福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题含答案.pdf

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1、龙岩市龙岩市 20222023 学年第二学期期末高二教学质量检查学年第二学期期末高二教学质量检查 数学试题数学试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：150 分）分）注意事项：注意事项：1考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上 2答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分）一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有

2、在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上1已知函数()cos4f xxx=，则2f=（）A5 B10 C3 D6 2投掷一个骰子，记事件1,2,4,6A=，1,2,3,4,5B=，则()P B A=（）A14B45C35D343函数4221yxx=+的图象大致为（）A BCD4 如图所示，在平行六面体1111ABCDABC D中，M 为11AC与11B D的交点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则BM=（）A1122abc+B1122abc+C1122abc+D1122abc+5已知直三棱柱111ABCABC中，23ABC=，

3、2ABBC=，11CC=，D 是11AC的中点，则异面直线1BA与 CD 所成角的余弦值为（）A55B2 55C105D1556已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有 2 个红球，1 个白球；乙盒子内有 3 个红球，2 个白球若第一次先从甲盒子内随机抽取 1 个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽 1 个球是红球的概率为（）A49 B12 C1118 D357xR，()()()21xfxf xxe=+，()03f=，则不等式()5xf xe 的解集为（）A()2,1B()2,1C()1,1D()1,28若1ae=，()2ln5ln25b=，202220222023c=，则（

4、）AbcaBbacCcbaDacb 二、多项选择题二、多项选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求合题目要求，全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分请把答案填涂在答题请把答案填涂在答题卡上卡上9下列说法正确的是（）A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 1 B运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心(),x yC在一个22列联表中，计算得到2的值，若2的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大 D利用独

5、立性检验推断“A 与 B 是否有关”，根据数据算得26.352=，已知()25.0240.025P=，()26.6350.01P=，则有超过 97.5%的把握认为 A 与 B 无关10若函数()3252f xxxx=+在区间(),5m m+内有最小值，则实数 m 的取值可能为（）A4 B3.5 C3 D2.5 11已知函数()21,1,1,1xxxef xxxx=则下列选项正确的是（）A函数()f x的值域为(,1B函数()f x的单调减区间为(),1，()2,+C若关于 x 的方程()()20fxaf x=有 3 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是()0,1D若关于 x 的方程()(

6、)20fxa f x=有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是()0,112 在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点 N 满足11111B NxB AyBC=+，其中0,1x，0,1y，异面直线 BN 与1CC所成角为6，点 M 满足()111110,1AMAAABAD=+，则下列选项正确的是（）A11B N=BCMBD C当线段 MN 取最小值时，63xy+=D当1=时，与 AM 垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为3 3第第 II 卷卷（非选择题非选择题 共共 90 分分）三、填空题三、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20

7、 分分 13已知空间向量()4,2,6a=，()1,1,b=，若ab，则=_ 14英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 A，B 有如下关系：()()()()()()()P B P A BP B AP B P A BP B P A B=+某地有 A，B 两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择 A，B 游泳馆的概率均为 0.5如果甲同学周六去 A 馆，那么周日还去 A 馆的概率为 0.4；如果周六去B 馆，那么周日去 A 馆的概率为 0.8如果甲同学周日去 A 馆游泳，则他周六去 A 馆游泳的概率为_ 15 在棱长为 2 的正方体1111ABCDA

8、BC D中，P 是侧面11ADD A上的动点，且满足110PBAC=，则1AP的最小值为_ 16函数()ln1xf xxex=，若不等式()2f xax恒成立，则实数 a 的取值范围为_四、解答题四、解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分）已知函数()212xf xxa=+（1）若0a=，求函数()f x在点()()1,1f处的切线方程；（2）若函数()f x在1x=处取得极值，求()f x的单调区间18（本题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面 ABCD，A

9、DAB，ABDC，2ADDCAP=，1AB=，点 E 为棱 PC 的中点（1）求证：BE平面 PAD；（2）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值19（本题满分 12 分）第 22 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在我国杭州举行 为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取 100 人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见右表）分组（百分制）频数频率)0,2010 0.1)20,4020 0.2)40,6030 0.3)60,8025 0.25 80,10015 0.15 合计100 1（1）

