2021届高三第一次模拟考试数学（理）试卷（含解析）.pdf

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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)能力测试试题卷(宁大附中第一次模拟考试)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作 答 时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，满 分 6 0 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已 知 集 合 人=卜.一 3 一4 0 ,8 =小 2 8 c,且 a c 0,则下列选项中一定能成立的是A.a b ac B.c(b-a)0 C.a/?(a-c)0 D.cb1 ca15.已 知 函 数

2、=则“a 2 1”是“/(x)有极值”的()A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知g(x)是定义在R上的奇函数，/(x)=g(x)+x ,若/=2,/(-a)=2 a +2,则a的值为A.2 B.-11 3 、17.已知C O S7i+a、2 ,r?,则 c o s 2 a =2 32 3A.B.-2 5-2 58.将函数/(x)=2cosx的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩C.2 或一 1D.2 或 1 2 42 4C.-D.-2 52 5短到原来的g倍，得到函数g(%)的图象，若g(%)-g(x2)=4,且 当、马丘-2肛2句

3、,则1-xj的最大值为7B.714A.5712-1 5C.7147D.7t29.已知中，A B =A C =2,Z C 4 B =1 2 0 S若P是其内一点，则 衣.商 的 取值范围是A.(-4-2)B.(-2,0)C.(-2,4)D.(0,2)1 0 .如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为4 5。，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为AV 3 加 6 62 2 3 41 1 .已知函数/(X)是定义域为R的奇函数，且当 f 1 W 1A.-o o,-2 B.(-,-2)

4、U(2,+o o)C.-2,-2 K J 2-,2 Q,b 0)的左焦点,若双曲线右支上存在一点p,使直线尸尸与圆/+，=/相切，则双曲线离心率的取值范围是A.B.(V,+oo)C.1,-、2D.,+oo1 2 J第H卷(非 选 择 题)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.从只读过 论语的2名同学和只读过 红楼梦的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都 读 过 红楼梦的概率为.14.己知数列 q 的前项和=产(6 *)，则数列,的 前10项和为15.已知口钻。中，角A，B，C所对的边分别为，b,C.sin土 co s竺 工=4-4cos2&,2 2 2+c=

5、10，0ABC的面积为4,则。=.16.过点加(-1,0)引曲线C：)=2 9+以+。的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A 8两点，若|M 4|=|M 3|,则。=.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分)17.(12分)已知等差数列 4 的前 项和为S“，且%=-3，56=0.(I)求数列。“的通项公式；(2)求使不等式S“a”成立的 的最小值.18.(12分)为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王 冬奥知识竞赛活动.现从参加

6、冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了 100名学生，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求的值；(2)记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A的概率；完整，并判断是否有9 9.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?(3)在抽取的1 0 0名学生中，规定：比赛成绩不低于8 0分为 优秀”,比赛成绩低于8 0分为“非 优 秀 请 将 下 面 的2 x 2列联表补充优秀非优秀合计男生4 0女生5 0合计1 0

7、 0参考公式及数据：K2=-J)、/n=a+b+c+d.a+b)c+d)a+c)b+d)产(即之务)0.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k。2.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 81 9.(1 2 分)如图，在直三棱柱 A B C -A4G 中，A B =A C =2,A A=4,AB VAC,B E 1 A B|交AA于 点 石，。为C G的中点.(I )求证：的1平面A B。；(I I)求二面角c Ag-n的余弦值.2 0.(1 2分)已知椭圆。：=+；=1(。/,0)的 离 心 率 为 管，且焦距为8

8、.(1)求C的方程；TT(2)设直线/的倾斜角为不，且与C交于A,B两点，求口4。3 (O为坐标原点)面积的最大值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)=l o g(a +l)+b x (a 0 且 a wl,OeR)是偶函数，函数g(x)=ax(a 0 且 a w 1)(1)求b的值;(2)若函数/7(x)=/(x)。有零点，求的取值范围；在 的 条 件 下，若 V&e(0,+o o),3x2e R ,使得且(2%)+吨(玉)-/(2 无 2)0成立，求实数机的取值范围.(二)选考题：共 1 0 分。请考生在第2 2、2 3 两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分。为极点，X

9、轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 的极坐标方程为夕=4 c o s 22 2.(1 0 分)选修4 一4：坐标系与参数方程x=2-1:2(为 参 数)，在以坐标原点。y=1 +t2已知在平面直角坐标系x O x y 中，曲线G：(1)写出曲线G 的极坐标方程和的直角坐标方程；(2)已知曲线。，。2 相交于A，B两 点,试求点M 与弦A 3的中点N 的距离.2 3.(10分)选修4 5：不等式选讲已知函数/(无)=|x+l|+|x+a|.(I)当 a=-1时，求不等式/(x)2 x 的解集；(II)当不等式/(x)1 的解集为R时，求实数a的取值范围.宁 大 附 中2 02 0-2 02

