2021年度初中几何证明题库矩形.pdf

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1、例 8.如图，已知矩形纸片AB C D,AD=2,A B M.将纸片折叠，使顶点A 与边C D 上点E 重叠,折痕F G 分别与AB,C D 交于点G,F,AE 与 F G 交于点.0.(1)如 图 1,求证：A,G,E,F四点围成四边形是菱形；(2)如图2,当4 A E D 外接圆与B C 相切于点N时，求证：点 N是线段B C 中点;(3)如图2,在(2)条件下，求折痕F G 长.【答案】解：(1)由折叠性质可得，G A=G E,N AG F=N E G F,V D C Z AB,.*.Z E F G=Z AG F A Z E F G=Z E G F .,.E F=E G=AG(,.四边形

2、AG E F 是平行四边形(E F AG,E F=AG)。又：AG=G E,.四边形AG E F 是菱形。(2)连接O N,.AE D 是直角三角形，AE 是斜边，点。是 A E 中点,AE D 外接圆与B C 相切于点N,AO N lB C o.点。是 A E 中点，0 N 是梯形AB C E 中位线。.,.点N是线段B C 中点。(3)V O E,0 N 均是a AE D 外接圆半径，.0 E=0 A=0 N=2 o.,.AE=AB=4 在 Rt Z kAD E 中,AD=2,AE=4,A Z AE D=3 0 。在 Rt O E F 中，O E=2,Z AE D=3 0 ,OF=.F G

3、=2OF=3 3【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称性质，菱形鉴定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值。【分析】（1）依照折叠性质判断出AG=G E,Z AG F=Z E G F,再 由 C D AB 得出N E F G=/AG F,从而判断出E F=AG,得出四边形AG E F 是平行四边形，从而结合AG=G E,可得出结论。（2）连接O N,则 O N _ L B C,从而判断出O N 是梯形AB C E 中位线，从而可得出结论。（3）依照（1）可得出AE=AB,从而在Rt Z kAD E 中，可判断出N A E D 为 3 0 ,在 Rt AE F O中求出 F 0,从

4、而可得出F G 长度。8.依次连接一矩形场地AB C D 边 AB、B C、C D、D A 中点E、F、G、H,得到四边形E F G H,M为边 E H 中点，点 P为小明在对角线E G 上走动位置，若 AB=1 0 米，B C=1 0 百 米，当 P M+P H 和为最小值时，E P 长为。1 0.如图，在矩形AB C D 中，AD=4 cm,AB=m（m 4）,点 P是 A B 边上任意一点（不与点A、B重叠），连接P D,过点P 作 P Q L P D,交直线B C 于点Q.（1）当 m=1 0 时，与否存在点P使得点Q 与点C重叠？若存在，求出此时AP 长；若不存在，阐明理由；（2）连

5、接A C,若 P Q AC,求线段B Q长（用含加代数式表达）；（3）若P QD 为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点四边形面积S 与 m 之间函数关系式，并写出m 取值范畴.1.已知长方形AB C D,AB=3 cm,AD=4 cm,过对角线B D 中点。做 B D 垂直平分线E F,分别交AD、例 2.如图，在矩形AB C D 中，A D A B,将矩形AB C D 折叠，使点C与点A 重叠，折痕为M N,MN连结C N.若4 C D N 面积与a C M N 面积比为1 ：4,则 值 为【】BMA.2 B.4 C.2 石 D.2A/6【答案】及【考点】翻折变换（折叠问题），折叠性质，矩

6、形、菱形鉴定和性质，勾股定理。【分析】过点N作 N G L B C 于 G,由四边形AB C D 是矩形，易得四边形C D G 是矩形，乂由折叠性质，可得四边形AM C N 是菱形，由a C D N 面积与C M N 面积比为1：4,依照等高三角形面积比等于相应底比，可得D N：C M=1：4,然后设D N=x,由 勾 股 定 理 可 求 得 长，从而求得答案:过点N作 N G L B C 于 G,四边形AB C D 是矩形，.四边形C D N G 是矩形，AD B C。，C D=N G,C G=D N,Z AN M=Z C M NO由折叠性质可得：AM=C M,Z AM N=Z C M N,

7、A Z AN M=Z AM N.,.AM=AN o.,.AM=C M,二四边形AM C N 是平行四边形。：AM=C M,.四边形AM C N 是菱形。C D N 面积与C M N 面积比为 1：4,；.D N：C M=1：4。设 D N=x,则 AN=AM=C M=C N=4 x,AD=B C=5x,C G=x。B M=x,G M=3 x。在 Rt AC G N 中，N G =7 C N2-CG2=A/(4 x)2-x2=V 1 5x ,在 Rt AM N G 中，MN=7GM2+NG2=(3 x)2+(V 1 5x)2=2 7 6 x ,.MN 2屈x 4 /7.-=-=2 v 6 o 故

