2021届天一大联考“皖豫联盟体”高三第一次考试数学理）.pdf

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1、绝密启用前数学试卷学校：姓名：班级：考号：题号二三总分得分注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分共6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若 z=(2 +i(4 i),则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知集合 A=x|x 一2 x3 0 ,B=x1 0 xm,若 A U B=x|l x5 ,则 m=A.-1 B.3 C.5 D.1 03 .已知向量m=(2,A),n=(1,3),若(2 m+n)/(mn

2、),则实数人的值为A.6 B.3 C.-3 D.-64 .函数f(x)=l n2 x-1 的图象在点(L,f(L)处的切线方程为x 2 2A.y =6 x5 B.y=8 x6 C.y=4 x4 D.y =1 0 x735 .己知A A B C 中 cos(B+C)=-,A B=4,A C =3,则 B C=4A.V4 3 B.6 C.V1 3 D.27.5 G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wl o&(l +),它表示：在受高斯白噪声干扰的信道N中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中士叫做信噪比。按照香农公式，在不改

3、变W 的情况下，将信噪比 二 从 1 9 9 9 提 升 至 X,使N N得 C大约增加了 2 0%,则入的值约为(参考数据：l g2 0.为 1 0 3 4*9 1 2 0)A.7 5 9 6 B.9 1 1 9 C.1 1 5 8 4 D.1 4 4 6 98.ta nl 9 5 +2 夜 cos2 8 5 =A.y/2 B.1 C.-D.一2 23 19.已知定义在R上的函数(x)满足f(x+3)=f (上一x),且当x l 时，f(x)cb B.cba C.abc D.cab10.在菱形 ABCD 中，ZABC=120,AC=28，B M+-C B =0,DC=ADN,若 丽 而=2

4、9,则入2A-lB.71 C.一61D.-5111.已知函数f(x)=0,则函数g(x)=2 f(f(x)1)1 的零点个数为2x+,x 0A.7 B.8 C.10 D.11兀12.函数 f(x)=2sinx 3cosJxcosx2sin2x+3 在 0,上的最小值为23 V3 5A.B.-C.D.1224二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。x+y-3 013.若 x,y 满足约束条件 3x 2y+3 2 0,则 z=x 3y的最小值为。x-y-l 0 o2(I)若 m=2,求证：f(x)2x 3 在(0,+8)上恒成立。(1 1)若关于x的方程f(x)+=0有三个不同的实数

5、根，求 m的取值范围。x(二)选考题：共 1 0 分。请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程(1 0 分)x=6 tan/已知在平面直角坐标系x O y 中，曲线G 的参数方程为，、.(6为参数)。以原点为极点，x轴的y-cos夕正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Cz 的极坐标方程为2PCOS(9+生)=指。3(I)求曲线G 的普通方程以及曲线G 的直角坐标方程；(I I)若曲线G,C2 交于M,N两点，P(V 6,0),求1 的值。PM|PN|2 3 .选修4 一5：不等式选讲(10分)已知函数 f (x)=|x+m|2|x 1

6、1 o 若 m=2,求不等式f(x)+3 。的解集；(H)若 f (x)的图象与直线y =l 有且仅有1 个公共点，求 m的值。天一大联考“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第一次考试理 科 数 学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分.1.【答案】D【命题意图】本题芍作复数的运算，芍杳计算能力.【解析】依 题 =(2 +)(4-i)=(2-i)(4-i)=7-6 i,故在复平面内，复数z所对应的点为(7,-6),位于第四象限.2.【答案】C 命题意图 本题号存集合的运算,若杳计算能力.【解析】依题意，4=I x l?-2 x-3 0|=I -1 x 3|.而4 U 8 =W

7、-1 *=6.v -5.5.【答案】A【命题意图】本题号登余弦定理，写杳计算能力.【解析】因为 co s(8 +C)=CO S(T T-4)=-co s 4 =-.所以 co s/l =由余弦定理可得 A C?=A H2+A C2-2 A B x A C x co s A =16+9-2 x 4 x 3 x(一 =4 3 ,所以 B C =y Z T.6.【答案】C【命题意图)本题考查函数的图象与性质，考查推理能力与宜观想象能力.【解析】因为/(-x)=3“；+(-*)co s(-x)=+x co s x)=-/(*),故函数/(x)为奇函数,图象关于原点对 称,排 除D；/(2 i r)=2

