信号与线性系统分析_(第四版)习题答案.pdf

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1、专 业 瞟 习 题 解 析 瞟 程XXXXXX大学84 4信 号 与 系 统专 业 瞟 习 题 解 析 瞟 程第1讲第 一 章 信 号 与 系 统）专 业 辟 习 题 解 析 徐 程第2讲第 一 章 信 号 与 系 统，二）I T画出下列各信号的波形【式中厂。）二后】为斜升函数。(2)/=/,-8 f 8(4)/l)=，(sin t)(7)/Q)=2%解：各信号波形为(2)/Q)=e T“,-o o f (2-/)k冗(1 1)/()=sin()-7)o解：各信号波形为(1)/Q)=2e Q+l)3e Q 1)+EQ 2)(2)/)=)-2%-l)+Q-2)(8)f(k)=k(k)-(k-5)

2、l(1 2)f(k)=2ks(3-k)-(-k)ld+(I)大s、HsJ(9、/【(1 7)3 (7)上讦)U I S H(7)、(二)(7)3 W (7)(8)2/t+(?)?/=/)1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。解图示各波形的表示式分别为：(a)/(f)2e(f +1)E(Z 1)e(f 2)(h)/(r)=(z+l)e(z+l)-2(r-l)e(r-l)+(r-3)e(f-3)(c)/(z)=1 0sin(7t?)_ e(f)1)(d)/(f)=1 +2(。+2)_ (，+2)(f +1 )：+(f 1)+1)(，-1)_1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。/1/1

3、(d)解图示各序列的闭合形式表示式分别为：(a)/(8=(A+2)(b)/()=(4-3)式左-7)(c)/()=(6+2)(d)/(公=(1)%(Q1-5判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。(2)启外=cos(、4+马+cos(与+马(5)力)=3cos%+2sin(M4 4 3 6解：(2)该序列的周期应为cos(乎 +)和cos(?+f 产 最小公倍数cos件.十 日 的周期为8,c o s(/+)的周 期 为6 该序列的周期为24。(5)该序列不是周期的回。或的周期为2msin(江)的周期为2,若序列周期为T,则T是2的整数倍，也是27t的整数倍,这不成立，不是周期的。1

4、-6已知信号/的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。42一2 0 2t.图 1-5./(r-W)(2)/(r-W-1)(5)/(I-20(6)/(0.5Z-2)丁f(x)dx解：各信号波形为(1)/Q T)eQ)(？一s(6)/(0.5Z-2)可 dtXPQ)J(8)1-7 已知序列/（幻的图形如图7 所示，画出下列各序列的图形。(1)/(%2抬(2(3)/(%-2)/)-(1)(5)f(-k +2)s(-k+l)解：(2)f(k-2)e(k-2)(4)于(-k -2)(6)于(k)f(k 3)1-9已知信号的波形如图1-1 1所示，分别画出了和匕?的波形。解：由图1-1 1知，/(3一

5、)的波形如图1 2(a)所示(“3-。波形是由对/(3-2。的波形展宽为原来的两倍而得)。将 的 波 形 反 转 而 得 到 了。+3)的波形，如图1 2(b)所示。再将/+3)的波形右移3个单位，就 得 至!了/，如图-1 2(c)所示。等的波形如图1 72(d)所示。dt/+3)(b)ld/(O(1)dt4i1-1 0计算下列各题。屋(1)淳Qc o s/+sin)卜 (5)d+s i n(?)P Q +2)力a-吟 5)(8)(l-x)5(x)Jx00J2解(1)萨 c o s?+sin(2z)_ e(z)=1 sin f +2c o s(2z)E(f)+c o s?+sin(2?)2(

6、?);=4 二 一sin f +2c o s(2z)E()3(，)=二 一c o s?4sin(2r)2e(?)十 二 一sin?+2c o s(2。)8(Z)+(，)=_ co s t 4sin(2;)e(?)23(r)+:()(2)(1 -r)d t 首先求=-e-(r)+e-f)d r=-3 +*+8 3=y (r)这里注意 力 =+妨(？)则（1 一？）dd7-e-(r)=(1 -r)y(r)=S(r)+6(Q这 里 注 意 岔(，)=3(z)(5)_t2 sin(耳)_ (r 2)d f =_ r +sin(乎)J-8 4 1 4=3/=-2(8)(1 a,)y ()d.r-8=j

