2015届高考数学第一轮复习 第八篇 解析几何细致讲解练 理 新人教a版.pdf

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1、第八篇解析几何第 1 讲 直 线 与 方 程 最新考纲1 .在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3 .掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.诊 断 基 础 知 识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理知 识 梳 理1 .直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：当 直 线/与 X 轴相交时，我们取X 轴作为基准，X 轴正向与直线1 向上方向之间所成 的 角。叫做直线/的倾斜角；规定：当 直 线/与 X 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为。；范围：

2、直线的倾斜角。的取值范围是 o,n）.（2）直线的斜率定义：当 直 线/的 倾 斜 角 时，其倾斜角。的正切值t a n。叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母女表示，即 左=皿，；斜率公式:经过两点8（无,力），8（如%）（小工加的直线的斜率公式为A=匕二匕X2Xi2 .直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与 X 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y yb=k(xxo)两点式过两点y-y x-x y-i-y xz-x与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距-+=1a b不过原点且与两坐标轴均不垂直的一般式Ax+By+C=0(#+/W 0

3、)所有直线若点 凡R的坐标分别为（小，W，（般,，线 段 8月 的 中 点 的 坐 标 为（x,y）,则X l+-x=2 ，此公式为线段产出的中点坐标公式.y-v yi辨 析 感 悟1 .对直线的倾斜角与斜率的理解（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.（x）（2）过点材（a,份，Mb,a）（a#6）的直线的倾斜角是4 5 .（X）（3）（教材习题改编）若三点4（2,3）,庾a,l）,以0,2）共线，则 a的值为-2.（J）2 .对直线的方程的认识（4）经过点P（加，的 直 线 都 可 以 用 方 程 表 示.（X）（5）经过任意两个不同的点4（小，%）,月（闻的直线都可以用方程（y-

4、W（X 2 小）=（x一生）（姓一勿）表 示.（J）（6）直 线/过 点 X I,2）且在两坐标轴上的截距相等，则直线，的 方 程 为 y-3=0.（X）感 悟 提升1 .直线的倾斜角与斜率的关系 斜率4 是一个实数，当倾斜角。不9 0 时，A=t a n a.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为9 0。的直线无斜率，如（1）.2 .三个防范一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如（2）；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0,若不确定，则需分类讨论，如（6）.突 破高频考点以 例 求 法 举

5、 反 三考点一直线的倾斜角和斜率【例 1】（1）直线xs i n a+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）.（2）若直线/与直线y=l,x=7 分别交于点尺Q,且线段阁的中点坐标为（1,-1）,则直线1的斜率为（）.1 1 3 2A.-B.C.-D.-O O L t O解 析（1）设直线的倾斜角为,则有t a n g=s i n a,其中sin1,1 ,又。0,兀)，所以0W 夕 或 当。n .故选B.依题意，设点3),则 乳fa+7=.2,2,解 得 L5,I，从而可知一R 1 1直 线 的 斜 率 为 中=.答 案(1)B (2)B规律方法直线倾斜角的范围是1 0,打)，而这个区间不是正切函

6、数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要 分 0,3与 仔，口)两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当a e 0,3 时，斜率4e 0,+o o).当 时，斜率不存在；当。6 管，J 时，斜率Ae(8,o).【训 练 1】经过户(0,-1)作 直 线 若 直 线/与 连 接 1(1,-2),8(2,1)的线段总有公共点，求直线/的倾斜角。的范围.解 法 一 如 图 所 示，-2-1k p?=7=-1,1 U1-13一 r B -j由图可观察出：直 线/倾 斜 角a的 范 围 是 丁，J t I d 0,Y法二 由题意知，直线/存在斜率.设直线1的斜率为k,则直线1的方程为y+l=4x,即

7、k xy1=0.6 两点在直线的两侧或其中一点在直线/上./.(A+2 1)(2k 1 -1)W 0,即 2 (A+1)(1)W0.-1 W AW L.直线/的倾斜角。的范围是 牛，Ju 0,y.考 点 二 求直线的方程【例 2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A 3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点点一1,-3),斜率是直线y=3 x 的斜率的一.(3)过点1(1,-1)与已知直线。2 x+y-6=0 相交于5点,且|4剧=5.解(D 法-设 直 线/在 x,y轴上的截距均为多 若 a=0,即/过 点(0,0)和(3,2),21的方程为尸p,即 2x3y=0.x v若 a W

