2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【解析版】.pdf

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1、2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【解析版】一、单选题1 .已 知 集 合 加=1 2*8 ,N=x|x a .若McN有且仅有1个元素，则实数。的取值范围是（）A.(0,1 B.0,1 C.(1,2 D.1,2【答案】C【分析】求出集合M，根据已知条件可求得实数。的取值范围.【详解】因为“=x e N*|2，8 =x e N*k 3 =l,2 ,N=x|x a ,结合McN有且仅有1个元素知McN=l ,所以1 0,所以。=1所以z =2+i，z 2 +z (2 +z)(l +z)1 3.则-=-=-=-1-11-i 1-z (1-0(1 +0 2 2故选:B3.在平行四

2、边形A 3 C O中，点E在对角线AC上，点E在边CD上，且满足.1 .?AE=-AC,CF=-C D,则 访=()A.AB+-BC1 2 4C.AB-BC12 4B.-AB-BC1 2 4D.-AB+-BC1 2 4【答案】A【分析】根据向量的线性运算表示出答案即可.【详解】_ _ _ _ 3 _.9 _.3 _ _ 2 _EF=EC+CF=-AC+-C l5=-(AB+BC)+-BA.4 3 4 33 2 i 3 =-(AB+BC)AB=-A B +-B C,4 3 12 4故选：A4,互联网宽带接入用户数是指在电信企业登记注册，通过xDSL,FTTx+LAN,W LAN等方式接入中国互联

3、网的用户，主要包括xDSL用户、LAN专线用户、LAN终端用户及无线接入用户.如图为2019年 6 月一2020年 4 月中国互联网宽带接入用户数及增速走势图.20 262020.4中国互联网宽带接入用户数及缗速走势46 500-2.0%46 000-e-.4S5OO-*-a B-互联网宽带接入用户eu万户）一增速（%利用统计知识对上图进行分析，下列说法正确的是（）A.2019年 6 月2020年 4 月中国互联网宽带接入用户数逐月增加B.2019年 6 月一2020年 4 月中国互联网宽带接入用户数增速的平均值为0.74%C.中国互联网宽带接入用户数在2019年 9 月增速最快，2019年

4、11月的用户数比10月少D.中国互联网宽带接入用户数在2019年 7 月和2019年 8 月这两月的增速相同，因此用户数没有增加【答案】C【分析】根据统计图对选项一一判断即可.【详解】对于A,在2019年11月和2019年12月的增速为负值，说明用户数在减少，所以A不正确；对于B,互联网宽带接入用户数增速的平均值为1.0%+1.0%+1.5%+0.5%-0.1%-0.6%+0.6%+0.6%+0.8%+0.6%八 3-=0.59%10所以B不正确;对于C,2 0 1 9年 9 月的增速为1.5%,增速最快，2 0 1 9年 1 1 月的增速为负值，说明2 0 1 9年 1 1 月的用户数比2

5、0 1 9年 1 0 月的少，所以C正确；对于D,中国互联网宽带接入用户数在2 0 1 9年 7月和2 0 1 9年 8 月这两个月的增速相同,增速均是正值，因此每一月用户数在上一月的基础上是增加的，所以D不正确.故选：C.5.建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或窗等的隔墙,假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为5,与，,S,（单位：m?），其相应的透射系数分别为M，J，J，则组合墙的实际隔声 _ S,r,+H-F 5 r量应由各部分的透射系数的平均值r 确定：一 二 -产，于是组合墙的+%+3”实际隔声量（单位：d B）为 R =1 0 1

6、 g g.已知某墙的透射系数为白，面积为2 0 m 2,在墙上有一门，其透射系数为小,面积为2m2,则组合墙的平均隔声 量 为（）A.1 0dB B.2 0dB C.30dB D.40dB【答案】C【分析】先根据题意求出亍，然后再计算隔声量R即可.【详解】由题意知组合墙的透射系数的平均值_ _ S 百+S 2 T 2 _ 2 0 x 1 0-+2 x 1 0-2 _ 0_ 3t -.+邑 2 0+2 -所以组合墙的平均隔声量R =1 01 g J =1 01 g 击=30dB .故选：C.6.九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西

