2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）.pdf

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1、2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）一、选 择 题（共 12小题）.1.在复平面内，复数2=里-对 应 的 点 的 坐 标 为()1A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2)2.已知集合 A=Hy=/(-N-3X+4),B=y|y=22-X2，则 AU8=()A.(-4,4 B.(0,1)C.(-8,4 D.(-4,+8)3,设 命 题 p：V x O,4=7,则p为()A.Vx WO,B.Sx o 0,J.2=-x D.Sx o O,几04.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其 中 方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦+矢）X 矢，

2、弧 山（如图）由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为等,半径等于20 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）(参考数据：TC3.14,2 1.73)A.220 平方米 B.246平方米C.223平方米 D.250 平方米5.已知双曲线8x 2-8）2=-有一个焦点在抛物线C：x1=2py（p 0）准线上，则p的值为（）A.2 B.1 C.D.2 4S66.已知正项递增等比数列%的前项和为S”若 44+47=20,加。7=64,则W =（）S9A.B.C.D.13 21 4 57.如图是用模拟方法估计圆周率TT的程序框图，

3、P表示估计结果，则图中空白框内应填入)A,尸=且1000R P 3 M1000c-片嘉兀8.已知(0-cos(n+0)=COS20,且 sin。，则 tanD.P=2000JT(6+-一)的 值 为()6A.V 3C.2-7 3D.2+739.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形,俯视图是圆，记该柱体的表面积为0,其内切球的表面积为S,且SI=A 5 2,则入=（)RD.一23A.1c-iD-110.已知AB 是半径为2 的圆M 的一条直径，四边形A BC。是圆M 内接四边形，N CM D=120 ,若尸在线段C O 上（端点C、。除外）运动，则而向的取值范围是（）A.(0,3)B.(1,3)

4、C.-3,0)D.(-3,3)21 1.已知椭圆G：或十上a，b22 2=1,双曲线C2：%-=1,F i,仍分别L /I/为 C2的左、右焦点，尸 为 G 和 C2在第一象限内的交点，若尸斤22的内切圆的圆心的Q横坐标为2,。和 C2的离心率之积为半，则该内切圆的半径为（）A.472-276 B.4扬2&C.4百-2遍 D.4遍-2百12.已知函数/(x)=v+l nx+1若关于X的方程产(X)+,2-1=0恰好有4e x个不相等的实根，则根的取值范围是()A.(1,L l)B.(0,L l)C.(1,D.(0,e e 3 3二、填 空 题(共4小题).13.如图，动点尸(x,y)在平行四边

5、形A BC。内部(含边界)运动，则z=2x-4y的最小值为.CA i l.G)14.将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 种放法.(用数字作答)4-x3-ax+l,0 x/(1)恒成立，则正实数的alnx,xl取值范围是.16.已知/(x)=?s i n 3x -c o s 3x (w 0,a)0),g(x)=d，若对V x i e R,3x 2G0,I n2,使得f(x i)Wg(X 2)成立，若/(x)在区间0,n 上的值域为-1,&,则实数3 的最大值为.三、解答题(一)必考题:共60分17.己知数列 的,“1=3,且对任意“CN*,都有.4n2(1)设 方=。的-

6、。”，判断数 瓦 是否为等差数列或等比数列.(2)f an，n为奇数若s =5,Cn =1,求数列/的前2项的和S2”.为偶数18.某房产中介公司对20 18年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示20 18年x月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：X,-1 2 3 4 5 6 7 8yi 12 14 20 22 24 20 26 30（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获 5 千元奖金；抽 中“二等奖”获 3 千元奖金；抽

7、 中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为二，获 得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望.8 8 8参考数据：孙=850,X,2=204,y?=3776,J =4.5 8,J =5.5 7.i=l i=l i=ln _Z xiyi-n x y参考公式：相关系数19.如图，在四棱锥P-ABC。中，平面P A C 平面A8C,PAQ是等边三角形，四边形A B C D是矩形，CQ=&，F为棱P A上一点，且A F=A P（0人 4-为“4.4 4(二)选考题：共 10分.请考生在第2

8、2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程】2 2 .在平面直角坐标系，曲线。的参数方程为(v4 =3c OS 0Q,(0 为 参 数)，P(x o,W)是 y=2sinUx=x曲线C上的任意一点，动 点 Q (yy)满足/，记 Q (x,y)轨迹为E,以坐标2y=3y0J T原 点 O 为极点，X轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，I的极坐标方程为4(p G R),A 点的极坐标为(5,0).(1)求 E的普通方程；(2)若/与 E交于N两点，求 A M N 的面积；选修45：不等式选讲2 3 .己知函数/(x)=|工|.(1)求不等式/(x