8、 O,则设/的方程为一+=1,a a3 9；1 过点 2),，一十-=1,a a,.d=5,/的方程为x+y-5=0,综上可知，直线/的方程为2x3六=0 或 x+y 5=0.法二 由题意，所求直线的斜率A存在且左2 0,设直线方程为y2=A(x3),2令 y=0，得 x=3一%,令 x=0,得 尸 23A,2由已知37=2 3kK2解得4=1 或k=1,O2 直 线1的方程为y2=一(X一3)或 y2=可(才-3),o即%+y5=0 或 2x3y=0.(2)设所求直线的斜率为4,依题意又直线经过点4(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=7(*+l),即 3x+4y+15 =0.过 点 加

9、 1,-1)与 y 轴平行的直线为x=l.解方程组，x=l,2x+y6=0,求得8 点坐标为(1,4),此 时|初=5,即 x=l 为所求.设过加1,-1)且与y 轴不平行的直线为y+l=A(xD,解方程组，2 x+y-6=0,y+l=A x1得两直线交点为k+7X k+24 一 2尸 衣+2,JW 2,否则与已知直线平行)则 8 点坐标为鼎(左+7，市4k2、!.由一知H _ l J+(4+2+1)=5 ,3 3解 得 仁 一j,；.y+l=；(x1),即 3 x+4y+l=0.综上可知，所求直线的方程为x=l 或 3 x+4y+l=0.规律方法在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，

10、并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时.，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.【训练2】胞的三个顶点为力(-3,0),8(2,1),0,bc 0,Z?c 0C.ab Q D.a 沃0,bcS解 析 由 题 意，令 x=0,y=-0；令 尸 0,x=：0.即 Z?c 0,ac 0.答 案 A5.（2 0 1 4 郑州模拟）直 线/经 过 点 4（1,2）,在 x轴上的截距的取值范围是（一3,3）,则其斜率的取值范围是（）.A-r

11、b iB.-8,新(1,+)C.(0 ,1)U&+D.(-8,1)U l 2，+解析 设直线的斜率为k,如图，过定点A的直线经过点6时，直 线/在 x 轴上的截距为3,此时A=-1；过定点1的直线经过点C 时，直 线/在 x 轴的截距为一3,此时4=3,满足条件的直线/的斜率范围是（-8,-l）U（j,+8）答 案 D二、填空题6.（2 0 1 4 长春模拟）若点4（4,3）,6（5,a）,以6,5）三点共线，则 a 的值为.5 -3 a3解析 0,f a+1=0,或a2W0 a2W0.a 1.综上可知a的取值范围是(-8,-1.1 0.已知直线/过点历(2,1),且分别与x 轴、y轴的正半轴

12、交于4 E两点，。为原点，是否 存 在 使 面 积 最 小 的 直 线/?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理山.解 存 在.理 由 如 下：设直线/的方程为了-1=瓜了-2)(A 2+2 6=2(8 由于 0 W 6 W 1,故当。=3 时，助取得最大值;.答 案 I三、解答题4.如 图,射 线 物,如 分 别 与 x 轴正半轴成4 5 和 30 角,过 点 P(1,0)作直线四分别交，阳 于 4,6两点，当 4?的中点C恰 好 落 在 直 线 上 时，求直线4?的方程.解 由题意可得 A i=ta n 4 5 =1,A =ta n(18 0 30 )=一 半，所以直线/期：y=x,

13、l os：尸 一 半 x,设 n i),3(一木/?,n),所以四的中点竺乎，皇)由点C 在 尸 步 上，且 4 P,夕三点共线得m+n 1 z y 2=2 2小 一。刀 一 0、为 一 1解 得 片 小,所以力(水，木).又尸(1,0),所 以 上,=然=-一=安 区y/3-l 2所以乙：尸 女 乎(xl),即直线46的方程为(3+，5)x2y3/5 0.第2讲 两条直线的位置关系 最新考纲1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.诊断基 础 知 识 由浅入深夯基固