7、_ 8(G (1)3(r)d r =J 8=Mt)+e(r)，(3=/+3/(，)+2(%),上式右端等于/(，)-2 rG),故得/(，)+3 1)+2丁口)=/(r)-2/(?)此即为系统的微分方程。（b）系统框图中含有三个积分器，则该系统为三阶系统，设最下方积分器输出为工（八，则各积分器输入为/，/一 。左端加法器的输出为/=/（，）一27（，）一3/即一（，）+2/（，）+3彳（，）=/由右方加法器的输出得y=W）4 x（r）由上式得Z（r）=/（，）了 一4一（，）2/（r）=了一 4 1 2 i（，）3 y（z）=3 （）二 一413N（Z）将以上三式相加得/（，）+2，（，）+3

8、）（，）=父”（，）+2 z（，）+31r（，）4卜（，）一2 x（?）3JT（?）_即/（2）+2/（，）+3 （，）=/（r）-4/（r）此即为系统的微分方程，(c)系统框图中有两个迟延单元,因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输入为*4),则各个迟延单元的输出为/-1)，晨 k-2)a左方加法器的输出为式 4)=/(4)+2工(4-1)-4 4 4-2)即 1 )一2工(4-1)+4*4 2)=f(k)右方力口法器的输出为y(k)=2*4 1)一1(4一2)由上式移位可得一 2 y(l)=2-2x(.k-2)-2x(k-3)4?&-2)=24(-3)-4x(-4)将以上三式相加得y(4

9、)-2 3 -1)+打(4 一2)=2x(k 1)2x(k 2)+4 z (3)一(4一2)2x(k 3)4-4彳(4 4)二考虑到式1(4)一2(4一1)+4 与4-2)=/(4)及其迟延项可得y(k)-2y(k-1)+4y(k-2)=2/(4 1)一 f(k-2)此即为框图中系统的差分方程。(d)系统框图中有两个迟延单元，因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输入为%(4),则各个迟延单元的输出为x(.k 1)2)左方加法器输出为力(4)=/(4)+2(4 2)即*4)-2*4 2)=/(/?)右方加法器输出为y(k)=2 1(4)+3(-1)4/(左一2)由上式移位得-2 y(k-2)=

10、2 2式h-2)+3 1 2 x(k -3)-4 -2 x(k -4)将以上两式相加得y(k)-2 y(k-2)=21JC(4)2 x(.k 2)1+3JT(4 1)2 x(.k-3)_ 2)2 x(k 4)_考 虑 到 式 工&)-2 1 a-2)=JX k)及其迟延项,可得y(k)-2 y(k-2)=2/()+3 f(k-1)-4 f(k -2)此即为框图中系统的差分方程。1-2 3设系统的初始状态为(0),激励为/(),各系统的全响应)(,)与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的。(1 )y(0 =e-/x(O)+pinx f(x)d x(2 )y“)=/。)%(。)+(3

11、)X0 =s in x(O)r+p(x)J x(4 )=(0.5)A x(0)+-2)(5)y=履(0)+/(/)j=o解 用），（，）表 示 零 输 入 响应,%）表 示 零 状 态 响 应。（1）%（，）=e-r（0）,j 7（f）=s inj r/（j r）d j r J o则=%（，）+“（%）满 足 可 分 解 性。又），（?），“（，）分 别 满 足 零 输 入 线 性 和 零 状 态 线 性,则系 统 是 线 性 系 统。（2）由系统表示式可知%（%）=0,3 7（，）=J o可得 y（f）羊/（，）+“（，）因此系统不是线性系统（3）由系统表示式可知%（?）=s in i（O）

12、，1，乂（，）=/（j r）d j rJ o可得 y（t）=/G）+y/G）,系 统 满 足 分 解 特 性。但%（，）+%2（，）#s in（4（0）+4（0）,打即 以（，）不 满 足 零 输 入 线 性.因 此 系 统 不 是 线 性 系 统。（4）由系统表示式可.知-）=（9）弓（0）,山（氏）=/&）/&-2）可得丁（左）=%（4）+”（）满足可分解特性但”】（左）+“2（。#力&）+%H）口 为 2）+/2 2）：|即yf（k）不满足零状态线性因此系统不是线性系统。（5）由系统表示式可知k%（4）=菽（0），37（4）=/（，）J=0可得y ）=%&）+4）,系统满足可分解特性又有

