2021届普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）数学（理）试题（黑卷）解析.pdf

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1、2021届普通高等学校招生全国统一考试(全国m卷)数学(理)试题(黑卷)一、单选题1.已知集合4=小2一4工一520,8=-3,-1,1,3,5,则4 0 8=()A.-3,-1,3,5 B.-3,-1,5 C.-1,1,5 D.-3,-1)答案：B解一元二次不等式化简集合A=x|xW-1或5),再进行交集运算，即可得到答案；解：因为A=x|xW-1 或炉 5 ,又5 =-3,-1,1,3,5,所以 A c 3 =-3,-1,5.故选：B.2.设z=(2+i)(l 2 1),贝ijz=()A.3+4i B.3-4z C.4+3i D.4-3z答案：D根据复数的乘法法则计算即可.解：z=(2+i

2、)(l-2 0 =2-4z+i-2 i2=4-3z.故选：D3.中国古典戏曲四大名著是 牡丹亭 西厢记 桃花扇和 长生殿，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对 牡丹亭这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批 牡丹亭戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本 牡丹亭戏曲书籍的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买 牡丹亭戏曲书籍()A.25 本 B.30 本 C.35 本 D.40 本答案：C设需购买 牡丹亭戏曲书籍x本，由古典概率

3、的计算公式可得答案.解：设需购买 牡丹亭戏曲书籍x本，则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共4 0+x,从中任取1本有40+x种取法.牡丹亭戏曲书籍共1 0 +x,从中任取1本有1 0+x种取法.从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本 牡丹亭戏曲书籍的根据题意可得P =W HN0.6,解得X 3 5，4 0+x即该戏曲学院图书馆需至少购买 社丹亭戏曲书籍3 5本.故选：C4.已知s“是等差数列 4的前项和，若$3 =1 5,2%=%+3,贝尼0=()A.80 B.85 C.100 D.120答案：B设等差数列 ,的公差为4,根据等差数列的性质可求”及其外,

4、从而可求，o.解：设等差数列 4的公差为，由等差数列的性质得S 3 =3生=1 5 ,得%=5 ；又 2 a 2 =%+3 =1 0，则 4=7 ,故6=4,d =1,s 1 0 x(1 0-1)J O U则 S o I O 4 H-d 8 5.故选：B.5 .(2 x y)(x +3 y)4的展开式中./丁项的系数为()A.96 B.-9 6 C.120 D.-1 2 0答案：A题意(x+3 y户通项公式为Tr+l=3,C；/-，/,接着讨论当 一=2时；当4一r=3时，求出相应的，即可求出对应系数.解：解:依题意(X +3 y)4的展开式的通项公式为Tr+l=当4-r =2时，得r=2；当

5、4-r =3时，得r =l,故可得展开式中含d y 2的项为23 2。5 2/+(一),).3。%3旷=9 6；6；2,即展开式中V y 2项的系数为9 6.故选:A点评：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：求展开式中的特定项.可依据条件写出第r +1项，再由特定项的特点求出，值即可.已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r +1项，由特定项得出厂值，最后求出其系数.6.若函数/(X)=+6一 1的图象经过点(l,e),则曲线y =/(%)在点(2,/(2)处的切线的斜率k=()A.e B.e +1 C./D.e2+l答案：D先根据条件求出。的值，然后由导数

6、的几何意义可得答案.解：函数/(x)=e +a r -l的图象经过点(l,e),所以e =/(l)=e +a l,解得“=1,即函数f(x)=e+x-l,又/(X)=+1,得曲线y =/W在点(2,/(2)处切线的斜率攵=r(2)=e2+l.故选：D7 .已知椭圆C的 方 程 是 +方=1(。人0),点在椭圆C上，过点A且斜率为一(的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆C的方程为()2 2A.-1-=15 3B.f4-10 52 7D.+=14 3答案：D写出给定直线方程，由此得一个焦点坐标，再把点A坐标代入椭圆方程即可得解.3 3 3解：过点A且斜率为-的直线方程为y-；7 =-：(x +l)

