2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）解析.pdf

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1、绝 密 启 用 前 2021届 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 预 测 卷（二）注 意 事 项：L 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名、班 级、考 号 等 信 息 2、请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 一、单 选 题 1.若 复 数 z=（3-2i）（l+i）（i是 虚 数 单 位），则 复 数 z 的 共 规 复 数 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 答 案：D化 简 复 数 z=5+i,得 到 共 规 复 数 1=5-i，结 合 复 数 的

2、几 何 意 义，即 可 求 解.解：由 复 数 z=（32i）（l+i）=5+i,可 得 其 共 辗 复 数 1=5-i，则）在 复 平 面 内 对 应 的 点（5,-1）位 于 第 四 象 限.故 选：D.2.纵 观 贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GDP数 据，整 体 数 据 受 疫 情 影 响 轻 微，贵 州 省 全 省 CDP在 31个 省 级 行 政 区 中 排 名 第 20位，GDP的 具 体 数 据 如 下 表，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）地 区 2020年 一 季 度 GDP/亿 元 2019年 一 季 度 GDP/亿 元 同 比 增 量/亿 元 GD

3、P名 义 增 速 官 方 实 际 遵 义 790.98 578.55 212.43 36.72%0.80%黔 西 南 281.21 247.79 33.42 13.49%-1.30%贵 阳 838.76 764.19 74.57 9.76%-2.00%黔 东 南 246.43 196.36 50.07 25.50%-2.00%安 顺 213.15 131.40 81.75 62.21%-2.20%毕 节 408.42 486.79-78.37-16.10%-2.50%铜 仁 288.10 183.47 104.63 57.03%-2.50%六 盘 水 278.45 304.556-26.11-

4、8.57%-3.60%黔 南 358.52 226.97 131.55 57.96%-4.70%A.贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GOP官 方 实 际 增 速 的 众 数 是-2.00%B.贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GOP的 极 差 为 625.61亿 元 C.贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GDP的 同 比 增 量 的 中 位 数 为 81.75亿 元 D.毕 节 市 2020年 一 季 度 GDP的 数 值 高 于 贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GDP的 平 均 值 答 案：B根 据 贵 州 省 九 市 州 2020

5、年 一 季 度 GDP官 方 实 际 增 速 的 众 数、极 差、同 比 增 量 的 中 位 数 可 判 分 别 判 断 ABC选 项 的 正 误；计 算 出 贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GDP的 平 均 值，可 判 断 D 选 项 的 正 误.解：贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GOP官 方 实 际 增 速 的 众 数 是 一 2.00%和 一 2.50%,A错 误；贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 G D P 的 极 差 为 838.76 一 213.15=625.61亿 元，B 正 确；贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GO

6、P的 同 比 增 量 的 中 位 数 为 74.57亿 元，C 错 误；贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GOP的 平 均 值 为 1 x(790.98+281.21+838.76+246.43+213.15+408.42+288.10+278.45+385.52)411.56 408.42故 毕 节 市 2020年 一 季 度 GDP的 数 值 低 于 贵 州 省 九 市 州 2020年 一 季 度 GDP的 平 均 值，D错 误.故 选：B.3.已 知=2-3,6=2.3，c=log36,则。,b,c 的 大 小 关 系 为()A.c a h B.c h aC.acb D.b

7、 c a答 案：C根 据 指 数 函 数，对 数 函 数 的 单 调 性 来 判 断 数 值 大 小.解：由 对 数 及 指 数 的 单 调 性 知：=2。32.3,2 c=log36log33=1.5,所 以 a,h,c 的 大 小 关 系 为 故 选：C.4.为 了 给 数 学 家 帕 西 奥 利 的 神 奇 的 比 例 画 插 图，列 奥 纳 多 达 芬 奇 给 他 绘 制 了 一 些 多 面 体，如 图 的 多 面 体 就 是 其 中 之 一.它 是 由 一 个 正 方 体 沿 着 各 棱 的 中 点 截 去 八 个 三 棱 锥 后 剩 下 的 部 分，这 个 多 面 体 的 各 棱

8、长 均 为 2,则 该 多 面 体 外 接 球 的 体 积 等 于（）A.16K B.8兀 C.-3答 案：D327t如 图，把 该 多 面 体 补 形 为 正 方 体，由 所 给 多 面 体 的 棱 长 为 2,得 正 方 体 的 棱 长 为 2加，正 方 体 的 中 心 即 为 多 面 体 的 外 接 球 球 心，球 心 到 多 面 体 顶 点 的 距 离 为（近 丫+（0 丫=2,即 所 求 外 接 球 的 半 径 H=2,其 体 积 V=4 无 炉=3土 2冗.3 3故 选：D多 面 体 的 外 接 球 问 题 解 题 关 键 是 找 球 心 和 半 径，求 半 径 的 方 法 有：（

