2021年中央电大经济数学基础形成性考核册答案全解.pdf

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1、经济数学基本形成性考核册答案全解作业(一)(一)填空题 x-si n x 人 i.l i m-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：05 XX2 +1 X W 02.设/(%)=,在 =0处持续，则女=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：1、k,x =03.曲线y =在(1,1)切线方程是.答案：y=gx+g4.设函数 f(x +l)=/+2 x +5 ,则/(x)=.答案：2x5.设/(x)=x si n x,则/弓)=答案：一6.若 j/(x)d x =2 +2 x+c,则 f(x)=.答案：2 In 2 +27

2、.J(si n x)d r=.答案：si n x +c8.若 j/(x)d r=尸(尤)+c,则,4。-口=答案：-F(1-x2)4-c9.设函数2j：l n(l +x 2)d x =.答案：o10.函数/(x)=x +工在区间 内是单调减少.答案：(一 1,0)。(0,1)X11.函数y =3(x-l)2驻点是，极值点是,它是极值点.答案：x =l,x =l,小P12设某商品需求函数为q(p)=10e 2,则 需 求 弹 性=.答案：-2 P1 1 113.行列式。=_1 1 1 .答案：4-1-1 11 015.设矩阵4=3 -22 14 一53 2 ，则A元素。2 3 =6 -1_ _

3、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.答案：316.设A,8均为3阶矩阵，且 网=|用=-3,则卜2 A B=.答案：-7 217.设4,8均为阶矩阵，则等式（A-B）2 =A?-2 A B +B 2成 立 充 分 必 要 条 件 是.答 案：A B=B A18.设A B均为阶矩阵，（/-B）可逆，则矩阵A+BX =X解X =答案：(J B)1 A19.设矩阵4 =020loo-oO3-TA则)1-3oO01-2O1oO一=A（二）单项选取题X 11.函数 y =-持续区间是（一8,-2）。（-2,+8）或（-8,1）。（1,+8）x +1 2

4、2 .下列极限计算对的是（.hm=1 ）Xf 0-X3 .设y =l g 2 x,则 d y=（B.-d r）.x l n l O4 .若函数f。）在点回处可导，贝ij（B.l i m f（x）=Af但Aw f（xQ）是错误.5.当x 0时，下列变量是无穷小量是（c.l n（l +x）6 .下列函数中，（D.-C OSX2）是x si n x?原函数.7 .下列等式成立是(C.2 d x =-d(2A).In 28.下列不定积分中，惯用分部积分法计算是（c.x si n 2 x d x ）.9.下列定积分计算对的是（D.s in A d x =O）.J 一兀10.r+8 1F列无穷积分中收敛是

5、（B.d r ）.Ji X21 1.如下结论或等式对的是（C.对角矩阵是对称矩阵）.12.设A为3 x 4矩阵，3为5 x 2矩阵，且乘积矩阵A C B，,故意义，则。,为（A.2 x 4）矩阵.13.设均为“阶可逆矩阵，则下列等式成立是（C.=|氏4|）.1 2 31 4.下列矩阵可逆是(A.0 2 30 0 32 2 215.矩阵A =343 3秩 是（4 4B.1).).16.下列函数在指定区间（-8,+05）上单调增长是（B.e*）.17.已知需求函数q（p）=1 0 0 x 2 4 4 j当p =10时，需求弹性为（c.-4 1n 2 ）.（e v-e-x18.下列积分计算对的是（A

6、.-d x =0）.L 219.设线性方程组A,*“X =/?有无穷多解充分必要条件是（D.r（A）=r（A）n）.X1+x2=tz,2 0.设线性方程组%2+*3 =2 则方程组有解充分必要条件是（C.at+a2-a3=xt+2X2+x3-a3).(三)解答题1.计算极限.x 3x+2(x_ 2)(x_ 1),x _ 2 1(i)lim-=hm-=lim-=5 X-1(x-l)(x+l)f (x+l)2.厂 5 x +6 (x 2)(x 3).x 3l i m -=l i m-=l i m-z 2 厂 6X+8(x-2)(x-4)(%-4)(3)2l i m更 三(芳E+DD x 3 X(J

7、 1 X+1)=l i mx-0 x(J l 尤 +1)=l i m=1 -(VP x+1)X2(4)3 x 3 x +5 .x%?hm-=l i m x x 3厂+2 x +4 Q 1 2 t 4J H-1-彳X X3si n 3 x 5 x si n 3 x 3 3(5)l i m-=l i m-=si n 5 x i 0 3 x si n 5x 5 5X2-4(x 2)(x+2)/(6)l i m-=l i m-=41 2 si n(x-2)z 2 si n(%-2)x si n +x2.设函数 f(x)=a,si n xx 0 x问：(1)当 为 什 么 值 时，/(x)在x =O处有

