2015届高考数学第一轮复习 第七篇 立体几何细致讲解练 理 新人教a版.pdf

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1、第七篇立体几何第 1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图 最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).诊 断，基础知识 由 理 深 夯基固本知 识 梳 理1.多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面

2、是全等且平行的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底血的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到.(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.(3)球可以山半圆面或圆面绕直径旋转得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.4.空间几何体的直观图空间儿何体的宜观图常用斜二画法来画，其规则是

3、：原图形中“轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，/轴、轴的夹角为45(或135。)，z 轴 与/轴、y 轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴 和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于/轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.辨 析 感 悟1 .对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的认识（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的儿何体是棱柱.（X）（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的儿何体是棱锥.（X）（3）棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.（J）2 .对圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的认识（4）夹在圆柱的两

4、个平行截面间的几何体还是圆柱.（X）（5）上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.（X）（6）用一个平面去截 个球，截面是一个圆面.（J）3 .对直观图和三视图的画法的理解（7）在用斜二测画法画水平放置的时，若/的两边分别平行于x轴和y轴，且N/=9 0 ,则在直观图中N N=4 5 .（X）（8）（教材习题改编）正方体、球、圆锥各自的三视图中，三个视图均相同.（X）感 悟 提升1.两点提醒一是从棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的定义入手，借助几何模型强畲化 空 间 几 何 体 心 力 特 征.如 中 例 如 以；（2）中例如.二 是 图 形 中 与 海、y轴、z轴都不平行的线段可通过确定端

5、点的办法来解，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段来确定端点在直观图中的位置.如（7）.2.一个防范三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.如（8）中正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同.学 生 用 书 第1 0 6页突 破-高 频 考 点 以例求法举反三考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱

6、柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）.A.0B.1C.2 D.3解析不一,定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误.当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱价的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.答 案 B规 律 方 法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况卜变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然

7、后再依据题意判定.通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.【训 练 1】给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧血都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其 中 错 误 的 命 题 的 序 号 是.解析认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故都不准确，中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确.答 案 考点二由空间儿何体的直观图识别三视图 例 2 (2 0 1 3 新课标全国U卷

8、)一个四面体的顶点在空间直角坐标系0-x y z 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0)，(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以 z 公平面为投影面，则得到正视图可以为().AD审题路线 在空间直角坐标系中画出四面体今以Z 公平面为投影面,可得正视图.解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体仆4 比1 的直观图，如图，设伏0,0,0）,4（1,0,1）,庾1,1,0）,以0,1,1）,将 以 0,A,B,C 为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于以，8 G所以该几何体以z 公平面为投影面的正视图为A.答 案 A规律方法空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左

9、面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.【训练2】（2 0 1 4 济宁一模）点胴 分别是正方体施力一4笈G4的棱4 5,44的中点，用过4 M/V 和，N,G的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1,则该几何体的正视图，侧视图、俯视图依次为图2中的（）.A.B.C.D.解析 由正视图的定义可知；点 4 B,区在后面的投影点分别是点。，C,G,线段4 V 在后面的投影面上的投影是以。为端点且与线段制

10、平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段4 V 在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段G要画成虚线，正视图为；同理可得侧视图为，俯视图为.答 案 B考 点 三 由空间几何体的三视图还原直观图【例 3】（1）（2 0 1 3 四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）.(2)若某几何体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是().解 析(1)由于俯视图是两个圆，所以排除A,B,C,故选D.(2)A,B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答 案(1)D (2)D学 生 用 书 第 1 0 7 页规律方法在由三视图还原为空间几

11、何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.【训练3 若某几何体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是().解析 所给选项中，A,C选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B符合.答 案 B|课堂小结|1 .棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.2 .旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.3 .三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线