9、1）公 式 法；（2）多 面 体 几 何 性 质 法；（3）补 形 法；（4）寻 求 轴 截 面 圆 半 径 法；（5）确 定 球 心 位 置 法.5.已 知,目=3,uun u u m uun u u m|AC|=2,若 关 于 加 的 不 等 式 AB+AC A B-m A C恒 成 立，则 sin ABAC=()AV 5 R V 5 r 1 n 24 3 3 3答 案：Buun uum 2 uun uum 2由 条 件 可 得 A B+A C 0.然 后 由()可 得 cosNA4C=-g,然 后 可 得 答 案.解：因 为|丽 卜 3,uun uun uuu uuu|AC|=2,且 关

10、 于 小 的 不 等 式 AB+AC AB+m A C 恒 成 立,uni uun 2所 以 AB+ACuun uun 2 0 所 以=9 cos2 ZB A C+12cos A B A C+4=(3cosZBAC+2)2 0,2所 以 3 c o sZ fi4 C+2=0,cos ABAC，又 0 4 4 4。2=2*()的 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A,5 两 点，若 4?|=9,uun 1 uirBb=区 4,则 抛 物 线 的 准 线 方 程 为()3A.%=_4 B.x=-3 C.x=-1 D.x 22答 案：D过 点 A,8 分 别 向 抛 物 线 的 准 线 作

11、 垂 线，垂 足 分 别 为。，E，过 点 A 作 3 的 垂 线，得 到 四 边 形 A D EC为 矩 形，由 抛 物 线 定 义 可 知|例=|A F|,忸 国=怛 耳，进 而 求 得 A B 3 B C,再 根 据 揶=2 0,求 得。的 值，即 可 求 解.解：如 图 所 示，由 抛 物 线 的 对 称 性 不 妨 令 点 A在 第 一 象 限,过 点 A,6 分 别 向 抛 物 线 的 准 线 x=-4 作 垂 线，垂 足 分 别 为。，E，2过 点 A作 3 的 垂 线，垂 足 为 C,交 x轴 于 点 N,则 四 边 形 AOEC为 矩 形,由 抛 物 线 定 义 可 知 1A

12、q=|A耳，忸 目=忸 目，uin 1 uir又 由 卜 耳=9,BF=：B A,所 以|Aq=2忸 耳=6,所 以|阳=|。目=2忸 目=6,即 3 为 CE的 中 点，所 以 卜 3忸 C|,在 RtZXABC中，|AC|=2及 忸 C|,所 以 直 线 AB的 斜 率 为 因=2拒,四 则|H V|=M q _ p=6 _ p(O p/(2 x+l),得 到|x 2|2 x+l|,即 可 求 解.解：当 x 0 时,x)=e T,此 时/(x)=/+/(),贝 lj/(x)在(0,+8)上单 调 递 增，又 由/（x）是 偶 函 数，所 以/（X）在（F,0）上 单 调 递 减.由/（X

13、-2）/（2x+l）0,得/（x-2）/（2x+l）,则 k 一 2|2x+l|,两 边 平 方 整 理 得 39+8万-3 人 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 耳，F2,直 线/过 椭 圆 c的 左 顶 点 且 与 椭 圆 C 相 切，P 为 直 线/上 任 意 一 点.若 4F1PF1的 最 大 值 为 2，则 椭 圆 C6的 离 心 率 是（）A.B.-C.D.2 3 2 2答 案：A由 椭 圆 对 称 性 不 妨 设 P 为 第 二 象 限 的 点，即 t 0,设 直 线 耳，尸 鸟 的 倾 斜 角 分 别 为。，/，则/耳 尸 玛=夕 一 二,得 出 tan/片 尸 乙 关 于，

14、的 表 达 式，利 用 基 本 不 等 式 结 合 已 知 条 件 可 得 关 于 占，c 的 关 系，进 一 步 得 出 椭 圆 的 离 心 率.由 题 意 可 知，6（-c,0）,6（c,0）,c 0,直 线/的 方 程 为 一,设 直 线 P月，PF2的 倾 斜 角 分 别 为 a,B,由 椭 圆 的 对 称 性 不 妨 设 尸 为 第 二 象 限 的 点，即 尸（一。），t0,则 tan a-,tan（3=-.:N 片 PF2-/3-a,ca c+atan ZFiPF2=tan(/?-a)=tan-tan a1+tana tan ftc+a c-a=2ct=2c g=在，?t2+b2