7、七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木?其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树,.若一小城，如图所示，出东门1 2 00步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1 里=300步）（）A.2 j记 里 B.4，记 里 C.6，记里 D.8西 里【答案】DE F G F【分析】根据题意得GA=-，进 而 得 匹GE=B-G4=4x2.5=1 0,再结E B合基本不等式求4(EF+G F)的最小值即可.【详解】因 为1里=300步，则由图知3=1200步=

8、4里，G4=750步=2.5里.由题意，得GA=GF,E B则 E F Gb=E 3G4=4x2.5=10,所以该小城的周长为4(EF+G/)28，石 工 赤 =8加，当且仅当E F =G F =M 时等号成立.故选:D.【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应F F G F的边长关系，即：G A =-,再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用E B基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等7.如图，已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,A 3为圆锥底面圆的直径，C是的中点，。是母线SA的中点，则异面直线S C与3。所成角的余弦值为()sR河B.

9、-20D-T【答案】A【分析】延长AB至点E，使AB=BE，连接SE,C E,O C,得到NCSE为异面直线SC与3。所成的角（或补角），再解SCE即得解.【详解】延长AB至点E，使 A B=B E，连接SE,CE,O C.因为O是母线SA的中点，所以SE/BD,所以NCSE为异面直线SC与8。所成的角（或补角）.由题意知OE=6,O C =2,又C是A 8的中点，所以所以在 RtACOE 中，C E =yj0C2+0 E2=2 M -因为 SA=SB A B=4,巧所以80=也S8=2百，所以SE=2BO=4百.2在SCE 中，S C =4,则由余弦定理得cos Z C S E =S C 2

10、+S E 2-C E 2 _ 16+48-402 S C S E-2x4x473 4故选：A.SD【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：(几 何 法)找 一 作(平 移 法、补 形 法)证(定 义)一 指一求(解三角形)；方法二：(向 量 法)c o s =1|-,亦其中。是异面直线W所成的角，分别是直线相,的方向向量.8.已知M为抛物线C：V=4x上一点，过抛物线C的焦点尸作直线x+(1)丁 =5-2 根的垂线，垂足为N ,则|A*|+|MN|的最小值为()A.2 7 2-3 B.20-2C.2 +V 2 D.3-亚【答案】D【分析】过点“作与准线垂直并交准线于点 ,求出直线过定

11、点(3,-2),然后可得 N 在以EP 为直径的圆上，以尸尸为直径的圆上，+的最小值为圆(x -2)2+(y +l)2 =2上的点到准线的距离的最小值，然后可求出答案.【详解】抛物线C：V=4x的焦点/(1,0),准线方程为=一1,过点河 作 加。与准线垂直并交准线于点。.令直线/为直线x +(m l)y =5-2 相，变形可得加(y +2)=y-x+5 ,y +2 =0,y-x +5=0,x =3,y =-2,解得则直线/经过定点(3,-2).设尸(3,-2),连接EP,取 EP 的中点为E，则 E的坐标为(2,-1),|E P|=J 5.若 F N L I,则 N 在以EP 为直径的圆上，

12、以EP 为直径的圆上，其方程为(x-2)2+(y +l)2=2.又由=W MF +MN=MD+MN ,如图，+的最小值为圆（x 2）2+（y +l）2=2上的点到准线的距离的最小值,过点E作ED与准线x =-l垂直并交于点以，与圆交于点N ,与抛物线交于点M ，则 即为的最小值，即（明目=区0 f=3血.故选：D二、多选题9.已知等比数列 4公比为9,前 项和为S“，且满足4=8%，则下列说法正确的是（）A.%为单调递增数列 B.3=9 C.S 3，S 6，S g成等比数列 D.Sn=2an-a.【答案】BD【分析】根据%=8%利用等比数列的性质建立关系求出4=2,然后结合等比数列的求和公式，

