立体几何题库一.pdf

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1、立 体 几 何 基 础 题 题 库 一(有 详 细 答 案)1、二 面 角 a-/-力 是 直 二 面 角，Aea,B e。,设 直 线 4 8与 a、夕 所 成 的 角 分 别 为 N 1和/2,则(A)Zl+Z2=90(B)N l+/2 2 9 0(C)Nl+N2W90(D)Z l+Z 2 Z2 ZABO+Z1=90/.Z2+Z1 902.下 列 各 图 是 正 方 体 或 正 四 面 体，P,Q,R,S分 别 是 所 在 棱 的 中 点，这 四 个 点 中 不 共 面 的 个 图 是(A)(B)(C)(D)D解 析：A 项：P S 底 面 对 应 的 中 线，中 线 平 行 QS,PQR

2、S是 个 梯 形 C项：是 个 平 行 四 边 形 D项：是 异 面 直 线。3.有 三 个 平 面 a,y,下 列 命 题 中 正 确 的 是(A)若 a,，两 两 相 交，则 有 三 条 交 线(B)若 a _ L,a L Y,贝 ij y(C)若 a_Ly,C a=a,Pl y=b,则 a_L6(D)若 a,fi Cl r=0,则 a A y=0D解 析：A 项：如 正 方 体 的 一 个 角，三 个 平 面 相 交，只 有 一 条 交 线。B 项：如 正 方 体 的 一 个 角，三 个 平 面 互 相 垂 直，却 两 两 相 交。C 项：如 图 4.如 图 所 示，在 正 方 体/8

3、C D T 出 C Q I 的 侧 面 内 有 一 动 点 P 到 直 线 43 与 直 线 B Q 的 距 离 相 等，则 动 点 尸 所 在 曲 线 的 形 状 为 C解 析；4 G L 平 面 4 B 1 B _L尸 3,.如 图:距 离 相 等，建 立 坐 标 系 画 图 时 可 以 以 点 向 B 的 中 点 为 原 点 建 立 坐 标 系。5.在 正 方 体 Z8CD-小 B C Q i 中 与 川 成 60 角 的 面 对 角 线 的 条 数 是 C(A)4 条(B)6 条(C)8 条(D)10 条 解 析：如 图 共 8 条。这 样 的 直 线 有 4 条，另 外，这 样 的

4、直 线 也 有 4 条,6.设 4 B,C,。是 空 间 不 共 面 的 四 点，且 满 足 方.就=0,AC AD=0,AB AD=0,则 BCD是（A）钝 角 三 角 形（B）直 角 三 角 形（C）锐 角 三 角 形（D）不 确 定 C解 析:假 设 AB 为 a,AD 为 b,AC 为 c,且。6 C 则,BD=y/a2+h2,CD=y/c2+b2,BC=l a2+C27.设 公 b 是 两 条 不 同 的 直 线，a、B是 两 个 不 同 的 平 面，则 下 列 四 个 命 题（）若 a _L b,a X.a,则 b a a B，a 工 B，则 a a其 中 正 确 的 命 题 的

5、个 数 是 若 a ll a,a X.4,则“J_。若 a _L b,a _L a,6 _L/?,则 a _L()A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3 个 B 解 析：注 意 中 b 可 能 在 a 上；中 a 可 能 在 a 上；中 b a,或 6。均 有&_1.1,故 只 有 一 个 正 确 命 题 8.如 图 所 示，已 知 正 四 棱 锥 SABCD侧 棱 长 为 后，底 面 边 长 为 百，E 是 S A的 中 点，则 异 面 直 线 B E与 SC所 成 角 的 大 小 为 A.90 B.60C.45 D.30B 解 析：平 移 S C到 S石，运 用 余 弦 定 理 可 算

6、得 B E=S Z=S B=V I9.对 于 平 面 M 与 平 面 N,有 下 列 条 件:M、N 都 垂 直 于 平 面 Q;M、N 都 平 行 于 平 面 Q;M内 不 共 线 的 三 点 到 N 的 距 离 相 等;/,M 内 的 两 条 直 线,且/M,m/N;/,m 是 异 面 直 线，且/M,m/M;/N,m/N,则 可 判 定 平 面 M 与 平 面 N 平 行 的 条 件 的 个 数 是()A.1 B.2 C.3只 有、能 判 定 M/N,选 B10.已 知 正 三 棱 柱 ABCA iB iC i中,A|B_LCBi，则 A】B 与 A G所 成 的 角 为(A)45(B)

