2021年、宜春一中、高考数学联考试卷（理科） （3月份）.pdf

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1、2021年江西省宜丰中学、宜春一中、万载中学高考数学联考试卷（理科）（3 月份）一、单 选 题（每小题5 分）.1.已知复数 2=茗？，则 急 复 平面内对应的点位于（）1+1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合 A=（x,y）x-2y+l=0,B（x,y）|x-y=0,则 A D B=（）A.x=l,y=l B.1,1 C.（1,1）D.03.已 知（1+x）lo=co+ai（2+x）+。2 （2+x）2+-+tno（2+x）l0,则“9=（）A.-10 B.10 C.-45 D.454.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所 著 的 数书九章（1247年）.该

2、 书 第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.其 中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（）A.9 寸 B.7 寸 C.8 寸 D.3 寸5.下列命题正确的是（）A.在独立性检验中，随机变量心的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B.己知XN（p,。2）,当日不变时，。越大，X 的正态密度曲线越高瘦C.若在平面a 内存在不共线的三点到平面p 的距离相等，则平面a平面p

3、D.若平面a_L平 面 0,直线7,则06.在矩形ABC。中，AB=1,AO=2,AC与 8。相交于点。，过点A 作 A E LBO,则 疝.前=（）B7.B.c.函数/(x)254(号4与 且 学 0)125的图象可能是()8.裴波那契数列(Fi%acciseq“ece)又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 满足：0=。2=1,%+2 =4+。+1,现从该数列的前4 0 项中随机抽取一项，则能被3 整除的概率是()1112A.B.C.D.4 3 2 39.已知函数/(x)=ln(e+l)-9，若a

4、二 f(l o g 2)，b=f(0g56),c=/(lo g 6 4),24 5则 ，b,c 的大小关系正确的是()A.b a c B.a b c C.c b a D.cab10.已知双曲线C：号-勺l(a 0,b 0)的一条渐近线与圆x2+(y-2近)2=曲目交于 A,8 两点，若|A 3|=2,则。的离心率为()A.2 也 B.JQ C.2 D.4311.已知函数f (x)=sin()(o)0)在区间 0,一 1 上的最大值为u，则实数6 4 33的取值个数最多为()A.1 B.2 C.3 D.412.已知函数/(x)=dogx-没有零点，则实数。的取值范围为()aA.(e,+8)B.(

5、+8)C.(1,+8)D.(+8)e二、填空题(每题5 分，共 20分)1 3.某工厂为了对4 0个零件进行抽样调查，将其编号为(X),0 1,，3 8,3 9.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个 零 件 编 号 是.0 6 4 7 4 3 7 3 8 6 3 6 9 6 4 7 3 6 6 1 4 6 9 8 6 3 7 1 6 2 3 3 2 6 16 8 0 4 5 6 0 11 14 109 5 7 7 7 4 2 4 6 7 6 2 4 2 8 1 14 5 7 2 0 4 2 5 3 3 2 3 7 3 2 2 7 0 7 3

6、 6 0 7 5 12 4 5 17 914.TT已知t a n(8 1)=2,则 s i n2 0 =x+y-6401 5.若x,满足约束条件 2 x+y-4 0，则z=x+2 y的最大值为x-2 y+4=C 016.,如图所示，三棱锥P-ABC中，A B C是边长为3的等边三角形，。是线段AB的中点，D E C P B=E,K D E L A B,若/E D C=12 0 ,P A ,P B=,则三棱锥 尸-A B C2 2的外接球的表面积为.三、解 答 题(70分)17 .已知数列 m的前项和满足2 Sn-na n=n(nC N*)，且 2=3.a -1(1)求证：数 列 3 缶2)是常

7、数数列；n-1(2)设 7 J.近,丁 为数列 b 的前项和，求使丁口得成立的最小正整数的值.JT18 .如图，在四棱锥P-A8CO中，底 面A8CD是边长为4的菱形，N A P B=,Z A B C2=?，尸8=2愿，P C=4,点M是A8的中点.(1)求证：C M _ L平面PA 8；(2)线段CO上是否存在一点M使得直线P N与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 返，若存在，求出黑的值，若不存在，请说明理由.DHC19 .某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7,引种树苗B、C的

