2021年山东省泰安市高考数学全真模拟试卷（附答案详解）.pdf

《2021年山东省泰安市高考数学全真模拟试卷（附答案详解）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年山东省泰安市高考数学全真模拟试卷（附答案详解）.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2021年山东省泰安市高考数学全真模拟试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1.集合4=0,-1,a2,8=-2,。4上若4 08=-2,1,0,4,16,则a=()A.1 B.2 C.3 D.42.若z=l-i,贝岭 z2=()A l+3i B l-3i C.1-i D.1+i3.设函数f(%)是定义在R 上的偶函数,当一之0时,/(%)=lg(3x+1)-1,则不等式/(%)0的解集为()A.(3,0)U(3,+oo)B.(3(+oo)C.(-3,3)D.(-8,-3)0(3,+8)4.某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7,得到的不合格零

2、件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3,而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是()A.0.49 B.0.73 C.0.79 D.0.915.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=勿，。2(1+分它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带 宽 卬，信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中，叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽W 增大到原来的1.1倍,信噪比，从 1000提升到16000,则 C 大约增加了()(附

3、：lg2 0.3)A.21%B.32%C.43%D.54%6.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们研究过图1中的1，3,6,10,，这样的数称为三角形数；类似地，图 2 中的1,4,9,16,.这样的数称为正方形数；图3 中 的 1,5,15,3 0,这样的数称为正五边形数,那么正五边形数的第2021项小石子数是()A.5 x 1 0 1 0 x 2 0 2 1B.5 x 1 0 1 0 x 1 0 1 1C.5 x 1 0 1 1 x 2 0 2 1D.5 x 1 0 1 1 x 2 0 2 07 .仇章算术少是中国古代第

4、一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵4BC-&B1G中，AC 1 B C,若A4=&，AB=2,当阳马8-a4。的的体积最大时，堑堵4 8。一月潭1（?1 中异面直线&C,A B 所成角的大小是（）71B二8 .已知抛物线y 2 =2 px（p 0）上有两点A,B,。为坐标原点，以为邻边的四边形为矩形，且点。到直线A B 距离的最大值为4,则p=（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多 选 题（本大题共4小题，共 2 0.0 分）9 .双十一是指由电子商务为代表的

5、，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双-I 一的成交额如表：若 y 关于r的回归方程为y =1 2 t +a，贝 心）年份2 0 1 62 0 1 72 0 1 82 0 1 92 0 2 0时间代号t12345成交额y （万元）5 06 07 08 01 0 0第2 页，共2 3 页A.a =2 6B.预计2 0 2 1 年双十一该家具旗舰店的成交额是1 0 8 万元jC a =O3Z6-D.预计2 0 2 1 年双H 一该家具旗舰店的成交额是1 2 0 万元1 0 .下列关于函数y =t a n（2 x +今的说法正确的是（）A.在区间（一居*）上单调递增 B

6、.最小正周期是兀C.图象关于点舄,0）成中心对称 D.图象关于直线x =一 居对称1 1 .如图，在直角三角形A B C 中，4 =9 0。，|4 B|=通，|4 C|=2 遮，点 P在以A为圆心且与边B C 相切的圆上，则（）C.而.定 的最大值为1 4 D.而.正 的最大值为1 61 2 .已知a 0,b 0,且a +2 b =2,则下列说法正确的是（）A.5 a +2 5 b 1 5B-z+i-6C.b +V a2+b2|D.blna2+aln(2b)o,f a 0）的右顶点到其一条渐近线的距离为1 则 C的 离 心 率 是 .1 4 .如图，一个有盖圆柱形铁桶的底面直径为46，高为8,

7、铁桶盖的最大张角为6 0。，往铁桶内塞入一个木球，则该木球的最大表面积为1 5.已知有5 男 5 女 共 10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8 人分配到A,8 两个组，每个组4 人，其中A 组的4 人中，要求女性的人数多于男性，B 组的 4 人中，要求至少有1名女性，则 不 同 的 分 配 方 法 数 为 .16.在一个三角形A8C中到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足N4PB=乙BPC=/.CPA=1 2 0,因此费马点也称为三角形的等角中心如图，在AABC外作等边4 C D,再作A/IC。的外接圆，则外接圆与线段8。的交点 P 即为费马点.若4B

8、=1,BC=2,/.CAB=90,贝 加4+PB+PC=.四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.在%=nan+1 n2 n,anan+1 (2n+l)an+1+2nan 2n(2n+1)=0,W+1-W=8(n+1)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答问题：设数列 a。的前项和为右,an 0,a1=3,且_,数列 b 满足=求 4 的前项和18.在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为m b,c,已知as讥8=(加)8-MbcosB)cosC,b=3,B*3.(1)若。=5,求C3；(2)若 A3边上的中线长为g求48C的面积.第4页，共23页19.如图，在三棱柱4