8、选 D。BM x例 1.如图,AC 上点B 在矩形AB C D 中，点 E,F分别在B C,C D ,将A A B E 沿 AE 折叠，使点B落在处，又将4 C E F 沿 E F 折叠，使点C落在E B 与 AD 交点C 处.则 B C：AB 值为BEC【答案】也.【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值.【分析旌接C C 1 .将4 A B E沿A E折急 使 点B落 在A C上的点B处,又将C E F沿E F折叠，使 点C落在E B与A D的交点C处，.,.E C=E CZ,.,.Z

9、E C?C=Z E C C,.N D C C=N E C C 1 /.Z E C Z D C t./.C C Z E C D的平分线.,.,N C B C=N D=9 0,C C=C C,.C B C z Z i C D C(AAS).二 C B=C D.又,AB=AB,，B 是对角线 AC 中点，B P AC-2 AB.Z AC B-3 00./.t a nZ AC B=t a n3 0 0=-=.，B C,A B=/.BC G例 3.如图所示，既有一张边长为4正方形纸片AB C D,点 P为正方形AD 边上一点（不与点A、点 D重叠）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点 C落在G处，P G

10、 交 D C 于 H,折痕为E F,连接 B P、B I 1.(1)求证：Z AP B=Z B P H；（2）当点P在边AD 上移动时，P D H 周长与否发生变化？并证明你结论;（3）设 AP 为 x,四边形E F G P 面积为S,求出S 与 x函数关系式，试问S 与否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请阐明理由.BB（备用图）【答案】解：(1)如图 1,V P E=B E,.*.Z E B P=Z E P B.又；N E P H=N E B C=9 0 ,：.Z E P H -N E P B=N E B C -Z E B P,即N P B C=/B P H。又：AD B C,

11、；./AP B=/P B C。A Z AP B=Z B P H(2)P H D 周长不变为定值8。证明如下：如图2,过 B作 B Q L P H,垂足为Q。由 知 N AP B=N B P H,又；N A=N B QP=9 0 ,B P=B P,.,.AB P AQB P (AAS)AAP=QP,AB=B Q。X V AB=B C,.*.B C=B Q。又,：N C=N B QH=9 0 ,B H=B H,A B C H AB QI l(H L).*.C H=QH./.P H D 周长为:P D+D H+P H=AP+P D+D H+H C=AD+C D=8(3)如图3,过 F作 F M J

12、_ AB,垂足为M,则 F M=B C=AB。又：E F 为折痕，.E F L B P。/.Z E F M+Z M E F=Z AB P+Z B E F=9 0 。A Z E F M=Z AB P 又./A=N E M F=9 0 ,AB=M E,.AE F M AB P A(ASA)；.E M=AP=x.x2.在 Rt&P E 中，(4 -B E)2+X=BE2,H P B E =2+8x2.C F =BE-EM=2+X o8又.四边形P E F G 与四边形B E F C 全等，S=：(B E +C F).B C=g-4+-x -4=|x2-2 x+8=g(x-2)2+6。.,.当 x=2

13、 时，S 有最小值 6。2【考点】翻折变换(折叠问题)，正方形性质，折叠性质，全等三角形鉴定和性质，勾股定理，二次函数最值。【分析】(1)依照翻折变换性质得出/P BC=/BP H,进而运用平行线性质得出/AP B=N P BC即可得出答案。(2)先由AAS 证明aABP 丝 Q BP,从而由H L 得出 BC H g ZX BQ H,即可得C H=Q H。因而，P D H 周长=P D+D H+P H=AP+P D+D H+H C=AD+C D=8 为定值。(3)运用已知得出 E F M g ABP A,从而运用在R t aAP E 中，(4-BE)2+x2=BE2,运用二次函数最值求出即可

14、。4.如图所示，将两张等宽长方形纸条交叉叠放，重叠某些是一种四边形ABC D,若 AD=6 c m,ZABC=6 0 ,则四边形ABC D 面积等于 c m、A例 2.如图，矩 形 ABC D 中，AB=2,AD=4,AC 垂直平分线E F 交 A D 于点E、交 BC 于点F,则E F=【答案】亚。【考点】线段垂直平分线性质，矩形性质，相似三角形鉴定和性质，勾股定理；.【分析】连接E C,AC、E F 相交于点0。；AC 垂直平分线E F,.,.AE=E C .四边形ABC D 是矩形,.*.ZD=ZB=90 ,AB=C D=2,AD=BC=4,AD BC。/.AO E AC O F o.A