10、由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 X 服从正态分布()2,XN，其中可近似为样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且2342=利用该正态分布，求()90P X；（2）预赛成绩不低于 80 分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率从该市参加预赛的学生中随机抽取 2 人，记进人复赛的人数为 Y，求 Y 的概率分布列和数学期望 附：若()2,XN，则()0.6827PX+，()220.9545PX+，()330.9973PX+；34218.520（本题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12AAAB=，E 为1AB

11、的中点，平面1ABC 平面11ABB A（1）求证：AEBC；（2）若1ABC的面积为2 2，试判断在线段1AC上是否存在点 D，使得二面角ABDC的大小为23 若存在，求出11ADAC的值；若不存在，说明理由21（本题满分 12 分）三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期 7 天的优惠活动 负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中 x 表示活动推出的天数，y 表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图 x（天）1 2 3 4 5 6 7 y（人次）12 22 42 68 132 2

12、02 392 v71iiy=71iiix y=71i iixv=721iix=1.94e0.575e 4.24 870 5070 134.82 140 6.96 1.78 表中lniivy=，7117iivv=（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型yabx=+与xyc d=（a，b，c，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求 y 关于 x 的回归方程（2）此楼盘共有 N 套房，其中 200 套特价房，活动期间共卖出 300 套房，其中 50 套特价房，试给出 N

13、的估计值（以使得()50P X=最大的 N 的值作为 N 的估计值，X 表示卖出的 300 套房中特价房的数目）附：对于样本(),iix y（1i=，2，n），其回归直线ybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121,niiiniixxyybaybxxx=22（本题满分 12 分）已知函数()lnf xaxx=（1）讨论()f x的单调性；（2）已知()()g xxf xb=+，且1x，2x是()g x的两个零点，12xx，证明：()()211211xaxbx ax，所以532+xx，所以21x第 8 题简析：因为()2525ln2ln5ln52=b，构造xxxfln)(

14、=，易得：exf1)(max=，所以ba，所以20222023()2022e，即202212022()2023e，所以ac，综上bac 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）题号9 10 11 12 答案AB CD ABD BCD 第 11 题简析：作出函数)(xf的图象，由图象可知 A 正确，B 正确 对于 C 选项()()0)(02=xfxafxf或axf=)(，由函数)(xf的图象可知0+=xexxexgxx，则()xg在()+，0上 单 调 递 增，016ln412ln41212121=eg，所以1,210 x使

15、()00=xg，当00 xx 时，()()()xhxhxg,0,0时，()()()xhxhxg,0,0在()00 x，单调递增，()()0minxhxh=，由()0ln02000=+=xexxgx得01ln000000201ln1ln1ln,ln000 xexxxxexxexxxx=，设()xxexw=，则()=001lnxwxw，()xw在121，上单调递增，所以001lnxx=，即0001,ln0 xexxx=，故()()1ln11ln10000000000min0=xxxxxxxxxexhxhx，所以21,12aa法 二：法 二：()()1ln1lnln+=+xexxexfxxx，可 证

16、1+tet，当 且 仅 当0=t时 取“=”，令1ln,lnln+=+xxexxtxx，即xxxexxxexx+1ln,1ln 当12 a，即21a时，axxxxex21ln，此时不等式恒成立；当12 a，即21a时，设()xxxhln+=，()xh在()+，0上单调递增，()011,0111=heeh，()1,00 x，使()00=xh，即000001,ln,0ln0 xexxxxx=+，000002ln1ln0axxxxexx xf，当()3,1x时，()0 xf，所以6=a符合题意 综上，()xf的单调递增区间为()()+,3,1,，()xf的单调递减区间为()3,110 分 18（本题

17、满分 12 分）证明：（1）证明：如图所示，取PD中点M，连接,EM AM1 分,E M分别为,PC PD的中点，/EM DC，且12EMDC=又由已知，可得/EM AB且EM AB=，四边形ABEM为平行四边形，/BE AM 3 分 又AM 平面PAD，BE 平面PAD/BE平面PAD4 分（2）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz，5 分 则1002 2 00 2 00()()()()0 2BCDP,由E为棱PC的中点，得()111E,向量(2 0)1BD=,，(10)2PB=,-设),(x y z=,n为平面PBD的法向量，则20,20.xyxz+=不妨令1y=，得2,1xz=，