8、自然成活率均为p(0.6 WpW0.8).(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X,求 X 的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p 的值作为8种树苗自然成活的概率，该农户决定引种棵8种树苗，引种后没有自然成活的树苗有7 5%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8,其余的树苗不能成活.求一棵B种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活可获利4 0 0 元,不成活的每棵亏损80 元该农户为了获利期望不低于1 0 万元，问至少要引种树苗多少棵？22 0 .已知椭圆C：子+了 2=1,点 o是坐标原点，点 P是椭圆C 上任意一 点，且点例满足=X

9、O P(A 1,人是常数).当点尸在椭圆C 上运动时，点 M 形成的曲线为CA.(I)求曲线G 的轨迹方程；(H)直线/是椭圆C 在点P处的切线，与曲线C入的交点为A,B两点，探究 Q4 B 的面积是否为定值.若是，求 O AB 的面积，若不是，请说明理由.2 1 .已知函数/(元)=ex+x3+mx+2.(1)若 x 轴为曲线y=/(x)的切线，试求实数机的值；(2)已知g (x)=f(x)-e S 若对任意实数”,均有g (ex+1)N g (x),求 他 的取值范围.选考题(任选一题作答，多做则按第1题计分)x=2m+7-2 2 .在平面直角坐标系x O y 中，曲线。的参数方程为 bm

10、 为 参 数)，以坐标原y=2m-7-omJT点。为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为pcos(8+?-)=1.(I)求直线/的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;11(2)已知点M(2,0),若直线/与曲线C 相交于P、0 两点，求-十.一|M P|M Q|的值.2 3.记 函 数/(无)=仅+如 叱 1|的最小值为风(1)求机的值；(2)若正数“，b,c 满足 历=加，证明：ah+hc+ca-a+b+c参考答案一、单 选 题（共12小题）.1 .己知复数2 =空，则在复平面内对应的点位于（）1+1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：z=2-i (2

11、-i)(l-i)l-3 i 1 _ 3.l+i-(l+i)(l-i)-2 -22 1,3.z 2 2 泰复平面内对应的点为g,-1）.在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.2.已知集合 A=(x,y)|x-2 y+l=0 ,B=(x,y)|x -y=0 ,则 A G3=()A.x=l,y=l B.1,1 C.(1,1)D.0解:I 集合A=(x,y)k-2 y+l=0 B=(x,y)|x-y=O ,.An B=(x,y)|为奇函数，故排除选项A C,-x X又I(x)=zs i n x zcos x)当x(o,3)时，/(x)a cB.a h cC.chaD.cah解：因为f(x)=ln(

12、ev+l)-x,所以/(-x)=ln(0 时，f (x)0,函数单调递增，当x 0 时，f (x)2jlg4 lg4,故/g4/g6V(l g 4+l g 6)2=l g 2 2 4log56 1 log64,则 abc.故选：B.2 210.已知双曲线C：/-31心 0,b 0)的一条渐近线与圆x2+(y-2“)2=4ffl交于A,B 两 点,若|AB|=2,则C的离心率为()A.B.73 C.2 D.4解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0,圆x2+(y-2我)2=步目的圆心(0,2百)，半径为：2,2 2双曲线C：%-%=l(a 0,b 0)的一条渐近线与圆x2+(y-2

13、孤)2=娜 交 于A,B两点,若依剧=2,/2 V a、2 2 2可得)+i =2：V a+b”1 2 a2.即：加=3吗可 得 -司=3岸,解得e=2.a故选：C.11.已知函数f(x)=sin(u)x-(u)0)在区间 0,：上的最大值为卷-,则实数6 4 3O)的取值个数最多为()A.1 B.2 C.3 D.4解：函数/(x)=sin(cox -)(3 0)在区间 0,上的最大值为 6 4 3当人匹即3|时，/(x)的最大值为1 T，解得3=3,4 6 2 3 3、1,37T 71,兀 /、山日/士 位 ,3 兀 兀、3当一 Z-4=，即f(x)的取大值为sin(-:二)y，4 6 2