7、,由椭圆C的标准方程知其焦点在x轴4 2 4上，令y =0,解得x =l,(3 1 9可得椭圆的右焦点为/(1,0),则c =l,又在椭圆c上，则/+犷=1,又/=2 +i，,3从而有4/一9/9 =0，解得从=3或 =一:(舍 去)，则/=4，42 2所以椭圆C的方程为土+匕=1.4 3故选：D8.执行如图所示的程序框图，若输入的T =15 0,则 输 出 的 的 值 为（A.4 B.5 C.6 D.7答案：C根据程序框图，一步一步执行程序，即可得到答案；解：输入T =15 0,第一次循环：a=3,n=l,S=S+a=3,满足3T；第二次循环：a =6,=2,S=S+a =9,满足9T；第三

8、次循环：a =12,=3,S=S+a =2 1,满足2 1 T；第四次循环：a =2 4,=4,S=S+a =4 5,满足4 5 T；第五次循环：a =4 8,=5,S=S+a =9 3,满足9 3 T,不满足条件S =2,则该四棱锥外接球的体积为()A.4&B.也 C.竺Y 5万 D.20下兀3 3答案：C首先由几何关系分析可得尸。是球的直径，利用题中的条件计算A?=32,最后代入球的体积公式，即可求解.解：如图所示,连接A C,设AC的中点为G,因为 AB，8C,AZ)_LC。,所以AC是底面ABC。外接圆的直径,又 4?=4）=2，所 以 A B C R t A D C，又 N胡。=12

9、0。，得/朋C=NQ4C=60,又 B4_L底面 ABC。，则 P 4 L A C,所以NR4C=90,即PC是球的直径，则PC的中点。为球心，连接OG,A。，PA易知O G/2 4,所以OG=1,且OG_L底面ABCD.2A R A C在 RhABC 中，A C =-=4,则 AG=2,cos600 2又在R/AAOG中，球半径。4=而 就=石，则该四棱锥外接球的体积V=上兀电）3=竺 叵 万.3 3故选：C点评：方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为。,人。，那么外接球的直径2/?=5力+序+上,（2）

10、当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上,根据垂直关系建立R的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.v2 V21 1.已知双曲线4-=1（。力 0）的上焦点为尸，过尸作一条直线/与直线x-4y=0垂直，a b若/与双曲线的上、下支均有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）根据已知可得/的方程为y=-4x+c,联立直线I与双曲线方程消去x可得关于 的一元二次方程，再根据/与双曲线的上、下支均有公共点，即方程有一个正根一个负根，列出不等式组，即可求出离心率的取值范围.解：依题意E（0,c）,直线/的斜率为-4,贝

11、”的方程为y=-4x+u设/与双曲线上、下支的交点分别为A(x”y),B(x2,y2),联立直线/与双曲线方程y=-4x+cy2 x2,消去x得（1 6）2 -a BV+Z/c y-a2 c 2 _ 8 2。2 =0,萨丁 1由/与双曲线上、下支均有交点，得1 6 一/H O,且 0,%0,由韦达定理得必必a2c2+1 6a/6h2-a2（）,即 1 6（。2。2）。2 ,则 6c 2 1 7，可得e 2=：l Z且e i,解得e姮a2 1 6 4所以离心率的取值范围是故选：B点评：方法点睛：离心率是椭圆的重要几何性质，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的

12、条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a,仇c,的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的用。表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.1 2.已知函数/(X)=ACOS/X+|(A 0,/0),若f(x)在区间 0,2 1 上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是(）A.5 23351211 23/C.5 1 33,6D.23 131 2 T答案：A7t7t7t设+,2.7t(o+,将问题转化为y =A c o s x在 区 间,2T T C O+上有且仅有4个66 66 66 6 6零点和1个极大值点，结合函数丁=4以)5%

13、的图像可得答案.解：由x i 0,2%,设、r /=C D X7 1 7 17 1A 不7 1H-E,2/JIC D H-；6 6 6 6 6J I J If(x)在区间 0,2万 上有且仅有4个零点和1个极大值点，即丁=485%在 区 间-,171(0+-上6 6有且仅有4个零点和1个极大值点.作出y =A c o s x的图像如图.故选：A点评：本题考查根据余弦型函数的图像性质求参数的范围问题，解答本题的关键是将问题转化为冗 7 1y =A c o s x在 区 间,17 ico+上有且仅有4个零点和1个极大值点，结合函数=4(：0 5%的6 6图像求解，属于中档题.二、填空题1 3 .已