13、%：（4）+）攵”）=也H1（）+2（。）口k3年 ）+372（）=S C/i J）+/2（J）j=0则 以 ）,“）分别满足零输入线性和零状态线性.因此系统为线性系统。1-25设激励为），下列是各系统的零状态响应治（）。判断各系统是否是线性的、时不变的、因果的、稳定的？(1)%(，)=孥at(4)八=/(-。(7)y式k)=f(j)J=o（2）yzs（O=lf（t）l（5）y，k）=f（k）f（k i）（8）zs（%）=一%）(3)%=f (0 cos(2m)(6)yzs(k)=(k-2)f(k)解（1）系统满足齐次线性和可加性，则系统为线性系统一加）=言/U f d）系统为时不变系统。当,

14、V时，/(，)=0,则此时有yz%(?)=(Z)=(),则系统为因果系统dr当/()=(，)时,外=6 d),，=0时，/晨1)-8,则系统为不稳定系统。(2)(，)+)*(/)=八 十 力(，)#1力(八十力(，)I，系统为非线性系统。以(，一 心)=/(，一G I 系统为时不变系统。当，V%时/)=0,有%，=f(t);=0,则系统为因果系统n若/(?)8,有.=/(r)8,则系统为稳定系统(3)系统满足齐次和可加性，则系统为线性系统。yK(?rd)=/(t h)cos2兀(f d)1#td)cos(2r)则系统为时变系统n当，V 4时,/a)=o,则此时有,a)=/a)cos(2浦)=o

15、,则系统为因果系统。若 一 力 时，%（，）=/（-r）=0,因此系统为非因果系统。若/8 则有 九/八=f j）8,因此系统为稳定系统（5）系统不满足可加性，则系统为非线性系统。T o,faM，=/a Q）/a 4 d-i）=一 相），则系统为时不变系统。若 V M 时（）=0,则此时外（6）=/（）/-1）=0,则系统为因果系统。若 f（k）8,则|.（4）=|8 则系统为稳定系统。（6）系统满足齐次线性和可加性则系统为线性系统。丁 0 ,/（4储）=-2）八卜一心）手（k-kd-2）f（k-kd）=）羽（右 一熊），则系统为时变系统。若6 V M时，/&）=。，则此时 有.a）=a-2）

16、/a）=o,则系统为因果系统。若 f（k）1 一耗时，()=f(l-A)=0,则系统为非因果系统。若/)8,则当4 8时,%1a)=/(1 4)02-2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其。+值y(0+)和y(0+)。(2 )，”Q)+6y )+8)，Q)=/a),)，Q)=l,y(0_)=l,/)=b(f)(4)y f)+4y a)+5)C)=r(r),y Q)=l,y(0_)=2 J )=e%。)解：（2）/（r）+6/（r）+8（r）=*（，）设，U）=城（，）+/（，）+比（，）十%（，）则有 y（r）=姐（/）+/（，）+力”）%（,）=8（/）I 九 也同 理）（，）=说（

17、，）一 片（，）72（，）=生（，）一 7（?）d rJ 8整理得 说U）+（6 a+），（，）+（8 a +6 +c）6（，）+8/2（r）+6y）（r）+y0（r）J =*（，）（U=严=1，J 6a +=0=b=6.8 a +6 +c =O c =2 8有 j!(0-)j,(0-)-y(r)d r-6-6(，)出+0_ J o_ J 0_/i (r)d r=6y(0+)=y(0_)6=5(。+)j?(0-)山 一6-3 山+2 8 飞(，)山+0_ J 0_ J 0_y0(t)d t=2 8/.y(0+)=2 9(4)/)+4 )+5y=一2-3(，令 y(t)=ad(t)+/o(Z)则

18、有)=y:(?)j(Z)=不)城(？)+_70()上4%(。)+372(。)二=2e-z,(z)-S(Qa=1f0+,/.j(0+)j(0-)=I X i(z)d?=0J o_.R(0+)=1yf(0+)(0_)=|-y0(Odt=1Jo_ J o_，.3,/(0+)=32-4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应、零状态响应和全响应。(2)y(r)+4/(0 +4y=ft)+3 f s y(0_)=1,/(0_)=2,以t)=/0)解：(2)由零输入响应的性质可知.要求零输入响应即求解微分方程1上”。)一4%(r)=0.%(0_)=1,/,(0+)=2解此方程得/U)=C y

19、2t+C2tZt代人初始值得%(0_)=C)=1/工(0_)=2(；+C2=2解以上两式得C,=1C?=4.则系统的零输入响应为%。)=e-2/-4 re-2 z 0由零状态响应性质可知.求零状态响应即求解微分方程，/(f)+4(力=6(?)+2e-eU)a(。-)=J7(。-)=o方程右端含有冲激项.两端对0_到0+积分+)(，)&+41 +J/(f)4 +4|y-(f)dfJ 0_ J 0_ J 0_*Q J。=6(f)df +2 e-e(/)ck4。一 C _考虑到山(f)的连续性得/(0+)，/(0)1 /(0+)=1得J)+1 =1 *yf(0+)=y r(0-)=0当f 0时，微分

