2021年高考数学经典例题八平面解析几何【含答案】.pdf

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1、专题八平面解析几何一、单选题1.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前3 7 5年一3 2 5年），大 约1 0 0年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：一束平行于抛物线对称轴的光线经过（5,2）,被抛物线反射后，又射到抛物线上的。点，则。点的坐标为（）A.IT B,与用 C.H D,假D求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结

2、果.【详解】设从点6 2）沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P,易 知 力=2,将 卜 尸,丁 尸）代入抛物线方程得%=%即0（4,2）,设焦点为F，则后I设。（力/）,由P,尸，。三点共线，2-0 _ -0T T-r有彳坨化简得叫一四。-2 =。，解 得2耳或 为=2（舍），即1 6 4 “故选：D2.在平面内，A,6是两个定点，C是动点，若 就 而=1,则点。的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线A首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设=2 (a ),以4 6中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则.0),8(a,0)C

3、(x,y),可得 AC=(x+a,yyBC=x-a,y)从而:AC BC=(x +)(x-Q)+y 2结合题意可得：整理可得：x 2+y 2=a-+i,即点，的轨迹是以4?中点为圆心，J/+1为半径的圆.故选：A.3.设0为坐标原点，直线=2与抛物线G V=2p x(p 0)交于0,两点，若OD1OE,则C的焦点坐标为()A.4 )B,1 2 J c.(1,0)口.(2,0)7 1ZDOx=ZEOx=-根据题中所给的条件。1结合抛物线的对称性，可知 4,从而可以确定出点0的坐标，代入方程求得夕的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线=2与抛物线V=2 P x(p 0)交于E,D两点

4、，且0。1 0 E ,T TZDOx=ZEOx=根据抛物线的对称性可以确定 4,所以 *，/人.(-,0)代入抛物线方程4 =4，求得夕=1,所以其焦点坐标为2故选：B.4.设抛物线的顶点为,焦点为产，准线为人 尸是抛物线上异于。的一点，过P作于。，则线段尸。的垂直平分线().A.经过点c.平行于直线。尸B.经过点产D.垂直于直线。尸B依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点尸，即求解.【详解】如图所示:因为线段/的垂直平分线上的点到/，。的距离相等，又点尸在抛物线上，根据定义可知，|尸。|=|尸尸|,所以线段尸。的垂直平分

5、线经过点尸.故选：B.2 25.设。为坐标原点，直线工=与双曲线 fb2 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 两 点，若 OD E的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.1 6 D.32B2 2LC:7-=l(6 f 0,ft0)y =-x因为 ,可得双曲线的渐近线方程是。,与直线工二 联立方程求得。，E两点坐标，即 可 求 得 根 据A0 E的面积为8,可得a b值，根据2c=2,+,结合均值不等式，即可求得答案.【详解】x2 v2C -=1(。0,b 0).,a b,by =-x二双曲线的渐近线方程是。X2 y2C*z-r-=1(7 0,/0);直 线x=a与双曲线 a

6、 b-的两条渐近线分别交于,E两点不妨设。为在第一象限，E在第四象限x=a h 卜=。y=-x j,联 立I a,解得故。(a,b)x=a 0,b 0):双曲线。&其焦距为 2c=2 la2+b 2y12ab=2V16=8当且仅当a=2播 取等号C的焦距的最小值：8故选：B.6.已知/+/一2一2-2 =,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点，过 点 尸 作 的 切 线P4PB,切点为4 B ,当1尸 川/8|最小时，直 线 的 方 程 为（）A 2 x-y-=0 B 2x+y-l=0 c 2x-y+l=0 D 2x+y+l=0D由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点4尸，8，/

7、共圆，且根据|尸|网=4S.皿=4眼|可知，当 直 线 卬J J时，隰最小,求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程.【详解】d2xl+l+2|庄 2圆的方程可化为（”一1）+&-1）=4,点/到 直 线/的 距 离 为 M +f,所以直线/与圆相离.依圆的知识可知，四点4尸，伉“四点共圆，且N 8J.A/P,所以PMAB=4SPAM=P A M =AP 而陷二77；当 直 线 近 口 时，眼 儿 火,回 1,此时“卜网最小.1 1X+2 2,由姐、-1=*-1）即,1 1V=X4-2 22f+2=0 解得,x=-ly=0所以以其尸为直径的圆的方程为（x l）（x+l）+y

