2021年安徽省中考数学仿真试卷（一）.pdf

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1、2021年安徽省中考数学仿真试卷（一）一、选 择 题（本大题有10个小题，每小题4分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-（4 分）7,0,半，如 砺，0.10100100001,-y,-0.3 2 3 2 其中，无理数的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.52.（4分）某市在2 02 0年新建了保障性住房4 60000套，缓解了一部分中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求.把4 60000用科学记数法表示应是（）A.0.4 6X 106 B.4.6X I O5 C.4.6X 106 D.4 6X 1053.（4分）如图，图中的几何体是由5 个相同的小立方块

2、搭成的，则这个几何体的俯视图是4.(4 分)点 M(t a n 60,-c o s 60)关于x 轴的对称点M的坐标是()A,y)B.(,y)C.(,9)D.(-2,5.(4 分)设 、是方程2 02 1=0的两个实数根，则 J+H+2 a+/的 值 是()A.2 02 0 B.2 02 1 C.-1 D.-26.（4分）某单位有5 名司机，分别用A,B,C,D,E 表 示,某月各位司机的耗油费用如下表：司机4BCDE耗油费用110元12 0元102 元150元9 8元根据表中的数据制作统计图，为了更清楚地比较每位司机的耗油费用，应 选 择（）A.条形统计图 B.扇形统计图 C.折线统计图 D

3、.以上都不对7.（4分）已知二次函数产/-2 a x+c （i z0）的图象上有两个不重合的点A （m,y i）,B（n,y2）,若 y i=，则点尸（m,n）可能在下列哪个一次函数图象上（）8.（4分）如图，在矩形ABC。中，AD=3,将/A向内翻折，点A落在BC上，记为4 ,折痕为O E,若将沿E A 向内翻折,点B恰好落在D E上，记 为B,则 点B 到BC的距离为（）3B.Zl.2 29.（4 分）如图，在ABC 中，NA8C=90C.3 D.3愿4 4NACB=30,AB=2,8。是 AC 边上的中线，将BCD沿射线C8方向以每秒近个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为BCD,设与

4、AB。重叠部分的面积为 平移运动的时间为x,当 点。与 点8重合时，停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）BB10.（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形04 3 c的顶点。与坐标原点重合，连接AC,过 点C作CE J_AC,交x轴负半轴于点E,连 接B E,反比例函数y=K （%W 0,x 0）的图象经过C E上的两点C、D,且CD=）EA.-1 5 B.-1 0二、填 空 题（本大题有4个小题，每小题5分,1 1.（5 分）计算：（岑）T_|_ 2尸 一1 2.（5分）分解因式：?-1 69%=A B C E的面积为1 5,则女的值是（）C.-生 D.-52共2 0分）1 3

5、.（5分）已知抛物线y n a+f e r+c（aW O）的对称轴是直线x=l.其部分图象如图所示，下列说法中：H c 0；3 a+c=0；当-l x 0,正确的1 4.(5 分)如 图，。的弦A 3、C D相交于点E,C 为弧A B 的中点，过点。作。0的切线交A B的延长线于点F,连 接A C,若AC/DF,Q 0的半径为至，B E 3.A E,则CE6 5三、(本大题有2小题，每小题8分，共16分)1 5.(8 分)(1)计算：+卜2 co s4 5 +()L(2)解方程：(2 x-1)2=x(3X+2)-7.1 6.(8 分)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折

6、测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？四、(本大题有2小题，每小题8分，共16分)1 7.(8 分)在坐标平面内，A A B C 的顶点位置如图所示.(1)将 ABC作平移交换(x,y)-(x+2,y-3)得到A1 B1 C1,画出A1 B1 C1.(2)以点。为位似中心缩小a A B C 得到2 8 2 c2,使/UB2 c2 与 ABC的相似比为1：2,且点A 与其对应点4 2 位于点。的两侧，画出2 8 2 c2.1 8.(8 分)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为A C,椅

7、面宽为B E,椅脚高为S.ACL BE,A C L CD,AC/ED.从点A 测得点。，点 E的俯角分别为64 和 5 3 .已知椅面宽BE=4 6c?，求椅 脚 高 的 长(结 果 取 整 数).参考数据：t an 5 3 0 弋1.3 3,si n 5 3 0.8 0,t an 64 0 弋2.0 5,si n 64 0.9 0.五、(本大题有2 小题，每小题10分，共 20分)1 9.(1 0 分)观察等式找规律：1 -工=_ _；工 工工2 1 X 2 2 3 2 X 3 3 4 3 X 4 4 5 4 X 5(1)根据以上规律写出第 个 等式；(2)根据你得出的结论计算右面这个式子的