13、逐项判断选项可得答案.【详解】由4=8 4，可得g&=8%，则4=2,当首项4 0时，可得 “为单调递减数列，故A错误;S _ 26由？=匚 万=9，故B正确；假设S3,S9成等比数列，可 得 成=$9乂项,即(1-26)2=(1-23)(1-29)不成立，显然S3,S6,S9不成等比数列，故C错误；由%公比为q的等比数列，可得S,=午 巴 良=宇鲁=2a-%:.Sn=2a -at,故 )正确；故选：BD.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用必=8%求得4=2,同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.1 0.已知函数/(x)=log2(初+4 x +8),m c R,则下列说法正确的是()A.若

14、函数A x)的定义域为(一 刃,+8),则实数机的取值范围是B.若函数/J)的值域为 2,+00),则实数?=2f 4 2C.若函数f(x)在区间-3,+8)上为增函数，则 实 数 加 的 取 值 范 围 是 3D.若加=0,则不等式/。)1的解集为卜工【答案】AC【分析】对于A,首先要对加分类讨论，然后在定义域为R的条件下再求加的取值范围；对于B,使内层函数的最小为4即可；对于C,一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域：对于D,在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发.【详解】对于A,由题意知皿2+4犬+8 0对x e R恒成立，由于当加=0时，不等式4x+80不恒成立，所以mw

15、O.当机HO时,m 0,由=16-32 机 ,2所以A正确;对于B,若函数/(X)的值域为 2,+8),则/(x)m in=2,显然小不为0,.2则函数y =如+4x +8的最小值为4,则当x =时,m(2、+4 x+8=4,解得根=1,所以B错误;对于C,若函数/(X)在区间-3,+8)上为增函数，则,=蛆2+4x +8在-3,+8)上为增函数，且在-3,+8)内的函数值为正，所以m 0,-0,解得4 2 m ,所以C正确;9 3对于D,若m=0,则不等式/(x)l等价于Io g 2(4x+8)1,3则0 4 x+8 2,解得2 x二，所 以D不正确.2故选：A C.【点睛】方法点睛：判断复

16、合函数的单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义，即增增一增，减减一增，增减一减，减增一减.1 1.已知函数/(x)=6c o s 2x+s i n x c o s x /，则下列说法正确的是()5 7r 7 TA.函数/(x)的单调递增区间为一五+k兀，记+k兀(Zr e Z)B.若=x0 G 看,？，则c o s 2/=4(7 1 乃乃C.函数y =f X-7 7在 区 间 一2,片 上的最大值和最小值分别为1和-21 1 2；L 6 3JI 7乃D.若函数g(x)=/(x)-2加一s i n 2x在 区 间 上有唯一零

17、点，则实数加的取值范围为4 4【答案】A B【分析】先化简函数/(x),对于A,求解正弦函数的单调递增区间即可；对于B,由71X-124,贝!J cos 2Ao=cos713771 71H-即可求解;-3对于c,由y=/=sin 2x+?,根据角取值范围即可求得最值：对于D,T7T1 A JT 7TT化为2m=cos 21十二 在 上有唯一实根，设y=cos6,。I 6)12 127T 44 3,G,画出6函数y=cos。的部分图像，根据图像求得结果.【详解】=、n2x+且2 2 214-CO S 2 x 1.cf(x)=x-+sin 2 x-22 cos 2 x =sin 2x+I 3jJ

18、对于 A：令-F 2 k兀 W 2x4 4 F 2A乃，Z Z,23 257r 7T解得-K k?r x -F k 1,女 Z,12 1254 71所以函数f(x)的单调递增区间为一行+版，丘,k wZ,所以选项A正确;兀71 7C 71对于B:因为天 ,所以2Ao+;6 3 3所 以 若 小)=|，即si毒则 cos 2x0=CO S 2x02万371+371G.7 1sin 34 1 3 /3 33 4 生 T否 D-rrfr-x I x-=-,所以选项 B 正确；5 2 5 21071对于C：y=sin 2X兀兀7t+-L 当一0 时,2x+-e71 5%12636所以 N m in=s