15、2 b2 r 2 b b1-c2 7-a2r r+4 7”f，当 且 仅 当=忙，即 1=6时 取 等 号.又 tan/P的 最 大 值 为=tan=，t b 6 3cI 1:.b=0 C，即 一。2=3。2,整 理 得 一=,故 椭 圆 C 的 离 心 率 是;.a 2 2故 选:A.求 椭 圆(双 曲 线)离 心 率 的 一 般 思 路：根 据 题 目 的 条 件，找 到 a、b、c 的 关 系，消 去 b,构 造 离 心 率 e 的 方 程 或(不 等 式)即 可 求 出 离 心 率.二、多 选 题 9.已 知 集 合 A,8 是 两 个 非 空 整 数 集，若 当 A q B,则 下

16、列 结 论 正 确 的 是()A.B A B.A U 3=Z C.”5 D.=0答 案：B C根 据 题 意，作 出 Venn图，结 合 图 形 即 可 得 答 案.解：依 题 意，作 出 Venn图 如 图 所 示，由 图 知，BcA,A u B=Z，A c 8 x 0.故 选：B C.10.已 知 函 数/(x)=Asin(a)x+)|A 0,6y0,闸 的 部 分 图 像 如 图 所 示，则 下 列 说 法 正 确 的 是()A./(x)的 最 小 正 周 期 的 最 大 值 为 2兀(rr 37rB.当。最 小 时，/(X)在 5,7 上 单 调 递 减 Cc.(p=兀 3D.当 最

17、小 时，直 线=胃 是/(X)图 像 的 一 条 对 称 轴 答 案：BC由 给 出 的 函 数 图 像，求 出 函 数 解 析 式，结 合 函 数 性 质 一 一 分 析 即 可.解：由 题 图 得 A=1.因 为/(O)=sine=-*,又 冏,_.兀 兀 C=0,即 sin 一 切+=0,_3 3_兀 7 1得-69H=兀+2 E,k w Z,即 0=2+6k%Z,3 3又 0 0,所 以 综 i n=2,所 以/(x)的 最 小 正 周 期 的 最 大 值 为 兀，故 A错 误，C 正 确：取 0)=2,则/(x)=sin(2%一 三)，当、/，彳)时，令 t=2 x-,则(2n 7K

18、 1因 为 y=sinf在|了,彳 J上 单 调 递 减,上 单 调 递 减，故 B 正 确;/信 卜 疝,金 兰 卜 in兀=0，27r所 以 直 线 X=7 不 是/(x)图 像 的 一 条 对 称 轴，故 D 错 误.故 选：BC.方 法 点 睛：整 体 法 求 一 般 三 角 函 数 单 调 区 间 及 对 称 性 等 相 关 问 题.11.下 列 不 等 式 正 确 的 是()A.若 a,b e R,则。2+62？2a夕(G N*)B.若 a,b 0,则 21ggNlga+lg。C.若 a b,则 aZ/(wN*,N2)D.若/)3,曲 0,则,0,则(2=f+1+2 a”她=如 当

19、 且 仅 当。=时 I 2)4 4取“=”，所 以 21g专 Nlg(ab)=lga+l g 8,故 B 正 确：对 于 C 中，只 有 当 0 a b 时，a 0,可 得。人 0 或 0。人，所 以 故 D 正 确.a b故 选：ABD.12.设 x$R,用 司 表 示 不 大 于 元 的 最 大 整 数，则 y=|x称 为 高 斯 函 数，也 叫 取 整 函 数，下 列 结 论 正 确 的 是()A.+/?0(n G N)C.+=,4%+2=j4+3 N*)D.x+x Hn2X H-n+n-x+-neN*)+答 案：BCD当 a,Z?都 是 整 数 时，可 判 定 A 错 误；对 于 B,