8、结果：-J-+z 1,.1 X 2 2 X 3 3 X 4 n(n+l)(3)若-+-A-+-=-求，*的值.(m+1)(m+2)(m+2)(m+3)(m+2 0 1 9)(m+2 0 2 0)m+2 0 2 02 0.(1 0 分)己知：点。是 ABC 的边 A C 上一点，t an C=l,co sN A)8=工，。0 经过 8,2C,Z)三点.(1)若 80=4,求阴影部分图形的面积；(2)若 A D=2 C D=4,求证：AB为 的 切 线.2cy 6 I六、（本大题满分12分）2 1.（1 2分）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生

9、从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共抽查了 人.（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数；（3）张老师在班上随机抽取了 4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率.七、（本大题满分12分）2 2.（1 2分）如 图1,在平面直角坐标系中，一次函数=工-2的图象与x轴交于点B

10、,2与y轴交于点C,抛物线 =工2+原+c的图象经过8、C两点，且 与x轴的负半轴交于2点A.（1）求二次函数的表达式；（2）若 点O在直线8C下方的抛物线上，如 图1,连 接。C、D B,设四边形O C D B的面积 为S,求S的最大值；(3)若点。在抛物线上，如图2,过点。作 QMLBC于点M,试问是否存在点O,使得CDM中的某个角恰好等于/A B C?若存在，请求点。的横坐标；若不存在，请说明理由.八、(本大题满分14分)23.(14分)【问题提出】(1)如图，A8C和ADE均为等腰直角三角形，NBAC=N D 4E=90且 点。恰在 BC边上，连接C E,则NACE的大小为；【问题探究

11、】(2)如图，在 RtZVLBC中，NBAC=90,A B=A C,点尸是其内部一点，连接AP、BP、C P,当乙4P8=90,ZBPC=135 时，试探究AP、BP、CP之间的数量关系，并加以证明.【问题解决】(3)如图，有一个圆心角为120、半径为20米的扇形舞台A O 8.现要在OA、OB边上确定两点C、D,使得。C=。，并在CO之间拉上幕布.为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧AB上找一点P 来安装一照明角为60(即NCPO=60)的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布.要使幕布C。长最短，则。C 长应为多少？并求此时灯光照亮的舞台面积(即P1)的面积).2021年安徽省中考数学仿真试卷（一）

12、参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题有10个小题，每小题4 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（4 分）二/,Q,勺，如 市，0.10100100001,-0.3232其中，无理数的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解：0 是整数，属于有理数；2 2 是分数，属于有理数；7O.1O1OO1OOOO1是有限小数，属于有理数;-0.3232 是循环小数，属于有理数；如砺=-5,是整数，属于有理数;无理数有二无，共 2 个.2故 选:A.2.（4 分）某市在2020年新建了保障性住房460000套，缓解了一部分中低收入人群和新参加工作大学生的住

13、房需求.把460000用科学记数法表示应是（）A.0.46X 106 B.4.6X 105 C.4.6X 106 D.46X 105【解答】解：460000=4.6X 105,故选：B.3.（4 分）如图，图中的几何体是由5 个相同的小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（）【解答】解：从上边看，底层是三个一个小正方形，上层右边是一个小正方形.故选：B.4.（4分）点 M（t a n 6 0 ,-c o s 6 0 ）关于x 轴的对称点M的坐标是（）（V，）B-（V 3 y）c-（V 3 卷）D-（V 3 卷）【解答】解：抽 1 1 6 0 =，-c o s 6 0 =-,2 点M坐 标 为（

14、,-1）,2:点M 的坐标是（正，1）.2故选：B.5.（4分）设 心 是方程/+x-2 0 2 1=0 的两个实数根，则/+2。+人的 值 是（）A.2 0 2 0 B.2 0 2 1 C.-1 D.-2【解答】解：“、b是方程/+x-2 0 2 1=0 的两个实数根，.*.a2+0)的图象上有两个不重合的点A Cm,y i),B(,y2),若 y i=，则点P (m,H)可能在下列哪个一次函数图象上(）【解答】解：若 y i=y 2,贝!)an?-2 atn+c=an2-2 an+c,贝!J。(m+n)Cm-n)=2 a(机-)，V a 0,且 A,B 不重合，m+n=2,n=-m+2,V

