2021届北京市海淀区高三模拟数学试题（一）（解析版）.pdf

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1、2021届北京市海淀区高三模拟试题（一）1.已知集合人=小+1 4 0,B =xx a,若AUB=/?,则实数”的值可以为（）A.2 B.1 C.0 D.-2【答案】D【分析】由题意可得A=X|X4-1 ,根据AUB=R,即可得出。4-1,从而求出结果.【详解】V A =x|x a）,且 AUB=R，皿4-1，的值可以为-2.故选：D.【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算.2.下列函数值中，在区间（。,+电）上不筵单调函数的是（）A.y=x B.y-x2 C.y=x+x D.y=|x-l|【答案】D【分析】结合一次函数，二次函数，幕函数的性质可进行判断.【详解】由一次函数的性

2、质可知，y=x在区间（o,+o o）上单调递增；由二次函数的性质可知，=/在区间（0,+c o）上单调递增；由幕函数的性质可知，y=x+在区间（0，钟）上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x-l|在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题.3.已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 为S.若$3=%，且贝!?=（）%5 8A.1 B.-C.-D.33 3【答案】C【分析】利用等差数列的通项公式及求和公式得出数列 4 的首项4与公差”的关系式，表示出5 3,J即可求出结果.【详解】设等差数列 q 的公差为4,1

3、/53=a3,.3 a,+3 d=at+2 d,即 d =-2 at（a,0）,贝 U =-=-=一.人3a+3d-3a 3故选:C4.不 等 式,1成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是（）XA.0 x 2C.0 x l D.x 1成立的一个充分不必要条件.x2 x故选:A5.如 图，角a以Q r为 始 边，它的终边与单位圆。相 交 于 点P则sin g +a）的 值 为（）二.，且点户的横坐标为A.-5B.-5C.5【答 案】B【分 析】7T由题意利用任意角的三角函数的定义，求 得sin（+a）的值.3【详 解】角。以Qx为始边，它的终边与单位圆。相交于点尸，且 点 Q的横坐标

4、为不37t3所 以cosa=g 则sin(,+a)=cosa=g；故选：B.【点 睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.6.如 图，网 格 纸 上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】B【分析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，由三视图中数据，利用锥体的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径厂=1,高力=2,所以该几何体的体积为：V=2 xlx(-xl2)x2=,故选 B.3 3【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图，重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图

5、问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等“，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3 C D7.在四边形 中，A B/C D,设*=2 而 +而(2,e R).若，+=-,则2 AB()A.1 B.|C.1 D.2【答案】B【分析】作出草图，过C 作 C E/A D,又C D I I A B.可得四边形AEC。是平行四边形.A C =A E+A D,根据前三九 而+而可得=1,醺=,又2+=，可得/=；,据此即可得出结果.【详解】如图所示,DC过。作 C E 7

6、/A D,又 CDIIAB.，四边形A E C Q 是平行四边形.:,AC=通+而，又 恁=4 通 +而(4 /?).JLI=1,AE=A AB,a 1 CD A E i又好=J.，则7r海=5 -故 选:B.【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8.已知函数/。)=/+/-2凶_ 仙若存在实数.”,使得/(一。)=寸(%)成 立，则实数k的取值范围是()A.-1,4-0 0)B.(-0 0,-1 C.0,+8)D.(-8,0【答案】A【分析】根据题意将存在实数厮，使得/(-/)=-/(%)成立转化为/(-与)

7、=-/(%)有根，再根据方程变形可得，原问题转化为犬-2 国=人有根，进而转化为丫 =丁-2|%|与，=%的图象有交点，根据数形结合即可求出结果.(详解】：/(x)=Y +Y -2 冈-%且/(-x0)=-/(%),X*+炉 2 1k+x2 2|x|k)整理得k 2 国=/,.原问题转化为y =f-2国与y =Z 的图象有交点，画出丁 =犬-2 国的图象如下:当x =l 时，y =-l,由图可知，k -.故选：A.【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题.9.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来,若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程

8、中恰有两次取到黑球的概率为3 7 n 3 7 c 2 c 2A.B.C.-D.2 1 6 7 2 9 2 7【答案】A【分析】先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果.【详解】要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），其 中（白黑黑白）的取法种数为=2 2 2 1 1（黑黑白白）的取法种数为=4 4 4 3 2 4（黑白黑白）的取法种数为2 多2白 2 ：1 =51，4 4 3 3 1 82 1 1 3 7综上共有药+五 十 折=禾 故选A.【点睛】本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独