12、和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理 解“长对正、宽平齐、高相等”.培 养-解 题 能 力教你斛睡提升能力易错辨析7三视图识图不准致误【典例】（2012 陕西卷）将正方体（如 图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图2 所示的几何体,则该几何体的侧视图为（）.错解 选 A或 D.错因 致错原因是根据提示观测位置确定三视图时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，错选A或 D都是没有抓住看到的轮廓线在面上的投影位置，从而导致失误.正解 还原正方体后，将 4,D,/三点分别向正方体右侧面作垂线，ZU 的射影为G8,且为实线，6 c 被遮挡应为虚线.故选

13、B.答案 B 防范措施 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图问题时，就要抓住正投影，结合具体问题和空间几何体的结构特征进行解答.【自主体验】（2014 东北三校模拟）如图，多面体/比 一访;的底面48切为正方形，F C=G g 2 E A,其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（）.俯视图正视图侧视图正视图恻视图正视图 侧视图 正视图 侧视图C D解析 注 意 必 跖 在 平 面 微/上的投影为实线，且由己知长度关系确定投影位置，排除A,C选项，观察B,D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则 8

14、G,孙、的投影为虚线，故选D.答 案 D课时题组训练 阶悌训练练出高分对应学生用书P 3 0 7基础巩固题组（建议用时:4 0 分钟）一、选择题1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条楼两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱解 析 A,B两选项中侧楼与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.答 案 C2.（2 0 1 4 福州模拟）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）.解析给几何体的各顶点标上字母，如 图 1.4 6在侧投影面上的投影重

15、合，C,G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B （而不是A）.B2答 案 B3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.A.B.C.D.解析 正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的正视图和侧视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以正确.答 案 D4.（2 0 1 3 汕头二模）如图，某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，且其体积为彳，则该几何体的俯视图可以是（）.正视图 侧视图A

16、 B C D解析 若该几何体的俯视是选项A,则其体积为1,不满足题意；由正视图、侧视图可知俯视图不可能是B项；若该几何体的俯视图是选项C,则其体积为看不符合题意；若该几何体的俯视图是选项D,则其体积为，满足题意.答 案 D5.AZ1已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2 的正三角形，侧视图是有一直角边为2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）.解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2,正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2,根据侧视图中的直角说明这个空间儿何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的

17、正视图可能是C.答 案 C二、填空题6.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_ _ _ _ _ _（写出所有正确的序号）.三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形.解 析 正 确；山原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误.答 案 7.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）.三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱.解析显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三

18、角形；三棱柱的正视图也可以是三角形（把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示）；只要形状合适、摆放适当（如一个侧面正对着观察者的正四棱锥），四棱锥的正视图也可以是三角形（当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形），即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形（可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形）.综上所述，应填.答 案 AB8 .如图，用斜二测画法得到四边形4及力是下底角为4 5 的等腰梯形，其下底长为5,一腰长为小，则原四边形的面积是_ _ _ _ _ _ _ _.解析 作

19、废 工 用 于 ,C F 1A B于F,贝I =郎=/厌o s 4 5 =1,；.切=犷1=3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，Z J=9 0 ,A B=5,或=3,A D=2f2,：.S i海 的=/X (5+3)乂2 m=8啦.答 案8 m三、解答题9 .如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图.解这个几何体的三视图如图.正视图O健视图1 0 .如图是个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么儿何体:(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积;(3)求出该几何体的体积.解(D正六棱锥.(2)其侧视图如图：其 中I Q/f G A DLBC,且笈的长是俯视图

20、中的正六边形对边的距离,即比=4 a,的长是正六棱锥的高，即4七/&该平面图形的面积S=：小 a y l i a a.（3），=；X 6 X平a 2 x#a=|a:i.能力提升题组（建议用时：2 5分钟）A一、选择题1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）.A.球B.三 棱 锥C.正 方 体D.圆柱解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同、大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形；圆柱的正视图、侧视图均为矩形，俯视图为圆.答 案D2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一

21、个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）.A.乎a?B.2 /2 a2 C.坐 a D.解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S 之间的关系是S=坐$本 题 中 直 观 图 的 面 积 为乱所以原平面四边形a的面积等于=2 2 a2.4答 案B二、填空题3.如图所示，E,产 分 别 为 正 方 体 一/归G的血力加M、面比 G方的中心，则四边形朋见?在 该 正 方 体 的 面 上 的 正 投 影 可 能 是（填序号）.解析 由正投影的定义，四边形的以在 面4 4。与面协CC上的正投影是图；其在面4 5 s4与面C G 4上的正投影是

