高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用章节复习.pdf

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1、第 五 章 一 完 曲 剧 的 导 衣 I及 其 应 用 章 节 复 灯 务 实、如 限、就 悟 与 提 升、夯 实 秋 基，遂 层 认 知 本 章 知 识 网 络 背 景 平 均 速 度 瞬 时 速 度 导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 割 线 斜 率 切 线 斜 率 象 抽 简 单 复 合 函 数 的 导 数 函 数 的 单 调 性 函 数 的 极 值 与 最 大(小)值 重 点 1正 确 理 解 导 数 定 义，了 解 掌 握 利 用 导 数 定 义 解 决 导 数 问 题 例 1(1)若 八/)=2,则 lim Q-J O o)=-0 2k【解 析】令 Z=%-(),.A r

2、-。则 原 式 可 变 形 为 lim。+.一/(尤。)=1由 门 王=_ 1 f(X o)=_ i.2 Ax 2-。Ax 2【答 案】-1例 1(2)已 知/(x)在 x=a 处 可 导，且/(0=。，则|而 幺 竺 辿 二 竺 二 也 等 于()D 2hA.b B.2h C.3b D.4b 解 析 l i m+3)7 9-)Rm/5+3 m-f(a)+f(a)-f(a-h)。2h 5 2h=%m/(+3)-/(%、)一/=敷+4=2。,故 选 B2 x 3h 2-h 2 2A-0重 点 2正 确 理 解 导 数 的 几 何 意 义，掌 握 解 决 有 关 切 线 的 问 题 例 2（1）曲

3、 线 y=上 在 点（1,一 1）处 的 切 线 方 程 为（）x+2A.2x-y+l=0 B.2x-y-l=0 C.2x+y+3=0 D.2x+y+2=02【解 析】由 已 知 得 y=x+2 2，,%=K.t=2,y+1=2(x+1),即 2x-y+l=0,故 选 A例 2(2)函 数 y=%2(x()的 图 象 在 点(4，。；)处 的 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 4”上 为 正 整 数，q=1 6,则 q+%+%=.【解 析】由 已 知，y=2%,点(4,)处 的 切 线 的 斜 率=2%,在 点(外,才)处 的 切 线 方 程 为 y-%2=24(尤 一%)，当

4、y=o时，解 得*=今，所 以+=,1+4+。5=16+4+1=21.2 4 2【答 案】214例 2(3)已 知 点 P 在 曲 线 y 一 上，a 为 曲 线 在 点 P 处 的 切 线 的 倾 斜 角，则 a 的 取 值+1范 围 是()A.(0,f B.(9 A)C.白,学”手，)4 4 2 2 4 4【解 析】由 己 知 得 y=,-4：=4 n 一,(e+1)e+Ie+1 e+2+e3万 所 以 tana2-1,解 得(zzr,故 选 D4重 点 3 快 速 利 用 求 导 公 式 以 及 运 算 法 则 正 确 求 出 函 数 导 数 例 3(1)设/(x)=xln x,若 f(

5、xQ)=2,则%=(),1A.e-B.e C.-In2 D.In 22【解 析】由 已 知 得/(x)=lxlnx+xx=lnx+l,x所 以/(%0)=111%+1=2,二*0=6,故 选 B例 3(2)等 比 数 列%中，4=2,%=4,函 数/(尤)=式 一 4)(%一。2)(x-/)，则 尸(0)=()A.26 B.29 C.212 D.25【解 析】观 察 函 数 形 状，变 形 为/(x)=尤,(%4)(无 一 6%)(%)所 以/(无)=(x-q)(尤 一 4)(%-4)+况(%4)(尤 一/)(无 一/)所 以/(0)=a“2 a8=(a1-8)4=84=212,故 选 cTT

6、 r 27r例 3(3)函 数/(x)=sin(2x+y),满 足/=J3,则 cos(46+-)=.TT【解 析】由 己 知/,(x)=2cos(2x+-)/(。)=2 cos(26+/)=石,cos(26+y)=y-所 以 cos(46+g)=2 cos2(2。+?)1=2 x()2-l=1所 以【答 案】-2重 点 4 利 用 导 数 解 决 函 数 的 单 调 性 问 题 例 4(1)函 数/(x)=x+-的 递 增 区 间 为.Xr A7J4.L-1”，/X 1 I(%+l)(x I),(、C 出(x+l)(x I)八【解 析】由 已 知 r(x)=i-7=9 乙,由/(X)0得 9