9、B C-41B 1G 中，平面ACGA1 1 平面A8C,AC 1 BC,AC=BC=CCi=4.(1)证明：平面&BC_L平面4B iG；(2)若A/1 与平面ZBiG所成角的正弦值为遮，求二面角4 -A C-B i的余弦值.420.扶贫期间，扶贫工作组从A地到B 地修建了公路，脱贫后，为了了解A 地到B 地的公路的交通通行状况，工作组调查了从A 地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这4 0 0 0 辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)若由频率分布直方图可大致认为，该

10、公路上机动车的行车速度Z服从正态分布N(),其中，d分别取调查样本中4 0 0 0 辆机动车的平均车速和车速的方差s2(s2=2 0 4.7 5),请估计样本中这4 0 0 0 辆机动车车速不低于8 4.8 千米/时的车辆数(精确到个位)；(3)如果用该样本中4 0 0 0 辆机动车的速度情况，来估计经A地到B地的该公路上所有机动车的速度情况，现从经过该公路的机动车中随机抽取4 辆，设车速低于8 4.8千米/时的车辆数为，求P&3)(精确到0.0 0 1).附：随机变量：八N W 2),则(一。式+。)笈 0.6 8 2 7,P(n-2a +2。)=0.9 5 4 5,P(-3。+3。)=0.

11、9 9 7 3,V 2 0 4.7 5 1 4.3,0,8 4 1 3 54 0.5 0 1.2 1.已知椭圆C：摄+=19 匕0)的离心率为6,椭圆C上一点尸到它的左、右焦点6，尸 2 的距离之和为4,且2 a =2 e +Z A(1)求椭圆C的方程；(2)过点F 2 的直线/交椭圆C于 A,B两点求 面积的最大值.第 6 页，共 23页2 2.已知函数f(x)=/+%+sinx-am(x+1).(1)当a=-1时，求f(x)图象在点(0)(0)处的切线方程;(2)当a 0且a。2时，证明：/(%)有且仅有两个零点.答案和解析1 .【答案】B【解析】解：因为集合4 =0,1,。2 ,8 =-

12、2,。4 ,且4UB=-2,-1,0,4,1 6),J j J l J a2=4,a4=1 6,解得a =2.故选：B.利用集合并集的定义得到。的关系，求解即可.本题考查了集合并集的应用，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题.2 .【答案】A【解析】解：z =1 -i,(一)2=湍 奇 一 (一2 i)=l +i +2 i =l +3i,故选：A.利用复数的运算法则即可得出.本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.【答案】D【解析】解：.函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x 。时，由f(x)=l g(3x +1)-1 0得%3,根据偶函数对称性可知，当 0

13、时，x 0 的解集为(一8,-3)U(3,+8).故选：D.先求出当x 0时，满足/(%)0时 x的范围，然后结合偶函数对称性可求.本题主要考查了利用函数的奇偶性求解不等式的解集，体现了转化思想的应用，属于基础题.4 .【答案】C第8页，共23页【解析】解：生产时得到合格零件的情况有两种:零件生产成型后，得到合格零件，概率为Pi=0.7,零件生产成型后，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件，概率为P2=0.3 X 0.3=0.09,生产时得到合格零件的概率是：P=0.7+0.09=0.79.故选：C.生产时得到合格零件的情况有两利零件生产成型后，得到合格零件，概率为

14、pi=0.7,零件生产成型后，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件，概率为P2=03 x 0.3=0.0 9,由此能求出生产时得到合格零件的概率.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力，是基础题.5.【答案】D【解析】解：由题意，可得1.1仞。0216000Wlog21000-1=1.1 X2 g l6000 1-1IglOOO4 Y 3+4,02 C L/=1.1 x -1 =0.54,3所 以 C 大约增加了54%.故选：D.把两个信噪比代入C=/。先(1+金 中，然后作商即可解决此题.本题考查对数运算

15、性质，考查数学运算能力，属于基础题.6.【答案】A【解析】解：根据题意，设正五边形数构成数列an,则 的=1,02=5,且当nN 3时，an=an 4-5(n 1),所以a九=a2+(g -做)+(a4 一 传)-an-i)=5 4-5 x 2 +5 x 3 +-+5(n-1)=半 二 2,所以。2021=5X2021X20205 x 1010 x 2021,2故选：A.根据题意，设正五边形数构成数列 即，求出的、。2 的值以及即=即.1 +5 5 1),由累加法可得 即 的通项公式，进而计算出正五边形数的第2 0 2 1 项小石子数.本题考查合情推理，涉及数列的求和，属于基础题.7.【答案】

