2021年沪教版数学初三专题讲义03 相似三角形的判定重难点专练（教师版）.pdf

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1、专题03相似三角形的判定重难点专练第 I 卷（选择题）一、单选题1.（2018上海浦东新区九年级期末）如图，梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,NDBC=45。,点 E 在 BC上，点 F 在 A B上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B 与点D 重合.如果An 1 ，那么AHF的 值 是（）BC 4 BF2.（2021.上海徐汇区.）下列说法中，正确的是（）A.两个矩形必相似 B.两个含45角的等腰三角形必相似C.两个菱形必相似 D.两个含30。角的直角三角形必相似3.（2021上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCO中，E 为 B C 中点、,D F =3 F C.联结AE、AF.

2、E F.那么下列结果错误的是（）A.A A B E 与 1，尸相似B.A A B E 与相似C.A A B E 与 ）产相似D.4 户与AECV相似4.（2021上海九年级专题练习）下列命题中的真命题是（）A.两个直角三角形都相似B.若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似C.两个等腰三角形都相似D.两个等腰直角三角形都相似5.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在 ABC中，D 为 AB上一点，过点 D 作一条直线截 ABC,使截得的三角形与 ABC相似，这样的直线可以作（）A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条6.（2020上海市静

3、安区实验中学九年级课时练习）将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比 为（）A.2:1 B.C.3:1 D.7 3：17.（2021上海九年级专题练习）在 R S ABC和 R S D E F 中，Z C=Z F=90,由下列条件判定A A B C D E F 的 是（）NA=55,ZD=35；AC=3,BC=4,DF=6,DE=8；AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；AB=10,AC=8,EF=9,DE=15.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个8.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知 ABC和

4、 ADC均为直角三角形，点 B、D 位于 AC 的两侧，ZACB=ZACD=90,BC=a,AC=b,A B=c,要使 ADC和 ABC相似，CD 可以等于（）.A.4 B.匕 C.D.艺c a c ac9.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）在 ABC中，直 线 D E分别与AB、AC相交于点D、E,下列条件不能推出 ABC与AADE相似 的 是（）AD AE,A.-=-B./A D E=/A C BBD EC八AD DEC.AE.AC=AB.AD D.=AB BC10.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列能判定 ABC和ADEF相似的 是（）AR T）pA.ZA=4

5、0,ZB=ZE=58,ZD=82 B.ZA=ZE,=BC EFC.ZA=ZB,ZD=ZE D.AB=BC=DE=EF11.（2020 上 海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，点 P 是 ABC边 AB上一点（ABAC）,下列条件不一定能使 A C PsA B C 的 是（）AAC APA.-AB ACC.ZACP=ZBD.ZAPC=ZACB12.（2018上海民办兰生复旦中学九年级月考）下列各命题中，真命题的个数是（）两边成比例的两个直角三角形相似；两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似：两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形相似；三条直线被两条直线所截，截得的对应线段成比例，那

6、么这三条直线平行；如果一条直线截三角形两边的延长线，所得对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边：A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个13.（2021上海九年级专题练习）下列命题中正确的是（）.A.所有等腰三角形都相似 B.两边成比例的两个等腰三角形相似C.有一个角相等的两个等腰三角形相似 D.有一个角是100。的两个等腰三角形相似14.（2021上海九年级专题练习）如图，点 D、E 分别在AABC的 AB、AC边上，下列Ap DF AD AF条件中：ZA D E=ZC；=；一=.使 ADE与 ACB一定相AB BC AC AB似 的 是（）A.B.C.D.15.（2021上

7、海）如图，四边形A B C 0是正方形，E 是 C O 边的中点，P 是 边 上的一动点，下列条件中，ABP不与AECP相似的是（）A.BP=PCB.NAPE=90C.ZAPB=ZE P C D.BP=2PC16.（2019上海嘉定区）下列命题是真命题的是（）A.有一个角相等的两个等腰三角形相似B.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似C.四个内角都对应相等的两个四边形相似D.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似17.（2021上海九年级专题练习）下列判断中，不正确的有（）A.三边对应成比例的两个三角形相似B.两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C.斜边与一条直角边对

8、应成比例的两个直角三角形相似D.有一个角是100的两个等腰三角形相似18.（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）如图，在 AABC中，点。、E分别在边A C、A 3 上，3。平分NABC，ZA C E =Z A B D,与 A3所一定相似的三角 形 为（）A.AfiFCB.ABDCC.BDAD.ACE419.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，ZADE=ZACD=ZABC,图中相似三角形共有（）AC.3 对D.4 对20.（2017上海宋庆龄学校九年级月考）下列命题中，说法正确的个数是（）（1）两个等边三角形一定相似；（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；（3）两个