15、-l0,.点P Cm,n)可能在第一、二、四象限,故选：B.8.（4 分）如图，在矩形ABC。中，A=3,将/A 向内翻折，点A 落在BC上，记为A ,折痕为D E,若将沿E A 向内翻折，点 B 恰好落在D E上，记 为B,则点B 到B C的距离为（）【解答】解：过点8 作 B F,8 c 于 F,由第一次翻折知：ZAED=ZAED,AD=AD=3,由第二次翻折知：ZAEB=ZAEB,ZBAE=ZBAE,.N A E D=/A E O=/A E B=X180=60,3.NA）B=30,ZBAB=60,2_ABF=BAXsinZBAF=-义昱,2 2 4故选：D.9.（4 分）如图，在ABC

16、中，NABC=90,ZACB=30,AB=2,B力是 AC 边上的中线，将8C。沿射线CB方向以每秒遮个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为BCD,设MC77与A 8O 重叠部分的面积为y,平移运动的时间为x,当 点 C 与 点B重合时，停止运动，则下列图象能反映y 与 x 之间函数关系的是（）【解答】解：当x=l 时，如 图 1,平移了夷个单位长度，即 CC=M，V ZABC=90*,NACB=30,AB=2,：.AC=2,A8=4,BC=3=2 仃tan300 返3：.B C =C C =M，SAABC=LB8 C=2 X 2 X 2 =2 ,2 2SAABD=S&ABC=AX2A/3=

17、A/2，2 2ABC中，/ABC=90,BD是 AC边上的中线，：.B D=1A C=A D C D 2,2.BCQ与B C。是等腰三角形，VABCD沿射线CB方向平移后的三角形记为BCD,：.AC/CD,:B C=C C=a，七是ABQ的中位线，：.D E X D,2ASABD E=S&ABD=4 4 4即 X=1 时，S/BD，E=故 C、D 错误,4当X 1时，如图2：AC/CD,:.ABHEABAD,.B L =2-x，-B C 2A/3:SABHE=（2点 吾）2 5 3=（2 V W 3 X）2.=返/-心+遮，273 2V3 4可见当：1 时，5./花=返，-心+“，函数图像为开

18、口向上的抛物线，则 4 符合题4意，B 为一次函数不符合题意.故选：A.图110.（4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABe的顶点。与坐标原点重合，连接AC,过 点 C 作 CEJ_AC,交 x 轴负半轴于点E,连 接 3 E,反比例函数y=K （ZWO,x 0）X5CE的面积为1 5,则 A的 值 是（）c-fD.-5【解答】解：如图，过点。作 CGLOE于 G,过点。作。凡LOE于 F.,:CD=DE,尸是aECG 的中位线,：.EF=FG,DF=CG.2：D,C在 yJ上,SA O C G=SA O D F 1 4 因,SA O C G =|OG X C G,SA O D F40F

19、XDF，：.0 F=2 0 Gf B P 0 E=3 0 G.A O C G =3 A O C E，,四边形0 4?。是菱形，：.ACL OB.CE 上 AC,：.EC/OB.,S/OCE=S/BCE=1 5.-y|k|=5-:图象经过第二象限，:k=-1 0.故选：B.二、填 空 题（本大题有4 个小题，每小题5 分，共 20分）I I.（5分）计算:T-1 E-2|=2【解答】解：原式=-（2-V 3）=V 3 -2+=-2,故答案为：-2.1 2.(5 分)分解因式：宜-1 6 9；1=x(x+1 3)(x-13).【解答】解：F-1 6 9 x=x(x2-1 6 9)=x(x+1 3)

20、(%-1 3).故答案为：x(x+1 3)(x-1 3).1 3.(5分)已知抛物线、=加+法+。(“r o)的对称轴是直线x=l.其部分图象如图所示，下列说法中：。乩 0：3 a+c=O；当-1 X 0,正确的是 (填写序号).【解答】解：由抛物线开口向下可知：0,而抛物线对称轴是直线x=l,-且=1,即 b=-2 a,2 a.abc 0,B|J b1-4 a c 0,4 a c -b2 0,故正确；故答案为：.1 4.（5 分）如图，O O 的弦AB、CO相交于点E,。为弧AB的中点，过点。作O O 的切线交 A 8的延长线于点F,连接A C,若 AC。尸，。的半径为空，BE=3AE,则