10、 1学 年 第 二 学 期 高 三 第 一 次 模 拟高三数学(理)答题卷参考答案1.A【分析1 化简集合，再求交集.【详解】*/A=x|-1 x 4 ,B =x|-2 x 2A n i?=x|-1 x 则 a =2 a c =3,c =12:储=-3排除 A、D；取a =3,h=2,c =l,则c(b-a)=-1 0,所以a、b、。同号，且。C,所以。解4一。)0.故选：C.5.B6.C【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】8 0)是奇函数，8。)+8(-乃=0,.,./(%)+/(-x)=2%2,而/(。)=2,/(4)=2。+2,所以4 +2 a =2/,解得。=2或一 1，故选

11、：C7.A【分析】根据题意并结合诱导公式可得出s ina =g,再由二倍角的余弦公式c os 2 a-l-2 s in2 a ,即可得出求出结果.【详解】(3 、1解：由题意可知，c os -7r+a=一，(2 )53 、1根据诱导公式可得：c os -乃+a|=s ina=一，(2 )5f i A2 2 3则 c os 2 a =l-2 s in2 a =l-2 x =一.2 5故选：A.8.D【分析】根据三角函数图象变换得到g(x)=2 c os；2 x-7 ,由题意可得g(看)=2、g(z)=-2,可得出再、的表达式，结合|、可求得|不一的最大值.【详解】将函数x)=2 c os x的图

12、象向右平移看个单位长度，得到函数y =2 c os(x-(J的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，倍，得到函数g(x)=2 c os 2%一7 的图2 6 7象，：g(%)-g(X 2)=4,.,.g(%)=2,g(9)=-2,/.2xt=2匕%(匕e Z),.xt=名 +匕乃,-2 7 r W F k/r W 2 7,W 匕 W ,k=2、一 、0、1,12 1 12 1 12 12X2 2k、7i+（左z 6 Z）,=-2-+k、冗,k?G Z,-27r 4?+k?2 万,31,*7 。八 -乂 w ，k,二一2、1、0、1.12-12 2-17 I 13/17 5当勺=1,七

13、=一2时，,一 引=不 一 一不=w；,I 23 19 7当仁=-2,玄=1 时，X-x j=-71-71-7 1.121 1 21 12 12 27所以N-%L =耳.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象变换与性质，根据条件求出函数解析式，以及利用函数最值求出用、2的表达式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9.C【分析】以A为坐标原点，以过点A垂 直 于 的 直 线 为）轴，建立平面直角坐标系，求出C（V 3-1）,设 P（x,y）,因为点 p是其内一点，所以-O x V 5，计 算 而 而=-6-y得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则 A(O,O),因为 N

14、C45=120。，所以 NABC=NAC8=30。，可得2cos30=6，2sin30=l，所以网-0,-1),设尸因为点P是其内一点，所以一J，,-l y /P A O =45。，；,PA =C.x 包 a=a，P 4 B 是正三角形，面积为2 2c -V 3 2二-C L，-4 ,所吟岑故选：D.g寻C11.C/3【分析】由b(x)=0得f(x)=2或/(x)=a,而X O时，/(x)=2无解，需满足f(x)=-。有两个解.利用导数求得/(x)在x0时的性质，然后可确定出的范围.【详解】F(x)=f(x)-2 /(x)+A =0,/(x)=2 或/(x)=a,x 0 时，/(x)=xex+

15、2 2,f(x)=(x+l)ex,%1 时，f(x)0,/(x)递减；-l x 0,/(x)递增，/(x)的极小值为/(-I)=2，又/(X)V 2,因此/(X)=2无解.e此时f(x)=-a要有两解，则e又/a)是奇函数，.%()时，y(x)=2仍然无解，/(x)=-a要有两解，则22.综 上 有a w卜2,汩中2)故选：C.【点 睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考 查 导 数的应用.首先方程化为=2或/(X)=a ,然后用导数研究X 0时/(x)的性质，从 而 得 出 x)=2无解，/(x)=-a有两解时范围.12.B【分 析】设切点为M,由勾股定理可得|月0|=由进 而

