2021年安徽师大附中自主招生数学试卷.pdf

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1、2021年 安 徽 师 大 附 中 自 主 招 生 数 学 试 卷 一.选 择 题（本 大 题 共 6 小 题：每 小 题 5 分，共 30分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的，请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上）:I.（5 分）杨 辉 三 角 是 二 项 式（a+b）”展 开 式 中 各 项 系 数 的 一 种 几 何 排 列.它 最 早 出 现 在 中 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 1261年 所 著 的 详 解 九 章 算 法 一 书 中.利 用 杨 辉 三 角，我 们 很 容 易 知 道（a

2、+b）3=/+3 a 2 H 3 2+户 设（3a-2b）3=ma3+na2b+pab2+qb3,则 系 数”=（）2.A.54 B.-54 C.36 D.-36（5 分）有 3 个 正 方 形 如 图 所 示 放 置,阴 影 部 分 的 面 积 依 次 记 为 Si,52,则 S i：52等 于（B.2：3 C.1：4 D.1：2)3.（5 分）在 数 轴 上 点 A、B 对 应 的 数 分 别 是 人 从 点 A在 表 示-3 和-2 的 两 点 之 间（包 括 这 两 点）移 动,点 B 在 表 示-1和 0 的 两 点（包 括 这 两 点）之 间 移 动，则 以 下 四 个 代 数 式

3、 的 值，可 能 比 2021大 的 是（）A.b-a B.C.A-A D.A-Ab-a b a a b4.（5 分）三 角 形 的 四 心 是 指 三 角 形 的 重 心、外 心、内 心、垂 心.三 角 形 的 外 心 是 三 角 形 三 边 的 垂 直 平 分 线 的 交 点（或 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心），三 角 形 的 内 心 是 三 角 形 三 条 内 角 平 分 线 的 交 点（或 内 切 圆 的 圆 心），三 角 形 的 垂 心 是 三 角 形 三 边 上 的 高 所 在 直 线 的 交 点，三 角 形 的 重 心 是 三 角 形 三 条 中 线 的 交 点.三 角 形

4、 的 四 心 具 有 丰 富 的 数 学 知 识 与 内 在 联 系.当 且 仅 当 三 角 形 是 正 三 角 形 的 时 候，重 心、垂 心、内 心、外 心 四 心 合 一，称 作 正 三 角 形 的 中 心.如 图，是 ABC的 垂 心，AH,BH、C”分 别 交 BC、AC.4 B 于。、E、F,则，是：/的（）C.重 心 D.垂 心 5.（5 分）在 凸 四 边 形 A8CQ中，ZBAD=ZBCD=20,BC=CD=10,则 A、C两 点 之 间 的 距 离 是（)C.11 D.不 能 确 定 6.（5 分）若 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点。为 坐 标 原 点，A、B、C

5、三 点 的 坐 标 分 别 为（3,0）,（5,0）,（0,4）,点。在 第 一 象 限 内，且 乙 408=45.则 线 段 C D 的 长 最 小 值 是（）C（0,4）DA.0 A（3,0）B（5,0）A.5 B.5-V2 C.5+V2 D.4-V2二.填 空 题（本 大 题 共 9 小 题：每 小 题 5分，共 45分.请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上）7.（5 分）公 元 前 3 世 纪，古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 德 把 人 们 公 认 的 一 些 几 何 知 识 作 为 定 义 和 公 理（公 设），在 此 基 础 上 研 究 图 形 的

6、 性 质，推 导 出 一 系 列 定 理，组 成 演 绎 体 系，写 出 几 何 原 本.它 的 问 世 是 整 个 数 学 发 展 史 上 意 义 极 其 深 远 的 大 事，也 是 整 个 人 类 文 明 史 上 的 里 程 碑.在 这 本 书 中，欧 几 里 德 提 出“三 角 形 的 内 角 和 是 180”这 一 定 理，根 据 这 一 定 理，我 们 可 以 得 出“三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 之 和”的 结 论.进 一 步 思 考：多 边 形 的 一 个 外 角 和 与 它 不 相 邻 的 内 角 之 间 又 有 怎 样 的 关

