2015高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教a版.pdf
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1、【创 新 设 计】2014高 考 数 学 一 轮 复 习 第 三 章 任 意 角 和 弧 度 制 及 任 意 角 的 三 角 函 数 训 练 理 新 人 教 A版 第 一 节 任 意 角 和 弧 度 制 及 任 意 角 的 三 角 函 数 备 考 方 向 要 明 了 考 什 么 怎 么 考 1.了 解 任 意 角 的 概 念.2.了 解 弧 度 制 的 概 念,能 进 行 弧 度 与 角 度 的 互 化.3.理 解 任 意 角 三 角 函 数(正 弦、余 弦、正 切)的 定 义.1.考 查 形 式 为 选 择 题 或 填 空 题.2.三 角 函 数 的 定 义 与 三 角 恒 等 变 换 等
2、相 结 合,考 查 三 角 函 数 求 值 问 题,如 2011年 新 课 标 全 国 T5等.3.三 角 函 数 的 定 义 与 向 量 等 知 识 相 结 合,考 查 三 角 函 数 定 义 的 应 用,如 2012年 山 东 T16等.国 图 青 团 第 面 穹 咖 归 纳 知 识 整 合 1.角 的 有 关 概 念 角 的 特 点 角 的 分 类 从 运 动 的 角 度 看 角 可 分 为 正 曲、负 角 和 零 角 从 终 边 位 置 来 看 可 分 为 象 限 角 和 轴 线 角 a 与 B 角 的 终 边 相 同=。+公 360(AGZ)(或=。+4 2,AeZ)探 究 1.终
3、边 相 同 的 角 相 等 吗?它 们 的 大 小 有 什 么 关 系?提 示:终 边 相 同 的 角 不 一 定 相 等,它 们 相 差 360。的 整 数 倍,相 等 的 角 终 边 一 定 相 同.2.锐 角 是 第 一 象 限 角,第 一 象 限 角 是 锐 角 吗?小 于 90的 角 是 锐 角 吗?提 示:锐 角 是 大 于 0且 小 于 90的 角,第 一 象 限 角 不 一 定 是 锐 角,如 390,-300都 是 第 一 象 限 角.小 于 90的 角 不 一 定 是 锐 角,如 0,-30都 不 是 锐 角.2.弧 度 的 概 念 与 公 式 在 半 径 为 r 的 圆
4、中 分 类 定 义(公 式)1弧 度 的 角 把 长 度 等 于 主 饯 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1弧 度 的 角,用 符 号 rad表 示 角。的 弧 度 数 公 式。=(弧 长 用/表 示)角 度 与 弧 度 的 换 算 X c 冗 人(180、1=7萍 1(2)1 rad=P弧 长 公 式 弧 长 1=or扇 形 的 面 积 公 式 1 7 1.2S=-Ir=-Q r3.任 意 角 的 三 角 函 数 三 角 函 数 正 弦 余 弦 正 切 定 义 设。是 一 个 任 意 角,它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 尸(X,力,那 么 匕 叫 做 Q 的 正 弦,
5、记 作 sin a王 叫 做 Q 的 余 弦,记 作 cos a;叫 做。的 正 切,记 作 tan a各 象 限 符 号 I正 正 正 II正 鱼 鱼 III鱼 鱼 正 IV负 正 鱼 口 诀 一 全 正,二 正 弦,三 正 切,四 余 弦 三 角 函 数 线 有 向 线 段 丝 为 正 弦 线 有 向 线 段 四 为 余 弦 线/Jr 小*a,。)有 向 线 段 必 为 正 切 线 探 究 3.三 角 函 数 线 的 长 度 及 方 向 各 有 什 么 意 义?提 示:三 角 函 数 线 的 长 度 表 示 三 角 函 数 值 的 绝 对 值,方 向 衰 示 三 角 函 数 值 的 正 负
6、.自 测 牛 刀 小 试 9 JI1.(教 材 习 题 改 编)下 列 与 苗 的 终 边 相 同 的 角 的 表 达 式 中 正 确 的 是()9A.2A-H+45(AeZ)B.k-360+-Jt(A6Z)5 nC.k 360-315(A-eZ)D.+(A-eZ)9 9解 析:选 C V-Jt=-X180=360+45=720-315,二 与 日”终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 360-315(AeZ).2.(教 材 习 题 改 编)若 角。同 时 满 足 sin&0 且 tan 0,则 角,的 终 边 一 定 落 在()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D