14、3 4 6 3令g(3)=s i n(3=)，h(S)=2,作出图象如图所示，4 6 3由图象可知，y=g(3),y=h(o j)的图象有两个交点A(a)i,yi),B(002,”)，所以方程s i n(番)有 两 个 实 根3 i,3,又g等)=1 看=所以O3 1 百 1)没有零点，则实数。的取值范围为()al1A.(e,+8)B.(V e，+)C.(1,+8)D.(f+)e解：由函数/(x)=e l o g d-7(a l)没有零点，a根据指数与对数的性质，等价于，a e l o g x即 x l o g X 0,：.g(x)在R单调递增,可得式等价于l o g x ,a e当y=l o

15、 g x与y=2相切时，设切点为(x o,y o)“0=1现 乂0_ o则 y。=一，解得 a=c，1 二 1xlna e，要使lo g x ea e,实数。的取值范围是（e,+8）.故选：A.二、填 空 题（每题5 分，共 20分）13.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00,01,38,3 9.现要从中选出 5 个，利用下面的随机数表，从第一行第3 列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个 零 件 编 号 是 11.0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 145

16、7 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179解：利用随机数表，从第一行第3 列开始，由左至右一次读取，即 47开始读取,在编号范围内的提取出来，可得36,33,26,16,11,则选出来的第5 个零件编号是11.故答案为：11.IT O14.已知ta n(8 4区-)=2，则 sin28=.解：tan(9+-)=+?_=2 B P tan9+l=2-2tan0,4 l-tan1,tan8=一3i,2sin6 cos 9 2tan0则 sin20=2sin0cos0=5 5=5si n 0+co s J 0 ta n 8+12 Xi 3(4+1 5故答案为：5x+y-

17、64015.若 羽 y 满足约束条件2x+y-4 0,则 z=x+2y的 最 大 值 为 14x-2y+440解：作出可行域如图所示，将目标函数化为=蒋 乂 玲，由图可知，当直线=4乂十|经过点A（-2,8）时,目标函数取得最大值，且最大值为：-2+1 6=1 4.故答案为：1 4.1 6.如图所示，三棱锥P-A B C中，A B C是边长为3的等边三角形，。是线段4 B的中点,D E C P B=E,J I.D E L A B,若N E D C=1 2 0 ,P A ,P B=,则三棱锥 P -A B C2 2的外接球的表面积为1 3 nz A B I D E解：由题意，PA2+PB2 A

18、B2,因为 A B 1 D C ,面。E C,E D P lD C=D：A D C=1 2 0 ,N OD O=3 0 0，又：DC）I=LCD ，。|=之，三 棱 锥p -ABC的 外 接 球 的 半 径R =3 2 2/2 2 VTs 0 0 +c c）i 避-，三棱锥P-A B C的外接球的表面积为4 n R 2=1 3 m故答案为：1 3 m三、解 答 题（70分）1 7.已知数列 斯 的前项和满足2 S n-n a n=n（n N*），且。2=3.a -1（1）求证：数列 一）缶2）是常数数列；n-1（2）设%二#a讨伞兀为数列 d 的前项和，求 使 成 立 的 最小正整数的值.【解

19、答】（1）证明：2s“-na“=（1）；2Sn+(n+1)an+=n+l(2)；两式相减:2an+-(n+1)aw+i+n aw=l,_r j n an-l即 nan-(n-1)如+i=I,a=_2 (n 2 )nr n-1nan-1时，-+-1-1-a-n-n-1-、-一-1-=QAn n-l n n-1所 以 数 列 后 口(n 2)是常数数列.n-1(2)解：当)2 时，上=1 1 1=2，n-1 1所以：N2,-1,而=1时，0 =1显然成立，所以如=2-1,%(2 n-1)72 n+l+(2 n+l),/2 n-l短2+1 -*n-l _1 z 1 )2 V2 n-lV2 n+l _

