2021年高三高考理科数学试卷+答案.pdf

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1、2021年 高 三 高 考 理 科 数 学 试 卷+答 案 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 集 合 A=X*_ 5 X+60,B=X|X-1 0,则 A n 8=A.(-8,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+8)2 设 L-3+2i,则 在 复 平 面 内 3 对 应 的 点 位 于 A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 3.已 知 初=(2,3),AC=(3,t),BC,贝 I 而 宽 三 A

2、.-3 B.-2C.2 D.34.2019年 1 月 3 日 嫦 娥 四 号 探 测 器 成 功 实 现 人 类 历 史 上 首 次 月 球 背 面 软 着 陆，我 国 航 天 事 业 取 得 又 一 重 大 成 就，实 现 月 球 背 面 软 着 陆 需 要 解 决 的 一 个 关 键 技 术 问 题 是 地 面 与 探 测 器 的 通 讯 联 系.为 解 决 这 个 问 题，发 射 了 嫦 娥 四 号 中 继 星“鹊 桥”，鹊 桥 沿 着 围 绕 地 月 拉 格 朗 EI乙 点 的 轨 道 运 行.L2点 是 平 衡 点，位 于 地 月 连 线 的 延 长 线 上.设 地 球 质 量 为

3、M i,月 球 质 量 为 M z,地 月 距 离 为 R,%点 到 月 球 的 距 离 为，根据 牛 顿 运 动 定 律 和 万 有 引 力 定 律，r 满 足 方 程：陷+%=（/?+厂 严|.设。=）,由 于 a 的 值 很（R+r）2?R R3 a3+3a4+a5 3小，因 此 在 近 似 计 算 中 一 出 百 一 3 a，则 厂 的 近 似 值 为 c.5.演 讲 比 赛 共 有 9 位 评 委 分 别 给 出 某 选 手 的 原 始 评 分，评 定 该 选 手 的 成 绩 时，从 9 个 原 始 评 分 中 去 掉 1 个 最 高 分、1 个 最 低 分，得 到 7 个 有 效

4、评 分.7 个 有 效 评 分 与 9 个 原 始 评 分 相 比，不 变 的 数 字 特 征 是 A.中 位 数 B.平 均 数 c.方 差 D.极 差 6.若 a b,则 A.ln(n-/?)0B.3ab7.设 a,4 为 两 个 平 面，则 a 夕 的 充 要 条 件 是 A.a 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行 B.a 内 有 两 条 相 交 直 线 与 平 行 C.a,夕 平 行 于 同 一 条 直 线 D.a,“垂 直 于 同 一 平 面 _ 28.若 抛 物 线 炉=2*勿 0）的 焦 点 是 椭 圆 _+匕=1的 一 个 焦 点，则=3P PA.2 B.3C.4 D.87

5、 1 兀 9.下 列 函 数 中，以 一 为 周 期 且 在 区 间（一，2 47 1一）单 调 递 增 的 是 2A.y(x)=|cos2x|B.fix)=|sin2x|C.7(x)=cos|x|D./x)=sin|x|兀 1 0.已 知 Q0(0,),2sin2a=cos2a+1,则 2sina=1A._5B,更 5D.堇 5c.西 32 2)9,1 设 厂 为 双 曲 线 C：v=l(a o力 0)的 右 焦 点，。为 坐 标 原 点，以。尸 为 直 径 的 圆 与 圆 广+y 七。a2 E交 于 p,Q 两 点.若|PQb p F I 则 c 的 离 心 率 为 A.应 B.有 C.2

6、 D.第 2 设 函 数 的 定 义 域 为 R,满 足/(x+l)=2/(x),且 当 xe(0,l时，/(x)=x a 1).若 对 任 意 Qx e(-oo,m,都 有/(X)-_,则 m 的 取 值 范 围 是 1 3 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。3 我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进.经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.97,有 20个 车 次 的 正 点 率 为 0.98,有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.99,则 经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有

7、 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为.4 已 知/(x)是 奇 函 数，且 当 x 0 时，/(%)=产.若/(In2)=8,贝 ija=口 TT5 A3C的 内 角 的 对 边 分 别 为 a,c.若 匕=6,a=2c,B=_,则 ABC的 面 积 为.3-6 中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一.印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或 圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体(图 1).半 正 多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正

8、 多 边 形 围 成 的 多 面 体.半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称 美.图 2 是 一 个 棱 数 为 48的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1.则 该 半 正 多 面 体 共 有 个 面，其 棱 长 为.(本 题 第 一 空 2 分，第 二 空 3 分.)图 1图 2三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答.第 22、2 3为 选 考