20、由(”+1)2+-(+l)2+n+l=0,可 判 定 B 正 确，令 x=j4+l+l,证 得+J4+1 痴+2 痴+3,4+1+1,可 判 定 C 正 确；构 造 函 数 y(x)=zix-x-x+-x+-x+-,证 得 函 数/(x)是 以！为 周 H J|_ H J|_ n J n期 的 周 期 函 数，结 合 XW 0,-时，/(x)=0,可 判 定 D 正 确._ n 解：对 于 A,当 匕 都 是 整 数 时，有。+目=句+同，故 A 错 误.对 于 B,因 为 eN*，所 以+1=+2)=(“+1)2,所 以(+1)2+J(+l)2+1=(+1)2+一(+1)2=0,故 B 正

21、确,对 于 C,由 题 意 知+wj4+l j4+2 j4+3成 立 即 可，令=心+1+1,则 24+1，当 x=2机(meN*)时，x2=4m2 4n+1)则 有 2+1，那 么 x2=4 m2 N4+44+3；当 x=2 m 1 时，x2=4 m2 4m+l4n+l，m?m 几，即 m2 m 7i+1 那 么 f=4(机 2 2)+i 2 4+5 4+3,所 以 命 题 成 立，即+J4+1 j4+2 j4+3 j4+l+1,所 以 j4+l=j4,+2=j4+3 N*),故 C 正 确.对 于 D,构 造 函 数/(x)=可 可 一 冗+x+2-x+,则/(x+：1x+n2X d-n=

22、nx+l-X+-(x+l)=/(x),所 以 函 数/(x)是 以:为 周 期 的 周 期 函 数，故 只 需 证 明 x)=o 在 0，内 恒 成 立 即 可，因 为 当 XG 0,：时，/(x)=o,所 以 结 论 成 立，故 D 正 确.故 选：BCD.对 于 函 数 的 新 定 义 试 题 的 求 解：1、根 据 函 数 的 定 义，可 通 过 举 出 反 例，说 明 不 正 确；2、正 确 理 解 函 数 的 定 义 的 内 涵，紧 紧 结 合 定 义，结 合 函 数 的 基 本 性 质 进 行 推 理、论 证 求 解.三、填 空 题 13.某 医 院 派 遣 3名 医 生 和 2

23、名 护 土，共 5 名 医 护 人 员 参 加 2020年 全 国 文 化 科 技 卫 生“三 下 乡”活 动，现 从 中 任 选 2人 去 济 宁 市 鱼 台 县 工 作，若 要 求 剩 下 的 3人 中 至 少 有 1名 护 士，则 不 同 的 选 法 共 有 种.答 案：9对 剩 下 的 3人 进 行 分 类，利 用 组 合 直 接 求 解.解：因 为 要 求 剩 下 的 3人 中 至 少 有 1名 护 士，所 以 符 合 条 件 的 情 况 有 两 种：2 名 医 生 1名 护 士，1名 医 生 2名 护 士，所 以 不 同 的 选 法 共 有 C；C；+C；C；=6+3=9种.故 答

24、 案 为：9计 数 问 题 解 题 要 先 区 分：1、先 分 步 还 是 先 分 类.2、是 排 列 还 是 组 合.14.己 知 S,为 等 差 数 列 q 的 前 项 和，且$2=35,4+/+%=3 9,则 当 S“取 最 大 值 时，的 值 为.答 案：7根 据 条 件，由 等 差 数 列 通 项 公 式 及 求 和 公 式 求 得 首 项 和 公 差，从 而 变 成 函 数 问 题，找 到 最 大 值.解：方 法 一：设 数 列 的 公 差 为 d,则 由 题 意 得 2a.+d=35,a.=19,生+生+包=3/=3(4+2d)=39,牛 d=-3,则 1681d-24.又 eN

25、*，.当=7 时，S,取 得 最 大 值.方 法 二：设 等 差 数 列,的 公 差 为 d.；。2+%+。4=3%=39,%=13,2cly S2=(%)+(q 4)=3d 9,解 得 d 3，则 an=q+(-3)d=22-3，22-3nQ,今 V22-3(K+1)0,19 22解 得-n-T-，又 e N*,3 3：.n=l,即 数 列 4 的 前 7项 为 正 数，从 第 8项 起 各 项 均 为 负 数，故 当 S“取 得 最 大 值 时，=7.故 答 案 为：7.1 5.如 图，将 某 圆 形 工 件（厚 度 忽 略 不 计）放 置 在 水 平 面 MN上，与 MN交 于 点 A,