20、方程可化为y(/)-4;y/()-4y/(f)=2e:此方程全解为/(f)=C：e-2f-C?/e-2-2e-r,r 0代人初始值得“(0+)=Cl -2 =0“/()+)=-2G +Cz 2 =1解以上两式得G =-2.C =-1 则系统的零状态响应为y S t)=-2 e-2 f-t CZt-2 e，“0系统的全响应为y(t)=%(f)+/(，)=e2 -3 Z e-2,+2 e-l 2 02-8如 图2-4所示的电路，若以匕为输入，瞅为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。图2-4解 由 KC L得 i s）=诂（/）+。（，）又由各元件端电流和端电压的关系可得 R（Z）=K

21、，R（f）=（，）i c（，）=（c（，）由以上三式可解得C-j y UR(t)一-77 K (f)=i s(，)代人数值得=（/）+2 狈（，）=2 is（t）设系统单位冲激响应为从，）则满足“+2/】=0 八（0_）=2解方程得 A（r）=G e W O代人初始值得 A（0_）=Ci =2则系统的冲激响应为 h=2 e-2 fe（r）系统的阶跃响应为g（r）=|7J（J-）d j*=|2 e-2 j（T）d j,=（1 e-2 ,）e（r）-R2-12如图2-6所示的电路，以电容电压乙为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。+0.5 H卷。!J图2-6解 由KV L与KC L得s（Z）=/.（，

22、）U c（t）（r）=（?）+ic（Z）各元件端电流和端电压的关系为“L（，）L S L atUR（?）=R iR（，）（，）=C c（，）联立以上各式解得L C f）一 j&c（f）=s（f）代人数值得U VC（?）3 c（，）+2c（，）=2ws（r）当激励us Ct）=e（r）时，方程右端不含有冲激项，则c（0+）=0c（0+）=0方程的解为 c(Q=Cie-r+C2e_2f+1,r 0代人初始值得MC(O _)=G+。2 +1 =0c(0-)=-G -2C2=0解得a =-2,G=i,则系统的阶跃响应为g(r)=c(r)=(-2e-+eT+l)ed)系统的冲激响应为A(r)=4g =(

23、2e-,-2e-2,)e(r)dr2-1 6 各函数波形如图2-8所示，图 2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。(1)/*力(。(2)/1(0*/3(0 (3)/1(0*/4(0(4)力*人*/2。)(5)力*2。力”3)解 由已知可得力 =乎（-2）4）+乎（，+2）（r（r）=t e（/）为斜升函数）于2 =6（，-2）+6（，+2）/3（f）=6（，-1）+6（，+1）力 =6（，-2）6（，-3）+6（，-4）（1）力 *力=九*6（，-2）+6（，+2）=力（，-2）+力（，+2）=-4）r（，+2）+r（1）r（t-2）-r（t-4）波形图如图

24、2-9（a）所示。（2）力（，）*%）=力（，）*-1）+6C +1）=力 -1）+力（/+1）=-r（,+3）-r（t j 1）-r（f-1）4-r（t-3）乙 乙 乙 乙波形图如图2-9(b)所示。(3)力 *八(，)=力(力*6(，一2)6(f 3)+双，一4)=力(，-2)一力(，-3)+力(，-4)=-y r(z)-r(t-1)-r(z -2)r(f 3)-r(f-4)-r(f-5)-rJ J J J J8-6)波形图如图2-9 (c)所示。(4)力 *f2(t)*/2(r)=力(，)*6(，-2)+6(，-2)_*6(2 2)6(，-2)_=力(，)*6(，-4)+26(，)+6(

25、，-4)_=力(，+4)+2力(，)+力(？-4)1 3 3=方r(t+6)r(t-r 4)Tz-r(t+2)2r(r)-T-r(t 2)Nt 4)一一 一 一y r(r +6)波形图如图2-9(d)所示。(5)/1(r)*L2/4(n-/3(r-3)=力(z)*2Mr-2)-28Ct-3)+25(r-4)-2)一6(，一4力=f i(t)*6(z 2)26(t 3)-8(t 4)_=力 d 2)2/1(r-3)+/1(r-4)=-r(z)r(t 1)-r(f 2)2r(z 3)-r(?4)r(t 5)一J J J卷4 6)波形图如图2-9(e)所示。6，zE(p)2-20 已知力（。=后,力