19、in271=sin =l,所以选项C不正确;271.(71 .71 74对于 D：g(x)=sin 2x+J 2机一sin2x在,-y-上有唯一零点3等价于21n-sin|2x+兀j-sin2 x =sin2x+32cos 2 x=cos 2x+一2I 6-乃 7万 ,九 77 兀 7 4 八 八 7t在 TT TT 上有唯一头根，由 X G ,，#2x+0),则三上-=1(%0),1 8 3 2 18k 32k将点P(6,4 V 3)的坐标代入得三 一 个 =1(%0),解得&=4，1 ok 32k 2所以双曲线。的方程为r二2 匕v2=1,则a =3,h =4,c =5.9 1 6对于A,

20、由双曲线的定义可知的 用 一 阿用|=2 a,即1 1 6T M/=6,解 得 周=1()或2 2,所以选项A不正确；对于B,因为点(3,0)为双曲线C的右顶点，所以过点(3,0)与双曲线C相切时，直线/与双曲线C有唯一公共点，直线/的方程为x =3；当直线/与双曲线。的渐近线2 =0平行时，直线/与双曲线。有唯一公共点，3 44 4此时直线/的斜率为士,所以直线/的方程为y=(X -3),即4 x-3 y-1 2 =0或4 x +3 y-1 2 =0,所以选项B不正确；对于C,N是双曲线C左支上的点，则好=6,贝I 加耳_ 2|人明卜加用+|N用2 =3 6,将|明|*周=3 2代入可得|N

21、 6+|N K=36+2X32=100,即加耳+加 印2=忻 用2=1 0 0,所以F；N8为直角三角形，所以5MM用*1 =9 32=1 6,所以选项C正确；2 2对于D,由题意得双曲线为三一2 _ =1,设A&,y),3(心%)，2 82 2 2 2 2 2 2 2则工一2_=i,_ 2 k =i,两式相减得匚 三 一2二&=()2 8 2 8 2即（=一）因为四2）为弦法的中点,所以尤|+=4,%+%=4,且直线A B的斜率存在，所以（工）4 _ （M .*）x 4=0,所以直线A B的斜率 =上 二*=4,2 8%W则直线A B的方程为4x y-6=0,所以选项D正确.故选：CD.h【

22、点睛】方法点睛：已知双曲线的渐近线y=-x求双曲线的方程，可将双曲线方程a2 2设为方=丸（丸*0），再利用其他条件确定2的值三、填空题13.(x+1)展开式中含X的项的系数为【答案】-100数.【详解】原式=【分析】首先原式变形为尤,再分别求两部分含X项的系分是函数中的常数项，一部分是,展开式中含x的项包含两部分，一部的含X的项,展开式的通项为Tr+=晨（五）6工=(令3 r=0,解得r=3,7；=(-2)3.C：=-16()；令3-=1,解得r=2，7；=(-2)2-C=60 x,所以(x+1)展开式中含x的项的系数为一160+60=-100.故答案为：-1001 4.已知定义域为-4,4

23、 的函数f(x)的部分图像如图所示，且(-x)=0,函数/d g )l,则实数。的 取 值 范 围 为.【答案】2 【分析】由题意可得/(幻是偶函数，然后结合单调性可解出答案.【详解】由题意知/(x)=/(x),且函数/(X)的定义域为-4,4 ,所以/(X)是偶函数.由图知/(1)=1,且函数/(X)在 0,4 上为增函数，则不等式/(l g a)W1 等价于/(|l g a|)0.因为函数/()=根(111 一幻(根6 11)的图像与g(x)=x 2 一 21n x的图像在区间-,ee上存在关于X轴对称的点，等价于方程m(l n X-x)+M-2 in X =o ,H nf-21n x 1

24、 匕 士 力 力 人 7/、/一21n x即 机=-在 区 间 一,e 上 有 解.令/z(x)=-x-lnx Le J x-l n x1x e-,ee则”(x)=(x-l)(x +2-21n x)(x-l n x)2因为-,e ,所以x+2 2 N 2 1 n x,e则由(幻=。，得无=1,当x w 时，(无)0,所以(x)在 上 单 调 递 减，在(l,e 上单调递增.可乐电工翳 皿 号 6贴)=以 生e-l n ee?-2e-1l +2e2 c 2e-l 1 2e +e e +ee?-2e-1=e +l-e-1 2,e2-2所以实数，的取值范围为1,-e-1,e -2故答案为：1,-e-