8、&l）=0,B P (-1,1)六个整点,结论正确.2 2 一 /X-+由f+y =l+|x|y得，2，解得所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过血.结论正确.如图所示,易知(1 8(1，)，。(1，1，)，(，1),1 3S ABCD xlxl+lxl=一四边形N8CZ)的面积 2 2,很 明 显“心形”区域的面积大于-s c。，即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.9.已知点0(0,0),4(-2,0),B(2,0).设点?满足|必|阳|=2,且尸为函数尸3,4 一/图像上的点，则1 0|=()V 2 2A.F4 WB.5C.D.MD根据题意可知，点。既在双曲线的一支上，又在函数

9、丁 =3牛的图象上，即可求出点P的坐标，得到口目的值.【详 解】因 为|P 4 1-|P 8|=2 0)即双曲线的右支方程为 3 ,而点尸还在函数y=314-x?的图象上，所以,由y=3yl4-x2x2=l(x 0)V 1 3x=-23百,解得产衿=而故选：D.,2X1 0.设 双 曲 线C的 方 程 为ay2R=l(a 0,b 0)，过 抛 物 线 产 二4 的 焦 点 和 点(0 1)的直线为/.若C的一 条渐近线与/平行,另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的 方 程 为(Y y 2-1B.4二/=A,卜卜C.4 -D.x2-y2=12)D由抛物线的焦点(1 )可求得 直 线/的方程为“+石

10、-1,即得直线的斜率为-6,再根据双曲线的渐近线的y=x -b=b x-=1方程为。，可得 a,a 即 可 求 出 见 ，得到双曲线的方程.【详 解】由题可知，抛物线的焦点为（1 ）,所以直线 的 方 程 为 即 直 线 的 斜 率 为-6,y=+x-b=-6 x =-1 ,又双曲线的渐近线的方程为。，所以 a,a,因为解得a=,b=故选：D.1 1.第 2 4 届冬季奥林匹克运动会，将在2 0 2 2 年 2月 4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市.同时中国也成为第一个实现奥运

11、“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点_9_A和短轴一端点8分别向内层椭圆引切线Z C,BD（如图），且两切线斜率之积等于16,则椭圆的离心 率 为（）-I-=l（a b 0）-2 -2=K 加1）分别设内外层椭圆方程为/F、（加。）一 （mb?,进而设切线4 C、BD令别为夕=占。+皿）、，=左2 +/或 联立方程组整理并结合A =0 求勺、与 关 于 仇 6、勿的关系式，再结合已知得到a、3 的齐次方程

12、求离心率即可.【详解】2 2下 +与=1（。6 0）若内层椭圆方程为。b,由离心率相同，可设外层椭圆方程为-+V =1(2 1)(ma)mb),.4(一 加。,0),8(0,力)，设切线4。为 =尢(+皿)，切线5。为夕=左2%+力y =kt(x +ma)+J 1,./整理得(4%+/)x +2 加/A；x+/将-=0 A(2ma3k)2-4(a22+b2)(m2a4k f -a2b2)=0 整理得左一/_/，y =k2x +m b5+=1 片=1(/_)同理，b，可得 a,故选：B.二、多选题 2 2 i1 2.已知曲线：加 工 +n y=1.（）A.若心力0,则 C 是椭圆，其焦点在y轴上

13、B.若炉n 0,则 C 是圆，其半径为五C.若做K 0,则 C 是双曲线，其渐近线方程为D.若炉0,0,则，是两条直线A C D结合选项进行逐项分析求解，7 时表示椭圆，?=时表示圆，?时表示两条直线.【详解】-.-11 1对于A,若加则加x?+沙 2=1 可 化 为 机 1 1-,所以加，即曲线C表示焦点在歹轴上的椭圆，故A正确；2 2 12 2 1 X+y=一对于B,若加=,则 蛆+y=1可化为，y/n此时曲线C表示圆心在原点，半 径 为 的圆，故B不正确；2 2土+匕=11 1对于C,若加”0,则=1可化为 z n,此时曲线C表示双曲线，2 2 n y=x由掰 +ny=可得 v n,故c