9、立概率计算公式的合理运用.10.设集合A是集合N*的子集，对于M N*,定义0（A）=八.给出下列三个结 0,，走 A论：存在N*的两个不同子集4 8,使得任意ieN*都满足8,。口8）=0 且0（4 U B）=1；任取N*的两个不同子集48,对任意ieN*都有/08）=%）.例（8）；任取N*的两个不同子集A,B,对任意ieN*都有尔 AUB）=0（A）+/（8）；其中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据题目中给的新定义，对于i N*）=0 或 1,可逐一对命题进行判断,举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题.f l,z e A【详解】对于i

10、e N*,定义尔A）=,对于，例如集合A是正奇数集合，B是正偶数集合，.4 nB =0,A U B =N*,.“（An B）=（）；例（AUB）=1,故正确;对于，若例（An 8）=0,则，e（A f lB）,则i e A 且ieB,或i e B 且 ieA,或i e A 且i e 3；二0（4）2（8）=。；若弘。5）=1,贝！1左（403）,则i w A 且交 8；.弘（A）/（8）=1；任取N*的两个不同子集AB,对任意i e N*都有例（An B）=/砥 3）；正确，故正确；对于，例如：A =1,2,3 ,3 =2,3,4 ,A U 8=1,2,3,4 ,当 于 2 时,%（A|J B

11、）=1；势（A）=l,价（5）=1：./（AU8）R/（A）+4（5）；故错误；,所有正确结论的序号是：；故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知向量正=（1,2）,5=（3,f）,且 J/5,则/=【答案】6【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可.【详解】由向量。=（1,2）,1=（3,x）,若al 1 b，可得x=2 x3 =6.故答案为：6.【点睛】本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力.12.函数f（x）=x-4-6 的零点个数是【答案】I【分析】首先求出函数x）的定义域为x|x2 0 ,将原问题转化为（4y-4-

12、6 =0,解方程，即可得出 X）的零点个数.【详解】由题意可知 X）的定义域为xlxZ O ,令/（x）=x-&-6 =0,可得（6）-y/x 6=0 ,解得五=-2 （舍去）或 五=3,:.x=9；所以函数f（x）=x-&-6 的零点个数为1个.故答案为：1.【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知,求方程的根，就是确定函数的零点.13.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A 8,C,。四点中任取两个点作为向量的始点和终点，贝上疗的最大值为D【答案】3【分析】由图可知，要使 石 取到最大值，即要求向量石在向量 上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果.【详

13、解】由题意可知：则 4 =|a|-|cos=|5|cos,所以要使坂取到最大值，即要求向量B在向量2 上的投影最大，由图形可知：当向量5=而 时，向量B在向量 上的投影最大，3即|cos 即 的 最 大 值 为 3.故答案为：3.【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力.14.已知数列 为 的通项公式为“=ln，若存在p w R,使得”对任意 e N*都成立，则的取值范围为【答案】哈+0 0)【分析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果.【详解】数列 an的通项公式为4

14、=In，若存在p w R,使得a.0,A,B,C 是这两个函数图像的交点，且不共线.当。=1 时，A A B C 面积的最小值为；若存在A A B C 是等腰直角三角形，则。的最小值为.【答案】2 万 !【分析】利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；利用等腰直角三角形的性质的应用求出。的最小值.【详解】函数/(x)=V a s i n s,g(x)=0 c o s s;,其中切 0,A 8,C是这两个函数图象的交点，当。=1 时，f(x)=f2 sin(oxyg(x)=/2 cos cox.所以函数的交点间的距离为一个周期2 万，高 为&.立+也.血=2 .2

15、2所以：S4 48c=g.2 万 一(1 +1)=2 万.如图所示：当。=1 时，A A B C 面积的最小值为2 万；若存在A A B C 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,则=2.(四.4+夜,解得0的最小值为9.(O 2 2 2故答案为：2n,.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.1 6.在4=3,。4=&，%=&,4=&-4，q=4-2,的=$2-3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的4 存在，求，的最小值；若 4 不存在，说明理由.设数列 4 为等差数列，S”是数列也 的前

16、 项和，且_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4 =8,2=2%(%.2,e N*).记 C ajog 也Z,为数列%的前项和，是否存在实数几，使得对任意的e N,都有北 彳？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选：，的最小值为:；选和：，的最小值为1.【分析】由题中条件先求数列 2 的通项公式和s“，再结合选择的条件，利用等差数列的通项公式及裂项相消法求解即可.【详解】由2=如 可知数列也 是等比数列，且公比夕=2,又么=8,则4=8-2 3=2 ,所以4=2,所以s=2(1 _ 2 )=2 e _ 2,“1-2若选：4=3,%=S?=2 -2 =6,因为数列%为等