7、60(C)90(D)120C 解 析：作 C D L A B于 D,作 C|D A B 于 D 1,连 B Q、ADP易 知 A D B Q i是 平 行 四 边 形，由 三 垂 线 定 理 得 A|B，A G，选 C。11.正 四 面 体 棱 长 为 1,其 外 接 球 的 表 面 积 为 3 5A.J 3 B.C.D.3 开 2 2解 析：正 四 面 体 的 中 心 到 底 面 的 距 离 为 高 的 l/4o(可 连 成 四 个 小 棱 锥 得 证 1 2.设 有 如 下 三 个 命 题：甲：相 交 直 线/、m 都 在 平 面 a 内，并 且 都 不 在 平 面 B 内；乙：直 线/、

8、m 中 至 少 有 一 条 与 平 面 6 相 交；丙：平 面 a 与 平 面 B相 交.当 甲 成 立 时，A.乙 是 丙 的 充 分 而 不 必 要 条 件 B.乙 是 丙 的 必 要 而 不 充 分 条 件 C.乙 是 丙 的 充 分 且 必 要 条 件 D.乙 既 不 是 丙 的 充 分 条 件 又 不 是 丙 的 必 要 条 件 解 析：当 甲 成 立，即“相 交 直 线/、m 都 在 平 面 a 内，并 且 都 不 在 平 面 8 内”时，若“/、m 中 至 少 有一 条 与 平 面 6 相 交”，则“平 面 a 与 平 面 B 相 交.”成 立；若“平 面 a 与 平 面 B 相

9、 交”，则“/、m 中 至 少 有 一 条 与 平 面 B 相 交”也 成 立.选（C）.13.已 知 直 线“、及 平 面 二,其 中 相，那 么 在 平 面 a 内 到 两 条 直 线 机、距 离 相 等 的 点 的 集 合 可 能 是：（1）一 条 直 线；（2）一 个 平 面；（3）一 个 点；（4）空 集.其 中 正 确 的 是 解 析：（1）成 立，如 机、都 在 平 面 内，则 其 对 称 轴 符 合 条 件；（2）成 立，机、在 平 面 a 的 同 一 侧，且 它 们 到 a 的 距 离 相 等，则 平 面 a 为 所 求，（4）成 立，当 7、N 所 在 的 平 面 与 平

10、面 a 垂 直 时，平 面 a 内 不 存 在 到 根、距 离 相 等 的 点 14.空 间 三 条 直 线 互 相 平 行，由 每 两 条 平 行 线 确 定 一 个 平 面，则 可 确 定 平 面 的 个 数 为（）A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3解 析：C 如 三 楂 柱 的 三 个 侧 面。15.若 a、6 为 异 面 直 线，直 线 c o,则 c与 6 的 位 置 关 系 是 A.相 交 B.异 面 C.平 行 D.异 面 或 相 交)解 析：D 如 正 方 体 的 棱 长。16.在 正 方 体 AiBiGDiABCD 中,AC 与 B QA.6B-7C.71

11、TD.712解 析：D B Q 在 平 面 A C 上 的 射 影 B D 与 A C 垂 直，根 据 三 垂 线 定 理 可 得。17.如 图，点 P、Q、R、S 分 别 在 正 方 体 的 四 条 棱 上，并 且 是 所 在 棱 的 中 点，则 直 线 PQ 与 RS是 异 面 直 线 的 一 个 图 是（）解 析：c A,B 选 项 中 的 图 形 是 平 行 四 边 形，而 D 选 项 中 可 见 图:18.如 图，是 一 个 无 盖 正 方 体 盒 子 的 表 面 展 开 图，A、B、C 为 其 上 的 三 个 点，则 在 正 方 体 盒 子 中,解 析：B 如 图 A 右 图 是

12、一 个 正 方 体 的 展 开 图，在 原 正 方 体 中，有 下 列 命 题:A B 与 C D 所 在 直 线 垂 直；A B 与 M N 所 在 直 线 成 60角;其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 A.B.C D 与 EF所 在 直 线 平 行 M N 与 EF所 在 直 线 异 面()C.D.解 析：DD BO19.线 段 OA,OB,小 不 共 面,Z AOB=Z BOO Z 物=60,24=1,吩 2,妗 3,则 是()A.，；边 三 角 形 B 1等 边 的 等 腰 三 角 形C.锐 角 三 角 形 D.钝 角 三 角 形 解 析：B.设 AC=x,AB=y,BC=z,由

13、 余 弦 定 理 知：x=l2+32-3=7,y=l2+22-2=3,z=22+3-6=7,/比 1是 不 等 边 的 等 腰 三 角 形，选（皮.2 0.若 a,b,/是 两 两 异 面 的 直 线，a 与 8 所 成 的 角 是 工，1与 a、/与 6 所 成 的 角 都 是 二,3则。的 取 值 范 围 是（）7 1 5 万、A.一，6 6.兀 兀、B.3 2净 净 D.6 2解 析：DTT解 当/与 异 面 直 线 a,。所 成 角 的 平 分 线 平 行 或 重 合 时，a 取 得 最 小 值 勺，当/与 a、6 的 公 垂 线 平 行 6时，a 取 得 最 大 值 乙，故 选（）.