14、本知 识 梳 理1.两直线平行与垂直(1)两条直线平行对于两条不重合的直线4,1 2,其斜率分别为无，左，则有乙乙0&三&.特别地，当直线h,A的斜率都不存在时，人与A的关系为平行.(2)两条直线垂直如 果 两 条 直 线A的斜率存在，设为左,左，则hLho k k?=l,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时，两条宜线垂直.2.两直线的交点直 线/：4 x+5 y+G =0和72：4 x+氏y+C =0的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组4x+5 y+G=0,A i x G=0的解一-对 应.相交o方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解；平行o方程组无解；重合O方程组有无数个解.3

15、.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P(小，/),月(及，间的距离公式为由用=d xi x一1 yi-y一:，.特别地，原点(0,0)与任一点尸(x,y)的距离18 1=4 7不7.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点耳(施，到 直 线7：/x+C=0(4,6不 同 时 为0)的 距 离 为d=14旅+砌)+C|可以验证，当4=0或6=0时，上式仍成立.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线7 i：4 x+做+G=0,；2：+取+G=0(其 中A,6不同时为0,且辨 析 感 悟1 .对两条直线平行与垂直的理解(D 当直线Z和 6的斜率都存在时，一定有人=左今工 A.(X)

16、(2)如果两条直线力与乙垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.(X)(3)(2 0 1 3 天津卷改编)已知过点尸(2,2)斜率为弓的直线且与直线a x y+l=0 垂直,则a=2.(V)2 .对距离公式的理解(4)点夕(施，)到直线y=k x+b的 距 离 为 匕.V1+A-(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(J)(6)(教材习题改编)两平行直线2%-y+l =0,4%-2 y+l=0 间的距离是0.(X)感 悟 提升三个防范一是在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.如(2)中忽视

17、了斜率不存在的情况；二是求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式，如(4)；三是求两平行线之间的距离时，应先将方程化为般式，且*,y 的系数对应相同，如(6).突 破高频考点以 例 求 法 举 反 三考点一两条直线平行与垂直【例 1】已知直线 J i：a x+2 p+6=0 和直线 A：x+(a l)y+c?21=0.试 判 断 与 乙 是 否 平 行；时，求 a的值.解 法 一 当 4=1 时，7 1：x+2 y+6=0,7 z：才=0,为不平行于4当 a=0 时，7 1：尸 一3,1 1-,x y1 =0,/i 不平行于心；当 a W l 且 a W O 时，两直线可化为

18、a=-1,故当己=一1时，h h,否 则。与4不平行.法 一 当3=1时，71：x+2y+6=0,72：x=0,1与心不垂直，故3=1不成立;当 a=0 时，71：尸 一3,72：xy1=0,4 不垂直于 4当且dWO时，Q71：尸 一j x-3,lix yTx（5+1）,9法二 由44+5氏=0得a+2（a 1）=0 0己=1.规 律 方 法（1）当直线的方程中存在字母参数时.，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一隐含条件.（2）在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训 练1】（2014

19、长沙模拟）已知过点4（2,加和点6（加,4）的 直 线 为 直 线2x+y1=0为乙 直 线*+叩+1=0为儿若匕4 小则实数叶的值为（）.A.-10 B.-2 C.0 D.8解析 V 2 1 /ht kn io 2,ffl+2解得必=-8,又.心,乙，二（一：）又（-2）=-1,解得/?=2,-10.答 案A考 点 二 两条直线的交点问题【例2】求 经 过 直 线 人3 x+2yT=0和A：5 x+2y+l=0的交点，且垂直于直线4：3x5 y+6=0的直线/的方程.解 法一先解方程组3x+2 y1 =0,5 x+2 y+l =0,得义,心的交点坐标为(一 1,2),再 由4的斜率 求出/的

20、斜率为一事5 3于是由直线的点斜式方程求出h5y-2 =-(%+l),即 5 x+3y-l =0.法二 由于/_ L 4,故/是直线系5 x+3y+C=0中的一条，而/过 心 的 交 点(-1,2),故5 X (l)+3X 2+C=0,由此求出仁一 1,故，的方程为5 x+3y-l=0.法三 由 于/过 乙 的 交 点，故/是直线系3叶2/-1+4(5什2什1)=0中的一条，将其整理，得(3+5才)叶(2+2/)/+(1+A )=0.其 斜 率 一|=_*解 得A代入直线系方程即得1的方程为5%+3.K-1=0.规律方法运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线4