8、#0,排 除B；当0时,/(x)=课 上+x co s x j (x)=3 co s*-3 2 si n x+o s x _ .“i n x,则/(0)=4 0,排除 A;故选 C.7 答案】B【命题意图】本题写套对数函数的性质，苫查推理能力与计算能力.解析】依题意-2 溢Hi/%.则1.2 1g 2 000=i.2(l g 2+3)1.2(0.3 +3)=3.9 6,/.2 000 2=12 0,/.入=9 119.8 .【答案】B【命题意图】本题考查三角恒等变换.考查推理能力与计算能力.【解析】ta n 19 5 +2 co s 2 8 5=ta n 150+2&si n 15 =S i

9、n+2 A si n 15 =si n 150+i n 30co s 15 co s 15si n 15。+怎 加(4 5。-15。)co s 15 =k9 .【答案】D【命题意图】本题号在函数的图象与性质，考代推理能力与计算能力.【解析】卜，(x +l)=/(I -X).故直线X =1 为函数/(X)图象的一条对称轴.易知函数/(*)在(-8.1)上单调递减,故在(1.+8 )上单调递增.=/(-l o g i 2)=/(*2)=/(2-1喝 2).6=/(10gA2)=/(1 唯 4),因为 2 -l o g,2 -l o g,4 =2 -l o g,8 0,故 21 2 2 -1崛 2

10、l o g,4 1,故 c a A10.【答案】D【命题意图】本题考伐向址的数届积运算，考看推理能力与计算能力.【解析】作出图形，建立如图所示的坐标系，设 做%).因 为 4c =2 ,4A B e =12 0。,故 8 0=2,则 4(一/,0),“I而=(平./).比=(有/)=”(0.-1),。(6,0),则人”A D N=A (%,y +1).由题可知人#0,故 N(亨,-。，祠=住+/，+-1)，故 询.次 哼+4=2 9,解得人”.I I 答案】B【命题意图】本题写有函数的零点,号行推理能力与i f 算 诙 力.【解析】令g(“)=0,?V(/(*)-D=y-令/(x)-1=，,则

11、/(，)=y.作出函数/(*)的大致图象如图所示,则/(，)=3 行 4 个实数根 其中山 e(-3,-2),%e(-2.-1)4 e(-1.0)山 e (1,2).若，W(-3.-2).则/(*)-I =，有 I 个实数根.若，e(-2.-I),则/(*)-1=，有 I 个实数根，若，e(-1,0),则/(*)-I =，育4 个实数根,若,e(l,2),则/(X)-I =，有 2个实数根,故/(*)-I =，共有8个实数根，即函数g(x)=(/(*)-1)-I 的零点个数为8.12.【答案】C【命题意图】本题号直三角函数的性质与函数的最值，考杳推理能力与计算能力.【解析 依题意、/*(其)=

12、2 s i n x +3 s i n.v -c o s x-4s i n x c o s x=2 s i n x-c o s x+4s i i r x -4s i n x c o s x+cos2x-1 =(2 s i n x-c o s x)2+(2 s i n x-c o s x)-I.令 2 s i n x-c o s x =，因为 x t 时&(*)=2 s i n x-c o s x 是增函数，所以/w T,2.因为 =J +-1 =(/+-y-j -1,所以-等 司.故 最 小 值 为-*二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共2 0分.13.【答案】-y【命题意图】本题考行线性规

13、划,考杳山观想象能力与计算能力.解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当宜线?=x-3.y过点A时,z有最小值.联i4+y -3 =0.3 x-2）+3=014.【答案】6【命题意图】本题号杳导数在求函数极值中的应用,考查推理能力与计算能力.【解析 1 依题意z e R J (x)=(*+2)e-3(x+2)=(x+2)(e -3),令/(*)=0,解得 x =-2 或*=I n 3,故冲 x e(-8 .-2)时/(k)0,当x e(-203)时/(*)0,故当彳=-2时，函数/(*)布极大值6.15.【答案】J7【命 题 意 图)本题考今三角恒等变换与正余弦定理

