2021届高考二轮复习九 统计概率 教师版.pdf

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1、专 题 9 统 计 概 率 命 题 趋 势 1.统 计 部 分 主 要 考 查 抽 样 方 法、样 本 估 计 总 体、以 及 回 归 分 析、独 立 性 检 验，常 与 概 率 结 合 综 合 考 查，难 度 中 等.2.概 率 的 考 查 主 要 为：一 是 古 典 概 型、几 何 概 型、相 互 独 立 事 件、独 立 重 复 试 验 的 考 查，难 度 中 等 偏 易，选 择 题、填 空 题 的 考 查 形 式 居 多，解 答 题 也 有 考 查；二 是 离 散 型 随 机 变 量 分 布 列、均 值、方 差 的 考 查，常 与 概 率 结 合，主 要 以 解 答 题 的 形 式 考

2、查，难 度 中 等.。i.简 单 随 机 抽 样 定 义：一 般 地，设 一 个 总 体 含 有 N 个 个 体，从 中 逐 个 不 放 回 的 抽 取 几 个 个 体 作 为 样 本(n/V),如 果 每 次 抽 取 时 总 体 内 的 各 个 个 体 被 抽 到 的 机 会 相 等，就 把 这 种 抽 样 方 法 叫 做 简 单 随 机 抽 样.最 常 用 的 简 单 随 机 抽 样 方 法 有 两 种 抽 签 法 和 随 机 数 法.适 用 范 围：总 体 含 个 体 数 较 少.2.系 统 抽 样 一 般 地，假 设 要 从 容 量 为 N 的 总 体 中 抽 取 容 量 为 n的 样

3、 本，我 们 可 以 按 下 列 步 骤 进 行 系 统 抽 样：(1)先 将 总 体 的 N 个 个 体 编 号.有 时 可 直 接 利 用 个 体 自 身 所 带 的 号 码，如 学 号、准 考 证 号、门 牌 号 等；N N(2)确 定 分 段 间 隔 k,对 编 号 进 行 分 段.当 一(n是 样 本 容 量)是 整 数 时，取 女=一；n n(3)在 第 1段 用 简 单 随 机 抽 样 确 定 第 一 个 个 体 编 号 k);(4)按 照 一 定 的 规 则 抽 取 样 本.通 常 是 将/加 上 间 隔 k得 到 第 2个 个 体 编 号 U+k),再 加 k得 到 第 3个

4、 个 体 编 号(Z+2/c),依 次 进 行 下 去，直 到 获 取 整 个 样 本.N注 意：如 果 遇 到 一 不 是 整 数 的 情 况，可 以 先 从 总 体 中 随 机 地 剔 除 几 个 个 体，使 得 总 体 中 剩 余 的 个 体 数 能 被 样 本 容 量 整 除.适 用 范 围：总 体 含 个 体 数 较 多.3.分 层 抽 样 定 义：一 般 地，在 抽 样 时，将 总 体 分 成 互 不 交 叉 的 层，然 后 按 照 一 定 的 比 例，从 各 层 独 立 地 抽 取 一 定 数 量 的 个 体，将 各 层 取 出 的 个 体 合 在 一 起 作 为 样 本，这 种

5、 抽 样 方 法 叫 分 层 抽 样.适 用 范 围：总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 构 成.4.频 率 分 布 直 方 图 极 差：一 组 数 据 中 最 大 值 与 最 小 值 的 差；频 数：即 个 数；频 率：频 数 与 样 本 容 量 的 比 值，频 率 分 布 直 方 图 中 各 小 长 方 形 的 面 积 表 示 相 应 各 组 的 频 率；众 数：出 现 次 数 最 多 的 数，可 以 有 多 个.若 无 具 体 样 本 数 据，则 频 率 分 布 直 方 图 中 最 高 矩 形 的 中 点 值 可 视 为 众 数 估 计 值；中 位 数：按 大 小 顺 序 排 列

6、 的 一 组 数 据 中 居 于 中 间 位 置 的 数，若 中 间 位 置 有 两 个 数，则 取 它 们 的 平 均 数，中 位 数 只 有 一 个.若 无 具 体 样 本 数 据，则 频 率 分 布 直 方 图 中 将 所 有 矩 形 面 积 平 分 的 直 线 对 应 的 横 坐 标 可 视 为 中 位 数 的 估 计 值；平 均 数：所 有 样 本 数 值 之 和 除 以 样 本 个 数 的 值.若 无 具 体 样 本 数 据，则 频 率 分 布 直 方 图 中 将 每 个 矩 形 对 应 的 区 间 中 点 值 与 该 矩 形 面 积 相 乘，然 后 全 部 相 加 得 到 的 数