9、-1)+/(2 x -1)0,b 0,c 0,且上+证明：f(x+a)+/(x -c)2 3 6.a b c参考答案一、选 择 题(共12小 题).1 .在复平面内，复数z=-对应的点的坐标为()1A.(3,2)B.(2,3)C.(-2,3)D.(3,-2).2+3i(2+3i)(-i)解：.z-；-2 ,1-i在复平面内，复数2=空-对 应 的 点 的 坐 标 为(3,-2).1故选：D.2 .已知集合2 4=川 =方(-x2-3 x+4),8=第=2 2-公，则 A U8=()A.(-4,4 B.(0,1)C.(-8,4 D.(-4,+8)解：.集合 A=x y=/(-N-3 工+4)=x

10、|-4 x l ,8=y|y=2 2-x 2 =x|0 V)W 4 ,：.A U B=x-4 0,J.2=-*D.m x o W O,JR 7。解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，B x o=AOsini喙=10愿,可得：弦=2AD=2X 10愿=2 0 ,所以：弧田面积=1(弦+矢)X 矢=/(20行10)X 10223平方米.故选：C.5.已知双曲线8/_ 8y2=-1 有一个焦点在抛物线c：x22py(p 0)准线上，则p的值为()A.2 B.1 C.D.2 4解：双曲线8/-旷=-1 即 为 丁-=1,8 =阜=工8 8 42:抛 物 线 C：炉=2外(p 0)准 线 为

11、尸-半A-艮=2 2即=1,故选：B.s66.已知正项递增等比数列 “的前项和为S“，若“4+47=2 0,。4加7=6 4,则三2=()S9解：正项递增等比数列 的前项和为S,”4+S=2 0,6。7=64,4,47是一元二次方程12-20.计64=0 的两个根，且 44 Vo7,解方程 N-20 x+64=0,得 处=4,47=16,at q =4,解得 ai=l,炉=4,勺 q6=1 6（l-q）.$6_ l-q _ l-q 6_i 6_ 1 5 5飞9 -ai（l-q9）-77-6?-6 3 2 1 l-q故选：B.7.如图是用模拟方法估计圆周率TT的程序框图，尸表示估计结果，则图中空

12、白框内应填入（）A.I B叫 焉 C.。=悬D-=悬解：随机输入6（0,1）,y,e（0,1）,z,e（0,1）,那么点P （Xi,匕，Z/）构成的区域为以1 为边长的正方形,判断框内 x2i+y2i+z2i 1,若是，说说明点p （Xi,yi,Z i）在单位球内部（1 球）内，并累计记录点的个数若否，则说明点P （如 9）在单位圆内部（4 球）外，并累计记录点的个数M第 2个判 断 框/2 0 0 0,是进入计算此时落在I 单位球内的点的个数为一共判断了2 0 0 0 个点，那 么 球的体积/正 方 体 的 体 积=幺8 2 0 0 0即 亘1 X 可4 九 X 133=,-2 0 0 0解

13、得：皿=鬻 7，（冗的估计值），1 0 0 0即执行框内计算的是1 0 0 0故选：B.8.已知(0 -c os (n+0)=c os 2 0,A.M B.亨且 s i i WWO,则 t a n (0+)的 值 为(6C.2 -D.2+/)解:丁 V i n(。-c os l n+e)=&(s i n 6-c os B)(-c os 0)=c os20 -s i n 0 c os 0,V c os 2 0=c os20 -s i n20,冗而己知 J s i n (0-)c os (n+0)=c os 2 0,4/.c os20 -s i n 0 c os 0=c os20 -s i n20

14、,即 s i n 0 c os 0=s i n26.:s i n 8W 0,/.t a n 0=2,K则 t a n (6+-)6tan9+tarrT 3W 3l-tanG ta谭 3 m=2+百,故选：D.9.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为0,其内切球的表面积为S 2,且S 1=A 5 2,则入=（）R2D.一3A.1c-iD.34解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示;设底面圆的半径为R,则圆柱的母线长为2 R,内切球的半径也为R,则圆柱体的表面积为5 1=2屈2+2返.2 7?=671/?2,其内切球的表面积为S2=4T T