14、的应用.号嗔推理能力与计算能力.s i n A /=l a n 4=-=-，7 ,/V T B 彳【解析】依题意.，HE=y C=s.l/=y E C J l G=y D A；黑=；=*=F H/B C=F H =；B C*粤=惨=K G=-HK=K G=-HC =；D.故 x e （4，等）tlC.L r D S U（J A G !o 2.Z J J三、解答题：共7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.”.【命题意图】本题号盒等差数列、等比数列及裂项法求和，考杏推理能力与计算能力.【解析】（I）由1,%.成等走数列，可得2.=%+5.当心2 时=|+S“|,两式相减可得 2%-2

15、_|=S.-5“一1=“，即.=2%_|,由已知可知#0,故I 是公比为2的等比数列，则 此=1=,（2-1）.由 4=S、+2,可得%25=a,（23-I）+2.解得%=2.4 =2 .（n）由（）,得 n=一 J,上 a、=v（o x i-，二），.（2 n+1）（2 n+3）2 2 n+1 2 n+3/1/1 I 1 1 I I 1/1 1 nr-=n T-T +T T+2 r r 7-2 7r 3）=T（T-2 3）=3（2 3 T .由 7,I,得3（2：；3）I,解得 中，因为/.分别为线段A 0,C/）的中点,故IH/A C,又/C平面A C M A C U平面A C N,故由平

16、面A C N.（4分）因为/C C /=/./U 平面 GHIJ G U 平 I f t i GHI,故平面G /平面A C N.（6分）（U ）如图，过点C作C EL4 丁 ,因为线段M N在平面,I B C内的投影与线段,1 也合,故平而d/W N L平面4 8a9,而平面4 D M N r平面4 8C D=A D,C EU平面4 8C D.故 C EJ.平面4 0 M M .（7 分）以A为原点,AN所在直线为：轴“所在直线为1轴.过，I作平行于直线C E的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不 妨 设=2.由题可知，在 R t A 4 C D 4 ,4 =3.D =1,C E2=A

17、 E -DE =3.C E =&则 M（2；4,0）,4（0,0,0.M2.0,0）,C（0,3,4）,故 我=（2,0,0）,北=（0,3.5）.（8 分）r 4 7V n=0.（2x=0.设”=（x,y,z）为平面A C V的法向量,则1一 即|Lz l C -n=0,l 3 y +7?z =0,令y=1 ,则=（0 1，-万）为平面的一个法向过.(10 分)而 碍=（2.1,-有），故有线C M与平面A N C所成角的正弦值为乌上包-=.（12分）C M 219.【命题意图】本题考作随机变量的分布列及数学期里,考在推理能力与计算能力.【解析】（1 ）依题意.乙恰好答对I个问题的概率，=（

18、个-）（告/=患 .（3分）（I I ）依题意,X的可能取值为1.2,34Pp（Xy =）=C-p（7-=4 /“丫A =6 2）=C-；pC-；=18 A=3）=-（小p-；=12.Hy./：C；I 八、A=4）.（5 分）故X的分布列为:（ni）设乙回答正确的问题数量为丫,则丫8（4.*卜所以 P（Y=*）=C：C/=0.1,2,34 .（8 分）p（ys3）=p（y=3）+P（y=4）=c4（y）（y）+（y f =|g-.0 分）由（U）可知,P（X a 3）=P（X=3）+P（X=4）=1|.（11 分）由于P（X N 3）%）（，+“）血 .（2分）而,，（号 卜 则+肛故自=+.

