2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2021年全国乙卷高考理科数学真题及答案注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设 2 (z+2)+3(z-z)=4+6 i,则 z=().A.l-2 i B.l+2 i C.1+i D.1-i2 .已知集合 S=s|s=2 n+l

2、,nW Z,T=t|t=4 n+l,n G Z),则 S C T=()A.0 B.S C.T D.Z3 .已知命题p：3 x G R sinx 1 ；命题q：vx W R,e 感1,则下列命题中为真命题的是()A.pAq B.-ipAq C.pA r q D.-i(pVq)4 .设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是()2+XA.f(x-l)-l B.f(x-l)+l C.f(x+l)-l D.f(x+l)+l5 .在正方体A B C D-A B C D 中,P为 BD的中点,则直线P B 与 A D i所成的角为()A.-B.-C.-D.-2 3 4 66 .将 5名北京冬奥会志愿者分配

3、到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.6 0 种 B.1 2 0 种 C.2 4 0 种 D.4 8 0 种7 .把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移；个单位长度，得到函数丫=$打6-彳)的图像，则 f(x)=()A.sin 一 -)B.sin(：C.sin(2 x U)D.sin(2 x +)8.在 区 间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于:的概率为（）4A.-4D.-9.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，

4、其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，EG称 为“表距”,GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差 则 海 岛 的 高AB=（）.A：C：B：D：君子:表足表 外 表 运表W 型的差表高哀m 生的差+表府表m 受的差+表建1 0.设a W O,若x二a为函数以）=&-2）2&-1）的 极 大 值 点,则（）.A：a b C：abaJ1 1.设B是椭圆C：5+V=1（a b 0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|W 2b,则C的离心率的取值范围是（）.A：y.l）B：p l）C：（

5、0.D：（O.i 1 2.设a=21nl.0L b=lnl.O2,c=L04-L 则（）.A：a b c B：b c a C：b a c D：c a 0）的一条渐近线为V 5 x+m y=0,则 C 的焦距为.1 4.已知向量 a=(1,3),b=(3,4),若(a-入b)_ Lb,则入=。1 5 .记a A B C 的 内 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为6,B=60,a2+c=3ac,则b=.1 6.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.

6、（第16题图）三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1 7-2 1 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 2 2、2 3题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。1 7.（1 2 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.31 0.01 0.29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新 设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.61 0.51 0.41 0.5旧设备和新设备生产产

7、品的该项指标的样本平均数分别记为了和用样本方差分别记为s/和S22(1 )求三，%S i2,S 22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果广元22 产 尹，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如图，四棱锥P-A B CD的底面是矩形，P DJ _ 底面A B CD,P D=DC=1,M 为 B C 的中点，且 P B J _ A M,(1)求 B C；(2)求二面角A-P M-B 的正弦值。(第18题图)1 9.(1 2 分)记 S “为数列瓜 的前n 项 和,b“为数列 的前n 项和，已知T(1

8、)证明：数列 b j 是等差数列；(2)求 a,的通项公式.2 0.(1 2 分)设函数f (x)=l n (a-x),已知x=0 是函数y=x f (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数g(x)=的，匕，证明：g(x)0)的焦点为F,且F与圆M：x2+(y+4)?=1上点的距离的最小值为4.(1)求 p；(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点,求APAB的最大值.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 一 4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，0 C的圆心为C (2,1),半径为1.(1

9、)写出OC的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点F(4,1)作0 c的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.23.选修4 5：不等式选讲(10分)已知函数 f(x)=x-a|+1 x+3：.(1)当a=l时，求不等式f(x)2 6的解集；(2)若f(x)2a，求a的取值范围.理科数学乙卷（参考答案）1-5 C C A B D6-1 0 C B B A D1 1-1 2 C B1 3.41 4 .-51 5 .2 V 21 6 .或1 7.解：(1)各项所求值如下所示x=-(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8