14、正确；22 y2对于D,若加=0，0,则掰 +町 1）上两点4 6满 足 万=2而，则当犷 时，点6横坐标的绝对值最大.5设/（占,乂）,3（%/2）,由 方=2而 得 一%=2&,1-必=2（必一1）,；.一 乂 =2 8一3,-+y f=7 ,-=-+=m,因为4夕在椭圆上，所 以4-4.等+（2 乃-3）2 .菅+他一/=：+y l =m y2=+m,x 1 =-（m2-1 0 m+9）01 0设/（须,必）,8（%2，%），则 2 3过48分别作准线x =-l的垂线，设垂足分别为C,0如图所示.1 AB|=|AF+BF）A C +BD=XX+X2+=X+X2+2=故31 6.已知直线x

15、-3+8=和圆f+V=弁（尸0）相交于48两 点.若|4 8|=6,贝的值为5根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离”，进而利用弦长公式|/8|=2 2-2,即可求得r.【详解】d,=8 _ =4,因为圆心（）到直线X一 岛+8=的距离 V 1 +3 ,由|/8|=2，-2 可得 6=2 2-4 2 ,解得 r=5.故5.片-己=1_ r1 7.已知双曲线4 3 的左、右焦点分别为耳，%P为双曲线上一点，且S，和2=V 3,则NFPF2乃T利用双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式列方程组,化简求得【详解】依题意a=2，b=K，c=近,设I尸用=见|尸&=

16、，不妨设加，|耳用=2C=2V7设4尸&=6 0,根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得m-n=4（2/1）=m2+2mn cos 0mn sin。=G12=1628=nr+n-2mn cos 0mn sin 0=2y/3nr+2-2m n=1628=m2+A?-2mn cos 0mn sin 0=2百28=2mn 4-16-2mncos02V3mn=-sin。12=2?（l-c o s。）2月mn=-sin。12=2.粉 0-cose）G sin e+co s蚱l2 s in,+卜 L s in,+?兀J =5162C 冗 c 兀 710。肛一。+一 由于 6 6 6,C 7 5 7

17、八 2万 /E-DE-2乃0+-,0-NFPF2=所以 6 6 3,所以 32 不故3X2 v2_-77=l(a 0,/?0)1 8.已知双曲线G或&的左、右焦点分别为大，石，过大的直线与C的两条渐近线分别交于4 6 两 点.若 与 =叫 8 书 8 =0,则 c 的离心率为.2.如图,由 A =AB,得FXA=AB,又0工=O F2,得。八是三角形耳玛台的中位线，即 典/OA,BF2=2OA,由=0 ,得 F、B F2B,O A 片4 则=06 有 N A O B =Z A O F,又 0 A 与 0 B 都是渐近线，得/8 0月=/用 又Z B O F2+Z A O B +Z A O Ft

18、=得N B O F 2=乙4招=N B O 4 =60。，,又渐近线OB的斜率为一勺所以该双曲线的离心率为四、双空题1 9.已知双曲线 6 3 ,则。的 右 焦 点 的 坐 标 为；C 的焦点到其渐近线的距离是(3，。)V 3根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C中，a=瓜,6=百，则。=小/+6 2=3,则双曲线c的右焦点坐标为*，）,丫 =&双曲线C的渐近线方程为-2,即x后y=,所以，双曲线c的焦点到其渐近线的距离为J r+2故（3,。）；62 0.设 直 线/号=.+6（）与圆

19、/+/=1和圆（彳-4）2+必=1均相切，则=.庐73 2 G T由直线与两圆相切建立关于4，6的方程组，解方程组即可.【详解】22叫二 1设G：X +广=1,。2 ：（-4）-+/=1 ,由题意，到直线的距离等于半径，即G+F ,|40+6|I-:=1J V+1 2 ,所以仍|=|4左+6 ,所以=（舍）或者b=_2左，.V3,2百解得k=9b=-33.73,273故 丁 一 亍五、解答题2 1.已知抛物线一旷=2px（p0）经过点（1,2）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设过点9 ）的直线/与抛物线C交于A,8两点，若 凝=2篇,用 夕 轴.垂 足 为N,求证:以 N为直径的圆恒