19、（4分）故直线/的方程为y-；=-I）即=+萼.（5分）J 4 4 1Z(U)依题意/(-2,0).8(2,0),F(1,0).当宜线/的斜率不存在时.“1卜八(1._1-),储1=-y-=3AW,.(6分)当直线I的斜率存在时.则/的斜率不为0.设直线/的方程为y =A(x -I)(A K 0).y =A(x-1).由1 5 .2 得(3+4)/-8*晨+4内-1 2=0,T+3=U1 2-1 8所n i v _ 力(。+2)_(-1)(.0+2)_ L+2(.巧 +)-2-3 _ 3+4k -?F k i n y i(*2-2)-I )(盯-2)-xtx2-(x,+xt)+2-X)-4#-

20、6彳L*所以人“=3*.(9分)因为点M在第一象限，所以“(),亨卜.(1 0分)所以 3*3-L =3 3-3A1 n=3(*1 n1-)一-.0).(1 2 分)21.【命题意图】本题号查导数在证明不等式及函数零点问题中的应用,考杳推理能力与计算能力.【解析】(I)依题货J(x)=山 年-2x,令 g(x)=/(*)-2*+3=江 今-4*+3,则 g，(*)J _ 4=X .(1 分)2 x x故当*w(0,+)时,g(r)0,当 (十，+8)时,g，(I)0,.(2 分)故 g(X)=g(=In -1 +3=2-In 8 c o.即 g(x)0 在(0,+8 )上恒成立,故/(工)4

21、m mx+x -4 w?.八、/八、h(x)-m-=-;-(靠0).(5 分)X X X令 A(*)=-mx2+x-4m,当A=1-1 6,W O,即 十 时./(工)与(M(*)单调递减,不可能有三个不同的零点；当4 =1 -1 6/0,即0 ，0,处J +/；,丁6 (),.(6 分)又*(工)=-mx2+x-4 m的图象开口向下,所以当0 *即 时,*(x)O,h(x)0,当 即*O.h(x)O,.v x,H-t.A(x)O,h(x)0.(7 分)因 为=0,阳町=4,故 与2 v a 2.故)(4 ).(1 0 分)724 4当0 V m 时,(m)单调递减,(m)(+)=专-2 x-

22、j-+1 0,所以p(m)在(0.)上单调递增.所以 h(=P(m)(十)=3h 2-4 +-0.因为人(3)，+巧，.(1 1 分)所以由零点存在性定理可知）口）在卜2.3）上右一个根设为飞,乂 A（x0）+人（=0.得=0.故0 与，故:是 函 数 6（4）的另一个零点.故当0 m 时,G（B）存在三个不同的零点W .2,#o，4 x0故实数机的取值范闱为（0,十）.（1 2分）22.【命题意图】本题号杏参数方程与普通方程，极坐标方程与立角坐标方程的互化,考企推理能力与计算能力.x=l a n 3，【解析】（I）因为曲线G 的参数方程为 丘”为参数），V=-两式相减可得.曲线G 的普通方程

23、为亨-=L .（3 分）因为曲线 G：20 o s（。+三）=而，故 2P 卜 o s 0-1-s i n 0-=而，故曲线G 的 宜 角 坐 标 方 程 为 而=0.（5 分）（U ）注意到P（笈,0）在曲线G：r -而=0 上，x=J6 +与 t,故可设曲线C,的参数方程为（I为参数），.（7 分）1,r=Tl代人与一?=1 中.得/+8在,+24=0.（8 分）设 M,N 对应的参数分别为，-%,则 L+&=-8衣，也=24,.（9分）故f l J2同号,故一5 PMI 1+-=-+-=IP.VI l/J i G lIG+G l J21/I =T（1 0 分）23.命题意图】本题考查绝对

24、值不等式的求解，号杏推理能力与计算能力.【解析】（I）依题意，Lr+21-2H-1I+30,当-2 时，-2+2*-2+3 0,解得x1,故;：-2,.（2 分）当一 2WxWl 时,X+2+2.T-2+3 0,解得彳 -1,故 一 2w*1 时,.+2-2工+2+37.（4分）综上所述，不等式的解集为Ixl*7：.（5 分）(n)令g(z)=/(-1 =lx+ml-2IH-1I-1,问题转化为函数g(x)有 I 个零点.r.v -in-3卢 -1,则 g(%)=1 ,此时g(#)的最大值为g(l)=m,此时m=0 满足题设；.(7分)f.v -/n-3 1 ,若 m -1,则 g(4)=-m,此时g(“)的最大值为g(D=-机-2,令-/71-2=0.得/71=-2,满足题设；.(9分)若 m=-1 ,则g(x)=-lx-1 I -1 0,故m=-1不合题意,舍去.综上所述,m=-2 或 m=0.(10分)