9、等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个第H卷（非选择题）二、填空题21.（2021 上海九年级专题练习）已知在R t M B C中，NC=90,=3cm,A C =4cm点 分 别 在 边 AC、AB上，将 AABC沿直线M N 对折后，点A 正好落在对边BC上，且折痕M N 截 AABC所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与 AABC相似，则折折痕M N =cm22.（2021上海）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们

10、就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形A8C。中，对角线8。是它的相似对角线，ZABC=10,8。平分/A 8 C,那么/AOC=度23.（2017上海）如图，在直角三角形AC8中，Z C =9 0 .。为 AC中点，过点。作D E Y A B,垂足为点E,点尸在CB的延长线上，且 3/：4）=3：1,联结。F,交 A8于点H,如果3C=1,AC=2,那么EH=.24.（2017.上海）如图，在AABC中，D、E 分别为边A3、AC的中点，C D 与 B E 交于点凡 BE L C D,如果 NCBR=30，BC=4,那么 AC=.25.（2020上海上外附中九年级月考）ZV 3C

11、的边长分别为a,4 c,A 4 4 G 的边长分别瓜&,则A4BC与AA8C（选填“一定”“不一定”一定不”）相似26.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在 R s ABC中，ZACB=90,BA=12cm,AD、BE是两条中线，F 为其交点，那么C F=c m.c27.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在 ABC中，DEB C,则DEBC,28.（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）在 ABC中，D 为 A B上一点，且AD=1,AB=4,AC=7,若 A C上有一点E,且 ADE与原三角形相似，则 AE=.29.（2020上海市静安区实验中学九

12、年级课时练习）如图，在 ABC中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，已知 AB=6,AC=9,BC=12,AD=3,A E=2,那么 DE=.AC B30.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，E 是ciABCD的边BA 延长线上的一点，C E交 AD于点F,图中 对相似三角形.31.（2021.上海九年级专题练习）如图，AA 8C中NC=90。，如果CZXLAB于 D,那么AC是AC和 的比例中项.DR32.（2021 上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2,B C=1,点E是DC上一点，/D A E=N B A C,则EC的长为33.（2019上海市闵行区七

13、宝第二中学九年级期中）在A B C中，/ACB=90。,ACBC,O是边A B的中点，过点。的直线/将A M B C分割成两个部分，若其中的一个部分与A B C相似，则满足条件的直线/共有 条34.（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）AABC中，AB=10,AC =6,点。在A C上，且AO =3,若要在A 3上找一个点E，使A M应 与AABC相似，则AE=_.三、解答题35.（2021 上海九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在A D上，AB=2,AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F,连接EF（如 图1）.（1）当点E与点B重合时，点

14、F恰好与点C重合（如图2）.求证：APBs/DCP；求PC、BC的长.（2）探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中（图1是该过程的某个时刻），观察、猜想并解答：tan/PEF的值是否发生变化？请说明理由.设A E=x,当 PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.36.（2018上海普陀区）如 图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置B C中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、C D于点G、F.(I)求证：GBES/XGEF.(2)设 AG=x,G F=y,求 Y 关于X 的函数表达式，并写出自变量取值范围.(3)如

15、图2,连接AC 交 GF于点Q,交 EF于点P.当 AGQ与 CEP相似，求线段E C备用图AG 的长.37.(2019上海浦东新区)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知AABC是比例三角形，AB=2，BC=3,请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如 图 1,在四边形ABCD中，A D/B C,对角线BD平分N A B C,/B A C =/A D C.求证：AABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下，当/A D C =90。时，求 职 的值.38.(2018上海黄浦区中考模拟)如图,线段AB=5,AD=4,NA=90。，DPA

16、 B,点C 为射线DP上一点，BE平分/A B C 交线段A D 于点E(不与端点A、D 重合).(1)当NABC为锐角，且 tan/ABC=2时，求四边形ABCD的面积；(2)当 ABE与ABCE相似时，求线段CD的长；(3)设 CD=x,D E=y,求 y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.D_C_P 口_PBAA备用图B439.（2018上海中考模拟）如图，已知A8C 中，ZACB=90,AC=8,c o s A=-,D是 A B边的中点，E 是 A C 边上一点，联结。E,过点。作。F L O E 交 B C 边于点尸，联结 EF.(1)如 图 1,当。E L A C 时，求 E F