9、题，考 生 根 据 要 求 作 答。(-)必 考 题：共 6 0分。17.(12 分)如 图，长 方 体 ABCD-AyBCyD的 底 面 A8C O是 正 方 形，点 E 在 棱 上，BE_LEG.(1)证 明：B E,平 面 E B C；(2)若 求 二 面 角 B-E C-G的 正 弦 值.18.(12 分)11分 制 乒 乓 球 比 赛，每 赢 一 球 得 1分，当 某 局 打 成 10:10平 后，每 球 交 换 发 球 权，先 多 得 2 分 的 一 方 获 胜，该 局 比 赛 结 束.甲、乙 两 位 同 学 进 行 单 打 比 赛，假 设 甲 发 球 时 甲 得 分 的 概 率

10、为 0 5 乙 发 球 时 甲 得 分 的 概 率 为 0 4,各 球 的 结 果 相 互 独 立.在 某 局 双 方 10:10平 后，甲 先 发 球，两 人 又 打 了 X 个 球 该 局 比 赛 结 束.(1)求 尸(X=2)；(2)求 事 件“X=4且 甲 获 胜”的 概 率.19.(12 分)已 知 数 列 斯 和 儿 满 足 m=l,=0,4a,l+i=3a-bn+4,4bn+l=3b-a-4.(1)证 明：的+几 是 等 比 数 列，的-小 是 等 差 数 列;(2)求 斯 和 瓦 的 通 项 公 式.20.(12 分)V*_ 1 _ 1已 知 函 数/(x)=lnx-.X 1(

11、1)讨 论 火 X)的 单 调 性，并 证 明 Kr)有 且 仅 有 两 个 零 点；(2)设 xo是 八 x)的 一 个 零 点，证 明 曲 线 产 Inx在 点 4(刈，瓜 孙)处 的 切 线 也 是 曲 线 y=e”的 切 线.21.2 2 分)已 知 点 4-2,0),8(2,0),动 点 M(x,y)满 足 直 线 A M 与 的 斜 率 之 积 为=1 记 M 的 轨 迹 为 曲 线 C.2(1)求 C 的 方 程，并 说 明 C 是 什 么 曲 线；(2)过 坐 标 原 点 的 直 线 交 C 于 P,。两 点，点 P 在 第 一 象 限，P E L x 轴，垂 足 为 E,连

12、结 Q E 并 延 长 交 C 于 点 G.(i)证 明：PQG是 直 角 三 角 形；(ii)求 PQG面 积 的 最 大 值.(-)选 考 题：共 10分 请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程(10分)在 极 坐 标 系 中，。为 极 点，点 加(见，4)(q0)在 曲 线。：P=4 5 皿。上，直 线/过 点 A(4,0)且 与 O M垂 直，垂 足 为 P.7C(1)当 一 时，求 夕 及/的 极 坐 标 方 程；3(2)当 M 在 C 上 运 动 且

13、P 在 线 段 O M 上 时，求 P 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程.23.选 修 45：不 等 式 选 讲(10分)已 知/(x)=|x-a|x+|x-2 1(x-a).(1)当 a=l时，求 不 等 式/(幻 0 的 解 集；(2)若 x G(-O O,1)时，f(x)0,求 a 的 取 值 范 围.2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 1.A 2.C 3.C6.C 7.B 8.D11.A 12.B理 科 数 学-参 考 答 案 4.D 5,A9.A 10.B13.0.98 14.-315.6忑 16.26；*一 17 解：（1）由 已 知 得，平 面

14、AB8|A|,BEU 平 面 故 耳 又 B E L E G，所 以 8E_L平 面 E B.(2)由(1)知/8耳=90。.由 题 设 知 RtZSABEgRt&HiE,所 以 NAEB=45,故=A4)=2AB.以。为 坐 标 原 点，D A 的 方 向 为 入 轴 正 方 向，皿|为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z,a2则 C(0,1,0),3(1,1,0),C,(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),y=(o,0,2).设 平 面 E8C的 法 向 量 为=(x,y,x),则 C J B-w-0,Jx

15、=0,即 C E nO,Q y+z=0，所 以 可 取=(0,1,-1).设 平 面 ECC 的 法 向 量 为 zn=(x,y,z),贝 Uy m=0,12z=o,即 八 C E m=0,Q y+z=0-所 以 可 取/n=(1,1,0).十 n-m 1于 是 cos=.|n|m|2所 以，二 面 角 8 EC C 的 正 弦 值 为 了.1 T$解：(1)x=2就 是 10：10平 后，两 人 又 打 了 2个 球 该 局 比 赛 结 束，则 这 2个 球 均 由 甲 得 分，或 者 均 由 乙 得 分.因 此 P(X=2)=0.5x04+(1-0.5)x(1-0.4)=0.5.(2)X=

