c,c2+b2cos2 A=2bccosA,则 一

23、 ABC为（）A.等 腰 非 等 边 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.钝 角 三 角 形 D.等 边 三 角 形【答 案】B【解 析】由+（AcosA）-2cbeosA=0,可 得（c-A cosA）=0,所 以 c=6 c o s A,所 以 sinC=cosA sin8.在，ABC 中，sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B,故 s in A 8 s B=0,因 为 s in A w O,所 以 cos3=0,因 为 0 8 兀，所 以 B=,故，ABC为 直 角 三 角 形.故 选：B4.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知;.A

24、3 C中，三 内 角 A,B,C满 足 2B=A+C,三 边。也 c满 足=双，贝 k ABC是（）A.直 角 三 角 形 C.等 边 三 角 形【答 案】CB.等 腰 直 角 三 角 形 D.钝 角 三 角 形jr【解 析】ABC中，28=A+C且 A+B+C=4,A B=-,jr 1将=a c，B=飞 代 入 余 弦 定 理=/+c2 laccos B ac=a+c2,2acx,化 简 可 得（a c）2=0,即=c,rr又 8=9，由 等 边 三 角 形 判 定 定 理 可 知 AABC为 等 边 三 角 形.故 选：C.5.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）在 4 3 c 中

25、，内 角 A,8,C所 对 的 边 分 别 为 则 苫=上 空”是“ABCb cos A是 等 腰 三 角 形 的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】D【解 析】在 ABC中，由：=里 结 合 余 弦 定 理 得：+d=6.a2+c、”,整 理 得：b cos A 2bc laca2c2-a4=h2c2-h4,即（a2-h2）（a2+h2-c2）=O,则 a=6或/,二 人 以？为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形，/7 ccq R即“丁 二-7”不 能 推 出“，A 5C是 等

26、腰 三 角 形 1 而 A 5C为 等 腰 三 角 形，不 能 确 定 哪 两 条 边 相 等，不 能 保 证 b cos A有 壮 笔 成 立，b cos A所 以，3=吧 4”是“A 8C是 等 腰 三 角 形”的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.b cos A故 选：D6.（2022.西 藏 拉 萨 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）在 ABC中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为。，h,。，满 足 acosA=bcosB,则 二 ABC的 形 状 为（）A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.等 腰 或 直 角 三 角 形【答

27、 案】D 在 3ABe 中，对 于 acosA=bcosB,由 正 弦 定 理 得:sin Acos A=sin Bcos B,即 sin2A=sin 2 B,TT所 以 2A=2 3或 2A+2 3=万 即 A=B或 A+8=.所 以 一 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.故 选：D7.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 将 直 角 三 角 形 的 三 边。，h,。分 别 增 加 1个 单 位 长 度，组 成 新 三 角 形，则 新 三 角 形 是（）A.锐 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.钝 角 三 角 形 D.无 法 确 定【答 案】A【解 析】由 题

28、 意，不 妨 设 为 直 角 三 角 形 的 斜 边，故/=从+,2各 边 增 加 1,可 得 三 边 长 为:a+,b+,c+此 时 a+1为 三 边 中 最 长 的 边，故 所 对 的 角 是 新 三 角 形 的 最 大 角，不 妨 设 新 三 角 形 最 大 角 为 aa s&=S+1)+(C+1)2-(4+1)2=2 S+r)+l 2 3+l)(c+l)2(ft+l)(c+l)由 于“，b,c 为 三 角 形 的 三 条 边，故 h+c a.cosa 0,又 a e(0,i)a 为 锐 角 新 三 角 形 的 最 大 角 为 锐 角，故 新 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 故 选：

29、A8.(2022.全 国.高 三 专 题 练 习)在 _ABC中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为“，b,c,若 bcosA=c s in B-a c o s 8,则.ABC是()A.等 腰 三 角 形 B.等 边 三 角 形 C.直 角 三 角 形 D.等 腰 直 角 三 角 形【答 案】C【解 析】因 为 8cosA=csinB-a c o s 8 由 正 弦 定 理 化 边 为 角 可 得：sinBcosA=sinC sinB-sin AcosB,所 以 sin Csin B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+=sin(兀 一 C)=sin C,TT因 为 s