20、2 W2 n-1 M n+l)，谒(1亚A.2 50.所以的最小值为50.1V2 n-lV2 n+l(V2 n-1 +V2 n+1)JT1 8.如 图，在四棱锥P-A B C。中，底面A B C Q是边长为4的菱形，Z A P B=9 Z A B CJT=,P B=2 g P C=4,点 M 是 A 8 的中点.(1)求证：C M _L平面P 4 B；(2)线 段C D上是否存在一点M使得直线尸N与平面P M O所成角的正弦值为返，若8存在，求出罢的值，若不存在，请说明理由.N DHC【解答】(1)证明：在P A 8中，因为P B=2 0 A B=4,所以P A=2,因为点M是A B的中点，所

21、以B M=P M=2,7T在B M C 中，N M B C=,BM=2,BC=4,3由 余 弦 定 理 定 理 可 得，C MVBM2+BC2-2-BM-BC-COSZMBC=22+42-2 X 2 X 4 X y=2如，故 B A +C M n B C2,所以 A S J _C M,在中，P M=2,C M=2 73-P C=4,所以 P G n C M+P M2,故 P M 1.C M,又 A B C I P M=M,AB,P M u平面 P A B,所以 C M J _平面P A B；(2 )解：建立如图所示的空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,靖，0),D(-4,2 3，0),

22、设 P (x o,0,z o),N(-人,2 7 3，o)(A G O,4 1),在P A B 中，z0=P%B=百,而 P M=2,所以 x o=-1,故p(-l,0加)，设平面P M 的一个法向量为1=(X,y,z)，直线P N与 平 面 所 成 的 角 为e,因为而=(-1,0,正)，而=(-4,2 ,0)，n*MP=0 (-x-h/3 z=0所 以？巴 口，叫 v厂，,n-MD=0 -4 x+2 V 3 y=0令 z=l,则=(,2,1)又 由=(1-入，23-迎 卜1/一 迎 入I2,2 T 入 2-2 入 +16所以sin8=|cos PN|-R同I|n|P N|卷V6，化简可得A

23、2o-10 入+1 6=0,解得入=2或入=8 (舍),19.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7,引种树苗以C 的自然成活率均为p (0.6 W p W 0.8).(I)任取树苗A、B、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X,求 X 的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有7 5%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0 8 其余的树苗不能成活.求一棵B种树苗最终成活的概率；

24、若每棵树苗引种最终成活可获利4 0 0 元,不成活的每棵亏损8 0 元该农户为了获利期望不低于10 万元，问至少要引种树苗多少棵？解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=0.3 (1-p)2=0.3 -0.6 p+0.3 P 2,P(X=l)=0.7 (1-p)2+0.3 X2 p (1-/?)=O.l p 2-o.8 p+O.7,P(X=2)=2 X0.7 p (1-/?)+0.3 p 2=-l p 2+1.4 p,P(X=3)=0.7 p 2,所以X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.3-0.6p+0.3P2 0.1p2-0.8/?+0.7-Ap2+lAp 0.7/

25、72所以 E(X)=lX 0.1p2-0.8p+0.7+2X-l.lp2+1.4p+3X0.7p2=2p+0.7.(2)因为0.6W pW 0.8,由(1)可知，当p=0.8时，E(X)取得最大值，一 棵8种树苗最终成活的概率为0.8+(1-0.8)X 0.75X0.8=0.92,记y为”棵树苗的成活棵数，则yB(，0.92)，E(y)=0.92，.(0.92X400-0.08X80)00000,解得n100000361.6比276.55,An 277,该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元.2 八2 0.已知椭圆C：亍+了2=1,点。是坐标原点，点 是椭圆C上任意一点，且点M满

26、足0M=X OP（A 1）入是常数）.当点尸在椭圆C上运动时，点 加 形成的曲线为CA.（I）求曲线CA的轨迹方程；（I I）直线/是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cx的交点为A,B两点，探究OAB的面积是否为定值.若是，求OAB的面积，若不是，请说明理由.解：（I）设点”的坐标为（x,y）,对应的点尸的坐标为（令，夫）由于点P在椭圆C上，得，（7 J）,y,22 2即曲线J 的轨迹是椭圆，标准方程为（入D.4 入2 X 2（I I）当过点尸（xi,y i）切线的斜率存在时,设该切线的方程为y-y i=l(x-x i),即y=fcr+(yi-Axi)2 日联立 y=H+(i-t o),椭圆 C：