7、 值 可 视 为 该 样 本 的 平 均 值 的 估 计 值；标 准 差：考 察 样 本 数 据 的 分 散 程 度 的 大 小，一 般 用 s表 示.标 准 差 越 大，则 数 据 离 散 程 度 越 大；标 准 差 越 小，则 数 据 离 散 程 度 越 小.s=-X)2+(X2-X)2+(X-)2 方 差：标 准 差 的 平 方，用 S2表 示，也 是 刻 画 样 本 数 据 的 分 散 程 度，与 标 准 差 一 致./=L(%一 元)2+(范 一 与 产+卜“一 君 25.最 小 二 乘 法.(七 一 可(丫 一 方 一 网 回 归 直 线 夕=5x+a,其 中 卜=旦-（七 一 元

8、）2/=!a=y-b xIIi=l6.相 关 系 数 E U-）（x-y）1 支（升 一 元）2（必 一 歹）2t=l i=l当 r 为 正 时，表 明 变 量 乂 与 y正 相 关；当 r 为 负 时，表 明 变 量 X与 y负 相 关.r e-1,1,r 的 绝 对 值 越 大，说 明 相 关 性 越 强；r 的 绝 对 值 越 小，说 明 相 关 性 越 弱.7.回 归 分 析(1)样 本 点 的 中 心 叵，歹)一 定 满 足 回 归 方 程；(2)点(%，%)的 残 差 瓦=%一%；(3)R2=T-,R2越 大，则 模 型 的 拟 合 效 果 越 好；R2越 小，则 模 型 的 拟

9、合 效 果 越 差.i=8.独 立 性 检 验 K2的 观 测 值 攵=n(a d-b e)2(a+Z?)(c+d)(a+c)(/j+d)9.概 率 的 计 算(1)古 典 概 型 A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数(卜 基 本 事 件 的 总 数 P(A U B)=PQ4)+P p=1-p(2)几 何 概 型 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 长 度(面 积 或 体 积)成 比 例.(=构 成 事 件 4的 区 域 长 度(面 积 或 体 积)(卜 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度(面 积 或 体 积).(3)互 斥

10、事 件 概 率 的 计 算 公 式(4)对 立 事 件 的 计 算 公 式(5)条 件 概 率 10.离 散 型 随 机 变 量(1)离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 两 个 性 质 Pi 0(i=1,2,3,.,n)；pi+p2+Pn=1(2)均 值 公 式 均 值 性 质 E(X)=XiPi+X2p2+Xnpn E(aX+b)=aE(X)+b;若 X B(n,p),则 E(X)=np;若 X服 从 两 点 分 布，则 E(X)=p(3)方 差 公 式 与 方 差 性 质 D(X)=%-E(X)Kpi+X2-E(X)2P2+。(aX+b)=a2D(X)若 XB(n,p),则。(

11、X)=np(l-p)(4)两 个 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 PG48)=P(4)P(B)(5)独 立 重 复 试 验 的 概 率 计 算 公 式+Xn-E(X)2.pnP(X=k)=0 p k(i-p)k,k=0,1,2,n精 题 集 训 一.（70分 钟）经 典 训 练 题 一、选 择 题.1.（多 选）如 图 所 示 的 统 计 图 记 录 了 2015年 到 2019年 我 国 发 明 专 利 授 权 数 和 基 础 研 究 经 费 支 出 的 情 况,下 列 叙 述 正 确 的 是（）基 因 研 究 经 费 支 出(亿 元)OOOOOOOOOOOO OOOOO

12、54321000000111111987652015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年=发 明 专 利 授 权 数（千 项）。基 因 研 究 经 费 支 出（亿 元）OOOOOOOOOOO504846444240招 36 M32 知 5444443JJQPH3FO发 明 专 利 授 权 数(千 项)A.这 五 年 发 明 专 利 授 权 数 的 年 增 长 率 保 持 不 变 B.这 五 年 基 础 研 究 经 费 支 出 比 发 明 专 利 授 权 数 的 涨 幅 更 大 C.这 五 年 的 发 明 专 利 授 权 数 与 基 础 研 究 经 费 支 出 成 负 相