16、4且 甲 获 胜，就 是 10：10平 后，两 人 又 打 了 4个 球 该 局 比 赛 结 束，且 这 4个 球 的 得 分 情 况 为：前 两 球 是 甲、乙 各 得 1分，后 两 球 均 为 甲 得 分.因 此 所 求 概 率 为 0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4 x0.5x0.4=0.1.9 解：（1）由 题 设 得 4（。+b）=2（。+。），即 a+b（a+b）.+1 W+1 n n M+l M+l 2 n n又 因 为 a+=l,所 以 a+h 是 首 项 为 1,公 比 为 1 的 等 比 数 列.1 2由 题 设 得 4（。“+|-。“+|）=4（。“一 仇,）

17、+8,即 a“+|2.又 因 为“L 友=1,所 以&一 5 是 首 项 为 1,公 差 为 2的 等 差 数 列.（2）由（1）知，a+b=l,a-b=2 n-l.所 以 a=_(tz+Z?)+(a-Z?)=十 一,n nT 2b=(a+b)-(a-b)=-20.解：（l）/（x）的 定 义 域 为（0,1）U（1，+8）.1 2因 为/为）=+|、2 0,所 以/（%）在（0,1）,（1,+8）单 调 递 增.尤（X-1）1 0 2 e2+l e2-3即 f(xp=O.又 0 J 1,/(-)=-In x+X|+1=-/(x)=0,故/(x)在(0,1)有 唯 一 零 点 X X X-1

18、X1 1 1 I综 上，/*)有 且 仅 有 两 个 零 点.因 为 1=e-M%,故 点 B(-ln.ro,一)在 曲 线 尸 上 由 题 设 知/（光。）=0,即 故 直 线 4 8 的 斜 率。=*n x.xo X工 0 1曲 线 产 F 在 点 B(-ln x,_)处 切 线 的 斜 率 是 曲 线 y=In尤 在 点 A(x,lnx)处 切 线 的 斜 率 也 是 o r 丫 0 0勺)人 01X。所 以 曲 线 y=lnx在 点 A(Xo，lnx(,)处 的 切 线 也 是 曲 线 产 e*的 切 线.y y21.解：(1)由 题 设 得 x+2 x 21，化 简 得 巴 仁 1(

19、1 X 用 2 4 22),所 以 C 为 中 心 在 坐 标 原 点，焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆，不 含 左 右 顶 点.(2)(i)设 直 线 P Q 的 斜 率 为 k,则 其 方 程 为=区(0).I y=2由 f v2 得 x=-.1,1+2 产 2记=7-,贝 i j P(u,uk),Q(_u,.uk),E(u,0).k k于 是 直 线 Q G 的 斜 率 为 _,方 程 为 y=二(X-M).2 2 k、y=_(x-M)，由 L，得 I 4 21=14 2(2+1*-2 以 2%+4 2a2-8=0 设 G(XG，%)，则 一“和 XG 是 方 程 的 解，故=女 2+k

20、，由 此 得 打=前 u而 言 钟 P G 的 斜 率 为 一 从 而 11,u(3k2+2)-5-1 U2+k2_ 1所 以 P Q A.P G,即 PQG是 直 角 三 角 形.(ii)由(i)得 IPG“；,所 以 PQG的 面 积 乙 十 K1 的 1+3)8(-+k)S=PQ P G _2(1+2d)(2+V)i 2(1+2设 t=k+-,则 由 Q 0 得 t2,当 且 仅 当 时 取 等 号.k8r 16因 为 s=?在 2,+8)单 调 递 减，所 以 当 仁 2,即 上 1时，S 取 得 最 大 值，最 大 值 为 一.1+2 尸 9因 此，a p o G 面 积 的 最 大

21、 值 为 一.971 兀 22.解：因 为 知(见,“)在 C上，当/时，=4sin；=2下.由 已 知 得|OP 1=1 OA I cos-=2.3(设。S，e)为/上 除 p的 任 意 一 点.在 R t a o p。中，夕 coM。一 匹=|O P|=2,(3 兀 兀 经 检 验 所 以,:osIH-2dv-J64-8 夕(2)设 P(p,e),在 RtzOAP 中，|OP|=|QA|cos6=4cosa 即 p=4cos6.因 为 尸 在 线 段 0M 上，且 A P L O M,故。的 取 值 范 围 是 支,齿._42 ljn S 匹 1所 以，P点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 夕=4cos”1 4 2 j23.解：(1)当 a=l 时，/(x)=|x-l|x+|x 2|(x 1).当 xl 时，/(X)=-2(X-1)20.所 以，不 等 式/(幻 1,x G(co,1)0,f(x)=(a x)x+(2 x)(x a)=2(a x)(x 1)0.所 以，a 的 取 值 范 围 是 1,+8).