14、知实数x 0,向量a=(x,l),B =(l,-2),c =a+2 B,若则=.答案：一3先求出 的坐标，再利用向量垂直的坐标形式可求x的值.解：由 a=(1,-2),得。=q +2石=(+2,-3),又 _1 _ ，则有 x(x +2)+1 (-3)=0，即一+2%-3 =0，解得x =-3或x =l；又无 0,得x =3.故答案为：3.1 4 .已知S“是数列 q的前项和，且满足S,+%=；(e N*),则a“=.答 案,以利 用%=S“-S,I可得出 4是 首 项 为:，公比为5的等比数列，即可得出.解：由于S+。=g（几N*），则当=1时，得S+q=2al=,即q=,；24当“2 2时

15、，得S,i+a,i=；由-得S“-S“_ 1 +4一a,”=0,即2an=%,an 1则-=7对/?2 2成乂，an-l 2由等比数列的定义知 4 是 首 项 为:，公比为;的等比数列,故答案为：（1 J+1.15.在正方体ABCD-A gG。中，。是底面正方形ABC。的中心，M和N分别是棱。和A片的中点，现有下面四个结论：直线O N,平面ACM；直线O N/平面AAQO；直线BC,1平面C D N；直线B Dt与平面A C M相交.则 其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.答案：本题首先可结合题意绘出图像，设正方体的棱长为2,通过QN2+A（?2?AN?判断出错误，然后 根 据 四 边 形

16、 是 平 行 四 边 形 得 出A.E/ON,根据线面平面的判定证得O N/平面AA.D.D,正确，再 然 后 根 据 正 方 体 性 质 易 知J_8G、D C 1 B Ct,根据线面垂直的判定即可证得BC,1平面C D N,正确，最后通过证明直线B D J 1平面A C M即可证得错误.解：如图，结合题意绘出图像，设正方体的棱长为2,G：如图，连接4 0、CM.ON,若ON，平面ACM，则ON，AO,ON。+AO?=AN因为结合图像易知，ON=J+22=石,AO=五，AN=+12=75-所以。N2+4?2?AN2,QV与AO不垂直，错误；：如图，作AO中点E，连接4。、EO、ON,因为 是

17、AO中点，N是 的 中 点，。是底面正方形A3CD的中心,所以 E O/A B/M|N,且 4N =EO=1,则四边形AEON是平行四边形，AE/ON,因为4七u平面/L A,。,QV /(I),进而得到一1 WI n a W1,即可得到答案；解：因为定义在R上的偶函数/(x)在区间(-c o,0 J单调递增，所以/(x)在 0,+。)单调递减；又/(-D =/=/(-l n )=/(I n a),于是由/(I n a)+2/I n 2 3/(-1),得 3/(l n a R3/，从而有了(|l n硝 之/，则得即一i W l n a W l,且a 0,解得：-a/3 c c o s A =0

18、 .(1)求a；(2)若 b +c=J T T，求 AABC的面积.答案：(1)”=3；(2)昱2(1)根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式中的商关系、特殊角的正切值进行求解即可；(2)根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.解：解：(1)由as i n C+6 c osA=0 及正弦定理，得s i n A s i n C+6 s i n C c o s A =0，又在 AA5c 中，Ce(O,)，则 s i n CH 0,可得 s i A +J 5 co s A =0，即得 t an A =-s/3，24又 A e(0,%),则 4 =.3又AA6 c 的外接圆的半径/?=百，由正弦定理

19、 =2 R=a=Y3 G 4 =N C 6 =9 0,G 4-C B -1,则 R )G 4 丝得。A=OB,即为等腰三角形，而 A B =AA=拉，则四边形AA48为正方形，有 AB_ LAq,设两对角线A0与 Ag相交于点E,连。E,如图：E是 48的中点，则且AgcDE=E,所以48,平而又ABu平面4B。，平面48。c平面A ByD =D E ,故平面A 8。，平面A g O.(2)由 A C =3 C =1,A B =&,知 A C 2 +8 C 2 =.2,则 N A C 3 =9 0,直三棱柱4 8。一4用 中，有C C 1，平面A 3 C,以C为坐标原点，射线C A,C B,C

20、 G分别为X，y，z轴非负半轴建立的空间直角坐标系C-“z,易得A(1,O,O),8(0,1,0),A(1,O,夜)，瓦(0,1,夜),0 0,0，+,则 丽;=(1,一1,夜)，川豆=(1,0),而=-1,0,-,I 2 设平面/WD与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角 为6，由(1)知，区工平面入耳。，则 平 面 的 法 向 量 为 砒=(1,-1,J 5),设平面A B D的法向量为3 =(x,y,z),贝I卜_ A说B o0,即 x+yO=0,令X=1,则 y =1,z =,得=,/-.|班|2 1则 c o s0=c o s(BA,n )=j p r =,/I 网 何 2 x2 2