26、=小）一，（一2）,求=/）*&（/*（2）解 /2（?-1）*6（，-2）=八（/一 3）-=6（?）6（，-2）（-3）=6（1一 3）6（，-5）.y（t）=力（八 *f2（t-2）*6（，一2）=力（，）*力（，-3）=fi（t）*6（，一3）一6（一5）二=力（，-3）一力（，-5）=（I-3）e（f -3）e（t 5）-2e（t 5）=（r-3）e（r-3）-（r-5）e（r-5）2-22某 LTI系统，其输入/与输出y 的关系为y）=U /（x-2）dx求该系统的冲激响应用）。解 令/=6(，)，则_/(1一2)=6(-2),由输入输出的关系可得 n o C g cA(r)=e-

27、27故(_ 2)=|e-2e-(?-1)(Jr-2)djrJ LiJ-K=e-i)2 (r 1 )=e-2e(-f 3)工=2则系统的冲激响应为h=e_2,-2)e(-r+3)2-28如图2-L9所示的系统，试求输入/=时，系统的零状态响应。图2 T 9解 系 统 中 含 有两个积分器，则系统为二阶系统。设右端积分器输出为N(，)，则积分器的输入分别/由左端加法器可得Z(r)=_/(，)-3/(，)-2*八即/(r)=Z(r)+3/(，)+2x d)由右端加法器可得y(t)=2(，)一彳由上式可得了 +Z“(，)3/(r)=2 3 3 了+3/(，)2了(，)=22 z(r)二一2 r(z)将

28、以上三式相加得“t)3?(?)2)，(f)=2j r (f)+3/(f)+2(/)了 +/(，)+3/(，)+2 r(，)_考虑到式/=/a)+3/U)+2z，消去上式中2 得/(r)+3 y(r)+2(r)=2/(z)+/(r)选择新变量A (Z)使它满足方程y (?)3)/i 4 25 i(?)=/(?)设其冲激响应为心(，)，则从(0 一)=0,/八(0+)=1,此方程的解为人 i(，)=(e-f e-2z)(?)则系统的冲激响应为h=2/()+儿 =(3 厂：-e”(，)系统在输入信号/(?)=e(r)下的零状态响应为“(，)=g(z)=|八(/=|(3 e-2x e-T)dj r =

29、(5一-e-2f+e-f)E(R)一，D CZ /2-2 9如图2-20所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为儿=5-1)%(/)=-3)求复合系统的冲激响应。图 2-20解 设f（t）=3（，），利用系统的齐次性和可加性以及系统级联的性质可得出加法器的输出为j Z （?）=3（，）/3（，）*鼠（，）十6（，）*/%（，）*hj t）=6（f）+儿（八+儿（力*儿则复合系统的冲激响应y（f）=V *Ab（r）=1 3（f）6（，-1）d Ct 2）_*N r）（，-3）J=式，）+N 1 -1）4-2）3）N r 4）一 （，一 5）即/i （f）e（t）+e（z -1

30、）+e（z 2）3）一式 t 4）e（r 5）第三章习题0,3.1、试 求 序 列 的 差 分Af(k)、可(k)和/(i)。2 J i解(1)/()的闭式表达式为/)=()*)/X)=-f(k)=()4(4 +1)0,k 1=(4 尸(+1)&)=I 1 k =1L c 1-(y)*+1，/()=f(k)-f Ck-1)=()-(y)*-e(Z?-1)=(y)*Ce()-2e(j t-D =1k 06203.6、求下列差分方程所描述的L TI离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。1)y(k)-2 y(k-1)=f(k),f(k)=2 鼠k),y(-l)=-13 )y(k)+2 y(k-l

31、)=f(k),f(k)=(3攵 +4法/),y(-l)=-l5y(k)+2 y(k-1)+y(k -2)=f(k),f(k)=3(g)e g y(-l)=3,y(-2)=-5由差分方程得到系统的齐次方程求得含有待定系数的零输入响应,由初始条件求得待定系数.对于零状态响应，由 切(幻=0#+A +2e()系统的全响应为（5）零输入响应满足方程弘+2%（-1）+乂（-2）=0特 征 根 为 储=筋=一 1,其齐次解为乂（4）=G（-1）*+C2A（1）*,*（将初始值代人得乂（-1）=-Ci+C2=3yA-2）=G 2c2 =-5解以上两式得G=-l.C2=2,于是系统的零输入响应为零状态响应满足