21、CE=6 5【解答】解：连 接。C、。4、OD,OC与A F交于点儿 如图,C 为弧A 8的中点，/.OC.LAB,AH=BH,*：AC/DFf：.4ACD=4CDF,。是切线，J OD1.DF,：.ZODF=90,：.ZODC+ZCDF=90,:OC=OD,：.ZOCD=ZODC,V ZOCE+ZCEA=ZOCE+ZFED=90,，ZCDF=NDEF=ZACD=ZAEC,：.AC=AEf设 AE=5入，则 止=3入，AC=5入，AB=8,，A，=4入，H E=X,在 RtZACH中，由勾股定理得CH=3入，O H=O C-。”=至-3人，6在 Rt/XH CE 中，由勾股定理得 CE2=/C

22、2+/E2=9A2+A2=1 O X2,CE=1 10 人，在 RtHOA中，由勾股定理得，OATAH2+OH2,即（至）2=（4入）2+（空-3 入）2,6 6解得人=1,cE-yj io x-V io,故答案为：VTo-三、（本大题有2 小题，每小题8 分，共 16分）15.（8 分）计 算：+卜2cos45+（1）（2）解方程：（2 x-l）2 f （3x+2）-7.【解答】解：（1）原式=l+J -2 义 返+42=1+y-扬4=5；（2）整理得，4 f-4 x+l=3/+2 x-7,7-6x+8=0,（x-4）（x-2）=0,.x-4=0 或 x-2=0,xi=4,x2 2.16.（

23、8 分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，绳长、井深各几尺？【解答】解：设绳长是x 尺，井深是y 尺，1.-yx-y=4依题意有：，；x-y=l解得:x=36y=8答：绳长是3 6 尺，井深是8 尺.四、（本大题有2小题，每小题8分，共16分）1 7.（8分）在坐标平面内，A B C 的顶点位置如图所示.（1）将 A B C 作平移交换（x,y）-（x+2,y-3）得到A 1 B 1 C 1,画出（2）以点。为位似中心缩小a ABC得到A A 2 8

24、 2 c2,使aA zB 2 c2 与 A B C 的相似比为1：2,且点A与其对应点4 2 位于点0的两侧，画出2 8 2 c2.【解答】解：（1）如图，AIB CI为所作;（2）如图，Z X A 2 8 2 c2 为所作.1 8.（8分）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC,椅面宽为B E,椅脚高为E C,H A C BE,A C L CD,AC/ED.从点A测得点。，点 E的俯角分别为6 4 和 5 3 .已知椅面宽B E=4 6 c m,求椅脚高ED的 长（结果取整数）.参考数据：t an 5 3 0 弋1.3 3,s i n 5 3 七0.8 0,t an 6 4 弋

25、2.0 5,s i n 6 4 七0.9 0.【解答】解：ACVBE,ACCD,AC/ED,，四边形8 C Q E 是矩形,:.BC=DE,CD=BE=46cm,由题意可得N A E B=5 3 ,N A D C=6 4 ,在 R t Z i A B E 中，t an 5 3 =胆，B E，A B=B E t an 5 3 ,在 R t Z X A C D 中，t an 6 4 =挺,C D：.AC=CDtan640,.E Z)=B C=A C-A B=4 6 X 2.0 5 -4 6 X 1.3 3=9 4.3 0-6 1.1 8=3 3.1 2 七3 3 (cm),答：椅脚高ED的长约为3

26、3cm.五、(本大题有2小题，每小题10分，共20分)1 9.(1 0 分)观察等式找规律：1 -工=_ _；工 工工 2 1X2 2 3 2X3 3 4 3X4 4 5 4X5(1)根据以上规律写出第个等式；(2)根据你得出的结论计算右面这个式子的结果：二 _+1X2 2X3 3X4 n(n+l)(3)若-+-A-+-=-求，*的值.(m+1)(m+2)(m+2)(m+3)(m+2019)(m+2020)m+2020【解答】解：(1)由题意可得，第个等式是：工:n n+1 n(n+l)(2)1 1 +11X2 2X3 3X4 n(n+l)n+1=n+l 1n+1=.n.n+1(3)/-+-+