8、极限存在？(2)当 为 什 么 值 时，/(x)在x =O处持续.答案：(1)当6 =1,。任意时，/(九)在x =O处有极限存在;(2)当。=1时，/(%)在x =0处持续。3.计 算下列函数导数或微分：(1)y=x2+2 +l o g2x-22,求 y 答案：y =2 x +2 l n 2 +-x l n 2ax+b 4,(2)y=-,求 ycx+d,a(cx+d)-c(ax+b)_ ad-cb(cx+d)2(cx+d)21 ,(3)y=,-,求 yj 3 x 51 -3答案：y=-=(3 x-5)2 y=-I 、.V 3 x-5 2 7(3X-5)3(4)y=x-xex,求 y 答案：=

9、；=一（尤+l）e*2 j x(5)y =*s i n,求d y答案：y=(ea v)rsi n bx+ea v(si n bx),=aetlx si n b x +e 8 cosbx-b=ea v(asinhx+h c o s bx)dy=ea v(asinbx-b c o s hx)dx(6)y=eA+x ,求 d y答案：d y =(1 五 一 e)dx(7)y =c o sV x-e-A,求d yA 八 _?si n V x.答案：d y =(2xe-)d x2yJX(8)y =si n x +si n x,求 y 答案：y=si n i x c o sx +c o sn x二九(si

10、 n j X C O S X+C O S M T)(9)y=l n(x +7 1+x2)，求 y 答案x +v l +x1 1 1二KD)=不 仃(1+)J 1+Xl+x2c o j 1 +V?-A/27(10)y=2 x+-广-求y c o t Q,2 M n 2 1 1答案：y =-x 2 +-x2.1 2 6x si n x564.下列各方程中y是x隐函数，试求y 或d y(1)x2+y2-x y +3 x =1,求d y 答案：解：方程两边关于x求导：2x+2yyr-一 肛+3=0(2y-x)y=y-2 x-3 ，dy 32-dx2y-x(2)s i n(x +y)+e =4x ,求

11、y答案：解：方程两边关于x求导c o s(x+y)(l +V)+e”(y+q)=4(c o s(x +y)+exyx)yr=4-yexy-c o s(x +y),4 一 ye -c o s(r+y)y x e+c o s Q+y)5.求下列函数二阶导数：(I)y=l n(l +x2),求 y答案:2-2/(1 +x2)2(2)1 x y=-f 求 y 及 y(1)3/i -答案：y =-x 2+_ x 2,y(l)=4 41.计算下列不定积分3,r(1 +x)2,r(l +x)2(l +2x+x )f?1、(2)-广dx 答案：=-dx=-产-Jx+x2+x2+c3 5(3)f-答案：.-dx

12、=f(x-2)dx=x2 2x+cJ x+2 J x+2 J 2(4)f d r答案：f d x =-d(l-2x)=In l l -2x|+J 1-2尤 J l-2x 2J l-2x 2 1 1_ _ _ _ 2 r(5)xyl2+x2dx 答案：j xy/2+x2dx=j V24-x2d(2+x)=-(2 +x2)+c(6)s i n V x ,_ .d r 答案:d r =2 j s inVxd V x =-2c o s V x +cr .x .(7)x s i n d xJ 2答案：jx s i n-d=-2jx d f c c s d A：c 入 C X J 八 九=2x c o s

13、+2 d x=-2x c o s +4s i n +c2 J 2 2 2(8)jl n(x +l)d r 答案：jl n(x +1 )dx=jln(x 4-1)d(x4-1)=(x +l)l n(x +l)-j(x +l)dln(x+1)=(尤 +1)l n(x +1)-x +c2.计算下列定积分(1)口1-世答案:X1=-e，：=e-Ve11 x V l+ln x 0 0 10 1 20 1 1 2-6 1一1 0 0 -1 3 0(2)+(3)(-1),3 0 1 0 2-7-10 0 0 0 1 2-1 0 0 1 -3()一力-4 -2 -10 10_ 2 1 10 0 1-1 0 0

14、 1 -3()一 0 1 1 2-6 10 0 10 1 2-I 3 0 箱=2-7 -10 1 21 22、B7.设矩阵4,求解矩阵方程X A=3.AI)=3 51 00 l +x(-3)0-1-3 1(D+(2)X21 0-520 -1 -3 10-5 20 13-1X=BA-1X=-11 23 52 32 1 001案(2)x(-l)1四、证明题1.试证：若 用，人 都与A 可互换，则 B i+为，用 鸟 也与A 可互换。证 明:(B+B2)A=BtA +B2A =A Bt+A B2=A(B,+B2),BiB2A -B A B,=A Bt B,2.试证：对于任意方阵A,A+AT,A A

15、T,A TA是对称矩阵。提 示：证 明(A+A、)T=A +(AT)=A，+A=A+AT(A AT)T=(AT)7 AT=A4r,(ATA)T=AlA y =ArA3.设A,8均为阶对称矩阵，则AB对称充分必要条件是：A B B A.提示：充分性：证明：由于AB=BA,(A B)，=5A=8 A =必要性：证明：由 于 对 称，,A B =(A B)T=4 4 r=84,因此A B =B 44.设A为阶对称矩阵，B为阶可逆矩阵，且5T=5 7，证明8“A B是对称矩阵。证明：(BA B)T=B AB-)r=B A(B)r=B-AB三、解答题1 .求解下列可分离变量微分方程：(1)y=e*+，答