26、在 圆 周 上 取 一 点 8,作 N 8 4 N的 平 分 线 A C,交 圆 周 于 点 C,连 接 6 C 并 延 长 交 MN于 24点。.若 AC=3,=则 该 圆 形 工 件 的 半 径 为.答 案：I依 题 意 可 得 N5=N B A C,所 以 A5=2 3 C c o s 3,即 可 求 出 c o s 5,再 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 出 sin B,最 后 利 用 正 弦 定 理 求 出 三 角 形 外 接 圆 的 半 径；解：解：由 弦 AC平 分 可 得 N84C=N D 4 C,又 因 为 N C U=N 3,所 以 24 4/B=/

27、B A C,则 AC=BC=3,则 AB=2 3 C COS3=6 COS3=M,所 以 cos3=y.因 为 0 8，所 以。nB=J1 COS2 B=、,因 为 圆 形 工 件 是 A A B C 的 外 接 圆，2 5n AC 3 5所 以 由 正 弦 定 理 得 圆 形 工 件 的 半 径 一 2sinB 2.2x 516.如 图，在 四 棱 锥 P ABCD中，2 4,底 面 ABCD,底 面 A5CD是 矩 形，P B=5,弘=3,点”在 棱 6 c 上，且 4 0 L D W，则 当 PM D的 面 积 取 最 小 值 时,cos Z.CMD-设 4 5 C=x,B M=y,利

28、用 位 置 关 系，得 到 x=)上”，把 PMD的 面 积 表 示 y出 来，利 用 基 本 不 等 式 求 出 最 小 值 及 取 最 小 值 时 求 出 cosNCMD.解：设 A)=8C=x,BM=y,则 其 中 x y 0.：而 _底 面 ABC。，.L A B.又 PB=5,幺=3,，AB=4.由 勾 股 定 理 知 AM?=AB2+BA/2=16+/,DM2=CD2+CM2 l6+(x-y)1.：A M D M,AM2+DM2 AD2 即 16+y2+i6+(x=f,整 理 得 3?一 孙+脂=0,即 尤=上 上 笆.过 点 M 作 肱 V L 4)于 点 N,再 过 点 N 作

29、 NQ_LPQ于 点。，连 接 0M.；9 4,底 面 ABC。，B 4 u平 面 Q4。，.平 面 RLD_L底 面 A B 8,又 平 面 PA。n 底 面 ABC。=AD,M N u 平 面 ABC。，平 面 Q 4 O，则 MN1.BD.又 N Q L P D,M N C N Q=N,QD_L平 面 NQ,P D V M Q,即 M Q 为 八 P D M 的 边 P O 上 的 高.N O PA在 R W 中，sinNPZM=*=,D N PD2 八 PA D N 3（x-y）9（x_ v2S I M Q-P D=；M Q 2.P D=：16+f c.（9+X2）=；16（9+X 2

30、）+9（X），）2k Z J H-4 y+X 41-把=匕 3 代 入 上 式，化 简 得 y。2 1 ix 2 25x 16-,c,1.CZ_2_ 25x 16,c,.S M O=T 16y+-2+656-2-16y-+656=324，4 y 4 V y-当 且 仅 当 丁=2行,20+1 6 J 8 62石 一 5x 时,等 号 成 立，此 时 PMD的 面 积 取 得 最 小 值,sin N C M D=*=,4所 以 D M Ji6+（x-y 4 _y/5_又 NCMZ)e(0,1,所 以 cosNCMO=g.立 体 几 何 中 的 最 值 问 题 一 般 涉 及 到 距 离、角 度、

31、面 积、体 积 等 四 个 方 面，解 决 此 类 问 题 一 般 从 三 个 方 面 思 考：利 用 传 统 方 法 活 空 间 向 量 的 坐 标 运 算，建 立 所 求 的 目 标 函 数，转 化 为 函 数 的 最 值 问 题 求 解；根 据 几 何 体 的 结 构 特 征，变 动 态 为 静 态，直 观 判 断 在 什 么 情 况 取 得 最 值；将 几 何 体 平 面 化，如 利 用 展 开 图，在 平 面 图 形 中 直 观 求 解.四、解 答 题 17.从 3%=3,“=3”T,生+/=$6这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 的 问 题 中 并 作 答.

