2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷.pdf

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1、2021年广东省广州市从化区中考数学一模试卷一、选 择 题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.）1.（3分）下列算式中，计算结果是负数的是（）A.3 X （-2）B.|-1|C.（-2）+7 D.（-1）22.（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（）C.（P D.=3.（3分）要使Y三有意义，则x的取值范围为（）3A.xW O B.C.xe O D.xW l4.（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（）A.xW 2 B.x C.l W x25.（3分）计 算 坦-工 的 结 果 为（）X X

2、A.1 B.x C.AX6.（3分）如图，点尸是N A 0 8的边0 4上一点，P C J _ 0 8于点C,则NA P Z）的度数是（）BO P AA.60 B.5 5 C.4 5 7.（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类,从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表D.1 XW2D.Zt2XPDOB,NO P C=3 5 ,D.3 5 以下是排乱的统计步骤：正确统计步骤的顺序是（）A.一一-*B.一一 C.f 一 D.ff8.（3分）已知圆锥的高为“，高所在的直线与母线的夹角为3 0

3、,则圆锥的侧面积为（）A.n B.1.5T C C.2 n D.3T C9.（3分）直线y=x+a不经过第二象限,则关于x 的方程ax1+2x+=0实数解的个数是（）A.0个 B.1 个 C.2 个 D.1 个或2个1 0.（3分）己知b 0时，二次 函 数 丫=/+瓜+4 2-1 的图象如下列四个图之一所示.根据二、填 空 题（本题有6 个小题，每小题3 分，共 18分）1 1.（3 分）计算：也+（兀-1）0=.1 2.（3分）分解因式：？-4 盯2=.1 3.（3分）如图，在正方形A B C。的外侧作等边三角形C D E,则的度数为1 4.（3分）如图，矩形 0 A B e 的顶点A、C

4、分别在坐标轴上，B（8,7）,D（5,0）,点 P是边AB上的一点，连接O P,D P,当 O O P 为等腰三角形时，点 BP的 长 度 为.1 5.（3分）如图，P A,尸 8 分别是。的切线，A、B为切点，AC是。的直径，若N B A C=3 6,则N P的度数为By16.（3 分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1,1,2,3,5,8,21,144,233在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.若斐波那契数列中的第n个数记为an,则 1+。3+。5

5、+。7+。9+.+。2021与斐波那契数列中的第 个数相同.三、简 答 题（本大题9 小题，共 72分）17.（4 分）解不等式：2（x-1）4-x.18.（4 分）如图，在平行四边形A B C Q 中，B E=D F.求证：CE=AF.19.（6 分）巳知：P=3a（a+1）-（a+1）（a-1）（1）化简P；（2）若 a 为方程L+x-三=0 的解，求 P 的值.3 320.（6 分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，

6、解答下列问题:（1）本次共调查 名学生，条形统计图中根=.（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背 景“；（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞骞，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率.2 1.(8分)某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成6 0万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5天.(1)将6 0万只用科学记数法表示为 只；(2)求

7、甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？2 2.(1 0分)如图，一次 函 数 的 图 象 与 反 比 例 函 数y=K的图象交于A,B两点，与xX轴交于点C,与y轴交于点，已知。A=J T 5，t a n/A O C=_ l,点8的坐标为(m,3-2).(1)求反比例函数的解析式；(2)求一次函数的解析式；(3)已知点P的坐标为(0,9),求证CDPSODC.42 3.(1 0 分)如 图，在。中，8 是 上 的 一 点，N A B C=1 2 0 ,弦 4 C=2 .(1)作/A 8 C的 角 平 分 线 交。于 点 连 接A M,M C,并求。0半径的长；(要求：尺规作图，不写作法，保留

8、作图痕迹)(2)求证：AB+BC=BM.AbCB24.（12分）在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y x1+bx+c（0）经过点 A,B.（1）求“，6满足的关系式及c的值.（2）当x 0时，若 丫=+版+。（a =3,CD=3,设C P的长为x.（1）线段尸3的最小值为.（2）如图，当动点尸运动到4c的中点时，A尸与8尸的交点为G,尸P的 中 点 为 求线段G”的长度；（3）当 点P在运动的过程中：试探究/尸B P是否会发生变化？若不改变，请求出NFBP大小;若改变，请说明理由；当x为何值时，A F P是等腰三角形？B备用图BC参考答案一、选 择 题（本