21、故平面 的 与平面ABQ所成锐二面角的余弦值为g.点评：关键点睛：证明平面与平面垂直的关键是在其中一个平面内探求出一条直线垂直于另一个平面.2 0.已知函数 f(x)=2 x+s i n x(c o s x-d)a G R).(1)当4 =3时，讨论y(x)在区间 0,2加上的单调性;(2)若 在 区 间(0,上恰有两个不同的极值点，求”的取值范围.JT(TC r T C i答案：(1)在0,-,l7 t单调递减，在彳-J单调递增；(2)(2 7 2,3).(1)根据导数的性质，结合余弦函数的性质进行求解即可；(2)原问题转化为/(x)=0在 上 有 两 个 不 同 的 解，进而转化为两个函数

22、的图象有两个交点，通过构造函数，利用导数进行求解即可.解：解：(1)当。=3 时，/(x)=2x+s in 2x-3 s in x,2则/(x)=2+co s2x-3 co sx=2co s2 x-3 co s x +1.又x l 0,2幻,令/=co s x,则，设 f(x)=g(t)=2/_ 3 f+1 =(2r-l)(r-l)(-lzl),I TT 57r由 g(7)W 0,可得一W f W l,即一W co s x W l,解得 0 4 x4 或一X(),可得一1 4，一，即一iKco s x c ,解 得 一 无 二.2 2 3 37 1 5 4(7 1 5 兀、故函数/(幻在0,-

23、,二,2兀单调递减，在 工,工 单调递增.L 3 j L 3 J U 3 )(2)由于/(x)=2x +；s in 2x-as in x ,则 f M =2+C O S2X-6!C O SX =2co s2 X-6Z C O SX 4-1 ,要使f(x)在 区 间 上 恰 有 两 个 不 同 的 极 值 点，则/(X)=0在(o，w)上有两个不同的解，由 /(X)=，即得aco s x =2C O S?x +1 ，T T令机=C O SX,因为0 c x e，则则式可化为am=2加2 +1,即得关于机的方程a=2根+L在(0,1)上有两个不同的解，m即和(根)=2根+的图象在区间(0,1)上有

24、两个不同的交点.m1 2又/(m)=2-2=m mm2-J-m-I 2 J(向当2W 0,时，/?(/M)0 ,则人O)在o.#单调递减，在 4,1单调递增.12)(亚、即当Z E 0,I 2J时，h(m)G(20,+8)；当机当,时，的)(20,3),2)则当2 0 a 0)的焦点为产，过点(1,0)作倾斜角为60 的直线交抛物线于A,B两点,且 却=乎(1)求抛物线的方程(2)直线/的方程为y =2x +机(加。0),且直线/与抛物线相交于C,O两点，若以CD为直径的圆E恰好经过点入 求圆E的半径.答 案:(1)y2=8x；(2)575.(1)写出直线A8的方程，与抛物线联立，求得韦达定理

25、，由判别式求得参数0的取值范围，由弦长公式求得参数P的值，写出抛物线方程即可.(2)将/的方程与抛物线联立，得到韦达定理，以C D为直径的圆经过尸点，等价于危.无)=0,代入韦达定理求得参数，的值，求出圆心坐标，利用两点间距离求得半径.解：解：(1)设直线 的方程为丁=1 21 1 6()。(-1),即 y =g(x 1),将直线A B的方程代入抛物线F的方程中，整理得3/一 (2 +6)x +3 =0 ,设 A&，x),8(%必)，由韦达定理得X +=2。；6,取2=I,其 =(2p +6 3 6 0对 0恒成立，由弦长公式得a用=J1 +(也了 J(X +工2 1 _ 4%2 =殳E 0

26、,即2小竿1-4=平,解得。=4或p =T 0(舍去)，故抛物线的方程为8尤.(2)设。(玉,),。(0乂)，将I的方程y=2 x+m代入抛物线r的方程V =舐 中，化简得 4/+(4 m-8)x +n/2=0,由韦达定理得当+元4=2-机,工3%4=彳，其 =(4m 一 8尸一 16 m 2 0且加。()，解得根 1且相。0 ,由 易得产(2,0).依题意知N C F D =90 ,而 无=(刍 一2,%),俞=(尤4一2,%)，则 F CF D (x3-2)(%-2)+y 3 y 4=0 ，又因C,力两点在直线/上，于是y 3 y 4=(2七+m)(2%4+4=0，5,”2即-F(2m -