17、 的长；(2)如图2,当点E 在 A C 边上移动时，/O F E 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出N 3 F E 的正切值；(3)如图3,联结C Q 交 E F 于点Q,当4 CQ F是等腰三角形时，请直接写出B F 的长.40.(2017 上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中)从三角形一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线.(1)如图，在 A BC中，4。为角平分线，ZB=50,Z C=3 0,求证：A O

18、为 ABC的优美线；(2)在 48C中，/B=46。，A O 是A A B C 的优美线，且4 4 8。是以4 8 为腰的等腰三角形，求/B A C 的度数；(3)在 A BC中，AB=4,AC=2,A O 是 A B C的优美线，且 AB。是等腰三角形，直接写出优美线4。的长.41.(2014上海普陀区)如图，在正方形4 3 C D 中，A6=2,点 P 是 边 上 的 任 意一点，E 是 B C 延长线上一点，联结A P,作 依，交N D C E 的平分线C F 上一点尸，联结A F 交边C D 于点G.（2）设点尸到点8 的距离为x,线段O G 的长为y,试求y 关于x 的函数关系式，并

19、写出自变量x 的取值范围;（3）当点P 是 线 段 延 长 线 上 一 动 点，那 么（2）式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式.42.（2014.上海）已知：如图，在等腰直角A ABC中，AC=BC,斜边A B的长为4,过点C 作射线CP/AB,D为射线CP上一点,E 在动BC上（不与B、C 重合）,且NDAE=45。,AC与 D E交于点O.AB（1）求证：ADEAACB；设 CD=x,tanZ BAE=y,求 y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果 COD与 BEA相似，求 C D 的值.43.（2021上海崇明区九年级二模）如图，在矩形A8

20、CO中，AB=3,B C=4,点 P 为射线BC上的一个动点，过点P 的直线PQ 垂直于4 P 与直线CD相交于点。，当 B P=5 时，CQ=.44.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90.过 C 作对角线B D 的垂线交BD、AD于点E、F,求证：C D 是 DF和 DA的比例中项.D45.（202O上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图,DF为 RtAABC斜边A B的中垂线，交 BC及 A C的延长线于点E、F,已知CD=6,DE=4,求 D F的长.46.（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，ZC=90,AC=CD

21、=DE=BE,试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.A47.（2020.上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，一张长8 cm,宽 6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C 重合，求折痕E F的长.48.（2021上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E 是 CD 上的一点，F 是B C的延长线上的一点，且 CE=CF,B E 的延长线交D F于点G,求证：A BGFADCF.49.（2021上海九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，BP1PQ.(1)求证：A B Ps/D PQ；(2)写出对应边成比例的式子.50.(2019上海市黄兴学校九年级月考)如图，ADLBC于点D,点

22、 E 在边A B上，CE与 AD 交于点 G,EF_LAD 于点 F,AE=5cm,BE=10cm,BD=9cm,CD=5 c m,求AF、FG、GD 的长.参考答案1.B【解析】EF 是点 B、D 的 对 称 轴，.,.BFEADFE,，DE=BE.在ABDE 中,DE=BE,NDBE=45。,/.ZBDE=ZDBE=45,.NDEB=90。，ADElBC.AD 1在 等 腰 梯 形ABCD中，：器=：，.设 AD=1,BC=4,过 A 作 AGLBC 于 G,，四 边 形AGED是 矩 形，GE=AD=1,:RtA ABGRtA DCE,:.BG=EC=1.5,:.AG=DE=BE=2.5

23、,AB=CD=yjAG2+BG2=55/34，VZABC=ZC=ZFDE,ZCDE+ZC=90,/.ZFDE+ZCDE=90o,ZFDB+Z BDC+ZFDB=Z FDB+Z DFE=90,/.NBDC=NDFE,:NDEF=NDBC=45,:.ABDCADEF,.DF DECDC.DF?庖,.BF=25南,8 8.AV AU 口 15734.AF 3.AF=AB-BF=-,.-=-.8 BF 5故 选B.2.D【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得.【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项错误；B、如果一个等腰三角形的顶角是4 5 ,另一等腰