20、过定点.（1）抛物线C的方程为y=4 x,其准线方程为x =-l；（2）证明见解析.（1）代入点的坐标可得夕=2,可得抛物线的标准方程和准线方程；（2）设直线 的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理求出用的坐标，进而得N的坐标，设 以 为 直径的圆恒经过点（x。，/）,利用DM D N =O恒成立可解得结果.【详解】（1）由抛物线/=2 px经过点，2）,得4 =2 p,即。=2所以抛物线0的方程为/=4 x,其准线方程为x =7.（2）证明：由题意知，直线/的斜率不为0,设直线/的方程为 =町+2.将x =w +2代 入/=4 x,消去x得/_ 4町 8=0,显然 =1 6加2+3 2 0,设

21、，（石,必），（马，%），则乂+%=4机，y,y2=-8.一5,是线段力3的中点，设“%，%）,3 空/叫%）+4.+2 ”中3则 2 2 ,2 ,/（2阳2+2,2加），又轴,所以垂足N的坐标为N（0,2）设以M N为直径的圆恒经过点（X。/。），则丽=（2+2-/,2加一%），D N =（-x0,2m-y0）,由 丽.丽=0,得-工0（2，+2-/）+（2加-%）一=0,即 G -2%）加2 _ 4%?+片+/一 2%=0 ,因为对任意的实数加，式要恒成立，4 2XQ=0,6 0)口 口 口2 3.已知椭圆 a b 的两个焦点分别为与，,2,过点/的直线/与椭圆C交于，N两点(点M位于x轴

22、上方)，,孙 玛 的 周长分别为8,6.(1)求椭圆的方程：回=加 2 V 3(2)若|脑门，且3 一 4,设直线/的倾斜角为8,求s i n。的取值范围.(1)根据椭圆的定义可得AM N,孙 月 的周长分别为4 a，2 +2 c,结合/=+,2可得答案MF MF(2)根据题意设出直线 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1的打，得出密 1,得出，N的纵坐标M，%的关系，从而可求出答案.【详解】(1)设椭圆的半焦距为J因为A M7%,其周月 的周长分别为8,6,4。=8 2 2Q+2 c=6 c=1所以根据椭圆的定义得匕=+1,解 得 历=6.2 2J J所以椭圆C的方程为4 3 .回=加

23、2 m 阿 闾，所以直线/的斜率存在.根据题意，可设直线1的方程为y=k（x+D（左y-左（x+1）x2 y2 _社 丁 +5 出土 X 殂。+4%2 2-6 -9%2=0联乂 1-3，消去X,得，,则A =14 4 左 z Qz+i）。6k 9k2设（X Q|）,N（X2，%）,贝 广+3 +4/，yy2 3 +4 k2 ,l il 2 3 1 1 _ m er2 3）又-|-N-|-=m _m ,r|-:-，且3 一 4,则旧 M-mm _设T T 二 ,4G2,3),则诙=2即,所以必=4,把代人得乂必并结合可得-3 6 a2 _ _ 9k z(1 4)20+4左 2 y 3+4 左 2

24、(1)2_ 4.1 2=4则 2 3+4左，即 2 3+4公，4+二 -2 /I H-2 因为 几 在 4 2,3）上单调递增，所以2 2 3即3五*，且 左。，解得 当0 tan b0)2 4.已知椭圆 矿方旦的离心率为2,且过点（2，、反）.（1）求椭圆G的方程；（2）过点（）斜率为仪*）的直线，交椭圆G于4 6两点，在y轴上是否存在点儿使得ZANM=ZB NM（点 与点不重合），若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.6 8+4；N(0,4),证明详见解析.(1)由条件列式，利用待定系数法求解桶圆方程；(2)首先直线方程/：=去+1/0)与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化