17、差数列，设公差为，则3d=%-%=3,即1=1,所以 q,=3+(-1)=+2,1故，=一；rajog 也1 )“(”+2)n+2)T=I +-+,+-+-I =-F-21 3 2 4 n-n+n n+2)4 2(+l +23 3 3因 为 所 以 义 之=,即 丸的最小值为4 4 4若选：则/=4=4%=4-4=8-2 =6,因为数列 勺 为等差数列，设公差为d,又21=%-%=2,即d=l,所以=4+(-3)=+1,11 1 _ _ 1所以g =+n/?+1易知所以4 2 1,即4的最小值为1.若选：则4=a一2=2,%=$2-3=3,因为数列 4 为等差数列，设公差为d,则d =1-4印

18、所以 Q =2+(-l)x l =+l ,1 1 _ 1_ _ 1_故anog2bn+n +1，u-.1 1 1 11,1所以1,=1_+-+-7=1-，2 2 3 n n+1易知萼1,所以2 2 1,即几的最小值为1.17.如图，在四棱锥P-7 1 B 8中，底面A 8CD为菱形，Z A BC=60,PB=PC,E为线段B C的中点，尸为线段以上的一点.（1）证明：平面PA E 1平面8c p.若PA=AB=P B，二面角A-B。-尸的余弦值为自,求尸。与平面孔尸所成角2 5的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）交10【分析】（1）由P E上BC,8 C L A E得BCL平面PA E,进而

19、可得证；（2）先证得P4_ L平面A 3 C O,设A C n 3 D =0，以。为坐标原点，丽 的 方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。-冲z,分别计算平面 双 加 的法向量为弁和而，设与I无 所平面8。尸所成角为。，则s i n 6=9iT，代入计算即可得解.nPD【详解】（1）证明：连接AC,因 为 依=PC,E为线段B C的中点,所以 P J_ 8c.又AB=8C,NABC=60。，所以AABC为等边三角形，B C A.A E.因为4 E cP E =E,所以8C L平面R4E,又 8 C u 平面8 c P,所以平面PAE J_平面3cp.（2）解：设 AB=PA=a,则尸8=0

20、a =P C,因为 PA?+A*=PB?，所以 ft4_LAB,同理可证上4 _L A C,所以E 4L 平面A8CD如图，设 ACnBO=O,以。为坐标原点，砺的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.3 4易知NFOA为二面角4-8 0-尸的平面角，所以cosN尸 OA=g,从而tanN尸 0A=.AF 4.-=-2由。3，得 AF=a.23又山尸（0，-得），B净,0,0）,知 丽=（一 冬 一 鳄）丽=（o,一 鳄）设平面B D F的法向量为n=（x,y,z）,由后_ L BF,flVOF,得-4-3-a xa 2 a 八 y+z=02 2 3a 2 a yd-z=02 3不

21、妨设z=3,得万=（0,4,3）.设 PD与平面B D F所成角为6,-4,0,0 7又尸（0,-/4 D【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关18.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下.将河流水位在20,22）/22,24）,24,26）,26,28）,28,30）/30,32）,32,34各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.（1）求未来4 年中，至少有2 年

22、该河流水位x e 26,30）的 概 率（结果用分数表示）.（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当 X e 20,26）时，不会造成影响；当X e 26,30）时，损失50000元；当 X e 30,34时，损失300000元.为减少损失，A工厂制定了三种应对方案.方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.试问哪种方案更好，请说明理由.【答案】（1）/（2）A工厂应采用方案二.6 2 5【分析】（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位Xe 2 6,3 0）的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位

23、X 2 6,3 0）”为事件A ,即可由P（A）=1 -P（Z）求出结果;（2）记A工厂的工程费与损失费之和为y,根据题意分别求出三种方案中y的期望，比较大小，取期望最小的即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知河流水位 2 6,3 0）的概率为(0.0 7 5 +0.0 2 5)x 2 =1记“在未来4年中，至少有2 年河流水位Xe 2 6,3 0）”为事件A ,则 P(A)=1-P(,)=1-+1 1 36 2 5（2）记A工厂的工程费与损失费之和为丫（单位：元）.若采用方案一，则 y的分布列为Y05 0 0 0 03 0 0 0 0 0P0.7 80.20.0 2JE r=0 x 0