14、221.小 明 想 利 用 树 影 测 树 高，他 在 某 一 时 刻 测 得 长 为 1m的 竹 竿 影 长 0.9 m,但 当 他 马 上 测 树 高 时，因 树 靠 近 一 幢 建 筑 物，影 子 不 全 落 在 地 面 上，有 一 部 分 影 子 上 了 墙 如 图 所 示.他 测 得 留 在 地 面 部 分 的 影 子 长 2.7 m,留 在 墙 壁 部 分 的 影 高 1.2m,求 树 高 的 高 度（太 阳 光 线 可 看 作 为 平 行 光 线）4.2 米 解 析：树 高 为 A B,影 长 为 BE,C D为 树 留 在 墙 上 的 影 高，.C.DJ=1 2=1,C E=1

15、.08米，树 影 长 CE CE 0.9BE=2.7+1.08=3.78 米,树 高 AB=-BE=4.2 0.922.如 图，正 四 面 体 A-B C D（空 间 四 边 形 的 长 及 两 对 角 线 的 长 都 相 等）中，瓦 尸 分 别 是 棱 N O,8 c的 中 点，则 四 条 边产 和/C 所 成 的 角 的 大 小 是.解 析：设 各 棱 长 为 2,贝 IJEF=J5,取 A B 的 中 点 为 M,=.即 e=工.2 423.OX,OY,O Z 是 空 间 交 于 同 一 点 O 的 互 相 垂 直 的 三 条 直 线，点 尸 到 这 三 条 直 线 的 距 离 分 别

16、为 3,4,7,则。尸 长 为.解 析：在 长 方 体 OX4-Z8PC 中，OX、OY.OZ 是 相 交 的 三 条 互 相 垂 直 的 三 条 直 线。又 PZLOZ,PYL OY,PX1.O X,有 O*+OZ2=49,。/=.=9,OY2+OZ2=16,得 5+0+M=37,0六 所.24.设 直 线 a上 有 6 个 点，直 线 8上 有 9 个 点，则 这 15个 点，能 确 定 个 不 同 的 平 面.解 析：当 直 线。，b共 面 时，可 确 定 一 个 平 面；当 直 线 b异 面 时，直 线 a 与 6上 9 个 点 可 确 定 9 个 不 同 平 面，直 线 b 与。上

17、6 个 点 可 确 定 6 个 不 同 平 面，所 以 一 点 可 以 确 定 15个 不 同 的 平 面.25.在 空 间 四 边 形 ABCD 中，E,F 分 别 是 AB,B C 的 中 点.求 证：EF和 A D 为 异 面 直 线.解 析：假 设 EF利 A D 在 同 一 平 面 a 内，（2 分），则 A,B,E,Fe a；.（4 分）又 A,Ee AB,.,.ABC a,.-.Bea,.（6 分）同 理 C e a.（8 分）故 A,B,C,D e a,这 与 ABCD 是 空 间 四 边 形 矛 盾。，EF和 A D 为 异 面 直 线.26.在 空 间 四 边 形 ABCD

18、 中，E,H 分 别 是 AB,A D 的 中 点，F,G 分 别 是 CB,C D 的 中 点，若 AC+BD=a,AC-BD=b,求 E G2+F H2.A解 析：四 边 形 EFGH是 平 行 四 边 形，.（4 分）E/E G2+F H2=2(EF2+F G2)=-(A C2+B D2)-(a2-2b)27.如 图，在 三 角 形/A B C 中，ZACB=90,AC=b,BC=a,P 是/ABC 所 在 平 面 外 一 点，PB1AB,点，A B 1 M C,求 异 面 直 M C 与 PB 间 的 距 离.解 析:作 MN AB 交 PB 于 点 N.(2 分”；PB_LAB,.B