30、 in C w O,所 以 sin 8=l,因 为 0 8 兀，所 以 3=万，所 以,ABC是 直 角 三 角 形，故 选：C.9.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)在 A 3 C中，若 满 足，二(2 则 该 三 角 形 的 形 状 为()h cos(2/r-A)A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形【答 案】D【解 析】由 正 弦 定 理 可 得 sin A，皿 2 十 _ cos 3,所 以 sin Acos A=sin B cos B,sin B b cos(2/r-A)cos A所 以

31、 sin2A-sin2B=0,所 以 sin2A-sin2B=2cos(A+B)sin(A-3)=0,所 以 cos(A+8)=0 或 sin(A-8)=0,TT TT因 为 A+B e(0,%),A-B w(-兀、储，所 以 A+8=或 A-8=0,所 以 C=或 A=8,2 2所 以 是 直 角 三 角 形 或 等 腰 三 角 形，故 选：D310.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)4?C 的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为。力,。，已 知 cos2A 2cos4+5=0且)满 足 q=K（O-c）,则，A 3C的 形 状 是（A.等 腰 三 角 形 B.直 角 三

32、角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.等 边 三 角 形【答 案】B【解 析】cos2A-2cosA+=2cos2 A-l-2 c o s A+=0,解 得 cosA=1，A=,贝=2 2 2 3 3a=b S-c）,由 正 弦 定 理 得 sin A=石（sin 8-s in C）,v3 6 2万.V3 1.1=5/3 sin(-C)sinC,cosC+sin C-sin C=,2 3 J 2 2 2(1 1 r-j-i 八 c 2兀.7 F 7 T 7 T.T C _,7 Ts i n-C=,因 为 0 v C,.-C 一,-C=一,3 2 3 3 3 3 3 6T T 1 T：.c

33、=-,B=-,ABC是 直 角 三 角 形、故 选：B.6 2题 组 五 三 角 形 解 个 数 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）满 足 条 件 a=4,b=3历,A=45。的 三 角 形 的 个 数 是（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.不 存 在【答 案】B【解 析】在 ABC中，因 为。=4,人=3&，A=45。，由 正 弦 定 理 一 三=，可 得 sin8=3 s in 4 5=,sin A sin B a 4 4因 为 4 3&，即 则 0 8 135有 两 解，所 以 三 角 形 的 个 数 是 2 个.故 选：B.2.（2022.全 国.高 三 专 题 练

34、习）在 AB。中，根 据 下 列 条 件 解 三 角 形，则 其 中 有 两 个 解 的 是（）A.Z?=10,A=45o,C=70C.a=5,b=1,c=8【答 案】D【解 析】对 于 A 选 项，；A=45。B,a=60,c=48,3=60D.。=14力=16,A=45C=70,：.B=6 5,又 b=10,由 正 弦 定 理-7=刍=今 得:sin A sin B sm Cl n近 71 0 xT._ 5,sin 65 sin 651 Osin 70C-sin 65三 角 形 三 边 确 定，此 时 三 角 形 只 有 一 解，不 合 题 意;对 于 B 选 项，,“=60,c=48,6

35、=60,由 余 弦 定 理 得：b2=a2+c2-2accosB=3600+2304-2880=3 0 2 4,0,三 角 形 三 边 唯 一 确 定，此 时 三 角 形 有 一 解，不 合 题 意；对 于 C 选 项，a=5,b=7,c=8,三 边 均 为 定 值，三 角 形 唯 一 确 定，故 选 项 C 不 合 题 意；a h.,近 对 于 D 选 项，a=14,b=16,A=45。，.由 正 弦 定 理，：=一 七 得：三.4收&,ab,:A5=AB,45 B 1 3 5，.二 8 有 两 解，符 合 题 意，故 选：D.3.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在 ABC中，”=

36、石，h=3,A=j 则 此 三 角 形（）6A.无 解 B.一 解 C.两 解 D.解 的 个 数 不 确 定【答 案】C【解 析】在 ABC中，a=6 6=3,A=,由 正 弦 定 理 得$布 8=竺 上=二 5=且 1，而 A为 锐 角,6 a g 2h.a b,则 B=g 或 8=斗，所 以 工 ABC有 两 解.故 选：C4.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若,A 3 C的 内 角 A,8,C所 对 的 边 分 别 为“，b,c,a=80,b=100,A=30。，则 B 的 解 的 个 数 是（）A.2 B.1 C.0 D.不 确 定【答 案】A【解 析】由 正 弦 定 理