10、+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7)=1 0.010y=(1 0.1+1 0.4+1 0.1+1 0.0+1 0.1+1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3s=x (9.7-1 0.0)2+2X(9.8-1 0.0)2+(9.9-1 0.0)2+2 X (1 0.0-1 0.0)2+(1 0.1-1 0.0)2+2x 10 x (1 0.2-1 0.0)2+(1 0.3-1 0.0)2 =0.3 6,S S =-X (1 0.0-1 0.3)2+3 x (1 0.1-1 0.3)2+(1 0.3-1 0.3)2+2 x (1 0.4-1 0.3)2

11、+2 x-10(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)2 =0.4.(2)由(1)中数据得y-%=0.3,3 4显然广;f V 2岸l所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。1 8.解：(1)因为P D _ L平面A B C D,且矩形A B C D中，A D 1 D C,所以以瓦I而，而 分 别 为x,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-x y z。设 B C=t,A (t,0,0),B (t,1,0),M (7,1,0),P(0,0,1),所以丽=(t,1,T),府=(1,0),因为 P B L A M,所以PB*M=+1=O,所以 t=0,所

12、以 B C=V L(2)设平面A P M 的一个法向量为n F (x,y,z),由于A P 二(-夜，0,1),则m AP=-V2x+z=0.V 2m AM=-x+y=0令 x=得 m=(&,1,2)o设平面P M B 的一个法向量为n=(x yl,z)则(_n =-i=2=2 b H+2=2 b=b-b-1=i(n 2),b,=-bn bn 2 2故 b.是以:为首项，:为公差的等差数列。(2)由(1)知 b#+(n-1)工 色，则三+三=2=$产 92 2 2 sn n+2 n+1n=l 时，a i=S i=n 2 2 时，a n 二 S n S-i=吐二妇工-n+1 n n(n+l)(=

13、1故 死 卜诉心22 0.(1)x f(x)z=x f(x)+x f (x)当 x=0 时，x f (x)f=f (0)=l n a=0,所以 a=l(2)由 f (x 由l n(l-x),得 x V l当 O V x V l 时，f(x)=l n(l-x)0,x f(x)0,x f(x)x f (x),x+l n (1-x)-x l n (1-x)0令 l-x=t (t 0 且 t W l),x=l-t,即证 l-t+l n t-(l-t)l n t 0令 f(t)=l-t+lnt-(l-t)Int,则f (t)(-1)=lnt所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故

14、(1)=0,得证。21.解：焦 点F(0,=)到e +(y+4)二=1的最短距离为2+3=4,所以p=2.(2)抛物线y=x二，设 A(xi,y1),B(x2,y2),P(x0,yo)则4L =y=(x-=/-滴lpb：y=X2X%，且X=yj 8yo 15.L，L都过点P(X。,y。)，则 平 广x”故必：先即丫=0X一%y0=涔 乂。一 丫2，联立I 一二叫 Wx2 2XQX+4y0=0,=4xj 16y0.I x2=4y所以|AB|=J 1+乎-16yo=j4+x”Jx：-4y()，dp一 所以丫J 片+4S如s=与 初,d p.三厢一 4yoi V xj-4y0=i(x；-4y0)2=

15、i(-y02-12y0-15)1而y。w 5,3.故当yo=-5时，S j 达到最大，最大值为20、区22.(1)因为0 c的圆心为(2,1),半径为1.故0 C的参数方程为(6为参数).(2)设切线 y=k(x-4)+l,即 kx-y-4k+l=0.故l”-I/I+F-即|2 k|=v m,4H=1+H,解得 k二土宗故直线方程为 y (x-4)+l,y二一弓(x-4)+l故两条切线的极坐标方程为psinB=亲0$6-;V5+1或psinB二”cos0+“5+L23.解：(l)a=1 时,f(x)=|x-l|+|x+3|,即求【x T|+|x-3126 的解集.当 x e l 时，2x+2 26,得 x 2 2;当-3x-a.A-3 时，2a+30,得 a-：；a-a,此时 a 不存在.综上，a_.