19、PB_LMN.M 是 PA的 中 AB（4 分）又ABMC,AMNMC.（8 分）MN即 为 异 面 直 线 MC与 PB的 公 垂 线 段，（10分）其 长 度 就 是 MC与 PB之 间 的 距 离，则 得 MN=1 AB=1 y/a2+h2.2 228.已 知 长 方 体 ABCD-A|B|GD|中,A|A=AB,E、F 分 别 是 BD|和 A D 中 点.（1）求 异 面 直 线 CD1、EF所 成 的 角；（2）证 明 EF是 异 面 直 线 A D 和 BDI的 公 垂 线.（1）解 析：.在 平 行 四 边 形 中，E 也 是 2。的 中 点，所 G。，（2 分）两 相 交 直

20、 线 D C 与 CD.所 成 的 角 即 异 面 直 线 CD,与 EF所 成 的 角.分）又 _ 力 A,A=AB,长 方 体 的 侧 面 都 是 正 方 形-A，D IC C DI q，E.异 面 直 线 CD|、EF所 成 的 角 为 90.（7 分）B|/（2）证：设 AB=AAi=。，：口 正=a2+=BF,E F l B D）.（9 分）由 平 行 四 边 形 A 4 0 G，知 E 也 是 N G 的 中 点，且 点 E 是 长 方 体 ABCDAiBCiDi的 对 称 中 心，（12分）；.EA=ED,A E F 1 A D,又 EFJ_BD”，EF 是 异 面 直 线 BD

21、|与 A D 的 公 垂 线.（14分）29./A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，在/A B C 所 在 平 一 点 P,PB=PC=,P A=-,延 长 BP 至 D,使 2 2BD=J7,E 是 B C 的 中 点，求 A E 和 C D 所 成 角 的 大 小 条 直 线 间 的 距 离.解 析:分 别 连 接 PE和 CD,可 证 PE/CD,（2 分）则 NPEAA E 和 C D 所 成 角.（4 分）在 Rt/PBE中，面 外 有 和 这 两 即 是P B_ V 72r 3 9/J 3d-BE=1,.PE=在/AEP 中，A E=G，COSNAEP=2 2.6

22、也 2_2ZAEP=60,即 AE 和 CD 所 成 角 是 60。.（7 分）VAE1BC,PEJ_BC,PE DC,.CDLBC,；.CE为 异 面 直 线 AE和 CD的 公 垂 线 段,（12分）它 们 之 间 的 距 离 为 1.（14分）30.在 正 方 体 ABCDAIB C IDI 中，E,F,G,H,M,N 分 别 是 正 方 体 的 棱 AB,BC,C G，G A，A 4 的 中 点，试 证：E,F,G,H,M,N 六 点 共 面.解 析：；EN/MF,：.EN与 M F 共 面 a,（2 分）又 EF/MH,；.EF和 M H 共 面/?.（4 分）：不 共 线 的 三

23、点 E,F,M 确 定 一 个 平 面，（6 分）.平 面 a 与 4 重 合，.点 I k a。（8 分）同 理 点 Ge a.（10分）故 E,F,G,H,M,N 六 点 共 面.31.三 个 互 不 重 合 的 平 面 把 空 间 分 成 六 个 部 份 时，它 们 的 交 线 有()A.1条 B.2 条 C.3 条 D.1条 或 2 条 D解 析：分 类：1）当 两 个 平 面 平 行，第 三 个 平 面 与 它 们 相 交 时，有 两 条 交 线；2）当 三 个 平 面 交 于 一 条 直 线 时，有 一 条 交 线，故 选 D32.两 两 相 交 的 四 条 直 线 确 定 平 面

24、 的 个 数 最 多 的 是()A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8 个 解 析：C 如 四 棱 锥 的 四 个 侧 面，。：=6 个。33.在 空 间 四 边 形 A B C D 的 边 A B、BC、C D、D A 上 分 别 取 E、F、G、于 点 M,则 H 四 点 如 果 E F 与 H G 交（）A.M 一 定 在 直 线 A C 上 B.M 一 定 在 直 线 B D 上 C.M 可 能 在 A C 上，也 可 能 在 B D 上 D.M 不 在 A C 上，也 不 在 B D 上 解 析：I平 面 ABCCI平 面 A C D=A C,先 证 M d 平 面 ABC,M

25、d 平 面 A C D,从 而 M W A CA3 4.用 一 个 平 面 去 截 正 方 体。其 截 面 是 一 个 多 边 形，则 这 个 多 边 形 的 边 数 最 多 是 解 析：6 条 35.已 知：a a,b a,a rb-A,Pe b,PQHa.求 证：PQ u a.（12分）本 题 主 要 考 查 用 平 面 公 理 和 推 论 证 明 共 面 问 题 的 方 法.解 析：PQ 见，P Q与。确 定 一 个 平 面 直 线 a u 点 Pw p.,：p e b,b u a,:,p e a又 a u a/.a与 合/.P Q ua36.已 知 AABC三 边 所 在 直 线 分