27、,+-(m+l)(m+2)(m+2)(m+3)(m+2019)(m+2020)m+2020 1 -1-,1._1_ _+I.+I-1-_-1-.-=1i,m+1 m+2 m+2 m+3 m+2019 m+2020 m+2020 1=1m+1 m+2020 m+2020 1=2.m+1 m+20202 (ni+1)=m+2 0 2 0,2 m+2=+2 0 2 0,A m=2 0 1 8.2 0.(1 0 分)已 知：点。是 A B C 的边 AC上一点，t an C=l,C O SN A O B=L,经过 B,2C,D三点.(1)若B D=4,求阴影部分图形的面积；(2)若4)=2 C =4,

28、求证：AB为。的切线.【解答】解：(1)连 接OB,OD,t an C=1,：.ZC=45,：.ZBOD=2ZACB=9Q，VBD=4,:.OB=OD=.S 房形Q08=?O.兀=2冗SD0B=X(2V2)2=4,:.S 阳影=S 扇形008-SDOB=2TI-4.（2）证明：过点3 作 B/U A C 于点R 设 O F=x,则 3 F=F r,V ZACB=45,:CF=BF,，x+2=心，xj+1 ；.8/=3+,；.AF=4-x=3-,.，.AB2=AF2+BF1=24,又；AZAC=4X6=24,：.AB2=ADAC,即笆_昼，A D A BZA=ZA,，AADBAABC,/.ZAB

29、D=ZACB=45,又；NOBO=45,A ZAB0=ZABD+ZOBD=45+45=90,J.ABL BO,J OB是半径，.AB为。的切线.六、(本大题满分12分)21.(12分)为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，盂县某中学随机抽取了部分学生进行调查，要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果，现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：不合格町oooO08642(I)这次活动共抽查了 2 0 0 人.(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数

30、；(3)张老师在班上随机抽取了 4 名学生，其中学习效果“优秀”的 1 人，“良好”的 2人，“一般”的 1 人，若再从这4 人中随机抽取2 人，请用画树状图法，求出抽取的2 人学习效果是“一个优秀，一个良好”的概率.【解答】解：(1)这次活动共抽查的学生人数为8040%=200(人)：故答案为：200；(2)“不合格”的学生人数为200-40-80-60=20(人)，补全条形统计图如下:优秀良好一般不合格学习效果学 习 效 果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360。X 型_=108；200（3）把学习效果“优秀”的记为A,“良好”记为8,“一般”的记为C,画树状图如图：一 开 始、A

31、 B B C小小小B B C A B C A B C A B B共 有 1 2个等可能的结果，抽取的2 人学习效果是“一个优秀、一个良好”的结果有4个,则抽取的2 人学习效果是“一个优秀、一个良好”的概率=_ =.1 2 3七、（本大题满分12分）22.（1 2分）如 图 1,在平面直角坐标系中，一次函数y=L-2 的图象与x轴交于点B,2与）轴交于点C,抛物线）=12+法+,的图象经过8、C两点，且与x轴的负半轴交于2点 4.（1）求二次函数的表达式；（2）若点。在直线BC下方的抛物线上，如 图 1,连接。C、D B,设四边形。C O B 的面积为S,求 S的最大值；（3）若点。在抛物线上，

32、如图2,过点。作 于 点 试 问 是 否 存 在 点 ,使得 C D M 中的某个角恰好等于N 4 B C?若存在，请求点。的横坐标；若不存在，请说明故点B、C的坐标分别为（4,0）、（0,-2）；，c=-2将点8、C的坐标代入抛物线表达式得1 ，解得|0一瓦,X 1 6+4 b+c=0 c2 c=-2故 抛 物 线 的 表 达 式 为-*-2;(2)连接0。，点。的坐 标 为(x,工2_当-2),2 2图1贝!S=SA ODC+SODB=A X 0 C X XD+A XBOX.(-)，)2 2-2)=-/+4 x+4,V -l 0,故S有最大值，当x=2时，S有最大值8；=AX2 XX+AX