13、 关 D.这 五 年 基 础 研 究 经 费 支 出 与 年 份 线 性 相 关【答 案】BD【解 析】由 条 形 图 可 看 出 发 明 专 利 授 权 数 每 年 的 涨 幅 不 一 致，故 A 错 误；2019年 的 发 明 专 利 授 权 数 约 4 5 0千 项，2015年 的 约 为 360千 项，涨 幅 约 为 25%,2019年 的 基 础 研 究 经 费 支 出 约 为 1200亿 元，2015年 的 约 为 700亿 元，涨 幅 约 为 7 1%,故 B 正 确；这 五 年 的 发 明 专 利 授 权 数 与 基 础 研 究 经 费 支 出 都 是 逐 年 增 加，因 此

14、两 者 是 正 相 关，故 C 错 误；由 折 线 图 可 以 看 出 基 础 研 究 经 费 支 出 与 年 份 有 较 强 的 线 性 相 关 性，故 D 正 确，故 选 BD.【点 评】本 题 主 要 考 查 学 生 的 数 据 处 理 能 力，对 图 表 的 分 析 能 力，属 于 基 础 题.2.（多 选）因 防 疫 的 需 要，多 数 大 学 开 学 后 启 用 封 闭 式 管 理.某 大 学 开 学 后 也 启 用 封 闭 式 管 理，该 校 有 在 校 学 生 9000人，其 中 男 生 4000人，女 生 5000人，为 了 解 学 生 在 封 闭 式 管 理 期 间 对 学

15、 校 的 管 理 和 服 务 的 满 意 度，随 机 调 查 了 4 0名 男 生 和 5 0名 女 生，每 位 被 调 查 的 学 生 都 对 学 校 的 管 理 和 服 务 给 出 了 满 意 或 不 满 意 的 评 价，经 统 计 得 到 如 下 列 联 表：满 意 不 满 意 男 20 20女 40 10附 表:P(K2k)0.100 0.05 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828附：犬=_M d-b c)。_(a+/?)(c+d)(a+c)(/2+d)以 下 说 法 正 确 的 有()A.满 意 度 的 调 查 过 程 采

16、 用 了 分 层 抽 样 的 抽 样 方 法 B.该 学 校 学 生 对 学 校 的 管 理 和 服 务 满 意 的 概 率 的 估 计 值 为 0.6C.有 99%的 把 握 认 为 学 生 对 学 校 的 管 理 和 服 务 满 意 与 否 与 性 别 有 关 系 D.没 有 99%的 把 握 认 为 学 生 对 学 校 的 管 理 和 服 务 满 意 与 否 与 性 别 有 关 系【答 案】AC【解 析】因 为 男 女 比 例 为 4000：5000,故 A 正 确；20+40 2满 意 的 频 率 为=0.667,所 以 该 学 校 学 生 对 学 校 的 管 理 和 服 务 满 意

17、的 概 率 的 估 计 值 约 为 0.667,所 以 B 错 误;由 列 联 表 K?=90 x(20 xl0-20 x40)240 x50 x60 x30=9 6.635,故 有 99%的 把 握 认 为 学 生 对 学 校 的 管 理 和 服 务 满 意 与 否 与 性 别 有 关 系，所 以 C 正 确，D 错 误，故 选 AC.【点 评】本 题 考 查 了 独 立 性 检 验 的 应 用 问 题，也 考 查 了 数 据 分 析 应 用 问 题，是 基 础 题.3.为 了 丰 富 教 职 工 业 余 文 化 生 活，某 校 计 划 在 假 期 组 织 全 体 老 师 外 出 旅 游，并

18、 给 出 了 两 个 方 案(方 案 一 和 方 案 二)，每 位 老 师 均 选 择 且 只 选 择 一 种 方 案，其 中 有 50%的 男 老 师 选 择 方 案 一，有 75%的 女 老 师 选 择 方 案 二，且 选 择 方 案 一 的 老 师 中 女 老 师 占 4 0%,那 么 该 校 全 体 老 师 中 女 老 师 的 比 例 为()1 4 5 3A.B.C.-D.一 2 7 8 4【答 案】B【解 析】设 该 校 男 老 师 的 人 数 为 工,女 老 师 的 人 数 为 y,则 可 得 如 下 表 格：方 案 一 方 案 二 男 老 师 0.5%0.5%女 老 师 0.25