32、方程切（4）+2“（4-1）+力（6-2）=/（4）由上式得”（归）=f（k）-2 yf（k-l）-yf（,k-2）由初始条件 切（-1）=/（2）=0得37（0）=/（0）2 yf（1）37（2）=39切 =/-2（0）必（-1）=一 目系统的零状态响应是非齐次方程的全解,分别求出非齐次方程的齐次解和特解，得O 匕将必“)的初始值代入，得“(0)=G+；=3O1g 1)=-G-c2+4=-fo z解以上两式得C1=等,C2=2,于是系统的零状态响应Oyf(k)=1(一 1尸+2屐-D*+o J 乙系统的全响应为6 1 1y(k)=%(4)+%=(仅 +5)(-1)*+卷(5)。(&)o J

33、乙3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。2)y(k)-y(k-2)=/W5)y(k)-4y(k-l)+8y(k-2)=/(k)(2)当系统激励f(k)=8(k)时，原差分方程可化为h(k)-h(k-2)=则有(一1)=A(-2)=0,方程的解为h(k)=3+C2(-1匕 0又h(k)=3(6)+(-2)则/z(0)=台(0)+/N-2)=1A(l)=台 +(-1)=0将初始值代入，得A(0)=G+。2 =1/?(1)=C i CQ 0解以上两式得，G=C2=则系统的单位序列响应为乙h(k)=+(5)当系统激励f(k)=义)时，原差分方程可化为/1 凌)一4 人(4-1)+8a-

34、2)=6(k)则有A(-1)=/i(-2)=0.方程的解为h(k)=(2 笈)*G c os()4-C2si n(),Z r 04 4又 人(足)=台()+4人(6 1)-8/M 6-2)则 A(0)=5(0)+4/(-1)-8/J(-2)=1/t(l)=MD+4/J(0)-8/i(-1)=4将初始值代入，得A(0)=C i =1/M l)=(2 7 F)(G 考+G 孝)=4解 以 上 两 式 得 3=1,C2=1,则 系 统 的 单 位 序 列 响 应 为()=V T(2&co s(竽 一 半 3.9、求图所示各系统的单位序列响应。系统输出即为左端加法器的输出因此易得系统的差分方程令/*)

35、=8()，则系 统 的 响 应 为 单 位 序 列 响 应,同时初始条件为/N 1)=/?(2)=/i(+1)=0O(-!)=/i(-2)=0。则有/i(0)=5(0)1)+4-A(-2)=16 6/j(l)=+)z e()o Z o o3.10、求图所示系统的单位序列响应。(a)根据系统框图可得出系统的差分方程,令方程右端只有3(6)作用时,可求得此时系统的响应为儿(Q,根据LT1离散系统的线性性质和时移不变性可求得系统的单位序列响应。(1)设左端加法器的输出为z 柒)，则相应延迟单元的输出为工凌一 2)。由左端加法器的输出可得j：(k)=+4z(A 1)37(4 2)即/()=jr(k)4

36、/(A 1)+3/(4 2)由右端加法器输出可得y(k)=3/(4)jr(k 1)由上式可得-4yU D=3 。(4-1)一 -4 i(6-2)13 y(左一 2)=3 3 x(J t -2)-3 x(-3)将以上三式相加可得y(k)4 y(.k-1)+3 y(,k 2)=3|(6)-4 z(A 1)+3才凌-2)一|(6 1)一4 力-2)+3%(-3)考虑到/(A)=(无)-4 1(/-1)+3 7(4 -2).可得系统的方程y(Q -4 y(A -1)+3 6-2)=3 f(.k)-f(.k-)令右端只有双力作用时系统的单位序列响应为生U),它满足方程(6)4 儿(6 1)+3/1(-2

37、)=S(k)以及初始条件儿(-1)=/i(-2)=0。则有(0)=5(0)+4/1 1 (-1)-3儿(-2)=13.1 1、各序列的图形如图所示，求下列卷积和。(1)工0*力 出(2)人 *力(3)于为)*九*)(4)%寸*力出八 3.LI 一-2-1 O 1 2 3*(b)由各序列的波形图可得出其表示式分别为：ft(k)=8(&+D+2 a(4)+二8 D/?()=(6 +2)+合(+1)+8(6)+合(1)+8(6 2)=(4 +2)e(k 3)人(无)=3以6)+2合(1)+以4 2)J(k)=8(6)一合3 1)+合(6 2)一合(4 3)(1)九 夏)*力()=+1)+2 8Ck)