7、 系 呢？假 设 一 个 n 边 形 的 某 一 个 外 角 的 度 数 是 x,与 它 不 相 邻 的 所 有 内 角 的 和 是,那 么 x 与 y 的 关 系 是.8.（5 分）已 知 工-同=1,则 工+间 的 值 等 于.a a9.（5 分）设 m b,c表 示，b,c 中 最 大 的 一 个，例 如 7ax1,2,x=x,则 x22.方 程 机 以 x,x+2,4x-3=/的 解 是.10.（5 分）若 函 数），=工（%*2-100 x+196+1?-100X+196I）,则 当 自 变 量 x 取 1、2、3、100 这 100 个 自 2然 数 时，函 数 值 的 和 是.1

8、1.（5 分）已 知 不 相 等 的 实 数“、6 满 足 d-3a-1=0,b2-3b-=0,则 电+且=.a b12.（5 分）已 知。与 ABC的 边 AC,BA,B C 的 延 长 线 分 别 相 切，若 NBOC=30,则 N C A O 的 度 数13.(5分)如 图，扇 形 A O B 的 圆 心 角 NAOB=90,半 径 为 5,正 方 形 CDEF内 接 于 该 扇 形，连 接 8E,则/O B E 的 正 切 值 为 14.(5分)我 们 引 入 记 号/(x)表 示 某 个 函 数，用/()表 示 x=a 时 的 函 数 值.例 如 函 数 y=/+l可 以 记 为/(

9、x)=/+1,并 有/(-2)=(-2)2+1=5,f(a+1)=(q+1)2+i=J+2a+2.狄 利 克 雷 是 德 国 著 名 数 学 家，是 最 早 倡 导 严 格 化 方 法 的 数 学 家 之 一.狄 利 克 雷 函 数 f(x)=f l.(x 是 有 理 数)i。，(x 是 无 理 数)的 出 现 表 示 数 学 家 对 数 学 的 理 解 开 始 了 深 刻 的 变 化，从 研 究“算”到 研 究 更 抽 象 的“概 念、性 质 和 结 构”.关 于 狄 利 克 雷 函 数，下 列 说 法：(n)=/(V2)对 于 任 意 的 实 数 a,f(/(a)=0 对 于 任 意 的

10、实 数 b,fCb)=f(-6)存 在 一 个 不 等 于 0 的 常 数 使 得 对 于 任 意 的 x 都 有 f(x+f)=/(x)对 于 任 意 两 个 实 数，和，都 有 了(?)()(m+n).其 中 正 确 的 有(填 序 号).15.(5分)4、B、C、D 四 支 足 球 队 进 行 单 循 环 赛(每 两 队 都 要 比 赛 1场 且 只 比 赛 1场)，胜 一 场 得 3 分,负 1场 得 0 分，平 局 各 得 1分.已 知：比 赛 结 果 没 有 两 队 的 积 分 相 同；B 没 有 平 局，C 平 2 局；B 净 胜 球-1个；C净 胜 球-2 个;。净 胜 球 1

11、个.问 8 与。比 赛 的 净 胜 球 数 为（净 胜 球=进 球 数-失 球 数）.三.解 答 题（本 大 题 共 7 题，共 75分，其 中 第 16题 7 分、第 17题 8 分、第 18、19、2（）、21、22题 每 题 12分，请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上）16.（7 分）求 所 有 的 整 数 a、匕 使 之 满 足 J+3廿+6=60.求 NAC。的 度 数.18.（12分）（1）已 知 实 数 a、b满 足（a+b）2=/+.，试 证 明：（“+）（为 正 整 数，且 3）(2)试 解 下 列 方 程：(W-3x-4)2+(2/-X-1)

12、2=(3/-4x-5)2 V x-x-2+7 2 x-x-l=v3x-2x-319.（12分）已 知 PC、尸 为。的 切 线，O P与 C D交 于 M,弦 AB经 过 点 M.求 证：尸。平 分/A P B.20.（12分）我 们 把 一 个 函 数 图 象 上 横 坐 标 与 纵 坐 标 相 等 的 点 称 为 这 个 函 数 的 不 动 点.（1）求 函 数 y=2-x 的 不 动 点；（2）若 函 数），=配 型 有 两 个 关 于 原 点 对 称 的 不 动 点 4,B,求。的 值 及 函 数 的 不 动 点;x+a（3）已 知 函 数）,=/+（fe+1）x+Cb-I）（a#0）