15、R2,又 SI=AS2,贝”入=廿S.6兀R24兀R232故选：C.1 0.已知A B是半径为2的圆M的一条直径，四边形A8C。是圆M内接四边形，/CM D=1 2 0 ,若P在线段C。上(端 点C、。除外)运动，则瓦而的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.-3,0)D.(-3,3)解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设 C Q AB,由 AB=4,Z C MD=1 2 0 ,得 M (0,0),A(-2,0),8(2,0),C(百，1),。(-正，1),由P在线段C O上(端 点C、。除 外)，可设P(x,1),其中在(-聪，百)；则 而=(-2 -x,-1),p g=

16、(2 -x,-1),所以而而=(-2-x)(2 -x)+l=x2-3；又 在(-百，如),所以丫/-3日-3,0),即隹而的取值范围是-3,0).故选：c.1 1.已知椭圆G：与三=1 ,双曲线C2：F i,6分别a b b a-2 b z为 C2的左、右焦点，P 为 C i和 C2在第一象限内的交点，若 的 内 切 圆 的 圆 心 的横坐标为2,G 和 C2的离心率之积为寻，则该内切圆的半径为()2A.4&-2 遍 B.4扬2&C.4 M-2瓜 D.4遍-2 解：设尸尸尸2的内切圆的圆心为/,且与PF”PFi,F1F2的切点为M，N,K,可得|PM=|PN，|N=|F2K，|MFI|=|FI

17、K,由双曲线的定义可得|PFi|-|PB|=26,即有尸凶-F2K=2b,又|F2K+|FIK|=2C,可得因留=。+4可得内切圆的圆心/的横坐标为6=2,G 和 C2的离心率之积为当，可得我 2-4.V a2-4 3,、-a 2-2解得。=4,2 2可得椭圆方程为3 +匚=1，16 4即有IPRI TP尸 2|=4,IPKI+IP尸 2|=8,解得|尸危|=2,可得4-返 卬=2,解 得 心=,2V3P的纵坐标为，设内切圆的半径为广，可 得 上(|PFI|+|PF2|+|FIB|)=a4即片册=m一 2缶故选：A.1 2.已知函数/(x)=+1,若关于x的 方 程 产(*)-时(x)+a-1

18、=0 恰好有4ex x个不相等的实根，则?的取值范围是()A.(1,Ll)B.(0,X-l)C.(1,冬巨)D.(0,织 3e e 3 3解：因为f (x)=。+但 支，ex xl ，、l-x lnx所以/(x)2e x当 O V x V l 时，#(x)0,当心 1 时，#(x)0则有:。禧 0解得：l m 0e故选：c.二、填空题:本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.如图，动点P(x,y)在平行四边形ABC。内部(含边界)运动，则 z=2 x-4 y的最小值为-12.Av 1.0)解：由动点P(x,y)在平行四边形ABC。内部(含边界)运动，可行域如图，左=赢+屈+标=(1,

19、0)+(-1,2)+(3,2)=(2,4).可得C(2,4)化目标函数z=2 x-4 y的最小值为X 2-4 X 4=-12.14.将 6 个相同的小球放入4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共 有 1 0 种放法.(用数字作答)解：根据题意，将 6 个小球排成一排，排好后有5 个可用的空位，在 5 个空位中任选3 个，插入挡板，有。53=10种情况，可以将6 个小球分成4 组，依次放入4 个不同的盒子中即可，则 有 1 0 种不同的放法：故答案为：1 0.-x3 a x+l,04 x l1 5 .已知函数f(x)=1 3 ,若/(x)2/(1)恒成立，则正实数的a l n x,取值范围是(0

20、,当【解答】因为由/(X)2/(1)恒成立，又/(I)=0,故/(X)2 0恒成立.因为。0,故当时，f(x)=阮v 是增函数，所以f(x)/(1)=0成立；当 事+1。恒成立，此 时/,故/(x)在(0,4)上单调递减，在(4，2)上单调递增，当 心 1 时,/(x)在 0,1)上单调递减，故；a+l 0,解得l a 母；当 0 V.V 1 时，1 n=双“)=1-卷 710成立；O综上可知，4 的取值范围是(0,4.故答案为：(0,看.O1 6.已知/(x)=/n s i n a)x -c o s a)x (/H 0,O)0),g(x)=e 若对V x i W R,3 x 26 0,历 2