24、.7 8+5 0 0 0 0 x 0.2 +3 0 0 0 0 0 x 0.2 =1 6 0 0 0 （元）.若采用方案二，则y的分布列为Y80 0 03 0 80 0 0P0.9 80.0 2EY=80 0 0 x 0.9 8+3 O8OOOx 0.0 2 =1 4 0 0 0 （元）.若采用方案三：E Y =2 0 0 0 0 （元）.因为1 4（X X）1 6（X X）a2=2（a2 1）=a2=2,a2 2 v 7/c-,:.a c-=2=Z?2=1 椭圆C 的方程为+y2=l（2）设 A 8的方程为=冲+1,g,y j,B（w，%）V 2=由 2+）=nT+2 y2+2my-1=0

25、x=my+.百+毛=m（y+%）+2,西=加2乂%+,（y+必）+1直线摩的方程为）=直线P 3的方程为）=X%i+V2%x2+V21+血）（X+播）A_9 押（2+y （2+及）%“倚%:为+7，%=%+及5犬1+5/2/,N 2,（2+及）%、X1+A/2/F M F N =1+=1 +9+可 其 力 =|+_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9+勾 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _王 +夜（X 1 +）+2;/y%+机（1 +四）（+必）+3+2及（2+应，弘%=1 +加必必+机（1+夜）（y+%）+3+2收R+阳一春）加 2/（1 +&）m2+2T 6+4血2（3+2&）m2

26、+2=0:.FM LFN+3+2/以 MV为直径的圆过定点.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.2 0.已知函数,函乃=绊.判断函数/（X）在区间（0,1）上的单调性，并说明理由;（2）求证：/（x）0恒成立，即可证明结果;（2）证 明 等 价 于 证 明”/（X）1 1 1 ax l,ln无0.x又因为e*0,

27、所以_f（x）0恒成立.所以f （x）在区间（0,1）上是单调递增函数.（2）证明 x）；”等价于证明/心由题意可得，x e（0,y）.令 g（=J _则 g（x）=_?_ J 0，g（e）=，T 0,e所以存在唯一实数,使得8小）=0,其中为 l,e）.X（0，升）伍 收）广（无）+0“X)/极大值尤,r（x）,“x）的变化如表所示：所以八修）为函数“X）的极大值.因为函数/（X）在（0,+8）有唯一的极大值.所以 X）M=X 0）=警因为工=/g）,%所以/（EL*=）=耍=5因为巾e（l,e）所以/（x）m a x =短 7 工 5所以【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及

28、利用导数求函数极值与最值,熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题.2 1.已知集合M 1 且 M 中的元素个数大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元 素 A c,4 ,使得 ，则称集合M 是“关联的，并称集合 也c,是集合M 的“关联子集“；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.分别判断集合 2,4,6,8,1 0 和集合 1,2,3,5,8 是“关联的”还是“独立的”?若是“关联的”，写出其所专的关联子集；已知集合%,。2 M 3,%，%是“关联的”，且任取集合，%=M，总存在M 的关联子集A,使得上 4,为 a A .若4%“3 -：+9.【答案】2,4,6

29、,8,1 0 是关联的，关联子集有 2,4,6,8 ,4,6,8,1 0 ,2,4,8,1 0 ；1 2 3,5,8 是独立的；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，/4,=a2,cij,a4,a5,A,=al,a3,4,a5,A,乂,4,4，见，4=,%,6,%,A；=a1,a2,a,a4,进而利用反证法求解；（3）不妨设集合加=也,七,“）,2产N*,i=1,2,n,且q“2记T =ai+aj,i 5）,a,e N*,i=l,2,.,n,且q记 T =小=4 +4,l i /J e N j.因为集合是“独立的”的，所以容易知道T中恰

30、好有C：=叫?个元素.假设结论错误，即不存在xe,使得x,f +94所以任取xeM,x 生-4成立.所以a a-2 2.而 i、i.-/?+8-n +8 n n所以a“+4 T 4-4 -4-2 =+2T-，C.KT -+8 -+8T =U 3 t +2,tGN k a=-,a,.=-22 “4 ”T 4所以4wT,所以为 =3,a“+4 =q _ 1+为有矛盾,（曲若3 e 7,Tq 3,4,+3而T中含有。；=当 成 个 元 素，所以7=/4 4,4与 +3/%-所以 a =、：+8n2 一 +84因为4w7,所以4=1,2=3.2 2因为7+2门，所以工U+2 =+4所以an-2 =2 -+8-24所以=。“一2+。3，矛盾.所以命题成立.【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.