9、题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.）1.（3分）下列算式中，计算结果是负数的是（）A.3X（-2）B.|-1|C.（-2）+7 D.（-1）2【答案】解：3X（-2）=-6,|-1|=1,（-2）+7=5,（-1）2=1,故选：A.【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握计算法则是正确解答的关键.2.（3分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（）C.F 号 D.匚 =【答案】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；8、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；、左图通过平移可得到右图，所以。选

10、项正确.故选：D.【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.3.（3分）要 使 正1有意义，则x的取值范围为（）3A.x W O B.C.x 20 D.x W l【答案】解：要 使 狂1有意义，3则 x -1，0,解得：故选：B.【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.4.（3分）若关于x的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集是（）A.xW2 B.xl C.1

11、 2 D.1VXW2【答案】解：根据题意得：不等式组的解集为1,导向右画；,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有儿个就要几个.在表示解集时“力”，“W”要用实心圆点表示；“”，要用空心圆点表示.5.（3分）计算主包-工的结果为（）X XA.1 B.x C.A D.X X【答案】解：x+1-1X Xxl-lX=1.故选：A.【点评】本题考查了分式的加减运算，是基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.6.（3分）如图，点尸是NA08的边0 4上一点，PC_L08于点C,PD0B,ZOPC=35,则N4PO的度

12、数是（）A.60 B.55【答案】解：PCJ_。PD/0B,：.ZCPD=90,又,；NQPC=35 ,A ZAPD=55,C.45D.35故选：B.【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.7.（3分）小韩同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A.f f f B.f f f C.f f D.f f f【答案】解：将本校图书馆最受学生欢迎的图书种类情况制作扇形统计图的步骤如下：去图书

13、馆收集学生借阅图书的记录；整理借阅图书记录并绘制频数分布表；绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；故选：A.【点评】本题主要考查扇形统计图，制作扇形图的步骤：根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比X360.按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来.8.（3分）已知圆锥的高为我，高所在的直线与母线的夹角为30,则圆锥的侧面积为（）A.1 1 B.1.5T U C.2n D

14、.3ir【答案】解：高所在的直线与母线的夹角为30,.圆锥的底面圆的半径为1,母线长为2,所以圆锥的侧面积=工2刊2=271.2故选：C.【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.9.（3分）直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程a+2x+l=0实数解的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个【答案】解：.直线=广。不经过第二象限，.忘0,当。=0时，关于x的方程/+2彳+1=0是一次方程，解为x=-工，2当a 0,方程有两个不相等的实数根.故选：D.【点评】本题考查了根的判别式：一元 二 次 方

15、程/+f e v+c=O （a WO）的根与=y-4ac有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当=（）时，方程有两个相等的实数根；当=/+&+/-1的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析，。的值等于（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为），轴，所以x=-&-=0,2 a解得b=0,与b 0,经过坐标原点，/-1=0,解得“1=1,672=-1 （舍去），对称轴 x=-L=-k o,2 a 2 X 1所以6 0,2 a 2 X(-1)所以6 0,不符合题意，综上所述，a的值等于1.故选：C.【点评】本题考查了二次函数y n/+S x+c图

16、象与系数的关系，a的符号由抛物线开口方向确定，难点在于利用图象的对称轴、与y轴的交点坐标判断出6的正负情况，然后与题目已知条件6 0比较.二、填空题(本题有6 个小题，每小题3 分，共 18分)1 1.(3 分)计 算：、用+(九-1)0=3一.【答案】解：原式=2+1=3.故答案为：3.【点评】此题考查了实数的运算，零指数幕，熟练掌握运算法则是解本题的关键.1 2.(3 分)分解因式：/-4 x y 2=刃(x+2 y)(x -2y).【答案】解：原式=犬(x2-4 y2)=x(x+2 y)(x -2 y),故答案为：x(x+2 y)(x-2 y)【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运

17、用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.1 3.(3分)如图，在正方形4 3 c o的外侧作等边三角形C D E,则N 4 E D的度数为【答案】解：四边形A B C。是正方形，A ZADC=90 ,AD=DC,C Q E是等边三角形，:DE=DC,NEDC=60 ,ZA D E=9 0 +60 =1 50 ,AD=ED,：.ZDAEZAED=1.(1 80 0 -Z A D E)=工(1 80 -1 50 )=1 5,2 2故答案为：1 5 .【点评】本题考查了正方形性质，三角形的内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质机械能推理和计算的能力，本题综合性比较