21、r+5 y+C=0平行的直线系方程是A x+By V m=0 0 ：与 直 线4 x+处+0=0垂直的直线系方程是B x-A y+m=0；(3)过直线Z：4 x+A y+G=0与；2：4X+&K+C=0的交点的直线系方程为4 x+5 y+G+4 (4 x+5 y+G)=0(其 中A G R,此直线系不包括；2).【训练2】直 线,被 两 条 直 线 九4 x+y+3=0和A：3-5/-5=0截得的线段的中点为P(1,2),求直线，的方程.解 法 一 设 直 线1与4的交点为/(X。，H)，由已知条件，得直线/与乙的交点为6(-2一为4-，并且满足4 刘+/+3=0,3 2 xo 5 4%-5

22、=0,4般+%+3=0,xo-2,即 解得.3刘一5%+31=0,外=5,因此直线1的方程为m=*二一:即 3x+y+l=0.法二 设直线1的方程为y2=A(x+l),即 取 一 什 什2=0.由攵xy+4+2=0,4x+y+3=0,得x=-k-5k+4 由k x y+2=0,3%5 y5=0,-5 5得 a 5 4-3.则.k5 ,5 415A+45 32,解得 k=-3.因此直线/的方程为y2=-3(x+l),即3x+y+l=0.考点三距离公式的应用【例 3】已知三条直线：7i：2ry+a=0(a0)；72：4x+2y+1=0；4：x+y1=0,且4与4间的距离是嗜.(1)求a的值；(2)

23、能否找到一点只 使一同时满足下列三个条件：点尸在第一象限；点尸到4的距离是点尸到B的距离的看点到人的距离与点夕到A的距离之比是也：乖.若能，求点夕的坐标；若不能，说明(2)假设存在点只设点尸(施，),若一点满足条件，则尸点在与九乙平行的直线/：_ c+l2xy+c=0 上，且 即 c=号或号，勺5 2班 2 613 11所以2施一%+口=0或2xoyo+=0；/o若尸点满足条件，由点到直线的距离公式，2 照4+3 /|施+%-1|有一乐一=乖 乖 即|2 A b一为+3 1 =|施+乂)11,所以刘一2%+4=0或3岗+2=0；由于P在第一象限，所 以3刘+2=0不可能.13联 立 方 程2刘

24、一汽+方=0和 照-2为+4=0,xo2),解得，7b=|；舍去乙联 立 方 程2 8一%+兴=0和 加-2%+4=0,O解得1照=,37所以存在1 379,18同时满足三个条件.规 律 方 法(1)在 应 用 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离公式时.要注意两直线方程中X,y的系数必须对应相同.(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略.【训 练3】已 知 直 线/过 点 尸(3,4)且 与 点 加 一2,2),8(4,-2)等距离，则 直 线/的 方程 为().A.2x+3y18=0B.2 x-y-2 =0C.3x2y+18=0 或 x+2y+2=0D.2x+3y1

25、8=0 或 2xy2=0(2)已知两条平行直线，7,：勿x+8y+=0与A：2x+必 产-1 =0间 的 距 离 为 乖，则 直 线4的方程为_ _ _ _ _ _ _ _.解析(1)由题意可知所求直线斜率存在，故 设 所 求 直 线 方 程 为y4=4(矛-3),即k x-y+4-3 4=0,由已知，得I-2 A-2+4-3 A I必4A+2+4 3用2:k=2或 一可.O 所求直线/的方程为2%y2=0或2x+3y18=0.(2)V 1/k.8，u2/n-1加=4,#一2或4n#2.当/=4 H寸，直 线7i的 方 程 为4x+8y+=0,把 心 的 方 程 写 成4x+8y2=0,温Tm