7、.第 四 象 限 解 析:选 D 山 sin 0,5.,1 x 25 解 之 得 X=.+36=丽.,5答 案:29 n5.若 点 P 在 角 F-的 终 边 上,且 I阳=2,则 点 的 坐 标 是2解 析:角 鼻 五 的 终 边 落 在 第 二 象 限,,可 设 P(x,y),其 中 xVO,y0,(x 25=cos-n,由 题 意 得 y.2o=sin-Ji,小).答 案:(-1,小).a l 象 限 角 及 终 边 相 同 的 角 例 1(1)写 出 终 边 在 直 线 了=/x 上 的 角 的 集 合;(2)若 角。的 终 边 与 牛 角 的 终 边 相 同,求 在 0,2n)内 终
8、 边 与 卷 角 的 终 边 相 同 的 角;(3)已 知 角。为 第 三 象 限 角,试 确 定 2 a 的 终 边 所 在 的 象 限.自 主 解 答.在(0,贝)内 终 边 在 直 线 尸#X 上 的 角 是?,O,终 边 在 直 线 y=/x 上 的 角 的 集 合 为 a I a=:+An,6 n(2)V 0=+2kn UeZ),6 2 J t 2k 页.,.O I J依 题 意 0 w W+2 V 2 冗 分 一.W A v j,kEL.=0,1,2,即 在 0,2 n)内 终 边 与 相 同 的 角 为 筌,弓 F,笠 由。是 第 三 象 限 角,得 n+2 4”等+2 4”(4
9、eZ),,2 n+4 兀 2 2 3 n+4 4 五(AGZ).角 2。的 终 边 在 第 一、二 象 限 及 y 轴 的 非 负 半 轴.a在(3)的 条 件 下,判 断 了 为 第 几 象 限 角?解::n+2衣 冗 a+2 A J i(4WZ),n a 3 n z.+k-+k(AZ).当*=2(eZ)时,y+2/7Ji y|n+2/7Jt,3 a 7当 4=2刀+1(Z)时,-n+2)n-n+2 兀,a万 为 第 二 或 第 四 象 限 角.-方 法 规 律-1.由。所 在 的 象 限,确 定 5 所 在 象 限 的 方 法 a(1)由 角。的 范 围,求 出 了 所 在 的 范 围;a
10、(2)通 过 分 类 讨 论 把 角 写 成,+4-360。赞 CZ)的 形 式,然 后 判 断 一 所 在 象 限.n2.已 知 三 角 函 数 式 的 符 号 判 断 角 所 在 的 象 限 可 先 根 据 三 角 函 数 式 的 符 号 确 定 三 角 函 数 值 的 符 号,再 判 断 角 所 在 的 象 限.I l f f i A U H 练 1.已 知 角 0=2 一 三(代 Z),若 角。与 角 的 终 边 相 同,sin 8I sin 0I cos 8cos 0tantan0万 y的 值 为(则 y)A.1C.3 已 知 点(tan a,A.第 一 象 限 C.第 三 象 限
11、B.D.c o s。)在 第 三 象 限,B.D.-1-3则 角。的 终 边 在()第 二 象 限 第 四 象 限 解 析:选 B 由。=2而 一 卷(K Z)及 终 边 相 同 角 的 概 念 知,。的 终 边 在 第 四 象 限,又 与。的 终 边 相 同,所 以 角,是 第 四 象 限 角,所 以 sin 00,tan 0 0.因 此,y=-1+1 1=1.选 B.点 P(tan a,c o s。)在 第 三 象 限,,a 是 第 二 象 限 角.tan a 0,cos a 0 时,即 x0 时,r=5f,4Xco sr5 23-5s1nZ.54-45 54r3-y-4 4ta nco
12、s3-55f-2s1n rtany 31 3a-=x 4-4,综 上 可 知,当 角。的 终 边 在 直 线 3x+4尸 0 的 x0部 分 时,3-44-53-51ntaco s当 角。的 终 边 在 直 线 3x+4尸 0 的 x0部 分 时,sin3a=f cos a=54-53t a n a4-弧 度 制 下 扇 形 弧 长 与 面 积 公 式 的 应 用 例 3 已 知 扇 形 的 圆 心 角 是 a,半 径 为 此 弧 长 为/.(1)若 a=60,A=10 cm,求 扇 形 的 弧 长,(2)若 扇 形 的 周 长 为 20 cm,当 扇 形 的 圆 心 角。为 多 少 弧 度