16、C【解析】解：因为4 c 1 B C,所以4 c 2 +B C2=A B2=4,设A C =x,BC =y,则有M+y2=4由题可知，在直三棱柱ABC-aB i G 中，CG1平面A B C,BCu平面 A B C,所以CG，B C,v AC 1 B C,AC C C Cr=CBC J _ 平面&4 C C 111 1 厂%T A 1 C 1 C=2 ,SAAISC=2 A A 1 AC -BC =-y2-x-y1%?+y 2 0,b 0,.a+2b=2,所以5 a+2 5 b n 2,5 a 2 5 b=2 V 5。+2 b=1 0,当且仅当a=2 b=1,即a=l,b=：时取等号，A错误；

17、对于B：因为a=2-2 b 0,所以0 b 1,所以5 +击=白+表令/=E +表，。b LWZ JiWW)=(-l-b-)2 b3 令 g(b)=2b3-b2+2b-l,0 b 0 恒成立，即g(b)在(0,1)上单调递增且g(=0,故0b：时，g(b)0,f(h)0,/(b)单调递减，当|b 0,/(b)0,/(b)单调递增，当b 时，/(b)取得最小值6,故(+奈？6,B正确；对于 C：b+V a2+62=b +J(2 2 b)2 +炉=b +y/5b2-8b+4,令九(b)=b+U 5 b2-8。+4,则/)=1+；5=1 +当时，h (b)0,由 n/h 一%(b)=1 -T 一当0

18、 V b V 15 时，J1+2 51 ,所以/i (b)在(o,上单调递增，又(|)=o,所以b=|时，M b)取得最小值,h(|)=I，所以b+、a2 +b2 故C正确；对于 D：blna2+aln(2b)=2blna+aln(2b)=(2 a)I na+aln(2 a),-0-/(x)=(2 x)lnx+xln(2 x),0 x 2,f(l)=0 fx=-I nx+1 1 +l n(2 x)含=l n(2%)I nx+七，当lx 2时，l n(2 x)0,I nx 0,1,所以/(x)0，即/X x)在(1,2)上单调递减，同理可得/(%)在(0,1)上单调递增，所以x=l时，f(x)有

19、最大值/(I)=0,所以/(%)2时，Sn-i=(n-l)an-(n-I)2-(n-1),又Sn-nan+1-n2-n,两式相减可得见 i=nn+i-(n-l)-2n,整理可得%+i-a7t=2,综上可得 an 是首项为3,公差为2 的等差数列，所以an=2n+l,则 弱=-；%)=：&一)，所以 7“=川-一 1)+(；-专)=a-/)=焉?选即an+i-(2n+l)an+1+2nan-2n(2n+1)=0,由ana九+1-(2n+l)an+1+2nan-2n(2n+1)=0,可得册+卫斯 一 (2n+1)+InYcin-(2n+1)=0,所以(册+1+2n)(an-2n-1)=0,因为a九

20、 0,所以0n=2几+1；b=1=1 _ ,1 _ 1 Xn-(an+l)(an-l)-4n(n+l)-4 1n n+1，所以 7 =；”)+(+.+(；+)=；(/+)=康选 ，成+i-确=8(7 1 +1),所以当n 2 时,碌=(碌-碎_ i)+(成T-W-2)+(境-评)+谈=8Tl+8(n-1)+8(n 2)+8 x 2 +9=剑+?-1)+9 =(2 7 +1 产因为Qn 0,所以an=2 n+l,b=1-1-狙 1)n(an+l)(an-l)4n(n+l)4 n+V9所以7 n=；(1 +弓 W)1 =(1 -W)=品。【解析】分别选，由数列的递推式和因式分解、等差数列的定义和通

21、项公式，求得斯，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和.本题考查数列的递推式和数列的恒等式、裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)因为a s 讥8 =(b s i 九 8 -V 5 b c o s B)c o s C,所以s i m4 s i n B=(sinBsinB 一qsinBcosB)cosC,因为s i n B丰0,所以s i?L 4 =(s i n B 遍 cosBcosC,所以s i 九 Bc o s C+cosBsinC =sinBcosC 遮 cosBcosC,整理可得c o s 8(s i n C+V c o s C)=0,因为8工 今

22、所以c o s BHO,可得t c m C=一 8，可得C=拳由 余 弦 定 理=a2+b2-2abcosCf 可得 c?=2 5 4-9 2x5x3x(|)=4 9,所以c =7.(2)设 A 8 边上的中线为C D,则2 加=襦+而，所以4 才=筋 +函2 =+a2 2abcosC 所以49=9+Q2 3Q,即a 2 3 a 4 0=0,解得a =8,或一5(舍去)，所以 SFBC=|absinC=x8x3x=6V 3.第 18 页，共 2 3 页【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得t a n C,可得C 的值，进而根据余弦定理可得c 的值.(2)设A B边上的中线为C