26、别 与 平 面 a 交 于 P、Q、R三 点，求 证：P、Q、R三 点 共 线。（12分）本 题 主 要 考 查 用 平 面 公 理 和 推 论 证 明 共 线 问 题 的 方 法 解 析：:A、B、C 是 不 在 同 一 直 线 上 的 三 点.,.过 A、B、C 有 一 个 平 面 夕 点 尸 既 在 夕 内 又 在 a 内,设 a c 尸=/,则 p e/.同 理 可 证：Q e/，Re/尸,。,火 三 点 共 线.37.已 知：平 面 a c 平 面=u=4。U 且。a,求 证：b、c 是 异 面 直 线 解 析：反 证 法：若 b 与 c 不 是 异 面 直 线，则 b c 或 b

27、与 c 相 交 若 6/c./a/c,a b这 与 a c b=A矛 盾（2）若 b,c相 交 于 民 则 Be 0,又 a c b=A,;.A s 0/.AB cz B，即 6 u/J&与 b r 0=/矛 盾.b,c是 异 面 直 线.3 8.在 空 间 四 边 形 A BCD中，AD=BC=2,E、F 分 别 是 AB、C D的 中 点，E F=J J,求 A D与 B C所 成 角 的 大 小（本 题 考 查 中 位 线 法 求 异 面 二 直 线 所 成 角）解 析：取 B D中 点 M,连 结 EM、M F,则 EM/AD,iLEM=-A D=1,M F/B C iiM F=-S

28、C=l,2 2在 AAffi尸 中，：EF=由 余 弦 定 理 得 cosZEMF=EM+1旧 一 F-=1+1-3=_J_2-E M-M F 2 2NEMF=120异 面 直 线 4。,8 c所 成 角 的 大 小 为 603 9.如 图，在 正 方 体 ABCDA|B|C|D|中，M、N 分 别 为 棱 A A|和 BB1的 中 点，求 异 面 直 线 CM与 D|N所 成 角 的 正 弦 值.（14分）（本 题 考 查 平 移 法，补 形 法 等 求 异 面 二 直 线 所 成 角）A、H解 析：取 DD1中 点 G,连 结 BG,MG,MB,G C得 矩 形 MB（）则 B G和 M

29、C所 成 的 角 为 异 面 直 线 C M与 D|N所 成 的 角.MC2=M A-+AC1=g a）2（设 正 方 体 的 棱 长 为 a）BC=acos Z5OC=-,sin ZBOC=9 9而 C M与 D|N所 成 角 的 正 弦 值 为 生 594 0.如 图，P 是 正 角 形 A B C所 在 平 面 外 一 点，M、N 分 别 是 A B两（1）求 证：M N是 A B和 P C的 公 垂 线（2）求 异 面 二 直 线 A B和 P C之 间 的 距 离 解 析：（1）连 结 AN,BN,A PC与 a B P C 是 全 等 的 正 三 角 形，又 N 是 P C的 中

30、点；.AN=BN又：M 是 A B的 中 点，.M N A B同 理 可 证 M N 1PC又：M NnAB=M,MNDPC=NA M N是 A B和 P C的 公 垂 线。（2）（:等 腰 在 角 形 ANB 中,.AN=BN=a,AB=a,.MN=AN1=a即 异 面 二 直 线 A B 和 P C 之 间 的 距 离 为 正 q.241空 间 有 四 个 点，如 果 其 中 任 意 三 个 点 都 不 在 同 一 条 直 线 上,那 么 经 过 其 中 三 个 点 的 平 面 A.可 能 有 3 个，也 可 能 有 2 个 B.可 能 有 4 个，也 可 能 有 3 个 C.可 能 有

31、3 个，也 可 能 有 1个 D.可 能 有 4 个，也 可 能 有 1个 解 析：分 类，第 一 类，四 点 共 面，则 有 一 个 平 面，第 二 类，四 点 不 共 面，因 为 没 有 任 何 三 点 共 线，则 任 何 三 点 都 确 定 一 个 平 面，共 有 4 个。.42.下 列 命 题 中 正 确 的 个 数 是 三 角 形 是 平 面 图 形 四 边 形 是 平 血 图 形 四 边 相 等 的 四 边 形 是 平 面 图 形 矩 形 一 定 是 平 面 图 形 A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解 析：命 题 是 正 确 的，因 为 三 角 形 的 三 个 顶 点