26、解 得 片 一22或18.故所求直线的方程为2 x+4 y-l l=0 或 2x+4 y+9=0.当必=4时，直 线 Z的方程为4 x8y =0,的方程为4 x8p 2=0,.I-/?+2|*1 6+6 4乖,解 得 =-18或 22.故所求直线的方程为2%一。+9=0 或 2x-4 y-l l=0.答案 D (2)2x4 y+9=0 或 2x4 y 11=0|课堂小结I两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线人12,120k=k/lY.lik,k2 .若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意培 养解题能力教你解题提升能力思想方法10对称变换

27、思想的应用【典例】已知直线，：2x3y+l =0,点 4(1,2).求:(1)点 A 关于直线1 的对称点A 的坐标;(2)直 线 股 3x2y 6=0 关于直线，的对称直线加，的方程;(3)直线/关于点4(-1,一2)对称的直线 的方程.+2 2,叶 1 3解(1)设 4(x,y)x1 y2.2 X 3 X y +1=0.,再由已知4解得33*=一逐4IF：.A3313,司(2)在直线上取一点，如 M(2,0),贝 欣 2,0)关于直线，的对称点必在上.设必与/的交点为N,则由，2*3y+l=0,3%2y 6=0,得 M 4,3).又。m 经过点A(4,3),由两点式得直线方程为9%-4 6

28、 y+102=0.(3)设尸(x,力 为1 上任意一点，则 f(x,。关于点力(-1,-2)的对称点为P(2x,4 y),:P在直线/上，.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,即 2x3y 9=0.反思感悟(1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点必与点4关于直线/对称，则线段 V 的中点在直线1上，直 线1与直线，网垂直.(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若 直 线 九 4关于直线/对称，则有如下性质：若直线1 与 4相交，则交点在直线,上；若点6 在直线Z上，则其关于直线1的对称点B 在直线人上.【自主体验】(2013 湖南卷)在等腰直角三

29、角形4 8C 中，4 4 4 c=4,点尸是边AB上异于力，8 的一点.光线从点夕出发，经BC,CA反 射 后 又 回 到 点 尸(如 图).若 光 线 薪 经 过 的 重 心，则 心等于().A.2 B.1八8 4C.-I).-o J解析 以 1反4。所在直线分别为X 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则/(0,0),以4,0),。(0,4),得的重心噂，0，设加三人 从而尸(x,0),xd(0,4),由光的几何性质可知点。关4/4 4、3于直线6 G 1的对称点A (4,4 x),月(一x,0)与的重心/(于 5 I 共线，所以:j-=大RA4 _3-4 x4 一434,求得x=.答 案 D课

30、 时题组训练输悌训练练出高分基础巩固题组（建议用时：4 0分钟）一、选择题1.直 线/过 点（一 1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则/的方程是（）.A.3x+2y-l=0 B.3x+2y+7=0C.2x3y+5=0 D.2x3y+8=0解析 由题意知，直线/的斜率是一亍 因此直线/的方程为y 2=5（x+l）,即3 x+2y-1=0.答 案A2.（20 1 4 济南模拟）已 知 两 条 直 线 乙（a l）x+2y+l=0,72：x+a y+3=0平行，则a=（）.A.-1 B.2C.0 或一2 D.-1 或 2解 析 若a=0,两直线方程分别为一x+2y+l=0和x=-3,此时两直线

31、相交，不平行，z.一 o 1所 以a W O；当a#0时，两直线若平行，则有一7一=一#可，解 得a=-1或2.1 a 3答 案D3.已知直线人的方程为3 x+4 y-7=0,直 线4的方程为6 x+8 y+l=0,则直线人与4的距离为（）.8 3A.B.C.4 D.8 z解 析 直线人的方程为3 x+4 y-7=0,直线心的方程为6 x+8 y+l=0,即3 x+4 y+=0,1+7 3直线上与人的距离为上=正7 3一+4-2答 案B4.（20 1 4 金华调研）当0尾 时，直 线71：k x一 尸k 1与 直 线72：Q一 户2 4的交点在（）.A.第 一 象 限B.第二象限C.第 三 象