38、+8(1)J*f(+2)e(k 3)=(+3)+2 e(k+2)+(4 +1)e(k 2)2 e(k 3)e(4)=，0,1,3,4,4,4,3,1,0,)(2)f2(k)*f式k)=C(6+2)e(k 3)*38(4)+26(k 1)+8(A 2)=3f(A+2)+26a+1)+f(A)3f(3)2e(k 4)e(k-5)=，0,3,5,6,6,6,3,1,0,(3)f A k)T J k)=38(4)+26(k-1)+-2)关8(A)8 a 1)+8(4 2)一以4-3)=3 5(k)6(k 1)+2合(后一2)25(k 3)8(k 4)8(k 5)=-12,-2 1 -1,(),(4)。

39、2()一8 a)J*A(A)=0凌+2)-(氏一3)8(A+1)28(A)一双左一 D *38(4)+28(6 1)+3(-2)=+2)8(k)+合(2)*33(R)+26(k 1)4-6(k 2)=38(k+2)+28(k+1)2S(k)一 28(k-1)+25(k-2)+25(k-3)+8(k 4)=(，0,3,2,3,2,2,2,1,0,3.13、求 题3.9图所示各系统的阶跃响应。(a)y Ck)=f Ck)+(k 1)y()(为-1)=f(h)o对于单位序列响应，有h(k)-氏-1)=3(h)A(0)=%(-1)+S(0)=1o特征方程为a 一J =0,特征根为义o13g(k)g (

40、k -1)=e(k)g(0)=J g(1)+e(0)=1o又特解为 gp()=yJ1 9令 g(h)=C(y)k O代入g(0)=1 得31C+y=1 =C =-yJ JO 1 1:.g(k)=2 1 （c）y（k）=-y（k 1）+4 丁（为-2）+f（k）6 6对于单位阶跃响应g（6）+4-g（1）g（左 2）=（2）6 6g（0）=11 5g（D=一卷 g（O）+l=卷6 6特解为部（E）=1特征方程M+卷 入 一 4=0,6 6特征根为 Ai=-；，2 2 =乙 O1 v k 1令 g（k）=l+c-y+D（/）A代 入 g（0），g（l）得（1 +C+D=1|C=yC ,D _ 5

41、-J、V-T+T-T D=-10；g凌）=+-f（T）产）3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。设迟延单元的输人为才a),则相应的输出为.N&-1)。由左端加法器输出可得x(.k)=/(Z J+J zM-l)即 f(k)=x Ck)-1)由右端加法器输出可得 y(k)=j：(.k)x(k 1)由上式可得 1)=k-1)-2)j将以上两式相加得y()1)=z)I)才(4 1)2)J则有 y(6)3yq 1)=f(A)/(-1)令方程右端只有8Q)作用.此时系统的响应为儿(幻，它满足方程h (k)一十 八 1(k 1)=6(6)及初始条件儿(-1)=0。则有儿(0)=6(0)+1儿(-1

42、)=1方程的解为 h.(k)=C,(y)*e()将初值代入,得/(0)=C)=1贝|有 心(2)=(9)系统的单位序列响应为h(k)=/J,(Z：)-/i1(-l)=2 8(6)一(-1)=2 贺)一(1)*()乙乙系统的阶跃响应为g(Q =/4,)=2 L 2 ()-(y),e(/)g-O O?=-8 4=2 e()-C 2-(y)*e()=(1)%(4)3.1 5、若L T I离散系统的阶跃响应g伏)=(O.5)Z ，求其单位序列响应。解 由已知可得h(k)=Vg()=g(左)-g(k 1)=(：)%()-(；)*一%(1)乙 乙=8(A)+(却e(1)-(1)乙乙=8(k)-(y)i-1

43、e(Z?-1)=2台(为)-(5)%()乙3.1 6、如图所示系统，试求当激励分别为(1)/伏)=伏)(2)”k)=(o.5)Z时的零状态响应。-1 2(a)（a）迟延单元输人为y（4）,则相应的输出为v q 1）,由加法器的输出可得系统的差分方程y（k）=f（k）9 1）（1）当激励/“）=（6）时方程的解为1 9y j（k）=a 0又由 M（1）=o/（o）=（o）=1 可得切（0）=/（0）一9（-1）=19则有 3 /（0）=C i+y=1解 得G=J，则此时系统的零状态响应为O=曰+!（一 小 口 O O 乙3.1 8、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成，已知4（k）=2 c o