25、为“+B N=,代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点.【详解】c _ V 2a24 2 ,s +-y =1a ba2b2+c2(1)由条件可知I,解得：=8,b-=c2=4,所以椭圆G的方程是8 4 .（2）设直线+/（*）,8（/，）,N（O/o）y=A x+1x2 y2 _了 +丁 =1 （l +2V V+4Ax-6 =0联乂 I 什 ，得、7，4 A x-6-ENANM=ZBNM，KAN+kB N =0，一 一汽%一汽 _ 一超%-xj o即 X%工也_/（仁 +1）+玉（丘2 +1）一 为 a +入2）_ n Vxx2即 2 g+（1-%）（/+乂2）=0,-12k 幽 匕 比=01

26、 +2公 1 +2公一,得比=4,即存在定点 NW).2 5.已知椭圆 c：-a 7 +不b=1伍 6 0)过点n0(-?2,0),且焦距为2 V3.(1)求椭圆6的方程：(2)过点(一4，)的直线/(不与x轴重合)与椭圆，交于R。两点，点7与 点。关于x轴对称，直线力 与x轴交于点，是否存在常数九，使得1 0 1=0 7”成立，若存在，求出九的值;若不存在，说明理由.%2 2_,+y =1(1)4 -(2)存在，4=2(1)根据椭圆的几何性质求出。力 可得结果；J 2 =1(2)设尸(花，必)，0(，y 2),则丁(工2,一必)，设直线/：，=网+4),代 入4+3,得到%+“2和玉2,利用

27、直线尸T的方程求出”的坐标，求出则可得4的值.【详解】2 2c：、+(=l(a b 0)力4 2 0、0(1)因为椭圆 a b 过点。(一2,0),所以a =2,又 2 c=2 6，即。=0，所以/=/_/=4-3 =1 ,x2 2_,-F y =1所以椭圆，的方程为4-(2)显然直线/的斜率存在且不为0,设直线/：=后(X+4),y =k(x-h4)联 立I 4+)，消去y并整理得(1 +4公)/+3 2心+6 4_ 4=0,91、0 0 Q k 0,得“1 2 ；设。(%,乂)，。2，%),则7(,一%),32k 2 6 4/一 4x.+x2-=-所以-1 +4/，-1 +4公，y a-/

28、)A A.-直线PT：,令丁=,得 乂+%,所以 乂+刈 ，J_|皿一|。”|_ J_1_又|/。卜|。|=|4 0-|。1),所以力=画T询又因为。(一 2,0),4(4,0),凹+%,所以1皿=2,口”|=再_型印+2符-父包3-+2y+%k(x,+4)+k(x2+4)Y_ k(x、+4)($-3)+2左(X +工2)+8%_ kx(x,+&)+8kxi-k(X+4)(x1-x2)-r乙k(X+2)+8左kx；+kxxx2+8左|再-kx；+kxx2-4Axi+4Ax,十?k(xt+x2)+Sk_ 4-(X+巧)+2kxix2+2k(X+%2)+8左，32 左2 64左2 44k-r+2k

29、-：1 +4K 1 +4K 2k,-3-2-k2 ol7+8k1 +4左 2=-1+2=1,所 以 丸1 2,解得4=2.所以存在常数4=2,使得 I。8 1=2(l AD-D H)成立.丁斗丁 1-1-=2 6.已知椭圆G：a H(a 力0)的右焦点尸与抛物线G的焦点重合，G的中心与G的顶点重合.过4尸且与x轴垂直的直线交G于/,6两点，交G于G 两点，且I 51=3 A B.(1)求。的离心率；(2)设”是G与&的公共点，若I物1=5,求G与6的标准方程.1 0.二 +片=1 ,(1)2 :(2)3 6 2 7 ,C2:y =n x(1)求出M邳、|CQ|,利用可得出关于a、c的齐次等式，

30、可解得椭圆&的离心率的值;(2)由(1)可得出G的方程为4。2 3 c 2 ,联立曲线G与G的方程，求出点的坐标，利用抛物线 的 定 义 结 合=5可求得C的值，进而可得出 与02的标准方程.【详解】(1).(c,0),48 轴且与椭圆 相交于A、B两点,则 直 线 的 方 程 为x =c,x =c抛物线。2的方程为V=4 c x,联 立 V=4c xX =解得 lr =2 c,:.CD =4 c9：CD =-A B 4 c=,3 ，即 3as=3四，即2 c 2+3 a c-2 a 2 =0,即2/+3 6-2 =0,e=lJ_.0e ）的一个顶点为（0，-3）,.6=3,由3卜网，得c=b