32、 不 共 线，所 以 这 三 点 确 定 平 面。命 题 是 错 误，因 平 面 四 边 形 中 的 一 个 顶 点 在 平 面 的 上、下 方 向 稍 作 运 动，就 形 成 了 空 间 四 边 形。命 题 也 是 错 误，它 是 上 一 个 命 题 中 比 较 特 殊 的 四 边 形。命 题 是 正 确 的，因 为 矩 形 必 须 是 平 行 四 边 形，有 一 组 对 边 平 行，则 确 定 了 一 个 平 面。43.如 果 一 条 直 线 上 有 一 个 点 不 在 平 面 上，则 这 条 直 线 与 这 个 平 面 的 公 共 点 最 多 有 1个。解 析：如 果 有 两 个，则 直

33、 线 就 在 平 面 内，那 么 直 线 上 的 所 有 点 都 在 这 个 平 面 内，这 就 与 已 知 有 一 个 点 不 在 平 面 上 矛 盾，所 以 这 条 直 线 与 这 个 平 面 的 公 共 点 最 多 有 一 个。44.空 间 一 条 直 线 及 不 在 这 条 直 线 上 的 两 个 点，如 果 连 结 这 两 点 的 直 线 与 已 知 直 线，则 它 们 在 同 一 平 面 内。答 案：相 交 或 平 行 解 析：根 据 推 论 2,推 论 3 确 定 平 面 的 条 件。45.三 角 形、四 边 形、正 六 边 形、圆，其 中 一 定 是 平 面 图 形 的 有 3

34、 个。解 析：三 角 形 的 三 个 顶 点 不 在 一 条 直 线 上，故 可 确 定 一 个 平 面，三 角 形 在 这 个 平 面 内；圆 上 任 取 三 点 一 定 不 在 一 条 直 线 上，这 三 点 即 确 定 一 个 平 面，也 确 定 了 这 个 圆 所 在 的 平 面，所 以 圆 是 平 面 图 形；而 正 六 边 形 内 接 于 圆，故 正 六 边 形 也 是 平 面 图 形；而 四 边 形 就 不 一 定 是 平 面 图 形 了，它 的 四 个 顶 点 可 以 不 在 同 一 平 面 内。46.三 条 平 行 直 线 可 以 确 定 平 面 个。答 案：1个 或 3 个

35、解 析：分 类、一 类 三 线 共 面，即 确 定 一 个 平 面，另 一 类 三 线 不 共 面，每 两 条 确 定 一 个，可 确 定 3 个。47.画 出 满 足 下 列 条 件 的 图 形。(1)a A 0=1,a U a,b U B,aOb=A(2)a n B=a,b U B,b a解 析：如 图 1-8-甲，1-8-乙 图 1-848.经 过 平 血。外 两 点 A,B 和 平 面 以 垂 直 的 平 面 有 几 个？解 析：一 个 或 无 数 多 个。当 A,B 不 垂 直 于 平 面。时，只 有 一 个。当 A,B 垂 直 于 平 面 a 时，有 无 数 多 个。49.设 空

36、间 四 边 形 ABCD,E、F、G、H 分 别 是 AC、BC、DB、DA的 中 点，若 AB=12/,CD=4 J5,且 四 边 形 EFGH的 面 积 为 12 V3,求 AB和 CD所 成 的 角.解 析：由 三 角 形 中 位 线 的 性 质 知，HGZAB,HE/CD,.二/HG就 是 异 面 直 线 AB和 CD所 成 的 角.,/EFGH是 平 行 四 边 形，HG=，A B=6&,2AB和 CD所 成 的 角 为 45。注：本 例 两 异 面 直 线 所 成 角 在 图 中 已 给，只 需 指 出 即 可。V 250.点 A 是 BCD所 在 平 面 外 一 点，AD=BC,

37、E、F 分 别 是 AB、CD的 中 点，且 EF=AD,和 BC所 成 的 角。（如 图）解 析：设 G 是 AC中 点，连 接 DG、FG。因 D、F 分 别 是 AB、点，故 EGZBC 且 EG=L BC,FGZ W,且 FG=，AD,由 异 面 直 2 2成 角 定 义 可 知 EG与 FG所 成 锐 角 或 直 角 为 异 面 直 线 AD、BC角，即 2 GF为 所 求。由 BC=AD知 EG=GF=，AD,又 EF=AD.2弦 定 理 可 得 cos*GF=0,即 dGF=90。求 异 面 直 线 ADCD中 线 所 所 成 由 余 注：本 题 的 平 移 点 是 A C 中