32、设 数 列 叫 的 前 项 和 为 s“，4=1,2S,=(+l)a,，也 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，2=4,求 数 列 a 的 前 项 和 7；.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.答 案：答 案 见 解 析 先 利 用 4=1,25,=(+1)为 求 得。“=，分 别 用 求 出 公 比 q：选 择：直 接 求 出 bz,求 出 q,再 求 数 列 的 前 项 和 选 择：由 勿=3T=3 T,直 接 得 到 通 项 公 式，求 出 前 项 和 北.选 择：用 基 本 量 代 换，求 出 q,再 求 数 列 2 的 前

33、项 和 解：由 4=1,25,=(n+l)an,得 2s“+1=(+2)a.+1,两 式 相 减 得 2a”+=(+2)a“+-(+1)凡，即，9 用=(+1)%，；.七=%，+1 n.展=工=-.=幺=1,+1 n 1(或 由 叫 用=(+l)q,得 设 数 列 也 的 公 比 为 4，.等 比 数 列 2 的 各 项 均 为 正 数，.4 0.选 择：由 3 4=53得%2=1+2+3=6,则 4=2,b,c又 4=4=1,q=言=2,瓦：.数 列 b,是 首 项 为 1,公 比 为 2 的 等 比 数 列，选 择：由 2=3尸=3-|,得 数 列 出 是 首 项 为 1,公 比 为 3

34、的 等 比 数 列,，可选 择：/a,+b.=S6,：.5+lxa2=+6X(，=21,2=16,解 得 q=4(负 值 舍 去)，.T x(l-4)/-I“1-4 3(1)等 差(比)数 列 问 题 解 决 的 基 本 方 法：基 本 量 代 换 和 灵 活 运 用 性 质；(2)“结 构 不 良 问 题”是 2020年 高 考 出 现 的 新 题 型：题 目 所 给 的 三 个 可 选 择 的 条 件 是 平 行 的，即 无 论 选 择 哪 个 条 件，都 可 解 答 题 目，而 且，在 选 择 的 三 个 条 件 中，并 没 有 哪 个 条 件 让 解 答 过 程 比 较 繁 杂，只 要

35、 推 理 严 谨、过 程 规 范，都 会 得 满 分.18.如 图，在 RtZiABC中，Z A C B=90，Z A=60,A C=3,点。，E 在 边 AB上，且 A D=D E=EB.A(1)求。的 长；(2)求 sinNDCE的 值.答 案：(1)J 7；(2)上 也 亘.91在 三 角 形 中，利 用 余 弦 定 理 结 合 题 目 条 件 求 得 边 长，由 正 弦 定 理 求 得 角.解：ZACB=90。，ZA=60,A C=3,A A B=2 A C=6,：A D=D E=E B=2,则 在 八 4。)中，由 余 弦 定 理 得=32+22-2 X 3X 2 COS60=7:.

36、C D=币.(2)方 法 一：设 N A C O=a,NACE=7?.在 八 4 8 中，由 正 弦 定 理 得 色 乙=生 1sin A sinaV7 2G 一 sina，即 sine=旦 币 2又 a 为 锐 角，cos a=71-sin2 a一 正,在 AACE中，A E A D+D E=4,由 余 弦 定 理 得 CE?=32+42-2 X 3X 4COS60=1 3-即 CE=旧.CE AE V13 _ 4在 AACE中，由 正 弦 定 理 得 sin A sin/3 拒 sin/7，T解 得 sin/?=婆,又 夕 为 锐 角，/.cosP=71-sin2.vl3.s D C E=

37、s m 6 a 1 聿 金 一 4 乂 半=历.V13。7 A/13 A/7 91方 法 二：同 上 述 方 法 求 得 CE=J R，而 DE=2,CD=布,在/C D E中，由 余 弦 定 理 得 cos/D C E=（河+阿 42x77x713又 ZDCE为 锐 角，.sinNOCE=方 法 三：同 上 述 方 法 得 CE=g，而 CD=出,BC=V3AC=3y/3.又 A D=D E=E B，S 八 DLL=3 S 1:ABC=gx；x3x3G=A-x CD xCx sin ZCE=-2 2sin ZDCE=-j=V7xV133727391方 法 点 睛：正 弦 定 理，余 弦 定

38、理 是 解 三 角 形 的 必 要 工 具，通 过 边 角 互 化，结 合 恒 等 变 换 的 公 式，可 以 解 出 三 角 形 中 的 未 知 量.1 9.如 图，在 五 面 体 ABCD尸 中，平 面 A 3 C D,四 边 形 ABC。是 正 方 形，DE=EF=-A D.2(2)求 二 面 角 E-A C-。的 余 弦 值.答 案：(1)证 明 见 解 析；(2)显.3(1)CD/AB=C D H 平 面 A B F E=CD/EF=EFII 平 面 A B C D；(2)以。为 坐 标 原 点，DA,D C，O E 所 在 直 线 分 别 为 x，z轴 建 立 空 间 直 角 坐