19、y 0.75y由 题 意 0.25y0.5 x+0.2 5 yv 4 v=0.4,可 得 二=彳，所 以 x 3 x+y4,故 选 B.【点 评】本 题 考 查 对 统 计 分 析 及 比 例 的 综 合 运 用 能 力.4.为 了 加 强 全 民 爰 眼 意 识，提 高 民 族 健 康 素 质，1996年，卫 生 部，教 育 部，团 中 央 等 12个 部 委 联 合 发 出 通 知，将 爱 眼 日 活 动 列 为 国 家 节 日 之 一，并 确 定 每 年 的 6 月 6 日 为“全 国 爱 眼 日”.某 校 高 二 班 有 4 0名 学 生，学 号 为 0 1到 4 0,现 采 用 随

20、机 数 表 法 从 该 班 抽 取 5 名 学 生 参 加“全 国 爱 眼 日”宣 传 活 动.已 知 随 机 数 表 中 第 6 行 至 第 7 行 的 各 数 如 下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76若 从 随 机 数 表 第 6 行 第 9 列 的 数 开 始 向 右 读，则 抽 取 的 第 5 名 学 生 的 学 号 是（）A

21、.17 B.23 C.35 D.37【答 案】C【解 析】随 机 数 表 第 6行 第 9列，向 右 读 取，抽 取 到 的 5个 学 号 为：39,17,37,23,35,故 抽 取 的 第 5名 同 学 的 学 号 为 3 5,故 选 C.【点 评】本 小 题 主 要 考 查 随 机 数 表 法，属 于 基 础 题.C.工 52 D.X%2，S x2；1 10 1 10工=出 工（%，一 e y=L 6 5,S2=G Z（2 一 司）2=0 3 6,S i A S z，1U 1=1 1U/=!故 选 B.【点 评】本 题 考 查 平 均 数 和 方 差 的 定 义 和 计 算，是 基 础

22、题，解 题 时 要 注 意 平 均 数 和 方 差 的 合 理 运 用.6.某 产 品 的 广 告 费 用 与 销 售 额 y的 统 计 数 据 如 下 表：广 告 费 用 X（万 元）2 3 4 5 6销 售 额 y（万 元）19 25 34 38 44根 据 上 表 可 得 回 归 直 线 方 程 为 f u S B x+G,下 列 说 法 正 确 的 是（）A.回 归 直 线 5=6.3 x+6必 经 过 样 本 点（2,19）、（6,44）B.这 组 数 据 的 样 本 中 心 点 付 歹）未 必 在 回 归 直 线 9=6.3x+。上 C.回 归 系 数 6.3的 含 义 是 广 告

23、 费 用 每 增 加 1万 元，销 售 额 实 际 增 加 6.3万 元 D.据 此 模 型 预 报 广 告 费 用 为 7 万 元 时 销 售 额 为 50.9万 元【答 案】D【解 析】回 归 直 线 9=6.3x+6,不 一 定 经 过 任 何 一 个 样 本 点，故 A错；由 最 小 二 乘 法 可 知，这 组 数 据 的 样 本 中 心 点（元，可 一 定 在 回 归 直 线=6.3 x+4上，故 B错；回 归 系 数 6.3的 含 义 是 广 告 费 用 每 增 加 1万 元，预 测 销 售 额 增 加 6.3万 元，故 C 错；元=（2+3+4+5+6）=4,y=-（19+25+

24、34+38+44）=32,将（4,32）代 入 a u G S x+S,可 得&=6.8,则 回 归 方 程 为 3=6.3x+6.8,x=7时，y=6.3x7+6.8=50.9,故 D 正 确，故 选 D.【点 评】本 题 主 要 考 查 回 归 方 程 的 含 义 与 性 质,考 查 根 据 最 小 二 乘 法 求 出 回 归 方 程 以 及 利 用 回 归 方 程 估 计 总 体,属 于 基 础 题.7.从 集 合 1,2,4 中 随 机 抽 取 一 个 数 a,从 集 合 2,4,5 中 随 机 抽 取 一 个 数 乩 则 向 量 帆=3,。）与 向 量 n=（2,一 1）垂 直 的