13、.当“=1,6=-2 时，求 函 数 的 不 动 点；若 对 任 意 实 数 从 函 数 恒 有 两 个 相 异 的 不 动 点，求 a 的 取 值 范 围.21.（12分）射 影 几 何 的 奠 基 人 之 一，法 国 数 学 家 庞 斯 莱（1788 1867）发 明 过 一 种 玩 具，如 图，这 种 玩 具 用 七 根 小 棍 做 成，各 个 连 接 点 均 可 活 动.4尸 与 等 长，CD,DE,EF,FC等 长，并 且 BCA。-OC,使 用 时，将 A,8 钉 牢 在 平 板 上，并 使 4 8 间 的 距 离 等 于 木 棍 B C 的 长，绕 点 B 转 动 C 点，则 点

14、 C 在 一 个 圆 上 运 动，E 点 就 会 在 一 条 直 线 上 运 动.这 样 一 边 画 圆 一 边 画 直 线 据 此 可 设 计 出“狗 熊 走 钢 丝”等 好 玩 的 游 戏.问 题 探 究：爱 玩 的 小 明 看 到 这 段 材 料，就 想 用 数 学 家 制 作 的 这 个 玩 具 玩 一 把，可 是 身 边 没 有 这 个 玩 具，怎 么 办 呢？想 了 又 想，最 后 他 想 用 几 何 画 板 来 模 拟 这 个 玩 具，于 是，他 用 几 何 画 板 构 造 了 如 图 所 示 的“玩 具”，在 电 脑 上 玩 了 起 来，确 实 发 现 当 点 C 在。8 上

15、运 动 时，点 E 在 一 条 直 线 上 动，而 且 与 A G 垂 直，垂 足 为 H,怎 么 来 说 明 这 个 结 论 呢？小 明 百 思 不 得 其 解 时，聪 明 的 考 生 请 你 帮 帮 小 明.问 题 解 决：(1)求 证：A,C,E 在 一 条 直 线 上；(2)求 证：点 E 在 一 定 直 线 上 运 动.22.(12分)已 知 p、q 都 是 正 实 数，且 pWjEq.(1)证 明：愿 必 在 R 和 2 强 之 间；q p+q(2)请 问：R 和 支 也 这 两 个 数，哪 一 个 更 接 近 于 我，说 明 你 的 理 由;q p+q(3)请 你 再 写 出 一

16、 个 式 子，使 得 它 的 值 比 R 和 支 阻 的 值 更 接 近 于 如.q p+q参 考 答 案 一.选 择 题(本 大 题 共 6 小 题：每 小 题 5 分，共 30分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的，请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上)：1.B；2.A；3.D；4.A；5.B；6.B；二.填 空 题(本 大 题 共 9 小 题：每 小 题 5 分，共 45分.请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上)7.y-x=180(n-3)；8.匹;9.-1 或 3；1

17、0.390；11.-11；12.60；13.立 上 工；14.一 2，,;15.2；三.解 答 题(本 大 题 共 7 题，共 75分，其 中 第 16题 7 分、第 17题 8 分、第 18、19、20、21、22题 每 题 12分，请 把 正 确 答 案 写 在 答 卷 纸 的 指 定 位 置 上)16.当(软=2或 或 fa=_3时，原 不 等 式 成 立.；p/A CD=60.；18.(1)见 解 答；lb=2 lb=-2(b=-2(2)x=-1 或 x=4 或 x=l 或*=-A；2-x=-1 或 x=2 或*=1或*=-.；19.证 明 见 解 析.；20.(1)(1,1)：2-(2近.J?),(-2眄,-2A/2)3_(-1,-1),(3,3)；OVaVl.；21.见 解 析.:22.(1)证 明 过 程 见 解 析.(2)当 F aP时，”迎 更 接 近 J Q,当 F aP时.，目 更 接 近 J Q.理 由 见 解 析.p+q q(3)区(答 案 不 唯 一)p+q