21、,使得/(X I)Wg(X 2)成立，若/(x)在区间 0,n l 上的值域为-1,&,则实数3 的最 大 值 为 4 -一 3 1解：已知 f (x)=m s i n o u -c o s o)x=J m 2+_s i n (u)x+0),其中 t a n 6=；可得/(x)的最大值为J1 n2+1，由g (x)=e 在x 0,加 2 的最大值2,Vm2+12可得：0 兀.则 3 可得1 时“n9-1(o?w，)Vm2+lsin(W 兀+8)=/2JT 7JT：.m=l,那么。=/或，6 6当则7T C O 3=+2 k兀，依Z；6 22 c,+2k-(A)最大值为善.当寸77T 兀则兀 3

22、 一=k+2 k兀，kwZ；6 2 2 ni3=+2k-o4口 1 得 0)最大值为Q.故答案为：告.三、解答题(一)必考题:共6 0分1 7.已知数列 斯,a i=3,且对任意6N”,都有1笆2.=斯+1.2(1)设 b”=a“+L a”,判断数仍“是否为等差数列或等比数列.fan，n为奇数(2)若“2=5,C n =.，求数列 C n 的前2项的和S 2”.为偶数解：(1)数列防=3,且对任意 N*,都有囱2所以：an+2*。+|=。+1-ant所以：数列 ”的公差为。时,瓦+1=以=0,所以：数列仍 是等差数列，不是等比数列.当数列 “的公差不为0 时，b+=bn#3所以：数列 儿 既是

23、等差数列，又是等比数列.(2)若。2=5,由(1)知：如+1-。”=。2-m=2,所以：，尸 2+1.则:_2n+l(n=2k-l)n=t 4n(n=2k)则：S 2=S 令+s 偶,=(3+7+1 1+-+2M+1)+(42+44+42),1 8.某房产中介公司对201 8 年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示201 8 年 x月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：yi 12 1 4 20 22 24 20 26 3 0（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与 x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交

24、客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获 5千元奖金；抽 中“二等奖”获 3千元奖金；抽 中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的 概 率 为 获 得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望.8 8 8参考数据：x；y）=8 5 0,x,2=204,y,2=3 7 7 6,=4.5 8,3 1 5.5 7.i=l i=l i=l xiyi-n x y参考公式：相关系数厂解：（1）由题意，计算x=4 5 y=21,又工 x,=8 5 0,Z X,2=2 0 4,汇 W=3 7 7 6,5/21

25、 4.5 8,A/3 1 5.5 7；所以相关系数广850-8X4.5X212-2 V204-8 X 452,3776-8 X 212-n y_ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _心。92-742X248 4X4.58X 5.57 因为0.92非常趋近1,所以变量x、y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与 x的关系；（2）二人所获奖金总额X的所有可能取值有0,3,5,6,8,1 0千元，计算 P (X=0)4 4 16P(X=3)=2 X X=,2 4 4P(X=5)=2 X工X=工4 4 8P(X=6)=-X2 2 4P(X=8)=2 X X=,2 4 4P(X=1

26、0)x=；4 4 16所以随机变量X的分布列为：X035681 0p12X1167s-I7I?数学期望为 E (X)=0 XT3XL 5XL 6XL 8XU 1 0 X 一=5.5(千元).16 4 8 4 4 161 9.如 图，在四棱锥P-A B C Q中，平面平面4 B C Z),P 4 O是等边三角形，四边形A B C。是矩形，尸为棱P A上一点，且A F=A A P (O A 匕 0)上任意一点到其两个焦点Q，乃 的距离之和等于2 代，焦距为2 c,圆 O：N+y 2=c 2,A,4 是椭圆的左、右顶点，A B 是圆。的任意一条直径，四边形4 A A 2 8 面积的最大值为2 代.(

27、1)求椭圆C的方程；(2)如图，若直线k y=kx+m(m#0)与圆。相切，且与椭圆相交于M,N两点，直线 人与/2 平行且与椭圆相切于P(O,尸 两 点 位 于 的 同 侧)，求直线/卜/2 距离d 的取值范围.解：(1)椭圆C：工5送 万=1 (/0)中，2 a=2 依，解得=代;又圆的直径AB J_x 轴时四边形A1 AA2 B的面积最大，最大为2ac=2匹,解得C=l,所以6 =2 -理=4,2 2所以椭圆。的方程为+2 _=1；5 4(2)由直线小 y=H+?(胆WO)与圆。相切,即依1=冒+再设直线h：y=kx+nf联立5 Fy=kx+n消去 y 得(5 N+4)为 2+1 0攵