22、图；其在面4 6。与面4 5 G上的正投影也是，故错误.答 案 三、解答题4.H知正三棱锥”力固的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图;求出侧视图的面积.解(D直观图如图所示:(2)根据三视图间的关系可得B C=2 0.,.侧视图中V A=y J甲一仁义平义2 m)=2小,5 k X 2,y 3 X 2,3 6.学 生 用 书 第 108页第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 最新考纲1.了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式.2.了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.诊 断.基 础知识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面 积体 积

23、圆柱S 侧=2 n r hV=S h=nr h圆锥S-=n r l1 1 2V=q S h=q J i r hJ T r圆台S m=n(r i +1 2)1/=；(s|：+S 卜+.S上S卜)力=1 (H+z+r i r2)Ao o直棱柱S 侧=C hV=S h正棱锥S 侧 C h1 ,V=S h正棱台S J=；(C+C )/1 r=1(5 I：+SF+#W)Ao球S球 面=4 -肾4 R02.几何体的表面积(D 棱柱、棱锥、棱今的我面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.辨 析 感 悟1.柱体、锥体、台体与球的面

24、积(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 n s (X)(2)设长方体的长、宽、高分 别 为 2 a,a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3 J t a.(X)2.柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为4#n ,则它的表面积为1 2 J t.(V)(4)(2 01 3 浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：c m)如图所示，则此几何体的体积等于2 4 c m：(V)(5)在 欧 中，A B=2,6 c=3,Z A BC=120 ,使 充 绕 直 线 式 1 旋转一周所形成的几何体的体积为9 n.(X)3.柱体、锥体、台体的展

25、开与折叠2 JI(6)将圆心角为丁，面积为3 n的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4 n .(。)(7)(2 0 1 4 青州模拟改编)将边长为a的正方形4 6 5 沿对角线4 c 折起，使尔=a,则三棱锥一4 9 C的 体 积 为*爰(X)感 悟 提升两 点 注 意 一是求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.二是儿何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.学 生 用 书 第 1 0 9 页突破高 频 考 点 以例求法举反三考 点 一 空间几何体的表面积 例 1 (2 0 1 4 日照一模)如图是一个几何体的

26、正视图和侧视图，其俯视图是面积为队点的矩形.则该几何体的表面积是().A.8C.1 6B.2 0+8 4D.2 4+8出解析山已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为2 啦，由面积8蜴 得长为4,则该儿何体的表面积为S=2 X；X 2 X 2 +2 M 4+2 X 2 X 4=2 0+8也答 案 B规 律 方 法(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧

27、面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【训 练 1】一个几何体的三视图如图所示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为.4解 析 如 图 所 示：该几何体为长为4,宽为3,高 为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为1,高 为 1 的圆柱后剩下的部分.，S*=(4 X l+3 X 4+3 X l)X 2+2 w X 1 X 1 2 n X=3 8.答 案 3 8考点二空间几何体的体积 例 2 (1)(2 0 1 3-新课标全国I 卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为().俯视图便I视图A.1 6+8 n B.8+8 nC.1 6+1 6 n D.8

28、+1 6 n(2)(2 0 1 4 福州模拟)如图所示，已知三棱柱力比一43G的所有棱长均为1,且 4 4 底面A BC,则三棱锥为一回1 的 体 积 为().AB1 2 4C 近D 近L-1 2U-4解 析(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分另 U 为 4,2,2,圆柱的底面半径为2、高为4.所 以，=2X2 X 4+；X 2?X n X 4=1 6+8 n.故选A.(2)三棱锥区一4 阳的体积等于三棱锥4 5 阳的体积，三棱锥/一合制的高为坐，底面积为 故 其 体 积 为 思 x半 翦.乙 ,则h+hz=B、D尸/a.由题意得，I C_BEOF=Br