25、1【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17.在 bs in B +cs in C=(6 s i n C +a s in A -co s?C+s in B s in C=s in2 B +co s2 A ；%=2。以)5。+。这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在AA3c 中，角 A、8、

26、C 所对的边分别是。、b、c,.(1)求角A；(2)若a=1(),4AbC的面积为8月，求AA6 c的周长.71【答案】(1)条件选择见解析，A=；(2)24.【分析】(1)选择：利用正弦定理边角互化结合余弦定理可求得tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选择：由同角三角函数的平方关系结合正弦定理、余弦定理可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选择：利用正弦定理结合边角互化、两角和的正弦公式可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；(2)由三角形的面积公式可求得8c,的值，结合余弦定理可求得b+c,进而可得出 ABC的周长.【详解】(1)选择：因为8si

27、nB+csinC=(2bsinC +a sin A,所 以 由 正 弦 定 理 可 得=s in C +a a,即2+一 /=手。加mC,贝ij 由余弦定理可得 2bccos A=C 所以 sin Ceos A=s in Asin C.33.Ce(0,4)，则 sin C 0,所以 cosAusin A，即 tanA=G，因为A e(0,%),所以4=?；选择：由 cos2 C+sin Bsin C=sin2 8+cos2 A，得 1 -sin?C+sinBsinC=sin2 fi+l-sin2 A，即 sin2 B+sin2 C-sin2 A=sin BsinC，2 2 2 i由正弦定理得b

28、2+c2-(r=b e，由余弦定理得cos A=.因为Ae(0,)，所以A=?；选择：由2 =2cosC+c,结合正弦定理得2sinB=2sinAcosC+sinC.因为 A+8+C=;r,所以 sin8=sin%-(A+C)=sin(A+C),则 2sin(A+C)=2(sin AcosC+cos AsinC)=2sin A ssC+sinC,所以2cos Asin C=sin C.因为Cw（O,），所以s i n C 0,故cosA =.因为Aw（O,），所以A =?；冗（2）由（1）知4 =.3因为 SOBC=g csin A =gbcsin0 =8 j5 ,所以bc=3 2 .由余弦定

29、理得，cr=b2+c2-2b ccos A =+c）-3b c,即（Z?+c）2 =a2+3 bc=1 0 0+3 x 3 2 =1 9 6,所以0+c=1 4,所以AA B C 的周长为a+b+c=2 4.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理 角化边”；（2）若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式

30、的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.1 8.已知正项数列 a“+2 T的前项和为S“，且4 5,=a；+（2 +2）+4 T+2 -3.（1）求数列 qJ的通项公式；2小门，=-）（.+2商），求 数 列 仁 的前项和十一2【答案】（1）4=2 +1-2 （2）（=一.2/1 +1【分析】（1）根据数列的和与通项关系以及等差数列的定义和通项公式求得结果；（2）先化简数列%,再用裂项相消法法求和.【详解】（1）由题知4 S“=a；+（2”+2）a“+2 3 =（%+T-）,+2 （4+2-）-3,令d =a“+2 T,则4 S,=

31、+2 2一3,当22时，4 S,”=%+2b z-3,由-，得 4d=-%+2勿-2%,整理得(2%-2)(2+%)=0.因为勿 0,所以a 2T=2(N 2).又4$=+24-3,即6 24一3 =0,解得仇=3或4=1 (舍去)，所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，则a=2 +1,所以 a“=bn-2 T=2 +1 -2 -._ _2 _ _ 2 _ _ J _1 _(2)因为,”一 (4 +2 T 2)(%+2 口)-(2-1)(2 +1)-2 一 1 -2 +1，所以最+-|=1 =-.I 3)(3 5)(2-1 2n+l)2 +1 2 +1【点睛】给出S“与a的递推关系，求凡