27、.-+y 2=1得(k?x2+2k(yi-loci)x+(yi-fcci)2-l=0,由=(),得 1+4N=(yi-履1)2,的 k=-4 y l此时过点4（XI,y i）的切线方程为_ +yy=l过点P切线的斜率不存在时，切 点 为（2,0）,方程为x=2,4符合方程为一j+y 1 y=L，过点尸的切线方程为平+y产=1.设 A(尤2,2),B(X3，3)联立X1 1Vx+yly=1 2 o2 2，结合3 +y 2二得 42-8xix+l6-I6y12 入 2=o 邑=1 4 1口 入 2入22 9X3+X4=2X1.x3x4=4-4y1 入)2X I-X 4|=ji6 y/+X 2j 入

28、 2_1原点O 到直线AB的距离d=4+1 6 y/OAB 的 面 积.5 =-X AB X d=X J l 6 y J +入 2-X I 2=22 v 1 1 N X1+16yj2 d x 2 T (定值)故OAB的面积是定值2 入2.2 1.已知函数/(x)=决+口+3+2.(1)若 x 轴为曲线y=/(x)的切线，试求实数机的值；(2)已知g(x)=f(x)-巴 若对任意实数x,均有g(ev+,)2g(x),求 用 的取值范围.解：(1)f (x)=ex-x3+mx+2f f (x)=ex+3x2-m.设曲线y=/(x)与 x 轴相切于点尸(xo,0),则f (知)=0,f (xo)=0

29、,+i=0,2OX+3OX+，T O)+2=0,e-/IX知化解 得 沏=1,A/n=-e-3.经过检验可得：m=-e -3,曲线y=/(x)与 x 轴相切.(2)g(x)=f(x)-ex=x3+iwc+29记/i (x)=+1-x,h(x)=d+i-l,可得：h(x)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增.(-1)=2,:,h(x)22,即 ex+-x2.不妨设 er+1-x=t2.则 g(+,)-g(x)=g (x+r)-g(x)=(x+f)3+m(x+r)+2 -(x3+/nx+2)=3 (乂或)2+力 2+7 川，Z Gp,+oo).若对任意实数x,均有g(x+力 2

30、g (x),贝|J 3 6片)2+方 2 2 3(-I+_ 1)2+_ X2 2=1,(f=2,X=-1 同时取等号).即 1+m O,解得机-1.选 考 题（任选一题作答，多做则按第1 题计分）2 2.在平面直角坐标系xO），中，曲线C的参数方程为x=2m+7（加为参数），以坐标原_c 1y=2m-7-bmJ T点。为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为p c os（8+?-）=1.(I)求直线I的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)已知点M（2,0）,若直线/与曲线C相交于P、。两点，求的值.解:x=2m+-7（1）曲 线。的参数方程为，（2 为参数），两式相加

31、得到加，进一步转11了 女-专换 为 直 线/的 极 坐 标 方 程 为 p c os（。+今）=1，转换为直角坐标方程为-V3y-2=0.(2)将直线的方程转换为参数方程为4G 为参数)代 入 百 争 得至 1J3t2+12我 t+16=0(A和 介为 P、Q 对应的参数)，所以11+12=-蓊，匕”2=竽，0而ri 1，一 1 一|MP|+|MQ|%+t2l 距PWW TMQ|一iMPllMQl|tl t 2|T-2 3.记函数/(x)=|x+存+|2x-1|的最小值为7.(1)求机的值；Q(2)若正数，b,。满足 R?c=%，证明：ab+bc+ca?-.a+b+c-3n x+q1,x -y1解：f(x)=-x+|*，-X!作出函数/(x)的图象如下图所示，由图可知，当 x*h函数/(X)取得最小值fc 1)=i，即实数 2的值为1；(2)证明：由(1)知，abc=1,且。0,b0,c0,由柯西不等式有GTT)(a+b+c).111、9 a 7二 a+b+c)2=(1+1+1)2=9.bc+ac+ab9，当且仅当“。2=炉=2，时取等号.a+b+c.原不等式成立.