31、=3,又由。2=+。2,得=32+32=18,=1所以，椭圆的方程为18 9.（ID.J直 线 与 以C为圆心的圆相切于点尸，所以C P 14B,根据题意可知，直 线 和 直 线CP的斜率均存在，设直线力5的斜率为左，则 直 线 的 方 程 为 歹+3=,即，=丘一3,y =k x-3J J?1 2k仁丁 1消 去 九 可 得 侬 A狂=。，解得X或 户 行.户斗 一.上幺_3 竺 士将 2人2+1代入=去 一3,得 2k2+2k2+,（1 2k 6%2-3所以，点B的坐标为I 十 ，因为P为线段力3的中点，点A的坐标为（，一3）,6 k-3、所以点尸的坐标为1 2 1+1 2公+）,3 0C

32、 =0F t得点。的坐标为（L）,-0 Rk=2F+1=3C P 6 k 1-2公 6k+1所以，直线CP的斜率为 2公+1 ,k -=1又因为C P L 4B ,所 以2k -6 k+整理得2公-3 4+1 =0,解得2或左=1yx 3 _。所以，直线Z8的方程为 2 或y =x -3.7 +台=l(a 力 0)!2 8.已知椭圆a -b-过点材(2,3),点4为其左顶点，且4V的斜率为2(1)求C的方程；(2)点力为椭圆上任意一点，求41川的面积的最大值.(1)1 6 1 2 .(2)1 8.由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点/V的位置，

33、然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点/V到直线力/的距离即可求得三角形面积的最大值.【详解】P-3 =(x-2)(1)由题意可知直线4必的方程为：2 ，即“-2 =-4当尸0时，解得x=T,所以才4,Y2 V2 ，、4 9C:=+Y=l(a b 0)-1-=1椭圆 a t 过点加2,3),可得16 b解 得=12.所 以C的方程16 12(2)设与直线4/平行的直线方程为：x-2 y =mt如图所示，当直线与椭圆相切时，与4 距离比较远的直线与椭圆的切点为从此时的面积取得最大值.y化简可得：16/+12叼+3加2-4 8=0,皿 A =14 4 m 2 _4X16（3?2 4 8）=0

34、 HN,所以 /）0）2 9.已知椭圆 T b-的离心率为2,A,5为其左、右顶点，加 为椭圆上任意一点，一、,kM B=7（除去A,8）且 4.（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点6的直线交曲线C于p,。两点，又以尸。为边的平行四边形PQAS交曲线C于火，S,求s心 的最大值，并求此时直线PQ的方程.(1)工+J 14 3.(2)3；x=l（1）表示出彬1,，鲂的直线斜率，根据条件求出参数a,b,从而求得椭圆方程.（2）的面积等价于/阴，设方程，联立圆锥曲线，求得弦长，表达出制火面积表达式，借助函数解决面积最值问题.【详解】x；2（1）令,贝I。2,y0 b2 353元金b V3 1=e=a

35、 2,又 2,:.a=2 b=VJr2 2土+2=1故所求椭圆C的方程为4 3.（2）由 椭 圆 方 程 的 对 称 性 知 平 行 四 边 形 的 另 一 边&S过点大，如图，KS/P0,二耳到PQ的距离等于火到P。的距离,S.F、PQ S-PQR又c=l,.(1,0),工(1,0)令直线尸2的方程为=号+1x=ny+1 I l联 立14 3,3(夕+1)2+4/=12(3/72+42+-9=06 n _ 9显然A0且乂+%=一 彳*，yy 2 3 n2+4,y.y2 1 /+1 _/_ 10 2+4广瓦可=%+；+6A(z)=9r+-+6 AX/)=9-4令，则 广做）0帕）在 L+8）为