33、4X(AX2-2 2 2 2(3)存在，理由:当 N D C A f=N A B C 时，当点M在线段B C时，如题干图2,则 CD/OB,抛物线的对称轴为直线x=l,2则根据函数的对称性点。、C关于抛物线对称轴对称,当点M在C B的延长线时，如图2,故点。的坐 标 为(3,-2)；N D C M=ZABC,故 TB=TC,设 T B=x=C T,则。7=4 -t,在 R tZ C T C 中,。产=0 产+（2,即 於=（4 7）2+2 2,解得 f=2.5,故点T的坐标为（3,0）,2由点C、T的坐标得，直线CT的表达式为），=幺-2，3联立并解得x=o （舍去）或工L；故点D的横坐标为3

34、或 工；3当N MO C=ABC时，如图3,过 点。作 x轴的平行线交BC于点,交 y 轴于点P,则 N Q=N A B C,/N M D C=A B C,：.lDMCs 丛 BOC,则 典 山CM 0C故设 M D=2 k,则 CM=k,CD=k,在 R tZ M 4 ）中，tan/Q=tan/A B C=工，则 Q M=4 k,2则 CQ=3k,口0=胸+皿2=2限在 R tZ XPQ C 中，t a n Q=L,则 si n Q=co sQ=2 V5 V5则 C P=C Q si n Q=心医，同理可得。=色 氏，5 5则 P D=D Q -P Q=2疾k-曳：=生 回:，5 5设点。的

35、坐标为（x,22-当-2）,则。P=x,C P -k r2+-x,2 22 2解得x=0(舍 去)或 1.5,故点。的横坐标为1.5；综上，点。的横坐标为1.5 或 3 或工L3八、(本大题满分14分)2 3.(1 4 分)【问题提出】(1)如图，Z VI B C 和 A OE均为等腰直角三角形，Z B A C=Z D A E=9 0 且 点。恰在 BC边上，连接CE,则N ACE 的大 小 为 4 5 ；【问题探究】(2)如图，在 R t a A B C 中，Z B A C=9 0Q,A B=A C,点 P 是其内部一点，连接A P、BP、C P,当乙4 PB=9 0,NB PC=1 3 5

36、 时，试探究A P、BP、CP 之间的数量关系，并加以证明.图 图 图【问题解决】(3)如图，有一个圆心角为1 2 0、半径为2 0 米的扇形舞台A O 8.现要在O A、OB边上确定两点C、D,使得O C=O。，并在CO 之间拉上幕布.为增加舞台效果，导演要在舞台边缘的弧AB上找一点P 来安装一照明角为60 (即N C P 4=60)的射灯，使灯光刚好照亮整个幕布.要使幕布CQ长最短，则 O C长应为多少？并求此时灯光照亮的 舞 台 面 积(即 的 面 积).【解答】解：(1):A B C 和 A Q E均为等腰直角三角形,：.AB=AC,AD=AE,NB=45,V ZBAC=ZDAE=9

37、0 ,：.ZBAC-Z D A C Z D A E-ADAC,:.N B A D=4 C A E,:.XBADQXCAE(SAS),.NACE=NB=45.故答案为：45.(2)将RtAPB绕点A逆时针旋转90,如图所示,.A8C是等腰直角三角形且aA P B旋转得C,：.AB=AC,AP=AP,4APB=NPAP=90,：./A P P 是等腰直角三角形，：.P P=扬2，延长8尸交尸C于H,；NAPH=90=ZPAP=Z A P C,四边形A P H P 为正方形，：.A P=P H,乙PHP=NPHC=90,；/8 P C=135,.ZCPH=45,.P/C为等腰直角三角形，ZAPC=4

38、5,P C=P H=A P,V ZAPP=45,A Z P PC=/A P P +ZHPC=90,在RtZP PC中，由勾股定理得，PP 2+PC2 P B2,S|J(a A P)2+pd=PB2,：.2AP2+PC2=PB2.(3)I扇形AOB是一个圆心角为120的扇形，当点P在点。正上方即篇的中点时，可使CD最短，此时O F平分NA08,ZPOC=APOD,：。尸为圆的半径，OP 20/77,P在AB的中点，且OC=OQ,PCO dPQ O (SAS),9：ZCPD=60,ZAOB=120,：.ZPCO=ZPDO=90,OC=O尸 sin600=10机，V OC=OD,ZAOB=2Q,：.ZOCD=ZODC=30,：.ZPCD=ZPDC=60Q,PCD是等边三角形，S&PCD=-X p C 之，4VPC=OPsi n 60 SAPCD=75时 (加2).