38、点 G,按 定 义 过 G 分 别 作 两 条 异 面 直 线 的 平 行 线，然 后 在 4 E F G 中 求 角。通 常 在 出 现 线 段 中 点 时,中 位 线，既 可 用 平 行 关 系，又 可 用 线 段 的 倍 半 关 系。常 取 另 一 线 段 中 点,出 了 以 构 成 51.已 知 空 间 四 边 形 A B C D 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分 别 为 BC、A D 的 中 点。求：A M 与 C N 所 成 的 角 的 余 弦 值；解 析：连 接 DM,过 N 作 NE AM交 D M 于 E,则/CNE为 A M 与 C N 所 成 的 角。V

39、 N 为 A D 的 中 点,NE/AM省?.NE=|A M 且 E 为 M D 的 中 点。设 正 四 面 体 的 棱 长 为 1,则 N C=L=走 且 M E=，MD=2 2 43 1 7在 RtaMEC 中，CE2=ME2+CM2=+-=16 4 1622 2 2(务+(与-.C N2+N E2-C E2 4/I 4.cosZCNE=-=-尸 f=2-CN-NE 2 3 立.了,4716 2-=-3兀 又./CNE G(0,-)22，异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 余 弦 值 为 一.3注：1、本 题 的 平 移 点 是 N,按 定 义 作 出 了 异 面 直 线 中 一

40、条 的 平 行 线，然 后 先 在 4CEN外 计 算 CE、CN、EN长，再 回 到 aCEN中 求 角。2、作 出 的 角 可 能 是 异 面 直 线 所 成 的 角，也 可 能 是 它 的 邻 补 角，在 直 观 图 中 无 法 判 定，只 有 通 过 解 三 角 形 后，根 据 这 个 角 的 余 弦 的 正、负 值 来 判 定 这 个 角 是 锐 角（也 就 是 异 面 直 线 所 成 的 角）或 钝 角（异 面 直 线 所 成 的 角 的 邻 补 角）。最 后 作 答 时，这 个 角 的 余 弦 值 必 须 为 正。52.如 图 所 示，在 空 间 四 边 形 A B C D 中，

41、点 E、F 分 别 是 B C、A D 上 的 点，已 知 AB=4,CD=20,EF=7,A T 7 RF 1-=-.求 异 面 直 线 A B 与 C D 所 成 的 角。F D E C 31解 析：在 B D 上 取 一 一 点 G,使 得 一=,连 结 EG、FGG D 3在 B C D 中，一=，故 EG CD,并 月.E C G DE G B EC D _ 5 C _ 4 F G D F所 以，EG=5；类 似 地，可 证 FG/AB,且=AB A D故 FG=3,在 A E F G 中，利 用 余 弦 定 理 可 得 cosZFGE=空*土 三 立 E2 E G G F 2-3-

42、5故 NFGE=120。2另 一 方 面，山 前 所 得 EG CD,FG/AB,所 以 E G 与 F G 所 成 的 锐 角 等 于 A B 与 C D 所 成 的 角，于 是 A B 与 C D 所 成 的 角 等 于 60。53.在 长 方 体 ABCD-ABGDi中,AA产 c,AB=a,AD=b,且 a b.求 A G 与 BD所 成 的 角 的 余 弦.解 一：连 AC,设 A C C B D R,则 0 为 AC中 点，取 G C 的 中 点 F,连 O F,贝 i j OF A C 1 且 OF=AC1,2所 以 N F O B 即 为 A C 1 与 D B 所 成 的 角

43、。在 A F O B 中，OB“？+从,a2+b2+c2,2 2BE=；亚+卜 2,由 余 弦 定 理 得 AB+/)+；(/+b2+c2)-(Z2+1 c2)a2 _b2cos Z OB=-=2-a2+b2 a2+b2+c2 a2+b2)(a2+b2+c2)解 二：取 AC中 点 Oi,BiB中 点 G.在 ACQiG中，N C Q G 即 AC1与 D B 所 成 的 角。解 三：.延 长 CD到 E,使 ED=DC.则 ABDE为 平 行 四 边 形.AE BD,所 以/EAG即 为 AC与 BD所 成 的 角.连 EG,在 AEC1中，AE=V2+b2,AC1=Ja，+/+c，,ClE

44、=74t/2+c2 由 余 弦 定 理，得 cosZEACi=(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)2-Va2+b-+b2+c2b2-a2,-/3,SC=2cos ZSCA 22cos X.BA C=-.，V17cosO=H,即 异 面 直 线 SC与 A B 所 成 角 为 arccosZ。17 1755.已 知 平 行 六 面 体 N 8 C Q-4 8 c A 的 底 面 ABCD 是 菱 形，且 Z CCB=z q CD=ZBCD=60,证 明 CC1D.（略 去 了 该 题 的 2,3 问）解 析：设 3 在 平 面 ABCD 内 射 影 为 H,则 C H 为 C,