39、标 系。-孙 z,利 用 空 间 向 量 可 求 得 结 果.解：(1)因 为 四 边 形 A B C D 是 正 方 形，所 以 CD AB.因 为 平 面 A 8 E E，A B I 平 面 A 3 F E，所 以 C O 平 面 A3FE.因 为 C D u 平 面 C D E R,平 面 C D M D 平 面 A B E E=E F，所 以 CD/EF.又 E F Z 平 面 ABC。，S u 平 面 ABC。，所 以 所 平 面 ABC。.(2)因 为 D E L 平 面 ABC。，四 边 形 ABC。是 正 方 形，所 以 直 线 DA,DC,D E 两 两 互 相 垂 直，故

40、以。为 坐 标 原 点，DA.D C，D E 所 在 直 线 分 别 为 x,z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。-型：设 E=；A=1,则 0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),(0,0,1),_ _ _ _ UUl所 以。=(0,0,1),A=(-2,0,1),CE=(O,-2,l).设 平 面 A C E 的 法 向 量 为。=(x,y,z),则 n-A E=-2x+z-0,n-CE-2y+z-0,今 z=2,得 工=丁=1得 元=(1,1,2).又 平 面 AC。的 一 个 法 向 量 为 瓦=(0,0,1),2 _ 7 63 由 图 可 知

41、二 面 角 E-A C-。为 锐 二 面 角,故 二 面 角 一 4。一。的 余 弦 值 为 逅.3关 键 点 点 睛：掌 握 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理、二 面 角 的 向 量 求 法 是 本 题 解 题 关 键.2 0.拉 拉 裤 又 叫 成 长 裤，是 等 宝 宝 调 皮 了 自 己 会 解 纸 尿 裤 了 或 者 换 尿 裤 的 时 候 总 动 来 动 去 使 用 的，拉 拉 裤 不 但 有 防 尿 功 能，且 具 有 普 通 短 裤 的 功 能，拉 拉 裤 易 于 穿 着、方 便 活 动，能 减 轻 妈 妈 的 劳 累，让 宝 宝 轻 轻 松

42、松 学 步，渗 透 性 能 是 体 现 其 功 能 的 重 要 指 标，对 渗 透 性 能 的 考 量 又 分 滑 渗 量、回 渗 量、渗 漏 量 三 个 方 面，其 中，回 渗 量 是 一 个 直 接 与 孩 子 健 康 挂 钩 的 指 标，国 家 在 这 方 面 有 严 格 规 定，要 求 不 得 超 过 10克.某 品 牌 拉 拉 裤 的 生 产 商 为 了 测 量 某 批 新 产 品 的 回 渗 量，从 该 批 产 品 中 随 机 抽 取 了 1000片，得 到 如 下 频 率 分 布 直 方 图：频 率 8 120 140 160 180 200 220 240 260 毫 克 注：

43、以 频 率 作 为 概 率，该 品 牌 拉 拉 裤 的 生 产 商 规 定 回 渗 量 小 于 220毫 克 为 合 格 品.(1)从 这 批 拉 拉 裤 中 随 机 抽 取 4 片，记 合 格 片 数 为 求 自 的 分 布 列 与 期 望.(2)从 这 批 拉 拉 裤 中 随 机 抽 取 加 片，全 是 合 格 品 的 概 率 不 低 于 60%,求 加 的 最 大 值.(3)为 提 高 新 产 品 的 质 量，该 厂 商 研 发 部 拟 订 了 I,I 两 种 技 术 更 新 方 案，试 验 结 果 如 下：方 案 I,随 机 抽 取 100片，合 格 片 数 的 期 望 是 96；方

44、案 I I,随 机 抽 取 120片，合 格 片 数 的 期 望 是 115.试 问 该 厂 商 应 按 哪 个 改 进 方 案 投 入 生 产？答 案：(1)分 布 列 答 案 见 解 析，数 学 期 望：3.6；(2)最 大 值 为 4；(3)应 选 择 方 案 I.9(1)由 频 率 分 布 直 方 图，得 到 所 抽 取 拉 拉 裤 是 合 格 品 的 概 率 为 正，确 定 随 机 变 量 J 的 所 有 可 能 取 值，求 得 相 应 的 概 率，得 出 分 布 列，利 用 公 式 求 得 期 望；(2)求 得 这 这 批 拉 拉 裤 中 随 机 抽 取？片，全 是 合 格 品 的