13、时,这 个 扇 形 的 面 积 最 大?n(3)若。=丁,4 2 cm,求 扇 形 的 弧 所 在 的 弓 形 的 面 积.On 自 主 解 答(1);。=60=,/?=10 cm,On 10 n/.l=Rci=10X=cm.扇 形 的 周 长 20,.24+1=20,即 2什/?。=20,Z.a=3-202而=一 川+10=-(7?-5)2+25,.当 4 5 时 一,扇 形 的 面 积 最 大,此 时。=2,5即。=2 弧 度 时,这 个 扇 形 的 面 积 最 大.(3)S弓 形=)1.n1 n 1 击=2X 4 X-2X 4 22 n木,即 弓 形 的 面 积 为 W 小 cm.若 将
14、 本 例 中 的“Q i o cm”改 为“扇 形 的 弦 48=10蚯 cm”求 扇 形 的 弧 长/.解:由 题 意 得 平=sin 30,即 Q l M,故 弧 长 1=7?。”乎-cm.O O-方 法.规 律-弧 度 制 的 应 用(1)在 弧 度 制 下,计 算 扇 形 的 面 积 和 弧 长 比 在 角 度 制 下 更 方 便、简 捷.(2)从 扇 形 面 积 出 发,在 弧 度 制 下 使 问 题 转 化 为 关 于。的 不 等 式 或 利 用 二 次 函 数 求 最 值 的 方 法 确 定 相 应 最 值.记 住 下 列 公 式:/=aR;5=夕 尼 S=;其 中 A 是 扇
15、形 的 半 径,/是 弧 长,a(0为 圆 心 角,S 是 扇 形 面 积.II曜 区 训 练 3.已 知 在 半 径 为 10的 圆。中,弦 协 的 长 为 10,(1)求 弦 4?所 对 的 圆 心 角。的 大 小;(2)求。所 在 的 扇 形 弧 长/及 弧 所 在 的 弓 形 的 面 积 S解:如 图 所 示,过。作 纥 146于 点 G 则 4C=5,在 中,AC 5 1Si n Z=-=-=-,二/松=30,:.a=2NAOC=60.(2)V6O0=?,O:1=Ia r10兀 V八 1,1 10 n5=-7r=-X3八 50 nX 1 0=-y又 5k4 加=J x 10X lOs
16、in?=2 5 镉,乙 o 通 法 归 纳 领 悟 1条 规 律 三 角 函 数 值 的 符 号 规 律 三 角 函 数 值 在 各 象 限 的 符 号 规 律 概 括 为:一 全 正、二 正 弦、三 正 切、四 余 弦.2 个 技 巧 三 角 函 数 的 定 义 及 单 位 圆 的 应 用 技 巧(1)在 利 用 三 角 函 数 定 义 时,点 P 可 取 终 边 上 异 于 原 点 的 任 一 点,如 有 可 能 则 取 终 边 与 单 位 圆 的 交 点,|。回=尸 定 是 正 值.(2)在 解 简 单 的 三 角 不 等 式 时,利 用 单 位 圆 及 三 角 函 数 线 是 一 个
17、小 技 巧.4 个 注 意 点 理 解 角 的 概 念、弧 度 制 及 三 角 函 数 线 应 注 意 的 问 题(1)第 一 象 限 角、锐 角、小 于 9 0 的 角 是 概 念 不 同 的 三 类 角,第 一 类 是 象 限 角,第 二 类、第 三 类 是 区 间 角.(2)角 度 制 与 弧 度 制 可 利 用 180=r a d进 行 互 化,在 同 一 个 式 子 中,采 用 的 度 量 制 度 必 须 一 致,不 可 混 用.(3)要 熟 记 0 3 6 0 间 特 殊 角 的 弧 度 表 示.(4)要 注 意 三 角 函 数 线 是 有 向 线 段.国 颤 殉 脚 飒 懒 提
18、侬 睡 翻 百 用 雕 创 新 交 汇 三 角 函 数 的 定 义 与 向 量 的 交 汇 问 题 三 角 函 数 的 概 念 是 考 查 三 角 函 数 的 重 要 工 具,在 高 考 命 题 中 很 少 单 独 考 查,常 结 合 三 角 函 数 的 基 础 知 识、三 角 恒 等 变 换 和 向 量 等 知 识 综 合 考 查,涉 及 的 知 识 点 较 多,但 难 度 不 大.典 例(2012 山 东 高 考)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系 x a 中,-单 位 圆 的 圆 心 的 初 始 位 置 在(0,1),此 时 圆 上 一 点 尸 的 位 置 在(0,0),圆 在 x
19、轴 上 沿 正 向 滚 动.当 圆 滚 动 到 圆 心 位 于(2,1)时,丽 的 坐 标 为.解 析 因 为 圆 心 移 动 的 距 离 为 2,所 以 劣 弧 P A=2,即/%!=2,J I则/户 CS=2万,所 以 阳=s in(2一 5)=-cos 2,CBcos(2 j=sin 2,所 以 寿=2 0=2 sin 2,%=1+如=1 cos 2,所 以。尸=(2sin 2,1cos 2).答 案(2-sin 2,1-cos 2)名 师 点 评 1.本 题 具 有 以 下 创 新 点(1)本 题 考 查 三 角 函 数 与 向 量 的 知 识,表 面 看 似 向 量 问 题,其 实