32、 限D.第四象限 k x y=k ,（k 24 1、1解 析 解 方 程 组,得两直线的交点坐标为二工，丁 丁，因为0 内5,所 k y-x=2k-1 k-l）2k 2 k 1以L o,0,故交点在第二象限k 1 k 1答 案 B5 .若直线小 尸 A(x-4)与直线4关 于 点 1)对称，则直线4经 过 定 点().A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)解析 直 线/：尸 M x 4)经过定点(4,0),其关于点1)对称的点为(0,2),又 直 线 九y=晨工-4)与直线心关于点1)对称，故直线右经过定点(0,2).答 案 B二、填空题6 .若三条直线y=2x,*+y=

33、3,wx+2y+5 =0 相交于同一点，则 0的值为.y2x,xl,解 析 由、得.矛+尸3 (,尸2.点(1,2)满 足方程磔+2 7+5=0,即 X 1 4-2X 2+5=0,.*./=9.答 案 一 97 .设 a、b、c 分 别 是 比 中 N/、4 B、/C 所对边的边长，则直线xsin /+a y+c=0 与/sin 5+sin 80的 位 置 关 系 是.a b解析 山-A=得 米徐 力一a sin B=0.sin A sin B 两直线垂直.答 案 垂 直8 .若直线勿被两平行线入：xy+l=0 与 A x-y+3=0 所截得的线段的长为2啦，贝 I 必的倾斜角可以是：1 5。

34、；3 0。；4 5。；(4)6 0 ；7 5。.其 中 正 确 答 案 的 序 号 是.I 1 3 L解析 很明显直线4小，直线九，人 间 的 距 离 为 仁 一 一=豆，设直线卬与直线人h分别相交于点5,A,则|48=2*，过点4作 直 线/垂 直 于 直 线 垂 足 为 G则|/Cl=d=/,则在中，sin /小=节=黑=；,所以3 0 ,又直线人的倾斜角为4 5 ,所以直线卬的倾斜角为4 5 +3 0 =7 5 或 4 5 3 0 =1 5 .答 案 三、解答题9 .已知直线为：x+沙+6=0,72：Gz z 2)x+3 p+2/=0,求 /的值，使得：(1)上与 4相交；(2)7.1

35、7 2；(3)人 4(4)Z,乙重合.解 由 已 知 1 X 3 WR(W2),即 一2必 一3 W 0,解 得 心:1 且 启:3.故当得一 1 且 符 3时:7,与心相交.(2)当 1 (加 一 2)+勿 3=0,即勿=时，7 i h.当 1 X 3=R(L2)且 1 X 2/W 6 X Qw-2)或山义2/滓 3 X6,即加=一1 时，h/h.(4)当 1 X 3=Z(R2)且 1 X 2R=6 X Gw2),即勿=3 时，1与 A重合.1 0.求过直线/：x2 y+3=0 与直线入：2x+3 y 8=0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.解由x2y+3=0,2x+3 j-8

36、=0,解得x=,尸 2,/.7 1,心的交点为(1,2),设所求直线方程为y 2=Wx 1),即k x-y+2-k Q,;P S,4)到直线的距离为2,.?l-2-Al解得k=Q4%直线方程为尸2 或 4 x-3 y+2=0.能力提升题组(建议用时:25 分钟)又|3-引=1 1 _ 4 0 乎,1 ,从而 d aX=2一、选择题1 .设两条直线的方程分别为x+y+a=0 和 x+y+6=0,已知a,6 是关于x 的方程+c=0的两个实数根，且 0 W c W ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为O().A.坐|B.巾,乎 C.yj 2,1 D.乎,|I a b I解析 V d=(r

37、,a+b=1,ab=c,*d i=1.答 案 D2.(2 0 1 4 武汉调研)已知4 6 两点分别在两条互相垂直的直线2 x 一尸 0与 x+a y=0 上，且力分线段的中点为0,以，则 线 段 协 的 长 为().A.1 1 B.1 0 C.9 D.8解析 由两直线垂直，得一,2=-1,解 得a=2.所以中点P的坐标为(0,5).则 阵5,a在 直 角 三 角 形 中 斜 边 的 长 度2 X 5=1 0,所以线段也的长为1 0.答 案B二、填空题3.已知0 么 4,直 线 人Ax-2 y-2 A+8=0和直线A：2 x+f 4如一4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的