45、 概 率 为 匕，结 合 0.6.即 可 求 解；io j(3)按 方 案 I,n 分 别 得 到 合 格 品 个 数 X:B(100,a)和 y：8(120”)，求 得 期 望,即 可 得 到 结 论.解：(1)由 频 率 分 布 直 方 图 可 知，所 抽 取 拉 拉 裤 是 不 合 格 品 的 频 率 为(0.004+0.001)x20=0.1,所 以 所 抽 取 拉 拉 裤 是 合 格 品 的 频 率 为 1 一 0.1=0.9,9即 所 抽 取 拉 拉 裤 是 合 格 品 的 概 率 为.10从 这 批 产 品 中 随 机 抽 取 4片，合 格 品 的 个 数 J 的 所 有 可 能

46、 取 值 为 0,1,2,3,4,、4则 p(i)=1 扪 赢 110000P(D=C/9 Y10,48610000P=3)=C1_9_Y 1 2916lo j io _ 10000所 以 自 的 分 布 列 为 7所 40 1 2 3 4P10000361000048610000291610000656110000以 数 学 期 望 E=0 x10000+2 x 3 x 2 4 x 理=3 610000 10000 10000 10000(2)从 这 这 批 拉 拉 裤 中 随 机 抽 取 加 片，全 是 合 格 品 的 概 率 为(2 1,l i o j0.6.lo j 110；则 m 的

47、 最 大 值 为 4.(3)按 方 案 I,设 随 机 抽 取 一 个 产 品 合 格 的 概 率 是。，随 机 抽 取 100片,合 格 品 个 数 X:5(100,6/)；按 方 案 II,设 随 机 抽 取 一 个 产 品 合 格 的 概 率 是 b，随 机 抽 取 120片，合 格 品 个 数 丫：8（120力）.24 93依 题 意 E（X）=100a=96,（丫）=1206=115,解 得&=1）=会 74 23因 为 一 一，所 以 应 选 择 方 案 I.25 24求 随 机 变 量 X 的 期 望 与 方 差 的 方 法 及 步 骤：1、理 解 随 机 变 量 X 的 意 义

48、，写 出 X 可 能 的 全 部 值；2、求 X 取 每 个 值 对 应 的 概 率，写 出 随 机 变 量 的 分 布 列；3、由 期 望 和 方 差 的 计 算 公 式，求 得 数 学 期 望（X）,O（X）；4、若 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 特 殊 分 布 列（如：两 点 分 布、二 项 分 布、超 几 何 分 布），可 利 用 特 殊 分 布 列 的 期 望 和 方 差 的 公 式 求 解.2 221.已 知 双 曲 线 c：5 一 2=1（。0/0）的 左、右 焦 点 分 别 为 耳，F2,虚 轴 上、a b下 两 个 端 点 分 别 为 反，,右 顶 点 为 A,且

49、双 曲 线 过 点（夜,6）,UUUU UUUB2F2-BtA=ac3a2.（1）求 双 曲 线 a 的 标 准 方 程；（2）设 以 点 士 为 圆 心，半 径 为 2 的 圆 为。2，已 知 过 K 的 两 条 相 互 垂 直 的 直 线 4，4,直 线 4与 双 曲 线 交 于，。两 点，直 线 4 与 圆 G 相 交 于 M，N 两 点，记 APMN,QMN的 面 积 分 别 为 5一 5，求 5+2的 取 值 范 围.2答 案：（1）x2-=l;（2）12,+00）.U llU ll UUU/r r-?3（1）由=ac3a2得 3a2=，由 双 曲 线 过 点 得 方 一 7=1,两

50、 个 方 程 联 立 求 出 a 和 b,可 得 双 曲 线 C,的 标 准 方 程；（2）设 直 线 小 尤=/孙+2,根 据 垂 直 关 系 得 直 线 的 y=m（x2）,求 出 弦 长|MN|和 IPQI，求 出 E+$=；|MN|PQ|,再 根 据 参 数 的 范 围 可 求 出 结 果.解：（1）由 双 曲 线 的 方 程 可 知 A（a,0）,B2（0,b）,鸟（c,0）,ULIUU U U li则 B）F?=（c,A）,B1A=（a,b）.uuuu uuu因 为&.gAnac3/,所 以 a。-/=QC-3 2，即 3/=6.又 双 曲 线 过 点(、汇,6),所 以 2_2_