28、才+5 2 -2 0=0；所以=(1 0。)2-4 (5 F+4)(5/-2 0)=0,化简得层=5 N+4；因为d=/V=坪71=|1-马,Vk+1 lm|m2 5k 2+4 1且(2)=好=5k2+l k2+l1 2由 F 20,得 0 刀 W1,所以4 式(旦)5；k+1 m由。、户两点位于/i 的同侧，2、异号，所 以-娓=W-2；m所以 d=1 -4 3,1+，),m即直线K，2 距离d 的取值范围是3,1+收).2 1.已知函数/(k)=x1+mln(1 -x),其中z R.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若函数/(X)存在两个极值点X I,X 2,且 X 1 o,1-x 1

29、-x令-N+x-机=0,判别式=1 -4 人当4()，则，(x)W O 恒成立，即/(外 在(-8,1)上是减函数，当 (),即机时，由/-工+加=(),得用=，1 4；-4 m,工2=,若 0 V/n V1 ,则 xiX2 l,4则当xVxi时，f(x)0,f(X)单调递增，当 JQVXV I 时，f(x)0,f(x)单调递减.若/n WO,则 XI1WX2,则 x V x i 时，f(x)0,f(x)单调递减,X I X 0,/(x)单调递增综上区o时，八x）的单调递减区间为（-8,J：如），单调递增区间为（如,1）.0 相工时，于（X）的单调递减区间为（-8,（W1-4 I U,1）,单

30、调4 _ _ 2 2递增区间为（1 M l-如*,W1-4 H I）,2 2加4 时，f （x）的单调递减区间为（-8,1）.（2）函数的定义域为（-8,1）,742（x）=x-g-=x +x-m,1-x 1-x若函数/（x）存在两个极值点XI,X2,且即 及，:（X）=0在（-8,1）上有两个不同的根XI,X2,设 g(x)=-m,则-2X（-1）：L，得。机g（l）0X i+x2=l从而 ，且X1VX2,xX2=m得 0 O V x2 V ,2 2f(x i)4/(X 2)=-x 1-irm ln(1-x i)+x r-m ln(I-X 2)=-(XI2+X22)+n tln(1 -x i

31、)2 2 2(1 -X2)=-(X 1+X 2)2-2xX2-tnln(1 -(汨+1 2)+x iX 2 =/(1 -2 m)+m ln m9构造函数力(x)=x ln x -+,0 x,2 4则 力(x)=/u V0,即/?(x)在0 x h(1)=-、7 4.即证.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（x4 =3 c o s ,8,（0为参数），P（xo,州）是y=2 s in Bx=x。曲线C上的任意一点，动点Q （x,y）满足I。,，记Q（%V）轨

32、迹为区 以坐标2 y=3 y0j r原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，I的极坐标方程为。=-（p e R）,A点的极坐标为（5,0）.（1）求 的普通方程；(2)若/与E交于M,N两点，求aA MN的面积；x=x0 f x0=3 c o s 9 fx=3 c o s 6解：(1)由已知Q (x,y)满 足 ：及 c得 0，2 y=3 y0 y0=2 s in 6 l y=3 s in 9曲线 E：x2+y2=9,j r(2)由于/的极坐标方程为6=1(p E R),即为y=x,A(5,0)4：|M N=6,d=4,S-J-6&2 V2 2 选修4-5：不等式选讲2 3 .已

33、知函数/(x)=x.(1)求不等式/(x-1)+/(2 x-1)的解集；1 A Q(2)若。0,h 0,c 0,且 上 二 J=l,证明：/(x+)+f(x-b-c)2 3 6.a b c解：(l)/(x-l)+f(.2x-1)=|x-l|+|2 x-1|,当 x 时,x-+2x-l|=3 x-2 2 x,解得：x W l,故 1VXW2,当4 1 时，-l|+|2 x-l|=xW2 x,解得：x N O,故当 x V工时，x-l|+|2 x-1|=2 -2 x,解得：故2工 0,6 0,c 0,且+“4+=1,a b c.*a+b+c=(a+b+c)一日a b c=1i +4/+96 +“bY+c上+4 a+子4 丫c一+*9已a，+Y9 匕ba b c2 1 4+2、但 组+2、里_+2、住.生=3 6,Va b V a c V b c当且仅当人=2 m c=3 a时”=成立,故原命题成立.