27、2)(2-m)+/w2+4=0 .4化简得机2+24,=0,且加。0,解得m=24满足题意.设圆心 (事,%),则 x0=巴;=2 J：=13,y0=2x0+m =2,即得圆心 E(1 3,2),半径厂=EF=J(1 3-2 +(2-0)2 =5 7 5 .点评：方法点睛：通过联立直线方程和圆锥曲线方程，写出韦达定理，可以求得两个交点间的关系,然后化筒条件，代入，即可求得参数值或范围.X=C O S(P22.在直角坐标系x O y中，曲线M的参数方程为 、(。为参数)，以坐标原点为极点，工y =3 si n e轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4Qco s8 +。si n 8 =

28、3.(1)求曲线E的直角坐标方程和曲线M的普通方程；(2)在直角坐标系中，求曲线E与的交点坐标.答案：(1)E的直角坐标方程为4 x+y-3 =0,曲线M的普通方程为/+匕=i ；(2)(0,3)和91 2 5 5 25)(1)将 0 5。=和0 4 1 1。=丁代入极坐标方程可以得到曲线E的直角坐标方程，利用(co s o p +(si n/=1可得到曲线用的普通方程为；(2)将曲线E的直角坐标方程代入曲线M的普通方程，解方程可得答案.解：(1)将(：0 5(9 =%和/7$拘6 =丁代入极坐标方程4 0 co se+p si n 8 =3中，得曲线E的直角坐标方程为4 x +y -3 =0

29、,X=C O S(P将曲线M的参数方程化为尸ne2两式平方相加得+匕=1,9故曲线M的普通方程为无2 +二=1.9(2)将曲线E的直角坐标方程4 x +y-3 =0,代入曲线M的 普 通 方 程/+匕=i中,92 4整理得2 5九2 2 4%=0，解得x =0或1=，2 4 2 1当尤=0时，y =3；当工=不 时，y ,(2 4 2 1、可得曲线石与M的两交点坐标为(0,3)和.点评：本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，解题的关键点是熟练掌握互化公式,考查了学生的计算能力.2 3.已知函数/(x)=|2 x+4|+x 2 a +/(a e R).(1)当。=2时，求不等式/*)2

30、 6的解集；(2)若关于x的不等式/(x)N 6对xe R恒成立，求实数”的取值范围.答案：(-?,1 0?召？字;(2)(9,一2 3 4,田).(1)首先可根据。=2得出.f(x)=|2 x +4|+x,然后将/(x)N 6转化为|2 x +4|+x 6,最后分为-2、x N-2两种情况进行求解，即可得出结果；(2)本题首先可将/(x)N 6转化为6+2 a-a 2 4|2 x +4|+x,然后令g(x)=|2 x +4|+x,求出 g(x)L i n=2,再然后根据/(x)2 6恒成立得出6 +2 a-/4一2,最后通过计算即可得出结果.解：Q)当a =2时，函数/(x)=|2 x +4

31、|+x,则不等式/(x)N 6即|2 x +4|+x 2 6,当x 6 解得x W-1 0；2当x N-2时，|2 x+4|+x Z 6,即2 x+4+x N 6,3 x +4 6,解得,综上所述,不等式/(x R 6的解集为(-?,叫？镐，？字.(2)f(x)6,即|2 x+4|+x 2 a+a N 6,6 +2 a-a 4|2 x+4|+x,令g(x)=|2 x+4|+x,则/(x)N 6恒成立即6+2“一/4,)疝,，当x -2；当x-2时，g(x)=|2 x+4|+x =3 x+4 N-2,故 g(x)”g(x)L m=-2,则6 +2 a-w 2，即一2 a 8 2()，解得a W-2或“2 4,故实数。的取值范围为(8,2 u 4,+8).点评：关犍点点睛：本题考查含绝对值不等式的解法以及一元二次不等式的解法，可通过去绝对值的方式解含绝对值不等式，考查通过最值求解不等式恒成立问题，考查计算能力，体现了分类讨论思想，是中档题.