16、案：=exey f eydy=edx-ey=ex+cd x J-J(2)詈=1 答案：1 3 y2 dy=xedx y3=xe-ex+c2.求解下列一阶线性微分方程：y y =(x+i)32,答 案：(%)=-,(x)=(x+1),代 入 公 式 得x+y=J J(x +l)3e 而 d x+c =e 21n(x+可(x +i)3e-2 g M)d x+c =e 2 1 n(*+l),(x+l)3(x+l)2 Jx+c ),=(x +1)2(/+x +c)(2)yr-=2x s i n 2xx11%答案：p(x)=,(y(x)=2x s i n 2x,代入公式得 y=e ”x2x s i n

17、2xe x dx+c=e,n A j 2x s i n 2x e dx+c=xf12x s i n 2xdx+cJ xx j s i n 2xd2x+cy=x(-c o s 2x +c)3.求解下列微分方程初值问题:y=e 2A L y(0)=0答案：=e2xey J eydy=j e2xdx,ey=e2v+c ,把 y(0)=0代 入e。=；e。+c,c=；,ev=lev+-2 2(2)孙+y-e =0,y =0答 案：y Hy ,P(X)=,Q(X)=,代 入 公 式 铸X x X xX1 X=6，f enxdx-c=xdx+c，把 y(l)-0 代 入J x x xy=(ex+c),c=

18、-e ,y=-(ex-e)x x4.求解下列线性方程组普通解：xx+2x3 x4=0(1)X +%3入 3+2 工 4=02xi-元 2+5%一 3九 4=0答案：2/+4(其 中 是 自 由 未 知 量)T1o2-1 Oo1oloo1111-1-2-1 1 1o1-looo1-1T2A=因此，方程普通解为X.=-2x,+xd(2)+(l)x(-2)+x(-3)(4)+(l)x(-7)-1 -1 -5 4 20 1 1 3-9 -30 1 1 3-9 -3n o n r 1 o i i A/-较室(3)+(2)x(-l)(4)+(2)x(-2)-J y i v /i1 -1 -50 1 1 3

19、-0 0 00 0 0 04 2-J-3)02-8(D+G0J 乙 乙 U IO/L 1 H-10 8 -5 -10 1 1 3-9 -30 0 0 0 00 0 0 0 4 8.当4=8有解,%=-8%3+5 元4-1X-,1 3七 +9%3（其中X ,%2是自由未知量）5.。为什么值时，方程组X j-X2-X3=1 x,+x2 2X3=2x,+3X2+a 尤3=b当。=-3且Z?/3时，方程组无解;答-1 -1 -1 fA=1 1 -2 2 3 a b(2)+(l)x(-l)+(1)x(-1)-1 -10 20 4案-1 11 14+1 b-(3)+(2)x(-2)1 1 1 10 2-1

20、 10 0 a+3 b-3当a w 3时，方程组有唯一解；当。=一3且6=3时，方程组无穷多解。（1）设生产某种产品q个单位时成本函数为：C（q）=1 0 0 +0.25q 2+6q （万元），求：当q =1 0时总成本、平均成本和边际成本;当产量4为多少时，平均成本最小？答案：C(1 0)=1 8 5(万元)C(q)=+0.25,+6 9，C(1 0)=1 8.5(万元/单位)q qc(q)=0.5+6.Cz(10)=11(万元/单位)/c(q)1(X)、100 ccu cc(7)=+0.25q+6,c(q)=一一r+0.25=。，当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。(2).某厂生产某

21、种产品q件时总成本函数为C(q)=20 +44+0.0 1/(元)，单位销售价格为=1 4-0.0均(元/件)，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.答案：R(q)=1 4q-0.0 1 q 2,L(q)=R(q)c(q)=1 0 4 一 O.OZ q?20,L(q)=1 0-0.0 4 =0当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为L(250)=1 230 (元)。(3)投产某产品固定成本为36(万元)，且边际成本为C(q)=2q +40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时成本增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解：当产量由4百台增至6百台时，总成本增量为

22、答案：AC=C(6)-C(4)=(2q+40)dq=(q2+40q):=ioo(万元)c(q)=1(2q+40)dq+36=r+40q+36.c()=4 G.=q+4()+3,Jo1 q q_ 36c T-r=0,当x=6(百台)时可使平均成本达到最低.(4)已知某产品边际成本C(q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R(q)=12-0.027 ,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量基本上再生产5 0件，利润将会发生什么变化？答案：Z/(9)=R (q)c (9)=10 0.02q=0,当产量为5 00件时，利润最大.L =j；：（10 0.02/弱 =（104 0.0国2）惴=一25 （元）即利润将减少25元.