18、强，是一道比较好的题目.14.(3分)如 图，矩 形。4 8 c的顶点4、C分别在坐标轴上，B(8,7),D(5,0),点尸是边AB上的一点，连接OP,D P,当。尸为等腰三角形时，点8。的 长 度 为3【答案】解：四边形043。是矩形，B(8,7),：.OA=BC=8,0C=AB=7,:D(5,0),：.OD=5,丁点P是边AB的一点，：.OD=DP=5,-AO=3,/,B 4=V52-32=4,：.PB=3故答案为：3.【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质.15.(3分)如 图，以、PB分 别 是 的 切 线，A、8为切点，AC

19、是O O的直径，若N84C=36,则/尸 的 度 数 为72.【答案】解：.附、PB分别是。的切线，A、B为切点，4C是。的直径,二 NCAP=90，PA=PB,又：N B A C=36,：.ZPAB=54,:.NPBA=NfAB=54,二/尸=180-5 4 -54=7 2 .【点评】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，此题综合运用了切线的性质和切线长定理，解答本题需要判断出附8为等腰三角形.16.（3分）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：1,1,2,3,5,8,21,144,233在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐

20、波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.若斐波那契数列中的第个数记为an，则1+43+5+n7+a9+.+及021与斐波那契数列中的第2 0 2 2个数相同.【答案】解：.斐波那契数列中“1=4 2=1，1 =。2二 1+3+。5+7+。9+。2021=。2+。3+。5+。7+9+2021=44+。5+7+。9+。2021=。6+。7+。9+。2021=8+9+2021=0 0+2021=。2020+。2021=2022故答案为：2022.【点评】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键.三、简答题(本大题9 小题，共 72分)1

21、7.(4 分)解不等式：2(x-1)V 4-x.【答案】解：2(x-1)4-x,去括号，得2x-24-x,移项及合并同类项，得3x6,系数化为1,得x2.【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.18.(4 分)如 图，在 平 行 四 边 形 中，B E=D F.求证：CE=AF*【答案】证明：四边形ABC。是平行四边形，：.ABCD,AD/BC,；BE=DF,：.AF=CE,.四边形AECF是平行四功形，CEAF.【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度不大，关键是根据平行四边形的性质解答.19.(6 分)巳 知：P=3a(a+1)-(a+1)(

22、a-1)(1)化简P：(2)若 a 为方程L+x-三=0 的解，求 P 的值.3 3【答案】解：P=3a2+3a-a2+l=2。2+3。+1 ；（2）a为方程L+x -三=0的解，3 3a+a-2 _=0,3 3解得a=0,.,.P=2a2+3a+1 l.【点评】本题考查了整式的混合运算以及一元一次方程的解法，正确利用平方差公式是解题的关键.2 0.（6分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校学生对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图，根据统计图的信息，解答下列问题:（1）本 次 共

23、调 查60名学生,条形统计图中，=1 8 .（2）若该校初三共有学生1 5 0 0名，则 该 校 约 有300名学生不了解“概率发展的历史背 景”；（3）调查结果中，该校初三（2）班学生中了解程度为“很 了 解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景“知识竞骞，用树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率.图1【答案】解：（1）本次调查的总人数为2 4-4 0%=6 0 （人），条形统计图中巾=6 0-(1 2+2 4+6)=1 8,故答案为：6 0、1 8；（2）该校不了解“概率发展的历史背景”的人数约为1 5 0 0 X 1 2=3

24、0 0 （名）,6 0故答案为：3 0 0；（3）画树形图得:不男男女AAA男 女 男 女 男 男 共有6 种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4 种情况，恰好抽中一男生一女生的概率为9=2.6 3【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识，读懂统计图，正确画出树状图是解题的关键.21.(8 分)某地有甲、乙两家口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天胎生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成60万只口罩生产的时间比甲厂单独完成同样数量的口罩生产的时间要多用5 天.(1)将 6 0 万只用科学记数法表示为6X 法5只:(2)求甲、乙两厂每天分别可以生产多少

25、万只口罩？【答案】解：60万=600000=6X1()5,故答案是：6X105；(2)设乙厂每天能生产口罩x 万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，依题意，得：型60=5,x 1.5x解得：x=4,经检验，x=4 是原方程的解，且符合题意，1.5x=6.答：甲厂每天能生产口罩6 万只，乙厂每天能生产口罩4 万只.【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.22.(10分)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=K 的图象交于A,B 两点，与Xx 轴交于点C,与)，轴交于点),已知。4=/而，tan/A O C=_ 1,点 B 的坐标为(/,3-2).