15、O OE OC-OFV 0 A=0 C,.O E R F,B|J E F=2 0 E。在 R t aC E D 中，由勾股定理得：C E2=C D2+E D2,即 C E (4-C E)2+2、解得：.C E=2。2.在 R t ZX ABC 中，AB=2,BC=4,由勾股定理得：非,，C 0=后。.在 R t aC E O 中，C 0=V 5 ,C E=-,由勾股定理得：E 0=AE F=2 E 0=2 2例 3.已知一种矩形纸片O AC B,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A(1 1,0),点 B(0,6),点 P为 BC 边上动点(点P不与点B、C重叠)，通过点0、P 折叠该纸片，得

16、点B 和折痕 0 P.设 BP=t.（I ）如图，当N B0 P=3 0 时，求点P坐标；（I I）如图，通过点P再次折叠纸片，使点C落在直线P B 上，得 点 C和折痕P Q,若AQ=m,试用具有t 式子表达叫（I I I）在（I I）条件下，当点C正好落在边0 A上时，求点P 坐 标（直接写出成果即可）.,1B1B【答案】解：（I ）依照题意，Z0 BP=90 ,0 B=6 o在 R t z X O BP 中,由 N B0 P=3 0 ,BP=t,得 O P=2 t。*/O P2=O B2+BP2,即(2 t)2=62+t 解得：3=26，t 2=-2y/3(舍去).二点P坐 标 为(26

17、，6)。(I I )V A O BZ P、Q C,P 分别是由O BP、Q C P 折叠得到,.O B P AO BP,Q C,P 丝Q C P。.Z0 P B,=Z0 P B,/Q P C =N Q P C。V Z 0 P B,+/O P B+/Q P C +/Q P C=1 8 0 ,N 0 P B+/Q P C=90 ,V ZB0 P+Z0 P B=90 ,.,.ZBO P=ZC P Q,CR RP又/O BP 二 N C=90 ，/.AO BP AP C Q o =。PC CQ由题意设 BP=t,AQ=m,BC =1 1,AC=6,则 P C=1 1 t,C Q=6 m.o A m=-

18、t2-t+6(0tll)11-t 6-m 6 6（I I I）点 P坐 标 为（上巫，6）或（而，6）o3 3【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形鉴定和性质，勾股定理，相似三角形鉴定和性质。【分析】（【）依照题意得，/0BP=90,0B=6,在RIZXOBP中，由NBOP=30,B P=t,得0 P=2 t,然后运用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（H）由OB P,QC,P分别是由OBP、ZQCP折叠得到，可知OB P四OBP,QC P AP C D.P D A,设它们面积分别是,、Sz、S3、S o给出如下结论：Si+Sz=S3+St Sz+S产 Si+S3

19、若 S3=2 S”则 SF2 S2 若 S尸 S2,则 P点在矩形对角线上其中对的结论序号是 （把所有对的结论序号都填在横线上）.【答案】。【考点】矩形性质，相似【分析】如图，过点P 分别作四个三角形高，V A A P D 以AD 为底边，A P B C 以 B C 为底边，此时两三角形高和为AB,Si+S3=一 S 的 形 AB C D；2同理可得出S?+S产一S ，胆 AB C D o2.S2+S产 S.+Sa对的,则$+S2=S：,+S”错误。若&=2Si,只能得出a A P D 与P B C 高度之比，S,不一定等于2s2；故结论错误。如图，若 Sk Sz,则XP F XAD=!XP

20、E XAB,22.AP D 与 AP B A 高度之比为：P F：P E =AB：AD .：N D AE=/P E A=N P F A=90 ,二四边形 AE P F 是矩形，二矩形AE P F s矩形AB C D。连接AC。A P F：C D =P E ：B C=AP：AC,即 P F：C D =AF ：AD=AP：AC,.AP F AAC D o，N P AF=N C AD.点 A、P、C 共线。，P 点在矩形对角线上。故结论对的。综上所述，结论和对的。例 6.如 图（1）,在矩形AB C D 中，把/B、N 1）分别翻折，使点B、D分别落在对角线B C 上点E、F处，折痕分别为C M、A

21、N.(1)求证：AAN D 四C B M.（2）请连接M F、N E,证明四边形M F N E 是平行四边形，四边形M F N E 是菱形吗？请阐明理由？（3）P、Q是矩形边C D、AB 上两点，连结P Q、C Q、M N,如 图(2)所示,若 P Q=C Q,P Q M N。且 AB=4,B C=3,求 P C 长度.图（1）图(2)【答案】（1）证明：I四边形AB C D 是矩形，.N D=N B,AD=B C,AD B C。Z D AC=Z B C A Z E F MO.*.F M E M.二四边形M F N E 不是菱形.设 D N=X,则由 SAADC=SAANDH-SAXAC 得3