37、知，三=工，即 1 黑=1，解 得 sinB=：,smA sin B sin 30 sin 8 8又 8 w（0,;r）,由 一 角 函 数 性 质 知 角 8 由 两 个 解，当 角 8 为 锐 角 时，满 足 A+B 乃，即 存 在；当 角 8 为 钝 角 时，cosB=-叵，sin（B+A）=.坐+8 8 2=5 6-国 2 16则 满 足 A+5/3【答 案】B【解 析】由 已 知，C 到 直 线 AB的 距 离 为 8sinC=b,所 以 当。=且 匕 或 人 时，即 匕=2 6 或 人 时，3 2 2满 足 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个.所 以 对 于 A,符 合

38、“士 从 故 三 角 形 有 一 解；T T对 于 B：当 6=4时，符 合 b s i n v a v。，故 三 角 形 有 两 解；对 于 C：符 合 a 2 b,故 三 角 形 有 一 解；对 于 D：符 合 a=B b,故 三 角 形 有 一 解.2故 选：B.6.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)在 M C 中，角 A B,C所 对 的 边 分 别 为 a,0,c,下 列 条 件 使 ABC有 两 解 的 是()A.b=2,c=,A=3O B.a=8,B=45,C=65C.a=3;c=2,A=30 D.a=3立,b=4,B=45【答 案】D【解 析】选 项 A.由 余 弦 定

39、 理 可 得 a 2=+c2-2bccosA=4+l 2 x l c 2 x=5-2 62ABC的 三 边 分 别 为 H=2,c=l,a=，5 2 6,所 以 满 足 条 件 的 三 角 形 只 有 一 个.选 项 B.8=4 5,C=65,则 A=7 0,由 正 弦 定 理 可 得 b 8sin B sin C sin A sin 70所 以 力=吧*，。=吧*，A 4 c的 三 边 为 定 值，三 个 角 为 定 值，所 以 满 足 条 件 的 二 角 形 只 有 一 个.sin 70 sm 70选 项 C.由。=3;c=2,A=30,则 由 正 弦 定 理 可 得，=丁=一=.：C。=

40、6sin B sinC sin A sin 302 1所 以 sinC=z=；,由 则 A C,所 以 角。为 一 确 定 的 角，且 3 0 C 0。，6 3则 角 角 8 为 一 确 定 的 角，从 而 边 方 也 为 定 值，所 以 满 足 条 件 的 三 角 形 只 有 一 个.选 项 D.作 NB=45。,在 DB的 一 条 边 上 取 BC=a=3应，过 点 C 作 S 垂 直 于 D 8的 另 一 边，垂 足 为 则|8|=3,以 点 C 为 圆 心，4 为 半 径 画 圆 弧,因 为|CH|4 3近=a,所 以 圆 弧 与 D 8的 另 一 边 有 两 个 交 点 A，4所 以

41、 BAC B&C均 满 足 条 件，所 以 所 以 满 足 条 件 的 三 角 形 有 两 个.故 选：D7.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 ABC的 内 角 4,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,c,若 a=6，b=2,A=，6则 满 足 条 件 的 qABC（）A.无 解 C.有 两 个 解【答 案】CB.有 一 个 解 D.不 能 确 定【解 析】因 为“=忘 6=2，A=f,6由 正 弦 定 理 可 得 二=工，8 A,所 以 sinB=2sinA=变，sin A sin B a 2因 为 B为 三 角 形 内 角，所 以，因 此 8=f 或 8=手，6 6 4

42、 4若 8=：,则 C=W 符 合 题 意；若 8=苧，则 C=,符 合 题 意;4 12 4 12因 此 A 8C有 两 个 解；故 选：C.题 组 六 几 何 中 的 正 余 弦 定 理 1.（2022.陕 西.模 拟 预 测）已 知 一 ABC的 内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 C=60。，a=3,SAAKC=上 产，则 边 上 的 中 线 长 为（）49 7A.49 B.7 C.D.-4 2【答 案】D【解 析】因 为 S we=s i n C=1 x 3 x b x=生 叵，故 可 得。=5,2 2 2 4根 据 余 弦 定 理 可 得,2=a 2+-2

43、 c o s C=1 9,故?=,不 妨 取 A 3中 点 为 M,故 C M=g（C4+CB）,故 K M=g,可+阿+2促 惘 cosC=1 25+9+2 x 5 x 3 x 1=1.即 边 上 的 中 线 长 为 会 7故 选：D.2.(2022内 蒙 古 霍 林 郭 勒 市 第 一 中 学)在 A A BC中，cosNBAC=-g,A C=2,。是 边 BC上 的 点，且=2C,A D=D C,则 AB 等 于.【答 案】3【解 析】设。C=x,AB=y,因 为 BD=2DC,A D=D C,所 以 8 c=3x,A)=DC=x,A r z-r+i r+,A 廿-rA-n 八 AC+C