32、,常用思路是：一是利用a“=S“-S,i转化为勺的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S“与 之间的关系，再求凡.1 9.如图，S 是以平行四边形A B C。的边A。为直径的半圆弧上一点，440=6 0。,SA=4G,S D=4,D C SB=8 ,且 E 为 A D 的中点.(1)求证：平面SB E 1.平面S A O；(2)求二面角8S OC的正弦值.4【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)由 已 知 证 线 面 平 面&4 ,进一步证面面垂直.(2)建系算出二面角两平面的法向量，从 而 得 出 二 面 角-C的正弦值.【详解】(1)【证明】因为S 是以平行四

33、边形ABCD的边AO为直径的半圆弧上一点,所以 S OL S 4,所以 A=JSA2+SZ)2=8-因为E为 的 中 点，所以SE=AO=4.2由题可知A B =D C =8,所以A 3 =A D.因为N&4 Q =6 0。，所以 A B D为正三角形，所以8后=走A 8 =4 万，且B E,A D.2则 SB?=B E 2+S E 2,所以 3 E _LSE.因为S Ec AD=E,SE,AQu 平面SA ,所以BE1 平面 .因为Bu平面S B E,所 以 平 面 平 面 血.(2)【解】由(1)知，物1平面S，B Eu平面ABC D,所以平面SA。_ L平面A B C。.以E为坐标原点，

34、以E 4,E B所在直线分别为x轴，y轴，以过点且与平面A 3 C。垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，贝UB（0,4 G,0）,C（-8,4 AO）,0（-4,0,0）,S（-2,0,2 73）,所 以 丽=（2,0,26），O S =（4,4 ,0）,配=（-4,4百,0）.设平面S3。的法向量为=(%，x，z j,则拉1 DS=0,%-D B 0,即 2%+2A/3Z J=0,4%+4 3 y,=0,取=6，则%=4=-1,则“二（G,-设平面SZ 5C的法向量为%=，%，之2)，7 旃=0,巧,D C 0,即 2X2+2 G z 2 =0,-4%2 +4/3 y 2 0,取

35、 则 =1，=-1 ,则 丐 二(1,一1卜所以3如/-)=勺丽2 =叩3 =丁3故二面角5 S O C的正弦值为J1 1|)=【点睛】关键点睛:当二面角的平面角不易作出时，常通过建系求两面的法向量，再求法向量夹角的三角函数值.20.2020年 12月 1 6 日至1 8 日，中央经济工作会议在北京召开.会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控.为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了 50()名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：认为对租赁住房影响大认

36、为对租赁住房影响不大年龄在40岁以上125150年龄在40岁以下75150(1)判断是否有9 9%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关？(2)从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8 人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3 人参与座谈，若这3 人中年龄在40岁以下的有占人，求 4 的分布列与数学期望.皿“，n(ad-be#.,附：K-(n=a+b+c+d).(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表:P(K2kJ0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

37、-9【答案】(1)有；(2)分布列见解析，一.8【分析】(1)据 2 x 2 列联表计算出K?，对比临界值表中数据即可.(2)由分层抽样的特征确定各年龄层抽取的人数，确定随机变量J的所有可能取值,再求出对应的概率，列出随机变量J的分布列，进一步求解数学期望.【详解】(1)由题意建立2 x 2 列联表如下：认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大合计年龄在4 0 岁以上1 2 51 5 02 7 5年龄在4 0 岁以下7 51 5 02 2 5 7.5 7 6 6.6 3 5,合计2 0 03 0 05 0 0K?_5 0 0 x(1 2 5 x l5 0-7 5 x 1 5 0)2八 2 0

38、 0 x 3 0 0 x 2 7 5 x 2 2 5所以有9 9%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关.(2)由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在4 0岁以上的有5人，年龄在4 0岁以下的有3人，则随机变量J的所有可能取值为0,1,2,3.p=o)=CW3=25,PC=I)=CS2C I=1,5C；2 8 C；2 8C C2 1 5 C3 1的=2)=中=只，的=3)=芸=6Cs JO C8 JO所以随机变量4的分布列为E(4)=0XA +IX1 2 +2X +3 x 2 8 2 8 5 6 5 60123P5酝1 52 81 55 615 69-82 1.已知4，4分别为椭圆