16、 可 得P尸的斜率=土，又 点P在双曲线的右 支 上，所 以 因，计算可求得结果.【详 解】直 线PF与 圆 2 +y 2=”2相 切，设 切点为M,则W P E,|O F|=c,|o M=a，所以F M =b,则 直 线 尸尸的 斜 率&=,又 点P在双曲线的右支上，所 以 冈2,即 l,所 以e?=l +r 2,即a a故选:B.【分 析】首先分类编号，再列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，利用古典概型求概率.【详 解】将 只 读 过 论语的2名同学分别记为】，丁，只 读 过 红楼梦的3名同学分别记为，b,c.设“选 中 的2人都 读 过 红楼梦”为 事 件A，从5名同学中任选2人的所

17、有可能情况有(乂 以，(X,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c)共 1。种，其中事件3A包含的可能情况有(。，勿，(”,c),S,c)共3种，故P(A)=.3故答案为：14.A32【分 析】根 据。“=5”一5,1(2 2)可 求 得 与 的 通 项 公 式，经检验，q=5 =2满足上式，所以可得an,代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案.【详解】由%c 3？+“/,7*诉z。3(n-l)2+n-l 3/r-5n+2因为S“=一(eN),所以S,i=-=-(22),而N c c 3 n2+n 3 2-5 +2 1 /W所以q=

18、S“_ S“_ =-=3 n-l,(n2).又q=S j=契；+。=2满足上式，所以q=3-1,(6 N*),1 1 1。“，所以 a?一 6 2 -7即“2-8 ”+7 0 n 7所以使不等式S”%成立的”的最小值为8【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前1项和公式，主要是计算，属基础题.1 8.(1)0.0 2 5；(2)0.3 5；(3)列联表见解析，没有【分析】(1)根据频率直方图中所有小矩形的面积之和为1这一性质进行求解即可；(2)结 合(1)的结论，求出比赛成绩不低于8 0分的频率即可；(3)结 合(2)的结论，先求出比赛成绩优秀的人数，这样可以完成2 x 2列联表，再根据题中所

19、给的公式求出K-的值，结合参考数据进行判断即可.【详解】(1)由题可得(0.0 0 5+0.0 1 0+0.0 2 0+0.0 3 0+4+0.0 1 0)x 1 0=1,解得 a =0.0 2 5.(2)由(1)知 a =0.0 2 5,则比赛成绩不低于8 0分的频率为(0.0 2 5 +0.0 1 0)x l 0 =0.3 5,故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于8 0分的概率约为0.3 5.(3)由(2)知，在抽取的1 0 0名学生中，比赛成绩优秀的有1 0 0 x 0.3 5 =3 5人，非优秀的人数为1 0 0 -3 5 =6 5,非优秀的男生人数

20、为4 0人，所以非优秀的女生人数为2 5人，由此可得完整的2 x 2列联表：优秀非优秀合计男生1 04 05 0女生2 52 55 0合计3 56 51 0 0而 z 2 1 0 0 x(1 0 x 2 5 -2 5 x 4 0 f 9 0 0所以 K?=-L 9.8 9 0 (0,2,2),5(2,0,0).设 七(0,0,。)，所 以 通=(0,2,2),函=(2,0,4),B E=(-2,0,a),因 为 丽_ L而，所以4a-4=0，即a =l.所以平面ABQ的一个法向量为丽=(一2,0,1).所以万 一 所以nA B.=02 y +2 z =0,即2 x+4z =0.设平面ABQ的法

21、向量为7=(苞 z),y =-z,x=-2 z.令 Z=1，则 X=2,y =1,所以平面A B.D的一个法向量为方二(2,1).所以 co s 一|翻 函 一 遍 x 6-6由已知，二面角c-A 4-r为锐角,而6所以二面角c-。的余弦值为2 0.(1)+-=1；(2)2&20 4【分析】(1)由椭圆的离心率，焦距，再 结 合 储=加+。2,即可求出C的方程；(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出|A 8|,再利用点到直线的距离求出4,即可求出口4。8面积的表达式，根据表达式即可求出D A OB的面积有最大值.【详解】/=20故C的方程为：工+工=1；20 4(2)依题意

22、可设直线/的方程为：yfx+m，y=也x+m联立:2 2三+汇=1120 4整理得：1 6/+1 0 6根+5 加2 2 0 =0,则加 2-2 0)0,解得：一8根8,设A(5,y J,以 天,必)，则用+=_4 2，%也=5 1 20|AB|=+3 (x,+x2)2 4X1X2(75m2 5m2-2 0 V-5m2+320V 64 4 4则口4。8的面积。1|?|J-5/+3 2 0 J-5(加2-32)+51203=-a-AD=X-=-2 2 2 4 16当且仅当“加2=32”,即 加=4近”时，口4 7 8的面积有最大值，且最大值为2 6.【点睛】思路点睛：求解椭圆中口4。3的面积问题