36、单调递增函数.，/、/S P p n-12./=3A(r)16 dF PQ N1 6(1)求椭圆C的方程：(2)已知直线/与椭圆C相切于点河，与抛物线V=-16、的准线相交于点N,若点尸为平面内一点,且PM LPN,求点尸的坐标.(1)-1-=14 3(2)(1，)(1)根据椭圆的方程及性质求得椭圆的方程；(2)设直线方程并与椭圆联解，求出，的坐标，以及求出直线与抛物线的准线交点坐标，设点尸(5),根据PM求出点尸的坐标.【详解】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、抛物线的性质的综合应用.2c-2,1 9 ”2,%+#一 M(72-/?2=C2 C =1,(1)由题得 解 得I

37、所以椭圆C的方程为4 3(2)根据题意可知直线 N的斜率存在，设 直 线 的 方 程 为、=辰+?y=kx-m,联 立 住+9=1,消,去.丁v 并 整.理得(3 +4公 X)2+8ZTM X+4？2 -12=0.由A=64攵2/一4 6 +4左2)(W-12)=0得 M =3+4 4 2,_-4km _ 4k _ 3m _ 3 竺所 以W 3+4左2 加，3+4左2 m,即 1m J因为抛物线V=-1 6 x的准线方程为x=4,所以当x =4时，6=4 血，所以(4,4左+掰).设点P G ),因为P M L P N,所以PM 两=0,所以4 k 3-S,-1m-m（4-s,4左+加一/）=

38、0即（s -1）（W5+4左 一 3阳）一/（in2+4左 一 /用 +3）=0（*）5-1 =0,l)的左、右顶点，C为 的上顶点，A G GB=S,P为直线尸6上的动点，阳与的另一交点为乙 阳 与“的另一交点为(1)求汇的方程；(2)证明：直线必过定点.2-X-b y 2 11(1)9;(2)证明详见解析.(1)由已知可得：4(一。,0),8(。,0),G&1),即 可 求 得 怒.丽=力-1,结合已知即可求得:/=9,问题得解.P(.V、y-(x+3)(2)设人可得直线z尸的方程为：9，联立直线ZP的方程与椭圆方程即可求得点3方+2 7,6%(3_ 3,-二0的坐标为I 方+外，同理可得

39、点力的坐标为I4+1%ll,当 中3时，可表示出直线8蚱 谭XT)的方程，整理直线8的方程可得：(为,即 可 知 直 线 过 定 点1 2 九当3 -0%=3时，直线CD：2,直线过点1 2 命题得证.【详解】(1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程一1伍1)可得：(一区),3 ),G(O，1),就=(a,l)G5=(a,-1)1,，.AG-GB=a1=y a2=92X 2 1-l-y=1，椭圆方程为：9(2)证明：设 尸(6，70),则 直 线 立 的 方 程 为 广 9,即L+3)联立直线AP的方程与椭圆方程可得:X2 2,$+/=1y=(x +3)9,整理得:(为2+9 +6%2+9%2-

40、81 =0,解得:-3.+2 74 2x=-3 或%+9户苦守 T(X+3)将 为+代入直线 9 可得:尸5打 2+9所以点的坐标为-3 +2 7、方+9同理可得：点。的坐标为-3 2.K%2+、7当先工3时,直线 8 的方程为:6近 _(_ 2%、方+9 v j+U 3年-3 l n2+U-3 +2 7 3%2一3 1 y02+l )4+9 为2+i2%8%(W+3)1 34一3 1 8%(3序 一3 1整理可得 方+1 6(9-%)o2+1 J 6(3-%2)o2+1)整埋口J得：/v_ 4%2坊_ 4为(3 整理得:所以直线8过定点 2).3 仪02 _&X=0，U当y。=3时，直线8：

41、2,直线过点1 2 7加故直线少过定点1 2 ).3 2.X2 V2C:一 +J =l(0，5)已知椭圆 2 5 mV1 5的 离 心 率 为4,A,8分别为C的左、右顶点.(1)求 的方程；若 点P在 上，点。在直线 =6上，且 以|=|皿，B P 1B Q t求P。的面积.(1)“6/-1-12 5 2 55(2)2C:*+J=1(O(机 5)(1)因为 2 5 m ,可得。=5,b=m,根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；点P在C上，点。在直线x =6上，且I研=|见，B P 1B Q过点尸作X轴垂线，交 点 为 ，设x =6与x轴交点为N,可得网四 勺B NQ 可求得p点坐标，求出