26、(1)求反比例函数的解析式；(2)求一次函数的解析式；(3)已知点尸的坐标为(0,2),求证CZ)PsZO)C.4【答案】解：（1）过 A 作 4 E 垂直x 轴，垂足为2V tan ZAOC=A,3 OE=3AE,O2+AE2=10,：.AE=,0E=3.点A 的坐标为（3,1）.T A 点在双曲线上，JL=1,3:.k=3.，双曲线的解析式为产巨x（2）;点 8（m，-2）在双曲线y=3 上,x ,-N7,m.m-.2.点8 的坐标为（-3,-2）.2 3 a+b=l3，-a+b=-2，2.a和 4 o b=-l.一次函数的解析式为产|x-1.(3)证明：由(2)知，一次函数的解析式为y=

27、2 x-1,且 点。是一次函数图象与y3轴的交点，：.D(0,-1).点p的坐标为(0,9),4：.PD=-1-2=里 O P=2.4 4 4V C,D两点在直线y=2 r -1上，3：.C,。的坐标分别是：C(旦，0),D(0,-1).2即：0 C=3,OD=,2:.DC=-.21 1 运 P D=4 ,丘 D C =2 -V 1 3,而 1 3 _ 0 D 12 P D =D C*DC OD又,：/PDC=/ODC,：./CDP/ODC.【点评】本题考查的是反比例函数，此类题目往往和三角函数相联系，在考查学生待定系数法的同时，也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识，是数形结合的典

28、型题例，它的解决需要学生各方面知识的灵活运用.2 3.（1 0 分）如图，在。0 中，B 是。0 上的一点，Z A B C=1 2 0 ,弦 A C=2 .（1）作/A B C的 角 平 分 线 交。于 点 连 接M A,M C,并求O。半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：AB+BC=BM.【铃案】解：(1)如图，图形如图所示:图1连接0 4、0 C,过。作0 _L A C于点4,如 图1,：ZABC=20,A Z A M C=1 8 0 -N A B C=6 0 ,A ZAOC=2ZAM C=20,NAO”=JLN4OC=60,2AH=A C y3,2：.OA=L

29、 =2,s i n6 0 0故0。的半径为2.(2)证明：在BM上截取B E=8 C,连接C E,如图2,国2V ZABC=nO,平分N A B C,A Z A B M=Z C B M=6 0 ,：BE=BC,.EBC是等边三角形，：.CE=CB=BE,NBCE=60,A ZBCD+ZDCE=60,V ZACM=60,：.ZECM+ZDCE=60,：.NECM=/BCD,V ZCAM Z CBM=60,ZACM=ZABM=f)O,*.Z4CM是等边三角形，：.AC=CM,在ACB 和中，C A=CM-ZACB=ZMCE-CB=CE.ACB丝MCE(SAS),：.AB=ME,：ME+EB=BM,

30、：.AB+BC=BM.【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求/A O C的度数，第二题的关键在于构造全等三角形.24.(12分)在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线yj+bx+c(a 0)经过点 A,B.(1)求“，b满足的关系式及c的值.(2)当x 0时，若y=a?+6x+c(0)的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围.(3)当a=-l时，在抛物线上是否存在点P,使池B的面积为1?若存在，请求出

31、符合条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)yx+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,故点A、B的坐标分别为(-2,0)、(0,2),则c=2,则函数表达式为：y=ax1+hx+2,将点A坐标代入上式并整理得：h=2a+；(2)当x V O时，若y=o?+6 x+c (。0,而h=2a+,2 a即-2 a+l川,解得：。2-工，2 a2故的取值范围为：-工W a 0；2(3)当”=-1时，二次函数表达式为：y=-x2-x+2,过点P作直线/A B,作PQ/y轴交B A于点。，作PHA.AB于点H,：OA=OB,：.ZBAO=ZPQH=45 ,S%B=X A B