38、力值为解析 由题意知直线九，右恒过定点外2,4),直 线7 1的纵截距为4一k,直线乙的横截距为2 2+2,如图，所以四边形的面积S=2 X 2+(4 A+4)X 2 x g=4一衣+8,故面积最小时,8,答 案I三、解答题4 .(1)在直线/：3x y1=0上求一点。，使得一到4(4,1)和夙0,4)的距离之差最大；(2)在直线1-.3x-y-l=0上求一点Q,使 得。到J(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.图1图1解 如 图1,设点8关于/的对称点夕的坐标为(a,，直线/的斜率为左，则 治%，a+36 1 2=0.又由于线段阴的中点坐标为修，号 且 在 直 线，上,3 X 1=0.即

39、3a-6-6=0.解得 a=3,Z =3,：.B(3,3).于 是 仍 的 方 程 为 即2 x+y-9=0.3 1 3 43%y1=0,解|2 x+y-9=0,才=2,y=5,得即/与 的 交 点 坐 标 为H 2,5).(2)如图2,设 关于/的对称点为C,求 出。的 坐 标 为 仔y)AC所 在 直 线 的 方 程 为19x+17y 93=0,AC和1交 点 坐 标 为,靠图2故。点坐标为第 3 讲 圆 的 方 程 最新考纲1 .掌握确定圆的儿何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2 .初步了解用代数方法处理几何问题.诊 断基 础 知 识 由 浅 入 深知 识 梳 理1.圆的定义和圆的方程

40、定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x-a)2+(y 6)1=r (r 0)圆心C(a,6)半径为r.般x+y+D x+E y+F O充要条件：+2 4/0圆心坐标：半径r=2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系.(2)三种关系：圆的标准方程(*一力2+(7-2=落 点 软 的，.(施一a 尸+(%。尸=/台点在圆上；(施一a)：+(%一方”产点在圆外；(x o a)+(%点在圆内.辨 析 感 悟1 .对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(J)(2)方 程/+/=才 表 示 半 径 为 a的圆.(X)(3)方程f+/+4m x

41、 2 y+5 卬=0表 示 圆.(X)(4)(2 0 1 3 江西卷改编)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线y=l 相切，则圆C 的方程是(x2)2+(y+|j=竿.(J)2.对点与圆的位置关系的认识(5)若点材(施，在 圆*2+/+r+)-0 夕 卜，则 +/+砺+无 0.(J)(6)已知圆的方程为f+72 尸 0,过点加1,2)作该圆的切线只有一条.(X)感 悟 提升1.一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2,b).2.三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，$1 1(3)；三是

42、过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系.若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).突 破 高频考点 以 例 求 法 举 反 三考点一求圆的方程【例 1】根据下列条件，求圆的方程.(1)求过夕(4,-2),0(1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为4#的圆的方程.(2)已知圆的半径为亚，圆心在直线尸2 x上，圆被直线了一尸0截得的弦长为解(1)设圆的方程为/+/+以+。+尸=0(/+/一 4/0).将 R Q 点的坐标分别代入得1 4-2+尸=-2 0,-3方一尸=1 0,令 x=0,山得y+E y+F=0,由已知|与一归=4#,其中必，乃是方程的

43、两根，所以(y 一现产=(+度产-4.%=户-4夕=48.rD=-2,(D=-1 0f解、组成的方程组得 CO，或1 少=-8,A=-1 2 F=4.故所求圆的方程为x+y 2x1 2=0或 W+10 x 8y+4=0.(2)法一 设圆的方程为(x-a)+(y 6)2=1 0.由圆心在直线尸2 x上，得 6=2 a 由圆在直线X 一尸 0上截得的弦长为4 m,将 y=x 代入(xd)2+(y Z?)2=1 0,整理得2/2 3+6)X+才+斤i o=o.由弦长公式得 力 1 a+b-24 十斤一 0 -=4 4,化简得a。=2.解、得 3=2,8=4 或 a=2,b=-4.故所求圆的方程为(了