24、三角形的底角是4 5 ,则不相似，此项错误；C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项错误；D、两个含30。角的直角三角形必相似，此项正确；故 选：D.【点 睛】本题考查了相似多边形、相似三角形的判定，熟练掌握相似图形的判定方法是解题关键.3.C【分 析】根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断 AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项.【详 解】解：设 正 方 形 边 长 为1 ,则由己知可得:：.Ag2,+政,2 =己5 +二5=二25=A/2,AEF 是直角三角形,4 16 16.,.在 RTA ABE、RTA ECF、RTA ADF

25、、RTA AEF 中，ZB=ZC=ZAEF=ZD,AB EC AE 2 AD 4BECFEF DF3/.RTA ABE,RTA ECF.RTaAEF 两两相似，但是 ABE 与 ADF 不相似,.A、B、D正 确，C错误,故 选C.【点 睛】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键.4.D【分 析】根据相似三角形的判定逐项判断即可得.【详 解】A、如一个直角三角形的三个内角分别为30。,60。,90。，另一个直角三角形的三个内角分别为20,70,90,这两个直角三角形不相似，则此项是假命题;B、如一个直角三角形的三边长分别为1,6,2,另一个直角三

26、角形的三个内角分别为1,2,、污，这两个直角三角形不相似，则此项是假命题；C、如一个等腰三角形的三个内角分别为40,40,100。，另一个等腰三角形的三个内角分别为50。,5 0 ,8 0 ,这两个等腰三角形不相似，则此项是假命题；D、等腰直角三角形的三个内角都是45。,45,90。，满足三角形相似的判定定理，则此项是真命题；故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.5.C【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断.【详解】满足条件的直线有4 条，如图所示：如图 1,过 D 作 DEA C,则有 BDES/BAC；如图 2,过 D 作 DEB

27、 C,则有A A D E sA B C；如图 3,过 D 作N A E D=/B,又N A=N A,则有 ADEsZiACB；如图 4,过 D 作/B E D=/A,又/B=/B,则有 BED sBA C,故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用.6.B【分析】先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解.【详解】解：设原矩形长2小宽b,则对折后的矩形的长为江宽为。，对折后的矩形与原矩形相似，.a _ b 一=-，b 2a/_ 1 -=-，b2 2a _ 1.广 正，.2a_

28、2 _V2 =.b 72 1故选B.【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例.7.B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可.【详解】解：如图示，在 R S ABC 和 RtA DEF 中，ZC=ZF=90,ZA=55。?B 90?55?35?Q?35?,.ZB=/D.-.AABCAEDF,故是不正确的；vAC=9,BC=12,DF=6,EF=8,AC _ BC _ 3一DF EF 2 ZC=Z F,.AABCSADEF,故是正确的：,AB=10,BC=6,DE=15,EF=9,AB _ BC _ 2 DE EF 3 ZC=Z F,/ABCM)EF

29、；故是正确的；V AC=3.BC=4,DF=6,DE=8,.AB BC 1 “=一，ZC=Z rDF DE 2有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似;故是错误的；综上所述是正确的，正确的有2 个，故选：B.【点睛】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例.8.B【分析】由 ADC和 ABC相似，可得到=从而完成求解.AC BC【详解】AADC 和 ABC 相似，且/ACB=/ACD=90.CD AC AC-BC.CD b (b a/.CDb2a故选：B.【点睛】本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关

30、键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解.9.D【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可.【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；A f）Ar山A E .A C=A B .AD得一=,且N A=/A,故可得 A B C与小A D E相似，所以选AE AB项C不符合题意；而D不是夹角相等，故选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三

31、角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似：（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.1 0.A【分析】根据相似三角形的判定方法即可判断.【详解】A、由N A=4 0。，/B=5 8。知，N C=N D=8 2。，又N B=N E,可判定A A B C s/X F E D,符合题忌；AB DFB、由 一=知，要使 ABC和 DEF相 似，只需N B=/F,故此选项不能判定 ABCBC EF和 DEF相 似；C、因 为/A=N B,/D=N E是分别在同一三角形中相等的角，故此选项不能判定 ABC和 DEF相似;4 DF

32、D、由AB=BC=DE=EF得 =-=1,但还差一对角相等或A C=D F,故此选项不能判BC EF定 ABCOA DEF 相 似，故选：A.【点 睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键.11.B【分 析】A.利用对应边成比例,且夹角相等来判断即可；B.对应边成比例，但夹角不相等,不能证 ACP与A ABC全等；C.利用两角对应相等,两三角形全等，进行判定即可；D.利用两角对应相等,两三角形全等，进行判定即可.【详 解】AC AP解：A.-=-，/A=NA.ACP00 ABC.AB ACp r ACB.=对应边成比例，但夹角不相等,不能证A ACP与A ABC全