7、-o,X X X解 得 X I,所 以/(%)的 递 增 区 间 为(-8,I)和(I,+8)【答 案】(-oo,-i)ai(i,-Hx)例 4(2)函 数/(x)=ox0 一 21nx3 2 0),若/(%)在 其 定 义 域 内 为 单 调 函 数，则 a 的 X取 值 范 围 为.【解 析】由 已 知/(x)的 定 义 域 为(0,+8),f(x)=a+x X若/(x)在(0,+0。)内 为 单 调 函 数，则 尸 之()或 r。)0 在 区 间(0,+00)上 恒 成 立 2当 a=0 时，尸(幻 二 一 一 0 时，方 法 一：fXx)=a-2-+a=a(-)2+a-,要 使/(x)

8、20在 x x x a a(0,+8)上 恒 成 立 只 须。一 工 2 0,解 得 a综 上，。0 l,+oo)方 法 二：方 二 士 令 g(x)=ar22 x+a,则 g(x)0在(0,+。)上 恒 成 立 x满 足=4一 4/4 0,所 以 a Z l,其 余 同 上.方 法 三：/5)=竺 二,因 为 a 0,所 以 只 有/(幻()在(0,+8)上 恒 成 立 X2元 即 如 2 一 2%+。2 0 在(0,+00)上 恒 成 立，即。？在(0,+oo)上 恒 成 立 x+1又 f+i?2 x,所 以 4 1 当 且 仅 当 x=l时 成 立，所 以 其 余 同 上.r+1例 4(

9、3)已 知。0 且 a w l,函 数/(x)=(x0).(1)当 a=2时，求/(x)的 单 调 区 间；(2)若 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=l有 且 仅 有 两 个 交 点，求 a 的 取 值 范 围.2【解 析】(1)当 a=2时，=所 以 r(x)=2x-2x-x2-2xln2 x-2Jt(2-xln2)(2*)24 2 2 9令 尸(x)=0 得 片 三，当 0 x0,当 龙 三 时，f(x)0,In 2 In 2 In 22 7函 数/(x)在(0,上 单 调 递 增；,+0。)上 单 调 递 减.ln2 In 2,八,x,Inx Ina、Inx(2)f(x)=一=1 a

10、=x=xlna=alnx=,，设 函 数 g(x)=-,a x a x则 8(力=匕 学，令 g(x)=(),得 x=e,在(0,e)内 g(x)0,g(x)单 调 递 增;在(e,+oo)上 g(x)0,g(x)单 调 递 减;r.g(x),“u=g(e)=L 又 g(l)=0,当 x 趋 近 于+oo时，g(x)趋 近 于 0,e所 以 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=1有 且 仅 有 两 个 交 点，即 曲 线 y=g(x)与 直 线 y=-有 两 Ina个 交 点 的 充 分 必 要 条 件 是 0InaV L 这 即 是 0 g(a)0得(x+l)(x-5)0,即 x5,/(x)

11、在(T,-1)和(5,+oo)上 单 调 递 增 由/(无)0 得(x+l)(x5)0,即 一 lx5,/(x)在(一 1,5)上 单 调 递 减 所 以/(醐 极 大 值=/(-D=10，f(x)l极 小 值=/(5)=-98【答 案】10,981,1,例 5(2)已 知/(x)=%3+x2+2ax.2(I)若/(X)在 弓,+8)上 存 在 单 调 递 增 区 间，求。的 取 值 范 围；(II)当 0。f 一 x 在(,+oo)能 成 立,令 g(x)=/一 X,则 只 须 2aNg(x)lmin，2 1 2 1 2 2 1又 g(x)=x x=(x-)-2a 2 g()=a 2 一 1

12、 7因 此,+oo)时，函 数/(x)在(,+oo)上 存 在 单 调 递 增 区 间.,1 Jl+8a 1+Jl+8a(H)令/(x)=0=斗=-=-，所 以/(X)在(一 8,玉)和(,+00)上 单 调 递 减，在(|,)上 单 调 递 增 当 0 a 2 时，有 王 1824,所 以/(x)在 区 间 1,4 上 的 最 大 值 为/()27又/(4)-/(I)=-万+6。0=/(4)0,解 得 x 或 无 由/(x)0,且/(X)极 大 值/(%)极 小 他 0，即 百 力 即。,所 以 1(木)3-匕(一)+卜 2】.(左)3-匕 4+k21(),解 得 0%捺，4所 以 左 的