29、CxEF+1=$跖 5+公考点三球与空间几何体的接、切问题例 3 (1)(2 0 1 3-福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是.（2）（2 0 1 3 辽宁卷）已知直三棱柱/8 C 45G的 6个顶点都在球。的球面上，若 四 =3,A C=4,A B V A C,A 4 i=1 2,则 球。的半径为A.廖B.2 1 3C-TD.3 7 1 0审 题 路 线（1）正方体内接于球。正方体的体对角线长等于球的直径力求得球的半径。代入球的表面积公式（注意只算球的表面积）.（2）比为过底面力肥

30、的截面圆的直径，取比中点仅 则球心在比的垂直平分线匕 再由对称性求解.解 析（1）由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为2#,即为球的直径.所以球的表面积为S=4 n （嘤）2=1 2”.因为在直三棱柱 中 四 =3,=4,力力尸A BLA C,所 以 a=5,且比 为过底面宽右的截血圆的直径，取 欧 中 点D,则 切，底 面A BC,则 0在侧面B C C B 内,矩 形 6s区的对_ _ _ _ _ _ 1 Q角线长即为球的直径，所以西子=1 3,即 r=万.答 案 1 2 n（2）C学 生 用 书 第 1 1 0 页规律方法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔

31、细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的.【训 练 3】（20 1 3 新课标全国I 卷）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c m,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 c m,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）.50 0 n 3A.c mOB.866 n31 3 72 nC.-c m2 0 48 nD.;-c m-解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE=2 c m,A E=C E=4 c m,设DE=x,故A

32、 D=2 +x,因为A 4=AE,解得x=3(c m),故该球的半径49=5 c m,所 以/=兀/=刈詈O O(c n?).答 案 A考点四几何体的展开与折叠问题【例 4】如图所示，在边长为4 的正方形纸片四切中，/与 劭 相 交 于。，剪去/眼将 剩 余 部 分 沿 笫 勿 折 叠，使 力，必重合，则以4 B,C,D,。为顶点的四面体的体积为(2)如图所示，在直三棱柱45C 4 8 4 中，为直角三角形，NA C B=90 ,/C=4,BC=C C、=3.P是6 G 上一动点，则 或+胡 的 最 小 值 为(其 中 掰 表 示 夕，4 两点沿棱柱的表面距离).解 析(1)折叠后的四面体如图

33、所示.O A,O C,如两两相互垂直，且O A=O C=O D=2 2,体 积V=5k 筋 C W=1 x|x (2*尸=呼.(2)由题意知，把 面 能G C沿 防 展 开 与 面446户在一个平面上，如图所示，连接4 c即可.则4、只C三点共线时，最小，V Z A C B=90 ,A C=4,BC=C C=3,A By J 5=/42+32-5,.4G=5+3=8,.C=病”=也.故 班 的 最 小 值 为 也.规 律 方 法(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常

34、选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题.【训练4】如图为一几何体的展开图，其 中1筋 是 边 长 为6的正方形，加=6,0上S C,A Q=A P,点S,D,A,0共线，点尸，D,C,7?共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使只0,R,S四点重合，则需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.解 析 由 题 意 知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥尸一4颔(如图所示)，其 中 也 平 面A BC D,因此该四棱锥的体积，=g x 6 X 6 X 6=7 2,而棱长为6的正方体的体2 1 6积 =6 X 6 X 6=2 1 6,故 需 要 元=3个这样的几何体，

35、才能拼成一个棱长为6的正方体.答 案3I课堂小结I1 .对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面儿何知识来解决.2 .求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.3 .与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.培