45、C在 平 面 ABCD射 影，内 的 cosNGCD=c o s N C C-cos Z D C H,/.cosZCC5=cosNCCH-cosZ.BCH,由 题 意 NCCD=N C】CB,:.cos/DCH=cos N B C H.又 V ZDCH,Z B C H：.Z D C H=Z B C H,从 而 C H 为 Z D C B 的 平 分 线,又 四 边 形 ABCD 是 菱 形，CHLBDG C 与 B D 所 成 角 为 90,即 G C 1 B D56.在 正 四 面 体 ABCD 中，E,F 分 别 为 BC,A D 的 中 点,求 异 面 直 线 A E 与 CF所 成 角

46、 的 大 小。解 析：连 接 BF、EF,易 证 ADJ_平 面 BFC,EF为 A E 在 平 面 BFC内 的 射 影，设 A E 与 CF所 成 角 为。，cos 0=cos ZAEF-cos ZCFE,设 正 四 面 体 的 棱 长 为 a，则 AE=CF=BF=a,显 然 EF1BC,E F a2/.cos 0=57.三 棱 柱 圈，平 面。8 A g，平 面 OAB,NO|O8=6（T,NNOB=90,且 08=0。=2,。/=内，求 异 面 直 线 与 工。所 成 角 的 大 小,（略 去 了 该 题 的 1问）解 析：在 平 面 B O1内 作 8cLOO1于 C,连 4 C,

47、由 平 面 8 0 a B J 平 面 AOB,NZOB=90知,AO _L平 面 BOO,B,：.A O 1 B C,又 A O r O Ox=O,：.BC_L 平 面/O O M，4 c 为 4 8 在 平 面 Z 0 Q 4 内 的 射 影。设 与 NO1所 成 角 为 e,4 c 与 NO1所 成 角 为%，则 cosgcosNB/Qcos%,由 题 意 易 求 得 B C=A C=2,AB=M，cosN B A、C=A,C _ 2AB.V 7在 矩 形 N O Q 4 中 易 求 得 4 c 与 z g 所 成 角%的 余 弦 值：cos%=昔,cos 0=cos N 8 4 c.c

48、os 02=,即 4 8 与 NO1所 成 角 为 arccosy.58.已 知 异 面 直 线 a 与 6 所 成 的 角 为 50,P 为 空 间 一 定 点，则 过 点 P 且 与 a,6 所 成 的 角 均 是 30。的 直 线 有 且 只 有（）A、1条 B、2 条 C、3 条 D、4 条解 析：过 空 间 一 点 P 作 a a,b,/b,则 由 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义 知：。与 6 的 交 角 为 50,过 P与“，6 成 等 角 的 直 线 与 a,6 亦 成 等 角，设 a,6,确 定 平 面 a,a,6 交 角 的 平 分 线 为/,则 过/且 与 a 垂

49、直 的 平 面（设 为（3）内 的 任 一 直 线/与 片，从 成 等 角（证 明 从 略），由 上 述 结 论 知：/与 a,h所 成 角 大 于 或 等 于/与 a,6所 成 角 25,这 样 在 B 内/的 两 侧 与 a,6 成 30。角 的 直 线 各 有 一 条，共 两 条。在 a,6,相 交 的 另 一 个 角 130内，同 样 可 以 作 过 130角 平 分 线 且 与 a 垂 直 的 平 面 丫，由 上 述 结 论 知，丁 内 任 一 直 线 与 a,6 所 成 角 大 于 或 等 于 65,所 以 丫 内 没 有 符 合 要 求 的 直 线，因 此 过 P 与”，6 成

50、30的 直 线 有 且 只 有 2 条，故 选（B）59.垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 的 位 置 关 系 是（)A.平 行 B.相 交 C.异 面 D.以 上 都 有 可 能 解 析：D60、卜 是 两 条 异 面 直 线，直 线 g、m2与 I2都 相 交，则 g、m2的 位 置 关 系 是（)A.异 面 或 平 行 B.相 交 C.异 面 D.相 交 或 异 面 61.在 正 方 体 A B C D-A B O 中，与 棱 AA，异 面 的 直 线 共 有 几 条（）A.4 B.6C.8 D.10解 析：A62.在 正 方 体 12条 棱 中 能 组 成 异 面 直