44、-2)2+(y-4)2=1 0 或 5+2)2+(9+4)2=i o.法二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形.如图，由勾股定理，可得弦心距d=y j)_(乎)=4 1 0 -8=近又弦心距等于圆心(a,6)到直线X 一尸 0的距离，所 以 =1全，即 号 菖=*.又已知6=2 a.(4)解、得 a=2,6=4 或 a=2,b4.故所求圆的方程是(x2)2+(y 4)2=1 0或 0+2)2+(y+4)2=1 0.规律方法求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；

45、两圆相切时，切点与两圆心三点共线.(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量.一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.【训 练 1】(1)(2 0 1 4 济南模拟)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4 x3 y=。和 x 轴都相切，则 该 圆 的 标 准 方 程 是().A.(j r 2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)+(y+l)=lC.(A-+2)2+(7-1)2=1 D.(A 3)2+(y-l)2=l(2)已知圆C 经过4(5,1),夙1,3)两点，圆心在x

46、轴上，则。的方程为.解 析(1)由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1),又由圆与直线4 x3 y=0相切，得L u=1,解 得 a=2 或一“舍去).故圆的标准方程为(x-2)2+(y-l)2=l.故o Z选 A.依 题 意 设 所 求 圆 的 方 程 为(x 将 48 点坐标分别代入方程得5 a 2+l =r,a 2+9=r,y=2x3=2,解得.八 所以所求圆的方程为(x2)2+/=1 0.r =1 0.答 案(1)A (2)。-2/+/=1 0考点二与圆有关的最值问题【例 2】已知实数x,y 满足方程/+/4 x+l=0.(1)求上的最大值和最小值；X(2)求 yx 的最

47、大值和最小值；(3)求/+/的最大值和最小值.解 原方程可化为(X-2)2+/=3,表示以(2,0)为圆心，/为半径的圆.(1/的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，X所以设即尸当直线y=心 与圆相切时，斜率在取最大值或最小值，此时|2 A-0+1=木,解 得 仁 士 m(如图 1）.所以!的最大值为十,最小值为一 i(2)y-x可看作是直线尸x+人在y 轴上的截距，当 直 线 尸 x+6 与圆相切时,2 0 +引纵截距。取得最大值或最小值，此时一=y ,解得 6=-（如图 2）.所以y-x 的最大值为一2+乖，最小值为一2 一(3)9+/表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点

48、和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为M 2 0 2+o o 三 2,所以/+/的最大值是(2+4)2=7+4/，产+了的最小值是(2 4)2=7-4#.规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形 如 =三形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形 如 t=a x+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(才一a)2+(y-6)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【训练2】(2 0 1 4 金华十校联考)已知 是直线/：3 x4 y+l l =0 上的动点，PA,如是圆步+了一2 X 2

49、9+1=0 的两条切线，。是圆心，那么四边形用S 面积的最小值是().A.m B.2 啦 C.小 D.2邓解析 圆的标准方程为(x1)2+5 1)2=1,圆心为以1,1),半径为r=l,根据对称性可知，四边形为应的面积为2&伊=2|闱-5,要使四边形为应的面积最小，则只需1%最小，最小时为圆心到直线/：3 y-4 y+U =0 得到圆一的方程.解(1)设尸(D，圆产的半径为工由题设/+2=f,f+3=/.从而/+2 =f+3.故尸点的轨迹方程为“一，=1.设 的 ，由已知得丁0为=坐.又一在双曲线/一步=1 上，从而得I A oJ b|=1就一3=1.A b -乂）=1 一 岔=1益=0,7

50、b=-1.由得此时，圆半径r=小.A b J b=L/一髭=1山+，KBC才 _ ，且 k A C,k s c 1 f所以一 7 士=-1，化简得 2 入-3=0.X I 1 A o因此，直角顶点C 的轨迹方程为f+7-2x-3=0（W 3且 在 一 1）.法二 设 4?中点为。，由中点坐标公式得（1,0）,由直角三角形的性质知，|勿|=今/必=2,由圆的定义知，动 点 C的轨迹是以（1,0）为圆心，2为半径长的圆（由于4 B,。三点不共线，所以应除去与“轴的交点）.所以直角顶点C 的轨迹方程为（“-1）2+/=4（a3且x W 1）.（2）设点加x,力，点 6 1（陶 ，因为以3,0）,材是