25、概 率 为（）1 2 1 2A.-B.-C.-D.一 9 9 3 3【答 案】B【解 析】从 集 合 口，2,4 中 随 机 抽 取 一 个 数 a,从 集 合 2,4,5 中 随 机 抽 取 一 个 数 b,可 以 组 成 向 量 2=（a,力 的 个 数 是 3 x 3=9（个）；其 中 与 向 量 n=（2,-1）垂 直 的 向 量 是 租=（1,2）和 m=（2,4）,共 2 个；2故 所 求 的 概 率 为 尸=,故 选 B.【点 评】本 题 考 查 了 古 典 概 型 及 概 率 计 算 公 式，属 于 基 础 题.二、填 空 题.8.在 Q+夜）7的 二 项 展 开 式 中 任

26、取 一 项，则 该 项 系 数 为 有 理 数 的 概 率 为.（用 数 字 作 答）【答 案】;r【解 析】（x+迎）7展 开 式 的 通 项 为-1 0 J，0 r 7,r E N,当 且 仅 当 r为 偶 数 时，该 项 系 数 为 有 理 数，故 有 r=0,2,4,6满 足 题 意，4 1故 所 求 概 率【点 评】（1）二 项 式 定 理 的 核 心 是 通 项 公 式，求 解 此 类 问 题 可 以 分 两 步 完 成：第 一 步 根 据 所 给 出 的 条 件（特 定 项）和 通 项 公 式，建 立 方 程 来 确 定 指 数（求 解 时 要 注 意 二 项 式 系 数 中“和

27、 r的 隐 含 条 件，即，均 为 非 负 整 数,且 之 r,如 常 数 项 指 数 为 零、有 理 项 指 数 为 整 数 等）；第 二 步 是 根 据 所 求 的 指 数，再 求 所 求 解 的 项.（2）求 两 个 多 项 式 的 积 的 特 定 项，可 先 化 简 或 利 用 分 类 加 法 计 数 原 理 讨 论 求 解.9.某“2020年 宝 鸡 市 防 震 减 灾 科 普 示 范 学 校”组 织 4 名 男 生 6 名 女 生 志 愿 者 到 社 区 进 行 防 震 减 灾 图 片 宣 讲，若 这 些 选 派 学 生 只 考 虑 性 别，则 派 往 甲 社 区 宣 讲 的 3

28、人 中 至 少 有 2 个 男 生 概 率 为.【答 案】|C3+C2-C 40 1【解 析】派 往 甲 社 区 宣 讲 的 3 人 中 至 少 有 2 个 男 生 概 率 为 P=十 三 一 故 答 案 为【点 评】组 合 问 题 常 有 以 下 两 类 题 型 变 化：（1）“含 有”或“不 含 有”某 些 元 素 的 组 合 题 型：“含”，则 先 将 这 些 元 素 取 出，再 由 另 外 元 素 补 足；“不 含”，则 先 将 这 些 元 素 剔 除，再 从 剩 下 的 元 素 中 去 选 取；（2）“至 少”或“最 多”含 有 几 个 元 素 的 组 合 题 型：解 这 类 题 必

29、 须 十 分 重 视“至 少”与“最 多”这 两 个 关 键 词 的 含 义，谨 防 重 复 与 漏 解.用 直 接 法 和 间 接 法 都 可 以 求 解，通 常 用 直 接 法，分 类 复 杂 时，考 虑 逆 向 思 维，用 间 接 法 处 理.三、解 答 题.10.2020年 国 庆 节 期 间，我 国 高 速 公 路 继 续 执 行“节 假 日 高 速 公 路 免 费 政 策”.某 路 桥 公 司 为 掌 握 国 庆 节 期 间 车 辆 出 行 的 高 峰 情 况，在 某 高 速 公 路 收 费 站 点 记 录 了 3 日 上 午 9:2010:40这 一 时 间 段 内 通 过 的

30、车 辆 数，统 计 发 现 这 一 时 间 段 内 共 有 600辆 车 通 过 该 收 费 站 点，它 们 通 过 该 收 费 站 点 的 时 刻 的 频 率 分 布 直 方 图 如 下 图 所 示,其 中 时 间 段 9:209:40 记 作 20,40)、9:4010:00 记 作 40,60),10:0010:20 记 作 60,80),10:2010:40 记作 80,100),例 如：10点 04分,记 作 时 刻 64.(1)估 计 这 600辆 车 在 9:20-10:40时 间 内 通 过 该 收 费 站 点 的 时 刻 的 平 均 值(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组