18、即11(2)=，n为平面PBD的一个法向量8 分又向量(0)11BE=,，设直线BE与平面PBD所成角为，,BE s i n=|cos|=n23362=11 分 直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3312 分19（本题满分 12 分）解：（1）由题意知样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值为：5315.09025.0703.0502.0301.010=+=x，2 分 又由3422=，5.18342=，02275.0)22(1 21)2()90(+=+=XPXPXP5 分（2）由题意，抽取 2 人进入复赛的人数)203,2(BY，2,1,0=Y6 分 02217289(0)(),20400P

19、 YC=1231751(1)()()2020200P YC=，22239(2)()20400P YC=Y的概率分布列为 Y0 1 2 P40028920051400910 分 Y的数学期望为1032032)(=YE12 分20（本题满分 12 分）解：（1）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12AAAB=，矩形11ABB A为正方形，又 E是1AB的中点，1AEAB1 分 又平面1ABC 平面11ABB A，平面1ABC 平面111ABB AAB=，且AE 平面11ABB A AE平面1ABC3 分又BC 平面AEBC，AEBC4 分（2）在直三棱柱111ABCABC中，1BB 平面ABC

20、 又BC 平面1ABC，1BBBC 又AEBC，1,AE BB 平面11ABB A且相交，BC 平面11ABB A 所以1,BC BA BB两两垂直所以如图以B为原点，建立空间直角坐标系6 分 A1B1C1ABCDE1ABC的面积为2 2，2BC=则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,(0,1,1)AABCE，1(2,2,2),(0,1,1)ACAE=设11(2,2,2)(01)ADAC=，11(2,22,22)BDBAAD=+=又()()0,2,0,2,0,0BABC=，设平面ABD的法向量(),mx y z=，则2(22)(22)020m BDxyzm BAy

21、=+=，不妨取z=，则1,0 xy=，()1,0,m=，8 分 由（1）AE平面1ABC，平面BCD的一个法向量()0,1,1nAE=，9 分 2221cos,|cos|32(1)2m nm nmn=+11 分 解得12=又由图可知当D为1AC的中点时，二面角ABDC为钝二面角符合题意，综上，在1AC上存在一点 D，此时1112ADAC=，使得二面角ABDC的大小为2312 分 21（本题满分 12 分）解：（1）（）根据散点图可得y随x的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断xyc d=适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型2 分（）由（）知，xyc d=，两边同时取对数得l

22、nlnlnycd x=+，令ln,ln,ln,yvcmdn=则,vnxm=+由题意知，又7211(1234567)4,1407iixx=+=，所以71722217134.82744.24=0.575140747iiiiixvxvnxx=，所以4.240.575 41.94mvn x=，所以1.940.575vx=+，4 分 96.694.1=ec，0.5751.78de=，则y关于x的回归方程为xy78.196.6=6 分（2）依题意X服从超几何分布，当450，当1199=N时(1200)=(1199)ff，当1200N时(1)()f Nf N+=xxaxxaxf，1 分 若0a，则()0a，

23、令()0 xf，有ax1，令()0 xf，有ax10a，()xf在a1,0单调递减，在+,1a单调递增4 分（2）()()bxxaxbxaxxxg+=+=lnln2，令()0=xg得：0ln2=+bxxax，因为0 x，0ln=+xbxax，因为21,xx是()xg的两个零点，所以，0ln,0ln222111=+=+xbxaxxbxax，6 分 所以()011lnln211221=+xxbxxxxa，()12122121lnlnxxxxxxxaxb=，7 分 要证明()()112112axxbaxx，只需证121221xxaxbxxax，即证明11212212lnlnxxxxxxxx变形为1ln1121221=xxt，则证明1ln11=tttth，()012=ttth，()th在()+,1单调递增，所以()()01=hth，即tt11ln，设()()1ln=tttu，()01=tttu，()tu在()+,1单调递减，所以，()()01=utu，即，1ln tt，综上：()()112112axxbaxx12 分