13、取 值 范 围 为(0,二 7).重 点 6 利 用 导 数 解 决 实 际 问 题 例 6(1)某 银 行 准 备 设 一 种 新 的 定 期 存 款 业 务，经 预 测，存 款 量 与 存 款 利 率 的 平 方 成 正 比,比 例 系 数 为 左(2 0),贷 款 的 利 率 为 4.8%,假 设 银 行 吸 收 的 存 款 能 全 部 放 贷 出 去.若 存 款 利 率 为 x(xe(0,0.048)，则 银 行 获 得 最 大 收 益 的 存 款 利 率 为()A.3.2%B.2.4%C.4%D.3.6%【解 析】依 题 意 知，存 款 量 是 日 2,银 行 应 支 付 的 利 息

14、 是 日 3,银 行 应 获 得 的 利 息 是 0 048丘 2,所 以 银 行 的 收 益 y=0.048丘 2-丘，所 以 y=0.096日-3kxi令 y=0,得 x=0.032或 x=0(舍 去).因 为 左 0,所 以 当 0 x 0,当 0.032x0.048时，/0),则 OG=-x x=x.:.FG=SG=5-x,3 2 6SO=h=ySG2-G O2=.(5-.三 棱 锥 的 体 积=-X X2XJ5(5-3 4 V5(5-设 f(x)=5x4-y-X5,令 r(x)=0,则 4d 一=o,y/3x 0,则 fx)=20 x3.x4,解 得 x=4/j,易 知，(x)在 x

15、=4x6处 取 得 最 大 值.,/max=x 4 8 x=4Vi5.【答 案】4715二、招 屐 思 修，麴 知 方 法 1.己 知/(x)为 偶 函 数，当 x 0 时，一 x 0,则/(x)=lnx3x.又 f(x)为 偶 函 数，所 以/(x)=y(-x)=In x-3 x,所 以/(%)=1一 3,则 切 线 斜 率 为/(1)=一 2,X所 以 切 线 方 程 为 y+3=2(x1),即 2 x+y+l=0.【答 案】2x+y+l=02.已 知 函 数/。)=/-2%+(61+川)有 唯 一 零 点，则。=()解 析 方 法 一：/(x)=x2-2x+a ex-+e+l)=(x-1

16、)2+a(ex-+)-1,令 f=x1,则 g(f)=+q(d+)-1,；g(T)=(T)2+a(eT+e)-l=g(r),gQ)是 偶 函 数 因 为/(x)有 唯 一 零 点，所 以 g(r)也 有 唯 一 零 点 由 偶 函 数 性 质 知 g(0)=0,即 a(e+e)l=O,所 以 a=g,故 选 C方 法 二：由/(%)=0 得 a(ex+e-d)=-x1+2x因 为/t+eV-。2必 匚 万 不=2,当 且 仅 当 x=1时 取 等 号-X2+2X-(X-1)2+0,贝 iJa(ei+e f R 2 a,要 使 有 唯 一 零 点，则 必 有 2a=1,即 若 a S O,则/(

17、x)的 零 点 不 唯 一，故 选 C方 法 三：函 数 的 零 点 满 足 x2-2x=“(/T+e-m),设 g(x)=e-+e-z,则 g，(x)=T _ e-w=当 g(x)=0 时,e eJ C 1,当 尤 l 时，gr(x)0,函 数 g(x)单 调 递 增，所 以 当 x=l时，函 数 取 得 最 小 值 g(l)=2,设/。)=/一 2%，当 x=l时，函 数 取 得 最 小 值 1,若-。0,函 数 力(x)与 函 数 ag(x)没 有 交 点，当 一。0,由 已 知 得 y=_,则 直 线/的 斜 率 氏=-=,2Jx0设 直 线/的 方 程 为 y-A=公 卜(X。)，即

18、 x 2 n y+/=o，由 于 直 线/与 圆 f+y=相 切，则 k,即 5片 一 4/一 1=0,5，1+4/解 得 用=1,x0=L/=:(舍)，则 直 线/的 方 程 为 x-2y+l=0,即 丁=41+.故 选 D.-2 23.设 函 数/(x)=/+x-2,g(x)=In x+/-3.若 实 数 a为 满 足/=0,g(。)=0,则()A.g(a)0/(。)B.f(b)0 g(a)C.0g(a)f(b)Dj()g(a)0,所 以/(x)在 其 定 义 域 内 是 单 调 递 增 的，由/(a)=0 知 0a0 送(幻=，+2%0,故 8(灯 在(0,+8)上 也 是 单 调 递