36、养 解题能力方法优化5一特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】(2 0 1 2 山东卷)如图，正 方 体 腑 Z4844的棱长为1,E,6分别为线段8 c上的点，则三棱锥一瓦 的体积为_ _ _ _ _ _ _.一般解法三棱锥打一曲 的体积即为三棱锥后的体积.因为反尸分别为4 4,B、C上的点，所 以 在 正 方 体 中 反 见 的 面 积 为 定 值 5,尸到平面4 4 的距离为定T/1 1 _值 1,所以*P-J J J J =3X2X1=6-1 优美解法后点移到/点，/点 移 到 c 点，则D AD C=3X2iX 1 X 1 X 1=6，答案|反思感悟(1)一般解法利用了转化思想，把

37、三棱锥一叱的体积转化为三棱锥A 如 6的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求.（2）在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法.【自主体验】如图，在三棱柱/以一/以G中，侧棱4 4 与侧面B C C B的距离为2,侧面B C C R的面积为4,此三棱柱W 46K的体积为俯视图B解 析 补 形 法 将 三棱柱补成四棱柱，如图所示.记 4到平面B C C B的距离为d,则d=2.1 1 c 1则限2、二 二 节B答 案 4课 时 题组训练对应学生用书P 3 0 9基础巩固题组（建议用时：4 0 分钟）一、选择题1.（2 0 1 3 广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则

38、该四棱台的体积是（）.：4 X 2=4.阶悌训练练出高红U正视图 侧视图I1 _ _ _ _14 八 16A.4 B.-C.-D.6o J解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1 的正方形；下底面是边长为2的正方形，高为2.山棱台的体积公式可知该四棱台的体积K=1（12+V FX?+22）X 2=:,故选B.答 案 B2.（2013 湖南卷）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）.-D4解析 由俯视图的面积为1 可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为1,当正视图的方向与正方体

39、的对角面即合或4CG4垂直时，正视图的面积最大，其 值 为 由 于 正 视 图 的 方 向 不 同，因此正视图的面积S e i,例.故 选 C.答 案 C3.（2014 许昌模拟）如图所示，一个空间儿何体的正视图和侧视图都是边长为1 的正方形,俯视图是一个直径为1 的圆，那么这个几何体的表面积为（）.正视图 侧视图3A.4 n B.-n C.3 冗 D.2n解析 由三视图可知，该几何体是一-个圆柱，S表=2X m X&+JT X 1X 1=#答 案 B如图，在多面体1 比 婀 中，已知4 筋 是 边 长 为 1的正方形，且6。、均为正三角形，EF/A B,E F=2,则该多面体的体积为（）.A

40、芈B.平熄D.|o J J /解 析 如 图，分别过点4 6 作厮的垂线，垂足分别为G,H,连接如，C H,容易求得比=H F=2 A G GD BH SAMS=1 =,.，=%-+%-+4 析版2-匕OMC=：X乎X/X2+*X 1=坐.故选 A.答 案 A5.（2 0 1 2 新课标全国卷）平 面a截 球。的球面所得圆的半径为1,球 心 0 到 平 面a的距离为班，则此球的体积为（）.A.乖 贝 B.4 7 3 C.4 m l e I）.6布 加解析如图，设截面圆的圆心为0为截面圆上任点，贝 IJ 0 0=巾,O M=,：.0 M=q 小?+1=#,即球的半径为水,./=（m 尸=4 乖

41、匕O答 案 B二、填空题6.（2 0 1 3 辽宁卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2,高为 4,故体积为1 6 h正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为1 6,所以几何体的体积为1 6 J I-1 6.答 案 1 6 n-1 67.（2 0 1 3 陕西卷）某几何体的三视图如图所示，则其体积为俯视图恻视图解析该几何体为一个半圆锥，故其体积为1 1 ,nr=-X-X I t X 12X 22=n答 案 五8.（2 0 1 3 江苏卷）如图，在三棱柱4 由G4r中，I）,E,6分别是4?,A C,4 4 的中

42、点,设三棱锥厂一/龙的体积为九三棱柱4夕。一4a 的 体 积 为 则 匕：K=解析 设三棱柱4844%的高为力，底面三角形/的面积为S,则=5的,即匕：V i 1 ：2 4.答 案 1 ：2 4三、解答题9.如图,已知某几何体的三视图如下（单 位:c m）：I:(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体4G及直三棱柱6G上4 4 的组合体.由用产9=:cm,AxDx=AD=2 cm,可得力故所求几何体的表面积5=5X22+2X 2X/2+2X1X(2)2=22+472(cm2),体积 23+1