23、D,则2 而=C A+C B，两边平方,利用余弦定理可得a?3 a -4 0=0,解方程可求a的值，根据三角形的面积公式即可求解.本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，平面向量的运算以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.19.【答案】解：证明：平面4 CQ 4 i _ L 平面A B C,平面AC G&C平面A BC=4 C,AC 1 BC,A Ai二 BC _ L 平面4 C Q 4 1，u 平面4 4 1c l C,8 C J.4 C1，:、/、-AC=CCj =4,.四边形A CC出 是 菱 形，ACr 1y 7&C n BC=C,A

24、Q _ L 平面&B C,/,v 4 c l u 平面A B i G，.平面/C 1 平面A B i G；(2)设4 C1 n&C =M,由(1)知BC J 平 面 4C G 4，BJCJ J.,二4 18 1与平面4 8 1。1所成角为乙4 18 科，由4 c =BC =4,得=A B =4A/2,4IBI与平面ZBIG 所 成 角 的 正 弦 值 为 s i n 乙4/i M =*=号，ArM=2,4 1c =4,为正三角形，以 C 为坐标原点，C B 为 x 轴，C Q为)，轴，过 C 作平面B C G/的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),4(0,2,2 V 5),4

25、(0,-2,2 遮),8/4,4,0),C A=(0,-2,2 7 3)，西=(4,4,0),由BC 1平面4C G 4知万=(1,0,0)为平面4 14 c 的一个法向量,设平面A CBi 的法向量元=(x,y,z),KJ n -C A=-2y+2 百 z =0(n -C B；=4 x +4 y =0取z =l,得记=(一百,四,1),设二面角4 一 4 C 一 Bi 的平面角为氏则c s 9-加丽 二面角4 -AC-%的余弦值为苧.【解析】(1)推导出BC J 平 面 ACCi/li，BC 1 AClt 从而4Q 1平面AiBC,由此能证明平面4 8 C 1平面4/C i；(2)推导出BC

26、 1平面a C G 4,以C 为坐标原点,CB为x 轴,CC 为y轴，过 C 作平面8。6 当的垂线为z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4 -A C-当的余弦值.本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.2 0.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知,中点值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1所以多=(45+95)X 0.1+(55+85)x 0.15+65 x 0.2+75 x 0.3=70.5,所以这4000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.(2)依题意，

27、Z 服 从 正 态 分 布 其 中 =%=7O,5,a2=s2=204.75,所以。=14.3.因为 P(-CT Z M+T)=P(56.2 Z 84.8)=匕与乎7=0.15865,所以车速不低于84.8千米/时的车辆估计有0.15865 x 4000=634.6 635辆.(3)行车速度低于84.8千米/时的概率为1 0.15865=0.84135,而f 8(4,0.84135),所以尸(f 3,所以 SAAAB=3 b 3(+：)2+1,因为t 3,所以0 ：5，所以0 SA&AB 1),因为f(0)=0,r(0)=3,所以切点坐标为(0,0),切线斜率为3,所以所求切线方程为y=3x.

28、(2)证 明:f(x)=2x +1 +cosx-1),令t(x)=1 Q),则t (x)=2+G为 一 s i n x,因为a0且a#2,t (x)0,所以t(x)在(-1,+8)上是增函数，即/()在(一1,+8)上是增函数，当a 2时，1(0)=2-a 0,所以尸(a 2-1)=2a2-1 +c o s (a2-l)-i7-l-l 0,/a所以尸(x)在(0,。2 1)上有零点X,当1 X 时,/(X)X时,/()0,所以/(%)在(一1,%1)上是减函数，在(%1，+8)上是增函数，由题意可知f(0)=0,所以八久1)(a2 l)2+a2 1 2a(a 1)+s i n(a2-1)=(a

29、2 l)2(a2+2a)+s i n(a2-1)8-1 0,所以/(乃在(一1,%1)和(%1，+8)上各有一个零点，故当a 2时函数f(x)有且仅有两个零点.当0 a 0,因为5 1 0,f(-l)=a -2+1 +c o s(1)2=a +c o s(1)3 0,所以f(x)在(一 1,0)上有唯一的零点%2，当一1 久%2时，/(x)%2 时，0，所以/(久)在(一1,犯)上是减函数，在(%2,+8)上是增函数，由题意可/(0)=0,所以/出)0 时，易知会11工，所以11 一 1W，BPe-a2 ex ea aa2，2从而1 ea 1 0,所以f(x)在(一 L&)和。2，+8)上各有一个零点，故当0Va 0 且a#2 时，f(x)有且仅有两个零点.【解析】(1)求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，从而可得切线方程；(2)对f(x)求导，对。分类讨论，利用导数求出f(x)的单调性，再利用零点存在定理判断零点个数，从而得证.本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，函数零点个数问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题.