39、C：+g =l(a b 0)的左、右顶点，B为椭圆C的a b上顶点，点&到 直 线4B的 距 离 为 椭 圆。过点 当,、汇.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线/过点4,且与X轴垂直，P,。为直线/上关于X轴对称的两点，直线为夕与椭圆。相交于异于儿的点。，直线OQ与X轴的交点为E,当 P&Q与AP E Q的面积之差取得最大值时，求直线&P的方程.2 2【答案】(1)+-=1；(2)3 x+#y 6 =0或3 x&y 6 =0.【分析】(1)由点到直线 的 距 离 得 一 个 的 关 系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，两者联立解得。乃，得椭圆方程;（2）设直线A2P的方程为=利丁+2（m

40、。0）,依次求得尸点，。点，D点、,E点坐标，然后计算面积之差5 k 4 2-5 9=2 5少廿.，再结合基本不等式求得最大值.由此可得直线方程.b【详解】（1）由题意知4 3,0）,A（，），3（0/）,则直线A/的方程为y =-x+，a即bx -a y +。=0 ,所以点儿到直线4 8的距离 =f.下=生 色，yJa2+b2 7即1h-=士3.a2 4（23 r-1 4 2又椭圆C过点所以彳+乒=1.联立，解得=4，b2=3,故椭圆C的标准方程为三+上=1 .4 3（2）由（1）知&（2,0），直线/的方程为x =2.由题意知直线A 2 P的斜率存在且不为0,设直线4P的方程为xm y+2

41、（/7 7。0）,联立x=-2,x=my+2,x=-2,解得，4y =一I mx=my+2(m w 0),联 立/2+J =l,1 4 3消去x整理得（3+4）:/+1 2 2 y =0,解得,=0或,=-1 2 m3 m2+4由点。异于点A?可得。-6/+8 -1 2 m、3 7 n之 +4 3/+4,所以直线。的方程为 煮 之 一 A）（x +2）-崇3 +2 ，一 2）=0,令y =0,得左 后=-6 m2+43加2+2,所以|人目-6 m2+42-z 3病+21 2租23 m2+2所以 P Q与*E Q的面积之差为S Q 一 S 总0 =2 s%后.（利用点的对称关系，将面积差问题转化

42、为求S）“.1 ”2 -4 4 8|？|4 8,“江r-i d 2sxpA E=2 x -.-=-=-W 4y1 6因为 2 2 3次+2 m 3m2+2 L 2 ,12|当且仅当加=土逅时取等号.3（在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧）故当 P&Q与APEQ的面积之差取得最大值时，直线4尸的方程为3%+n-6 =0或3 x-n y-6=0 .【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设 直 线 方 程 为x =,町，+2（机。0）,直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基

43、本不等式求得最大值，得出结论.,22 2.已知函数/（尤）=QC+l（aeR）.（1）若函数x）在区间（1,y）上单调递增，求实数。的取值范围；（2）当时，讨论函数g（x）=/（x）。一3的零点个数，并给予证明.【答案】（1）|,+=o j；（2）当a 0,即。2七在区间(1,4 8)上恒成立.e2/2、2当X (l,+o o)时，0,-,所以“2，e I e J e故实数。的取值范围为1,+o o j.2(2 )由已知得 g(X)=G H-6?-2 ,2则g,33当0时,g(x)0,g(l)=2 0时，令g (x)v O,得x 0,得x ln,函数g(x)单调递增，a而g(i用=哈讣,g第卜

44、盲。，(I n x l n x,所 以 空2 2 l n2,所以g(x)在 上 存 在 一 个 零 点.a a a a a J J 2 f ,a2+a +2 p,2 ,2又g|I n-=a a-ln-,且ln-0在(0,+)上恒成2cr+a +2 c i +a +2立，故/z(a)在(0,+8)上单调递增.而力(0)=0,所以(a)0在(0,+o o)上恒成立，所以g(l n=_-|0,I a +a+2J所以g(x)在I I n ,I n 2 上存在一个零点.1 a +a+2 a)综上所述，当a()时，函数g(x)有两个零点.【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）