43、X(-72)2X2-10(cm3).1 0.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3 r,水面半径1%的长为十 八 则容器内水的体积为V=K,-(小r)?3 r-将球取出后，设容器中水的深度为力，则水面圆的半径为号4从而容器内水的体积为O 3 n 3 7 9 n 由 勺/，得力=郭卫二能力提升题组（建议用时：2 5分钟）一、选择题1.已知球的直径S C=4,A,6是该球球面上的两点，AB=p Z A S C

44、=Z BS C=30 ,则棱锥 S/成 的体积为（）.A.3#B.2m C.m D.1解析 由题意知，如图所示，在棱锥S-4 8 C 中，必C,肱都是有一个角为3 0 的直角三角形，其中S C=4,所 以 以=替 24，A C=B C=2,作 血 S C 于点，连接A D,易证S C I 平 面 因 此 -做=4=m.答 案 C2.（2 0 1 3 临沂一模）具有如图所示的正视图和俯视图的儿何体中，体积最大的几何体的表面积为（）._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ kH-3-!正视图俯裾图A.3 B.7+3 27C.-J t D.1 4解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可

45、能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为 2（1 X 3 +I X 1+3 X 1）=1 4.答 案 D二、填空题3.如图，已知正三棱柱4?。一/心6的底面边长为2 cm、高为5 c m,则一质点自点/出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点4的 最 短 路 线 的 长 为(cm).解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为4 5?+蜃=1 3 (cm).6 6答 案 1 3三、解答题4.如 图 1,在直角梯形4 及力中，N4r=9 0

46、 ,C D/A B,4 4 4,Ag g 2,将沿力 C 折起，使平面/d平 面/比 得 到 几 何 体 丘 脑 如 图 2 所示.(1)求证：比，平面/微(2)求 几 何 体 a 的体积.(1)证 明 在 图 中，可得1 C=6 C=2 啦，从而 AG+BC=AE,故 A C 1BC,又 平 面 平 面 4 7 G平面A DC H平面A BC=A C,比U平面应茬，；.6 C _ L 平面 A C D.解 由可知，优为三棱锥笈一/5 的高，BC=2y 2,反。=2,二展卬=；酸 笈=4o OX2X2/=芈，由等体积性可知，儿何体A/f%的体积为华.O O学 生 用 书 第1 1 1页第3讲

47、空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲1 .理解空间直线、平面位置关系的定义.2 .了解可以作为推理依据的公理和定理.3 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.诊断:基础知识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1 .平面的基本性质(1)公 理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.(3)公 理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(4)公理2的三个推论推 论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一-个平面；

48、推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2 .空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系 平行共面直线:I相父异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设a,8是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a /a,b /b,把a 与少所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与。所成的角(或夹角).范围：(0，-y.(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.（2）平面与平面的位置关系有平行

49、、相交两种情况.辨 析 感 悟1 .对平面基本性质的认识（1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.（X）（2）两个平面。，有一个公共点/,就 说。，相交于/点，记 作。C尸=4（X）（3）（教材练习改编）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（J）（4）（教材练习改编）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（X）2 .对空间直线关系的认识（5）已知a,6 是异面直线、直 线 c 平行于直线a,那 么。与 6 不可能是平行直线.（J）（6）没有公共点的两条直线是异面直线.（X）感 悟 提升1.一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如 有且只有、“只能”、“最多”等.如

50、（1）中两个不重合的平面还可把空间分成三部分.2.两 个 防 范 一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如（2）；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如（4）.3.一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如（6）.突 破高频考点 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _以例求法举反三考点一平面的基本性质及其应用【例 1】（1）以下四个命题中，正确命题的个数是（）.不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点4 B,C,共面，点 4 B,C,6 共面，则 4 B,C,D,共面；若直线a,