20、质 是 考 查 三 角 函 数 的 概 念 问 题.(2)通 过 静 止 问 题 解 决 动 态 问 题,考 查 了 考 生 处 理 变 与 不 变 的 能 力、运 算 求 解 能 力、应 用 能 力 和 创 新 能 力.2.解 决 本 题 的 关 键 有 以 下 几 点(1)正 确 理 解 圆 的 滚 动 过 程,确 定 圆 心。的 坐 标;正 确 作 出 辅 助 线,并 求 得 BP与%的 长 度;(3)正 确 应 用 向 量 的 坐 标 运 算 求 出 0 P 的 坐 标.变 式 训 练 1.(2012 安 徽 高 考)在 平 面 直 角 坐 标 系 中,点。(0,0),狄 6,8),将
21、 向 量 而 绕 点。按 逆 时 针 方 向 旋 转 号 后 得 向 量。,则 点 0 的 坐 标 是()A.(7,2,啦)B.(一 7镜,镉)C.(4/6,2)D.(4乖,2)解 析:选 A 设 从 x 轴 正 方 向 逆 时 针 到 向 量 方 的 角 为%则 从 x 轴 的 正 方 向 逆 时 针 到 _ _ 3 3 4向 量。的 夹 角 为。+彳 n,这 里 cos a s i n。=三 设 0 坐 标 为(x,y),根 据 三 角 函 数 的 定 义 x=10cos(a+,口)=10*(1+9义(一=7*,y=10sin(+,)=/,即 0(-7啦,一 木).2.如 图,设 点 4
22、是 单 位 圆 上 的 一 定 点,动 点 夕 从 力 出 发 在 圆 上 按 逆 时 针 方 向 转 一 周,点 所 旋 转 过 的 弧 4 尸 的 长 为/,弦 4。的 长 为 4 则 函 数/=/u)的 图 象 大 致 为()y yc D解 析:选 c如 图 取 的 中 点 为 D.设/2=0,贝 l j d=2sin 0,1=2。,故 d=2sin:知:能 震 测 Z H IN E N Q J IA N C E缁 国 加=为 夺 岗 缁 宏 国 总 值 演 同 璐 图 一、选 择 题(本 大 题 共 6 小 题,每 小 题 5 分,共 30分)1.若 ak 180+45(ASZ),则。
23、在()A.第 一 或 第 三 象 限 B.在 第 或 第 二 象 限 C.第 二 或 第 四 象 限 I).在 第 三 或 第 四 象 限 解 析:选 A 当 衣 为 偶 数 时,。的 终 边 与 45。角 的 终 边 相 同,是 第 一 象 限 角 平 分 线;当“为 奇 数 时,a 的 终 边 与 45角 的 终 边 在 同 一 条 直 线 上,是 第 三 象 限 角 平 分 线.2.点/(sin 2 013,cos 2 013)在 直 角 坐 标 平 面 上 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 解 析:选 C 由 2 013=360
24、X5+(180+33)可 知,2 013角 的 终 边 在 第 三 象 限,所 以 sin 2 013 0,cos 2 013 0,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-2,3 B.(-2,3)C.-2,3)1).-2,3解 析:选 A 由 cos a W0,sin a 0 可 知,角。的 终 边 落 在 第 二 象 限 内 或 p 轴 的 正 半 轴 上,所 以 有 3a-9W0,a+20,即 一 2aW3.4.若。是 第 三 象 限 角,.asin 2acos 2.asin 一 2acos 2则 尸+的 值 为()A.0 B.2C.-2 I).2 或 一 2解 析:选 A 由
25、于。是 第 三 象 限 角,所 以 最 是 第 二 或 第 四 象 限 角,a当 了 是 第 二 象 限 角 时,a asin cos尸 7sin万 acos-1-1=0;a当 了 是 第 四 象 限 角 时,a a sin-cosy=-+-=1+1=0.a asin-cos-9 j i5.点 尸 从(1,0)出 发,沿 单 位 圆 逆 时 针 方 向 运 动 亍 弧 长 到 达 0点,则 0点 的 坐 标 为()B._ 亚-12 2 4 1)2 JI 1 2 n解 析:选 A 由 三 角 函 数 定 义 可 知 0 点 的 坐 标(x,y)满 足 x=cos y=sinO Lt O2.6.已
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