44、 s 9,外出也二，激励k）=b（k）-a b（hl）,求该系统的零状态响应以。（提示：利用卷积和的结合律和交换律，可以简化运算。）解复合系统的冲激响应为h(k)=(A)*/”(Q则当激励为/(3时复合系统的零状态响应为y/Ck)=f(k)*/i|()*Z 2()=f(k)*h2(k)*h ()=1 8(A)aS(k 1)*ake(A)*2 c os(第)4=a、(k)a a 式h 1)*2 c os(牛)=8(k)*2 c os(牛)=2 c os(牛)3.22、如图所示的复合系统有三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为4伙)=(&),4伏)=(&,求复合系统的单位序列响应。M S)解复合

45、系统的冲激响应为h(k)=()*h2(k)则当激励为/经)时复合系统的零状态响应为yj(k)=f(k)*lh(k)*h2(k)=f(k)*/2()*hi(k)=小为)-a S(k-D 1*2cos(第)4=a%(k)-a ah,(4 1)*2cos(孥)4=6(h)*2cos(与)=2cos(第)第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Q和周期T。(1)eim,(2)cos(r-3)(3)c os(2 r)+sin(4r)(4)c os(2 M +c os(3m)+c os(5加)(5)c os(3)+sin(?f)I o J c os(y t)+c o s(y 0 +c o s(y 0解

46、角 频 率为。=10 0 ra d/s,周期T =詈=含s(2)角频率为H =y ra d/s,周期丁 =普=4 s(3)角频率为0 =2 ra d/s,周期T =善=ns(4)角频率为。=4 ra d/s,周期T =号=2 su L(5)角频率为。=与 ra d/s,周期7=今=8 s4。(6)角频率为。=亲 ra d/s,周期T =*=60 sO UJ z4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求 图4-15所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式)o八*sin八 E)-2 -I O 1 2 3 t(b)图 4-15解（1）周 期 T=4.C=，则有1,4A 1 4 r 4 44+1:,0,

47、凝+1 V r V 44+3由此可得a=7T/(t)c os(n Qt)df=-y j /(r)c os()drJ-J 丁/J 2 /=!c os()dr=-sin/-77,w =0,l,2 Z J-i L m t Z /b=Wf sin(n Q t)&=-1-1/(r)sin(y )dr1 J k 4 J 2 4F”=0,1,+2 一(2)周 期 T =2.0 =旱=兀，则有,sin(r t t),2%&，4 2 4-1f(t)=0,2 4+1 V r V 2 4+2由此可得F=I f(t)e:n，d t =j f(r)e-dr=sin(jrr)e-J,lflzdrT j-lJ 2 J-i

48、2 J o1+e-2K(1 2 )n=0,土 1,2,4.10利用奇偶性判断图4-18示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。(C)(d)图 4-18解（1）由 力（?）的波形可知T力 =力（7）=-/1（r,4 什 ,一|出，=亍|/（r）c os（7iQ r）dr则有 。，”=0,1,2,=0a0=U2 =a4=伍=仇=0则 力（D的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波。（2）由/,（?）的波形可知力 =一 力1）产“=0则有1 4 6 ,=1,2,I b=/（r）sin（n O r）drI 1 J o则/2（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波。（3）由3的波形可知/3（力=/

49、3（-r）则有=0J j rf,n =0,1-2,|an=亍|/（z）c os（n n r）dr即/3（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波。（4）由 九（/）的 波 形 可 知 为 奇 谐 函 数 即T=/4（y）则有 a0=a2=at=仇=8=仇=0即 人（r）的傅里叶级数中只含有奇次谐波.包括正弦波和余弦波。4-11某 1 Q 电阻两端的电压如图4-19所示,(1)求“的三角形式傅里叶系数。(2)利 用(1)的 结 果 和 求 下 列 无 穷 级 数 之 和(3)求 1 Q 电阻上的平均功率和电压有效值。(4)利 用(3)的结果求下列无穷级数之和图 4-19解(1)由(z)的波形

50、图可知T =2,0 =穴,则,1,2 4 W f -sin(At乙=11 c。叭i Q)Vmt1x 口 一(一 1)叮sin(=n)则有 S-=f念 n 4即2 1一5+=自则可得无穷级数 s=1-4-+4-4-+-=v3 5 7 4(3)1 Q电阻上的平均功率为P=(f)dr=1 u2(t)dt=4d?=1 J T Z J-i Z J o N则电压有效值为(4)由(r)的波形图可知U有效=专u(t)=Z/2(?)则i rf i fi 1 ri iP=u2(t)dt=dz=u(t)dt=.T.i ，J N将u(t)的傅里叶级数代人上式得1 cosG吟 in(等)a=1mt 2即得即4.1 7