44、D2 AD 4+X2-X2 1在，A D C中，由 余 弦 定 理 可 知：cosC=-=-=-,2 A C D C 4x x4 八 H r/ni 门 AC+CB2 AB 4+9x2 y在,4 5 c 中，由 余 弦 定 理 可 知：cosC=-=.,2 A C B C 2x于 是 有 二 1 2-=4=9/-y 2=8，I2x x.一 i r-n f,AB2+CA2-C B2 y2+4-9 x2 1在，ABC中，由 余 弦 定 理 可 知：cos A=、一,，二=-=2 A B A C 4y 3n 2 7/_ 3y2 _ 4y=1 2(2),把。)代 入 中 得，y=3,故 答 案 为：33

45、.（2022 安 徽 安 庆 二 模（理）如 图，在 AA8C中，点。在 边 AB上，C。垂 直 于 8C,ZA=30,BD=2AD,AC=56，则 AA8 c 的 面 积 为.【解 析】因 为 8=2 A Z),设 A=m,则 B)=2m,在 中，由 余 弦 定 理 得 CD?=4)2+AC2 2AO-ACCOSA=+7 5-1 5加，在 tABC 中，由 余 弦 定 理 得 BC2=AB2+AC2-2AB-ACcos A=9m2+75-4 5 m,因 为 C_LBC,B J BD2=BC2+CD2,于 是 得 10加-6 0?+150=4加？，解 得 加=5,则 AB=15,所 以 ABC

46、的 面 积 S=lA B-A C sinH=x l5 x 5 6 s in 3 02 2 4故 答 案 为：丕 叵 44.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 梯 形 43co 中，AB/CD,45=33,CD=21,4）=14,BC=10,NA,D8均 为 锐 角，则 对 角 线 8。=.【答 案】25【解 析】过 点。作 交 A B 于 点 E,连 接 BZZ则)E=10,AE=12,A D=14.在 _4)中，由 余 弦 定 理 得 cosA=-t 1 2二 10=*,2x14x12 7在 ABD中，BD2=AB2+A D2-2AB ADcos A=625.解 得 80=

47、25.故 答 案 为：25.5.（2022.广 东.深 圳 市 第 七 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习）如 图，四 边 形 A8C。内 接 于 一 个 圆 中，其 中 8。为 直 径,Afi=4,BC=3,NABC7T 求 8 D 的 长;（2）求 小 的 面 积.【答 案】（1）80=汉 电 3（2）5 皿=O【解 析】在 A 3 C 中,由 余 弦 定 理 得:AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOS/A B C=25-24cos 1=13,解 得：AC=V13.AC 713 _V13 _ 2739 后 设 R 为 AM C外 接 圆 半 径，由 正 弦 定 理 得：曲 乙 记。

48、一$山 工 一 6 一 二-，即 里 sin 3jr（2）Q B D 为 直 径，:.NDAB=NDCB=m，：.AD=yjBD2-A B2=,CD=ylBD2-B C2=1 又 2ADC=兀-三=三,.c _ 1 An r n-7 A n r-1 56 6 55/3.S A O AD,CO sin 4 ADC=-x-x-x=-2 2 3 3 2 66.（2022河 北 廊 坊.高 三 阶 段 练 习）在 平 面 四 边 形 ABCD中，ZADB=NBDC=,Z B C D=-,A D=4,CD=3.求 A B；（2）求 A 3 C的 面 积.【答 案】（1）他=2；（2）5 ABC=.【解 析】（1）因 为 BCD为 直 角 三 角 形，NBDC=jC D=3,6所 以 BC=6,B D=2瓜 ZDBC=-.3在 中，AD=4,BD=2瓜 ZADB=5,6由 余 弦 定 理，AB2=AD2+BD2-2 A D BD COS=4,所 以 AB=2.6 由（1）知 AB=2,BD=2后,A D=4,所 以 AB?十 瓦）2=人 加，所 以 回 为 直 角 三 角 形，且 乙 48。=工，2T T 7 T 57r所 以 NA8C=NA 8O+NC8 O=+=3,2 3 6故 S,fir=-AB-BC sin=.*BC 2 6 2