19、增 的，x由 g(3=0 知 1c方 2,所 以 g(a)gS)=0,0=f(a)/(b),因 止 匕 g(a)0/(/?).故 选 A.4.已 知 R 上 可 导 函 数 fx的 图 象 如 图 所 示，则 不 等 式(x2-2x-3)/(x)0的 解 集 为.【解 析】由 曲 线 y=,f(无)以 及 函 数 的 单 调 性，可 知 r(x)-1%l不 等 式(X2-2X-3)f(x)0/(x)0j-3 o所 以 lx3【答 案】xlx35.已 知 函 数/(%)=%3+。/+1,a e R.(I)讨 论 函 数/(%)的 单 调 区 间；2 1(I I)设 函 数/(%)在 区 间(,一

20、)内 是 减 函 数，求 a 的 取 值 范 围.【解 析】(I)由 f(x)=x3+ax2+x+l 得 f(x)=3x2+2ax+lA=4a2-4x3=4(a2-3)当 一 G v a W G 时，A 0,有/(x)2 0,在 R 上 单 调 递 增 当 a 百 时，由 r(x)=()得 x=?4 一 3由 r(x)0nx d?或-左？HI由 八 为 0=土 孚 三，土 孚 H/*）在（一 8,土 孚 三 3）和（土 孚 巨,+8）单 调 递 增,在（土 孚 单 调 递 减.2 1 2 1（II）若 函 数/（幻 在 区 间（1,?内 是 减 函 数，则 有 广（的 0在 区 间（,）恒 成

21、 立 n v3X(-1)2+2X(-1)+103x(-1)2+2ax(-l)+l ci 2a 26.设。为 实 数，函 数/（x）=e-2x+2a,xR.（I）求/（x）的 单 调 区 间 及 极 值;（H）求 证：当 aln2-l且 x 0 时，ex x2-2ax+1【解 析】（I）由 已 知 得/（x）=e-2由/（无）（）得 e*2 0,所 以 xln2,由/（x）0 得 e*2 0,所 以 x/2依+1,即 证 幺+2 Q 1()设 g(x)=e*-x?+2O X-1,X G R，即 证 aln2-l且 x 0 时，g(x)0可 得 g(x)=2x+2a(这 个 形 式 下 g(x)=

22、()不 易 解)令 h(x)=e-2x+2a,则 h(x)=ex-2由 hx)0=e-2 0,A:In 2,由 h(x)er-2 0,x ln2l且 0 时，h(x)h()n2)0,所 以 g(x)0 在(0,+8)上 成 立 因 止 匕 g(x)g(0)=e-l=0,BPex-x2+2ax-l0所 以 当 aIn2 1 且 x 0 时，e*?-2ax+17.已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 6 满 足。3=2。；+4 4 用，且 4+4=2%+4,其 中 n w N*.(I)求 数 列 4 的 通 项 公 式；(II)令 c“=l+,记 数 列%的 前 项 积 为 雹，其 中 eN

23、*,试 比 较 7；与 9 的 大 小,并 加 以 证 明.【解 析】(I)由 片+1=2 1+4。+得(。“+4)(4+-2%)=0,%，%+1=2%=也=2所 以 数 列。“是 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 由%+%=2a3+4=4=2,所 以 数 列 an的 通 项 公 式 为=2,N1 x(II)北 9,证 明 如 下：构 造 函 数/(x)=ln(x+l)x,则/(尤)=-1=-龙+1 x+1所 以/(%)在(0,+8)上 递 减 n 1 1所 以 J(x)J(O)=O,故 以(x+l)x,所 以 lnc“=ln(l+)港 an LT,1 2 nT“=c,c 1 2 n 1 1 2 n-n设 S-1 4-.H-,贝(J S-H-+-I-1-r，2 22 T 2 22 23 2n 2,+l如 r 1 o 1 1 1 1 n 9v 7 n 1 十 相 减 得 一 S=-1-y H-r+d-yr=-=1-2 2 22 23 2 2n+i 1 2-i T2+2故 5“=2 亍 2nln7；2,:.Tne29