42、直线力。的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得A75。的面积.【详解】八 X2 y2C-1 =1(0 m 6 0）-4。1 3 3.已知椭圆Gb 的离心率为2 ,且过点人（1）求C的方程：（2）点，N 在 C 上,且NW 4N,AD1MN t。为垂足.证明：存在定点。，使得口为定值.（1）6 3;（2）详见解析.（1）由题意得到关于a6,的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设 出 点 ，N的坐标，在斜率存在时设方程为歹=去+相，联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到?，后的关系，进而得直线N恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定

43、满足题意的点。的位置.【详解】_ V 2a一34 1 ,5 +-y =1a2 b2a2=b+c2（1）由题意可得：，解得：a2=6,b2=c2=3江 +=1故椭圆方程为6 3（2）设点“（X”%），（“2/2）,若直线MN斜率存在时，设 直 线 的 方 程 为：代入椭圆方程消去歹并整理得：0 +2 K *+4届x +2 m 2-6 =0,4 k m _ _ 2 m2-6可得 1+2公，-1 +2公，因为 4 A/_ L 4 V,所以=即（X 一2）（-2）+（必 一 1）（%-1）=0根据必=代|+加,%=去2 +加，代入整理可得：(k2+1 y c1x2+(k m-k-2)(+x2)+(/w

44、-l)2+4 =0所以(k*：S+(M -2卜席卜5一 户4 =。,整理化简得G +3 +1)(2 4+-1)=0 ,因为（2 不在直线7 VW上，所以2左+机-1工0,故2 4+3加+1 =0,k 手,_ A 二）于是MN的 方 程 为 I 3）3所以直线过定点直线过定点1 3 3J当直线N的斜率不存在时，可得N（x“一 乃），由 AM，A N =0 得:（X-2）（工-2）+（必-1）（-乂-1）=0 ,得（x2）+l-y =0,结合 6+一 可得：3 x-8占+4 =0,2x,=一 丫二？解得：3或4 2一/（舍）.此时直线N过 点1 3 3人9,一令。为2尸的中点，即（3 3）,若D与

45、P不重合，则由题设知力尸是R t”DP的斜边,故|叫网考,D Q=-A P若。与P重合，贝 21 I,4 1 故存在点 5可，使得。为定值.3 4.已 知 椭 圆.后 b2 过点次一2,7),且 a =2 6(I )求椭圆。的方程:PB(I I)过点8(-4,0)的直线1交椭圆c 于点、M,N,直线M A,N A分别交直线x =-4 于点.求 I 8。|的值.(I )二 十 匕 18 2 .(I I)1.(I )由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定桶圆方程;(I I)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线口，曲的方程确定点Q 0 的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一

46、步结合韦达定理可证得 户+=,从而可得两线段长度的比值.【详解】(1)设椭圆方程为:J +A =l(a b 0)少卜，由题意可得:4 1 ,KUa=2b=8，解得：I。=22“2 7故椭圆方程为8 2设弘)，(2，%),直线A/N 的方程为：尸 左(+4),3-1与椭圆方程8 2 联立可得:X2+4V(X+4)2=8，即(4 左 2+1 卜2+3 2 左 2+(64 左 2-8)=0一 3 2 M64 左 2 一 8直线M A的方程为:1=储0+2)左（玉+4）+1 X j+2 （2k+1）（玉+4）v=_?x 必+1 _ 二 _2 x _ _ _令 尤=-4可得：P 玉+2%+2 玉+2_-（2后+1）&+4）yQ-73同理可得 +/再+2附yP很明显力为,且：园%,注意到:%+%=一（2 无+1）X +4+%+4%+2%+2,（N+4）（工+2）+（.0+4）（%+2）I）G+2）（%+2）（X +4）（x,+2）+（X2+4）（X 1 +2）=2X1X2+3（玉 +x2）+8|=264%2一84k2+1+3x-3 2-、+8=2x（64k2-8）+3x（32 左 2 ）+8 2+l）4-+10yPi从 而 园