23、时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，求出弦长，再利用点到直线的距离求出高，即可求出结果.21.(1)b=；(2)(1+)；(3)log4 2-.【分析】(1)利用函数是偶函数，利用偶函数的定义/(一%)=/(X),化简函数，求b的值；(2)问题转化为log“1+=。有解，分0。1和。1两种情况讨论；(3)由条件可知问题转化为且但+加晨)/。&).，根据不等式恒成立，参变分离后m 粤;-浦，对V X 1 e(0,-+W)恒成立，转化为求函数最值.【详解】解：/(X)为偶函数，.,/?,W/(-X)=/(%).log“(/*+1)-Z?x=log”(优+1)+笈 对 X e

24、 R 恒成立.(+l)-log(a*+1)=2bx 对 xe R 恒成立.2bx-x,x e R恒成立，8=-.2(2)若函数/70)=/(彳)一；工一。有零点，即 log“(a+l)x=a,即+：=a 有解.令p(x)=log 1 +，)，则函数y=P(x)图象与直线y=。有交点.当0。1 时，P（x）=lo g 1 +!1 时，；1 +5 1,p（x）=lo g 1+?）0,由 1 g +，）=a有解可知。0,所以。1,.的取值范围是（1，皿）.（3）当2 eR时，/（2X2）=lo g（4+1）一=lo g 丁=lo g（d +Q,由（2）知a l,ax +a 2,当且仅当=。时取等号，

25、所以/（2天）的最小值是lo g”2.由题意，V%,G（0,+C O）,3x2e R ,使得 g（2 x J+mg（X 1）-/（2/）0 成立，即V j q e（0,-H）,/+炉 l oga 2成立，所以机 噜 J-ax对V e（0,+开亘成立,设p=。，则m 一 P对1恒成立，P设函数左（）=她2-（1）,易知函数，=幽2,pP函数y=-p在（】，+1）在（l,g）是减函数，p则2（P）=-P l o g 2-1,所以加2l og”2-1.P即加的取值范围是 l og“2 L+8）.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y =/（x）,x

26、e a,b ,y =g（x）,x e c,d 若V%e a,可，以24G d，总有%）8（马）成立，故/（%）111a xg G L i n；若 V%w a,可，上24G 力，有 X）g（毛）成立，故 1r a x g（W）1T Hx；（3）若玉司,玉2G c,d ，有%J g（w）成 立,故 力而 若 若V%e a,6 ,Hx j e c,J ,有 )=g(&)，则/(x)的 值 域 是g(x)值域的子集.2 2.(1)夕(si n6+?)=，(x-2)2+y=4；(2)与.【分 析】(1)消去参数得到直角坐标方程，再写出其极坐标方程，根据公式将曲线G的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求

27、 出c 2到 直 线G的距离，再由勾股定理计算可得；【详 解】解:L_2_ V 2X-乙-1（1）曲线 C I：;y =l +g(/为参数)消 去 参 数 方,得 一了一3 =0其极坐标方程为夕(c os8+si n8)=3,即p s in?曲线 C 2:夕=4 c o s d,即夕 2=40COS6,即%2 +)2 一 4%=0,所 以 曲 线C 2的直角坐标方程为(X -2)2 +),2 =4.。2(2,0)到 G：x+y =3 的 距 离d=|C 2 N|=ll=又 C2 M=1,得|例N卜 J|C2MH e2呼=2 3.(1)(-8,1)；(I I )(-00,0)U (2,+00).

28、【分 析】(I )a=-1时，根据零点分段化简函数/(x),解出不等式取并集可得答案；(I I)利用绝对值三角不等式求出了(X)的最小值，代入不等式可解得实数。的取值范围.【详解】2 x,x 1(I )4=-1 时，/(%)=2,-1%1当 x 2 xf 即 x 0,此时 x 2 x,得 x V l,-l r l 时，f(x)=2X2X9 无 解，综上，f(x)2 x 的解集为(-8,1 ).(I I )/(x)=|x+l|+|x+a|x+a -x-l|=|a -1|,即 的 最 小 值 为|a-1|,要使/(x)1 的解集为凡1|1 恒成立，即 a -1 1 或 a -12 或 a 0,即实数a的取值范围是(-8,0)U (2,+oo).