32、X P H=X 2y xp Q X 返 _=1,2 2 2则 PQ-yp-yQ=1,在直线A B下方作直线m,使直线m和/与直线A B等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点A B组成的三角形的面积也为1,故:l yp-yd=i，设点 p(%,-W-x+2),则点 Q (x,x+2),即：-A2-x+2-x-2 1,解得：x=-1或-1土 加，故点 P (-1,2)或(-1+亚，亚)或(-1 -料).【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2 5.（

33、1 2分）如图，四边形A B C D是矩形，点P是对角线A C上一动点（不与点C和 点4重合），连接P 8,过 点P作P凡LP B交射线D 4于点尸，连接8凡 已知A O=3 b，CD=3,设C P的长为x.（1）线段P B的 最 小 值 为3返 .一 2 一（2）如图，当动点P运动到4c的中点时，A尸与8尸的交点为G,F P的中点为H,求线段G”的长度；（3）当 点P在运动的过程中：试探究/尸BP是否会发生变化？若不改变，请求出/FBP大小;若改变，请说明理由；当x为何值时，A F P是等腰三角形？备用图【答案】解：(1)二 四边形A 8 C D是矩形，A O=3 ,CD=3,：.AB=CD

34、=3,B C=A O=3 ,ZA B C=Z)=9 0 ,/M C=VAB2+BC2=6,当B P J _A C时，B P最小，此:时B P为Rt ZXA B C斜边A C上的高,.SABC A B B C A C B P,即 3 X 3 =6 X 8产，：.BP=2 _故答案为：3返；2(2)如图：运动到A C的中点，AC=6,：.AP=3=AB,Rt zM B C 中，ta n/BAC=K=&,A BZBAC=60,.A B P 是等边三角形，：.AB=BP3,又尸=N 8 P E=9 0 ,BF=BF,:.BAF/XBP F(HL),：.AF=PF,.B F 是 AP的垂直平分线，G是A

35、P中点，,.H 是尸尸中点,:.GH=1AF,2A B P 是等边三角形，G是 A P 中点，A ZPBF=XZPHA=3O,2在 Rt Z PB尸中，tan Z P B F=fL,BP.,t a n 3 00二更得尸尸二匾，3：.AF=yf3,:5=近；2(3)/尸 8 P 不会发生变化，NFBP=30过 p作 MN J _ A。于 例，交.BC于N,如图：理由如下:,：M N 1,A D,四边形488是矩形,J.MNLBC,MN=AB=3,Rt z M BC 中，tan/4C 8=YZBC 3A ZACB=30,RtZCPN 中，CP=x,.PN=CPsin30=A r,CN=CPcos3

36、0=Jx,2 2:.BN=BC-CN=3贬-返r,PM=MN-PN=3-L,2 2:NBPF=90,ZFPM=900-NBPN=ZPBN,而NPMF=NBNP=90,:.PMFsBNP,r PF =PM 2B P B N哂坐x 3在RtZBPF中，tan/8尸=里，BP，tanNFBP=返，3：.ZFBP=30；过P作MN_LAO于M,交BC于M如图：B N C由知：PMFs/XBNP,空=返，PN=1.X,B N=3-2X,PM=3-1.X,_ BP 3 2 2 2.F M-V3 -,-,PN 3：.F M=x,6：.AF=AM-FM=BN-FM=3-Jz-3 _ _ _ _ _ _ _ _

37、 _ _ _ _ _ _ _RM FM 中，PF=7FM2+P M2=(2yx)2+(3-yX)2=-J-1X2-3 x+9,而 AP=AC-CP=6-x,AFP是等腰三角形，分三种情况：(-)AP=AF,则 6-x=3 b-2 r,解得x=-3 (舍去)，3（二）A P=P F,则6-X=J|_X2 _ 3X+9,解得=9（大于6,舍去）或 =1 （此时A尸=0,舍去），（三）A F=P F,则 3爪-|扬=/X2-3X+9 解得x=3或 x=6（P 与 A 重合，舍去），综上所述，是等腰三角形，x=3.【点评】本题考查矩形性质及应用，涉及三角形全等、相似判定，等腰三角形等知识，解题的关键是用x 的代数式表示相关的线段的长度.