31、 区 间 的 中 点 值 代 表)；(2)为 了 对 数 据 进 行 分 析，现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 这 600辆 车 中 抽 取 10辆，再 从 这 10辆 车 随 机 抽 取 4 辆，设 抽 到 的 4 辆 车 中，在 9:2010:00之 间 通 过 的 车 辆 数 为 X,求 X 的 分 布 列；(3)根 据 大 数 据 分 析，车 辆 在 每 天 通 过 该 收 费 站 点 的 时 刻 T 服 从 正 态 分 布 N(，/)，其 中 可 用 3 日 数 据 中 的 600辆 车 在 9:2070:40之 间 通 过 该 收 费 站 点 的 时 刻 的 平 均 值

32、近 似 代 替，d 用 样 本 的 方 差 近 似 代 替(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 代 表).假 如 4 日 全 天 共 有 1000辆 车 通 过 该 收 费 站 点，估 计 在 9:4610:40之 间 通 过 的 车 辆 数(结 果 保 留 到 整 数).附：若 随 机 变 量 T 服 从 正 态 分 布 N(，a2),则 尸-+=0.6827,P(-2cr T/+2cr)=0.9545,Ppi-3cr T/+3cr)=0.9973.【答 案】(1)64；(2)分 布 列 见 解 析；819.【解 析】(1)这 600辆 车 在 9:2010:40

33、时 间 段 内 通 过 该 收 费 点 的 时 刻 的 平 均 值 为：(30 x 0.005+50 x0.015+70 x 0.020+90 x0.010)x20=6 4,即 10：04.(2)由 频 率 分 布 直 方 图 和 分 层 抽 样 的 方 法 可 知，抽 取 的 10辆 车 中，在 10：00前 通 过 的 车 辆 数 就 是 位 于 时 间 分 组 中 在 20,60)这 一 区 间 内 的 车 辆 数，即(0.005+0.015)x20 x10=4,所 以 X 的 可 能 的 取 值 为 0,1,2,3,4.4 1 Q 202所 以 P(X=0)=寸=五，P(X=1)=中=

34、斤 P(X=2)=3C1037p(X=3)=clc3=4，P(X=4)=r4=iI，4 35 7 210所 以 X 的 分 布 列 为:X 0 2 3 4p1u821274351210(3)由 得=64,%=(3 0-64)2 X 0.1+(5 0 64)2 X 0 3+(70-6 4)2x 0.4+(9 0 64了 x 0.2=324,所 以。=18,估 计 在 9:4610:40之 间 通 过 的 车 辆 数 也 就 是 在 4 6,1(X)通 过 的 车 辆 数，由 7 N(64,182),得 P(6 4-1 8 T 6 4+2 x l 8)=力)+P 卬 二 2。4匕 2。)=。8 6

35、,所 以 估 计 在 在 9:4610:40之 间 通 过 的 车 辆 数 为 1000 x0.8186 a 8 1 9.【点 评】(1)求 解 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 的 步 骤：理 解 X 的 意 义，写 出 X可 能 取 的 全 部 值；求 X取 每 个 值 的 概 率；写 出 X 的 分 布 列.(2)求 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 的 关 键 是 求 随 机 变 量 所 取 值 对 应 的 概 率，在 求 解 时，要 注 意 应 用 计 数 原 理、古 典 概 型 等 知 识.1 1.某 地 区 2014年 至 2020年 农 村 居 民 家 庭

36、 人 均 纯 收 入 y(单 位：万 元)的 数 据 如 下 表：年 份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020年 份 代 号 t 1 2 3 4 5 6 7人 均 纯 收 入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求 y 关 于 f 的 线 性 回 方 程；(2)利 用(1)中 的 回 归 方 程，分 析 2014年 至 2020年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 的 变 化 情 况，并 预 测 该 地 区 2021年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入.力”)(%-亍)_附：回 归 直 线 的 斜 率

37、和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为 3=J-,ay-bt.Z)1=1【答 案】(1)y=0.5r+2.3;(2)预 测 该 地 区 2021年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 为 6.3万 元.【解 析】(1)由 所 给 数 据 计 算 得 f=g(l+2+3+4+5+6+7)=4,1y=,(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3.(t,-t)2=9+4+1+04-1+4+9=28,卜,-。(凹-亍)=(-3)x(-1.4)+(-2)x(-1)+(-1)x(-0.7)+0 x0.1+lx 0.5+2 x 0.9+3 x l.6=