22、33 x +5 x=1 2,解得 x 二一，即 D N 二 B M 二一。2 2过点N作 N H _L AB 于 H,则出上4 一3二 1。在N H M 中，N H=3,H M=1,由勾股定理，得 N M=J i d。：P Q M N,D C/Z AB,二四边形N M Q P 是平行四边形。/.N P=M Q,P Q=N M=M.又；P Q=C Q,；.C Q=厢。在中，C Q=J i 6,C B=3,由勾股定理，得 B Q=1。13 1/.N P=M Q=一 o AP C=4 一一 一一 二 2。2 2 2【考点】翻折问题，翻折性质，矩形性质，平行性质，全等三角形鉴定和性质，平行四边形鉴定和

23、性质，菱形鉴定，勾股定理。【分析】(1)由矩形和翻折对称性质，用 ASA即可得到AN D g/C B M。(2)依照一组对边平行且相等四边形是平行四边形鉴定即可证明。3(3)设 D N=x,贝！J 由 SZ XAD C=S&N)+S/N AC可得 D N=。过点 N 作 N H J _AB 于 H,贝 U 由2勾股定理可得N M=由，从而依照平行四边形性质和已知P Q=C Q,即可求得C Q=J i 6。因而,在C B Q 中，应用勾股定理求得B Q=1。从而求解。例 2.如图，圆柱形玻璃杯高为1 2c m、底面周长为1 8c m,在杯内离杯底4 c m 点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚊正好在杯

24、外壁，离杯上沿4 c m 与蜂蜜相对点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜最短距离为 c m.【答案】1 5。【考点】圆柱展开，矩形性质，轴对称性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点A 竖直剖开)后侧面是一种长1 8 宽 1 2矩形，作点A关于杯上沿M N 对称点B,连 接 B C 交 M N 于点P,连 接 B M,过 点 C 作 A B 垂线交剖开线M A于点D o由轴对称性质和三角形三边关系知A P+PC为蚂蚁到达蜂蜜最短距离,且A P=B P。由已知和矩形性质,得D C=9,B D=1 2o在 R t A B CD 中，由勾股定理得B C =j D C2+B D 2=g

25、 +逐=於。，A P+PC=B P+PC=B C=1 5,即蚂蚁到达蜂蜜最短距离为1 5 c m。例 2.如图，有 a、b、c 三户家用电路接入电表，相邻电路电线等距排列，则三户所用电线A.a户最长B.b户最长C.C 户最长D.三户同样长【答案】D,【考点】生活中平移现象，平移性质。【分析】依照平移性质，对于电线中横和竖线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观测到都是相等。因而a b c 三线长度相等。故选D。例 3.如图：矩形A B CD 对角线A C=1 0,BO8,则图中五个小矩形周长之和为【答案】28。【考点】平移性质，勾股定理。【分析】由勾股定理，得 A B=V A C2-B

26、 C2=V 1 02-82=6 ,将五个小矩形所有上边平移至A D,所有下边平移至B C,所有左边平移至A B,所有右边平移至CD,五个小矩形周长之和=2(A B+CD)=2X (6+8)=28。1.如图：矩形A B CD 对角线A C=1 0,B C=8,则图中五个小矩形周长之和为【A、1 4 B、1 6C、20 D、28如 图 1 1,一张矩形纸片ABC D,其 中 A D=8 c m,A B=6 c m,先沿对角线BD对折，点C 落在点C 位置，BC 交 AD于点G。(1)求证：AG=C G；(2)如 图 1 2,再折叠一次，使点D与点A重叠，得折痕EN,E N 交 AD于点M,求 E

27、M长。BC B如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C 与点A 重叠，折痕交AD于点E,交 BC于点F,连接 AF、CE,(1)求证：四边形AFCE为菱形;(2)设 AE=a,ED=b,D C=c.请写出一种a、b、c 三者之间数量关系式.如图，点 0 是矩形ABCD中心，E 是 AB上点，沿 CE折叠后,点 B 正好与点0 重叠，若B、c、J 3D、6已知长方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,过对角线B D 中点0 做 B D 垂直平分线E F,分别交AD、BC于点E、F,则 A E长为1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm,BCWcm,现将A、C 重 叠，使 纸 片 折 叠 压 平，设折 痕 为 E F,求重叠某些4AEF面积。