38、14.7,.小 T 心 T 14 一 b=-=0.5,a=y b 4.30.5x 4=2.3,可 2 8/=1所 求 回 归 方 程 为 9=0.5 r+2.3.（2）由（1）知，/?=0.5 0,故 2014年 至 2020年 该 地 区 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 逐 年 增 加，平 均 每 年 增 加 0.5万 元.将 2021年 的 年 份 代 号 t=8代 入（1）中 的 回 归 方 程 得=0.5x8+2.3=6.3.故 预 测 该 地 区 2021年 农 村 居 民 家 庭 人 均 纯 收 入 为 6.3万 元.【点 评】利 用 最 小 二 乘 法 求 回 归 直

39、 线 方 程 时，一 般 先 根 据 题 中 条 件，计 算 两 变 量 的 均 值，再 根 据 最 小 二 乘 法 对 应 的 公 式，求 出 5和 式,即 可 得 解.12.2020年 1月 2 4日，中 国 疾 控 中 心 成 功 分 离 中 国 首 株 新 型 冠 状 病 毒 毒 种.6 月 1 9日，中 国 首 个 新 冠 mRNA疫 苗 获 批 启 动 临 床 试 验，截 至 2020年 1（）月 2 0日，中 国 共 计 接 种 了 约 6 万 名 受 试 者，为 了 研 究 年 龄 与 疫 苗 的 不 良 反 应 的 统 计 关 系，现 从 受 试 者 中 采 取 分 层 抽

40、样 抽 取 100名，其 中 大 龄 受 试 者 有 3 0人，舒 张 压 偏 高 或 偏 低 的 有 10人，年 轻 受 试 者 有 7 0人，舒 张 压 正 常 的 有 6 0人.（1）根 据 已 知 条 件 完 成 下 面 的 2 x 2列 联 表，并 据 此 资 料 你 是 否 能 够 以 99%的 把 握 认 为 受 试 者 的 年 龄 与 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 有 关？大 龄 受 试 者 年 轻 受 试 者 合 计 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 舒 张 压 正 常 合 计（2）在 上 述 100人 中，从 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 的 所 有 受 试 者 中 采

41、用 分 层 抽 样 抽 取 6 人，从 抽 出 的 6 人 中 任 取 3人，设 取 出 的 大 龄 受 试 者 人 数 为 X,求 X的 分 布 列 和 数 学 期 望.运 算 公 式：K2=对 照 表:n a d-b c(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)P(K2 fc)0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.8283【答 案】（1）没 有 99%的 把 握 认 为 受 试 者 的 年 龄 与 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 有 关；（2）分 布 列 见 解 析，（X）=-.【解 析】（1）2x2列 联 表 如 下:K2大 龄 受

42、试 者 年 轻 受 试 者 合 计 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 10 10 20舒 张 压 正 常 20 60 80合 计 30 70 100y 磊 忆，所 以，没 有 99%的 把 握 认 为 受 试 者 的 年 龄 与 舒 张 压 偏 高 或 偏 低 有 关.（2）由 题 意 得，采 用 分 层 抽 样 抽 取 的 6人 中，大 龄 受 试 者 有 3人，年 轻 受 试 者 有 3人,所 以 大 龄 受 试 者 人 数 为 X的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,所 以 P（x=o）=|=，P（X=1）=筲=4,P（X=2）=兽。=3）*q,所 以 X的 分 布 列 为：X 0 1

43、2 3P1209209201201 9 9 1 3所 以 E（X）=0X-!-+1X二+2x3+3X-5-=1.V 20 20 20 20 2【点 评】本 题 第 二 问 解 题 的 关 键 在 于 根 据 题 意 得 抽 取 的 6人 中，大 龄 受 试 者 有 3人，年 轻 受 试 者 有 3人，进 而 根 据 超 几 何 分 布 求 概 率 分 布 列 与 数 学 期 望，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.13.为 了 响 应 政 府 节 能 减 排 的 号 召，某 知 名 品 牌 汽 车 厂 家 决 定 生 产 一 款 纯 电 动 汽 车.生 产 前，厂 家 进 行 了

44、人 们 对 纯 电 动 汽 车 接 受 程 度 的 调 查.在 2060岁 的 人 群 中 随 机 抽 取 了 100人，调 查 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图 和 接 受 纯 电 动 汽 车 的 人 数 与 年 龄 的 统 计 结 果 如 图 所 示:年 龄 20,28)28,36)36,44)44,52)52,60)接 受 的 人 数 14 6 15 28 17(1)求 频 率 分 布 直 方 图 第 二 组 中 X的 值，并 根 据 频 率 分 布 直 方 图，求 这 100位 被 调 查 者 年 龄 的 中 位 数 小；(2)由 以 上 统 计 数 据 填 2 x 2 列 联

45、表，并 判 断 能 否 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0 Q 5 的 前 提 下，认 为 以 m 岁 为 分 界 点 的 不 同 年 龄 人 群 对 纯 电 动 汽 车 的 接 受 程 度 有 差 异?加 岁 以 下 m 岁 及 m 岁 以 上 总 计 接 受 不 接 受 总 计 n(ad-bc(a+/7)(c+d)(a+c)(/?+d)P g k)0.100 0.050 0.010 0.001%2.706 3.841 6.635 10.828【答 案】(1)x=0.0125,中 位 数 巾=44;(2)列 联 表 见 解 析，能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过。Q 5 的

46、前 提 下，认 为 以 4 4岁 为 分 界 点 的 不 同 人 群 对“纯 电 动 汽 车”的 接 受 程 度 有 差 异.【解 析】(1)由(O.()25()x3+x+O.O375)x8=l,得 x=0.0125.前 三 个 矩 形 的 面 积 和 为(0.0250+0.0125+0.0250)x 8=().5,.100位 被 调 查 者 年 龄 的 中 位 数 m=44.(2)由 题 可 得 2 x 2 列 联 表 如 下:，岁 以 下 m 岁 及 m 岁 以 上 总 计,能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0 0 5的 前 提 下，认 为 以 44岁 为 分 界 点 的 不 同

47、 人 群 对“纯 电 动 汽 车”的 接 受 程 度 有 差 异.接 受 35 45 80不 接 受 1 5 5 20总 计 50 50 100100 x(35x5-45x15)2:竺=6.25 3.841.50 x50 x80 x20 4【点 评】本 题 主 要 考 了 独 立 性 检 验 的 思 想 以 及 频 率 分 布 直 方 图 的 分 析，属 于 中 档 题.1 4.一 台 设 备 由 三 个 部 件 构 成，假 设 在 一 天 的 运 转 中，部 件 1,2,3 需 要 调 整 的 概 率 分 别 为 0.1,0.2,0.3,各 部 件 的 状 态 相 互 独 立.(1)求 设

48、备 在 一 天 的 运 转 中，部 件 1,2 中 至 少 有 1个 需 要 调 整 的 概 率；(2)记 设 备 在 一 天 的 运 转 中 需 要 调 整 的 部 件 个 数 为 X,求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望.【答 案】(1)0.28;(2)分 布 列 见 解 析，E(X)=0.6.【解 析】(1)设 部 件 1需 要 调 整 为 事 件 4 部 件 2 需 要 调 整 为 事 件 8,部 件 3 需 要 调 整 为 事 件 C,由 题 意 可 知：P(A)=0.1,P(3)=0.2,P(C)=0.3.部 件 1,2 中 至 少 有 1 个 需 要 调 整 的 概 率 为：

49、=1-0.9x0.8=l_0.72=0.28.(2)由 题 意 可 知 X的 取 值 为 0,1,2,3.且：P(X=0)=1 P(X)1-P(C)=(l-0.1)x(l-0.2)x(l-0.3)=0.504,+1-P(A)1-P(B)P(C)=0.1 x 0.8 x 0.7+0.9 x 0.2 x 0.7+0.9 x 0.8 x 0.3=0.398,P(X=2)=P(4)P(B)1-P(C)+P(4)l-P(B)P(C)+1-PQ4)P(C)P(B)=0.1x 0.2 x 0.7+0.1x0.8x 0.3+0.9 x 0.2 x 0.3=0.092.p(X=3)=P(A)P(B)P(C)=0

50、.1 x 0.2x 0.3=0.006,故 x 的 分 布 列 为:X 0 1 2 3P(X)0.504 0.398 0.092 0.006其 数 学 期 望：E(X)=0.504 x 0+0.398 x 1+0.092 x 2+0.006 x 3=0.6.【点 评】求 离 散 型 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 的 一 般 步 骤:（I）先 分 析 X的 可 取 值，根 据 可 取 值 求 解 出 对 应 的 概 率；（2）根 据（1）中 概 率 值，得 到 X的 分 布 列；（3）结 合（2）中 分 布 列，根 据 期 望 的 计 算 公 式 求 解 出 X的 数 学 期 望.15.