33、等.BC ABC.VZACP=ZB,ZA=ZA.A AA C PAABC.D.V ZAPC=ZACB,ZA=ZA.A ACP ABC.故选：B.【点 睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似消两组角对应相等的两个三角形相似.注意:两边对应成比例必须夹角相等.12.A【分析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理判断选项的正确性.【详解】这两条边必须是对应的直角边，错误；这个角必须是两边的夹角，错误；假如一个是锐角三角形，一个钝角三角形，错误；如果截得两条直线是平行关系也成比例，错误；两边的延长线应该在第三边的同侧，错误；一个都不对.故选：A.【点睛】

34、本题考查相似三角形的判定和平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握这两个性质定理.13.D【分析】根据相似三角形进行判断即可.【详解】解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命题是假命题；B、两边成比例的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题；C、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原命题是假命题：D、有一个角是100。的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：D.【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.14.C【分析】由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；即

35、可得出结果.【详解】VZDAE=ZBAC,.当A D E=N C 时，A A D E s A C B,故符合题意,当一=时，AB BCV Z B 不一定等于/A ED,ZADE与 ACB不一定相似，故不符合题意，An 4/7当 上 =_ 3 时，a A D E s A C B.故符合题意，AC AB综上所述：使 ADE与 ACB一定相似的是，故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键15.A【分析】由四边形ABCD是正方形，可得NB=NC=90。，又由

36、E 是 C D 的中点，易得CE:AB=1:2,然后分别利用相似三角形的判定定理，判定 ABP与 ECP相似.【详解】.四边形ABCD是正方形，ZB=ZC=90,AB=CD=BC,Y E 是 C D 的中点，CE:CD=1:2,即 CE:AB=1:2,A、；BP=PC,/.BP=PC=-BC,2没办法判定 ABP与4 ECP中各边成比例，故 A 错误；B、VZAPE=90,二 ZAPB+ZCPE=90,VZBAP+ZAPB=90,/B A P=/C PE,.A B P s/P C E,故 B 正确;C、VZA PB=ZEPC,.,.A B P A E P C,故 C 正确；D、VBP=2PC,

37、PC:BP=1:2,.PC:BP=CE:AB=1:2,/.A B P A P C E,故 D 正确.故选：A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质.注意灵活应用判定定理是解题的关键.16.D【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A 进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D 进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C 进行判断.【详解】解：A、有一个顶角（或底角）对应相等的两个等腰三角形相似，所以A 选项错误；B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所 以 B 选项错误；C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似（四边也必须对应成比例），所以C 选项错误；D、斜边和一

38、条直角边对应成比例，根据勾股定理另一条直角边也和斜边成比例，这样的两个直角三角形相似，所以D 选项正确.故选：D.【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的各个判定方法是解决此题的关键.17.B【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解.【详解】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故 A 选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故 B 选项符合题意；C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故 C 选项不合题意；D、有一个角是100的两个等腰三角形，则他们的底角都是40。，所以有一个角是100的两个等腰三角形相似，故 D 选项不合题意；故选B.【点

39、睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键.18.B【分析】由题意可得43 =NC8D=N 4 C E,根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求NBEF=NBDC,即可证.【详解】Q 8 D 平分 N/LBC，:.ZABD=ZCBD：ZACE=ZABD,ZABD=ZCBD=ZACE又ZBFC=ZABD+ABEF=ZACE+ZBDCZ.BEF=ZBDC,且 ZABD=NCBD.-.ABEFABDC故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键.19.D【解析】试题分析：V ZADE=ZACD=ZABC,；.DEBC,A AA

40、DEAABC,；DEBC,；./EDC=NDCB,：NACD=NABC,.EDCS/XDC B,同理：ZACD=ZABC,ZA=ZA,.ABCAACD,VAADEAABC,ABCSACD,.,.ADES/XACD,.共 4 对，故选D.考点：1.相似三角形的判定；2,平行线的判定.20.D【分析】利用相似图形的判定和性质，分别判断即可.【详解】解：（1）等边三角形的内角都是60。，各边相等，得到对应边的比相等.所以一定相似，正确;（2）有一个角相等的两个菱形，其余的角也必对应相等，菱形各边相等，所以对应边的比相等，所以一定相似，正确;（3）根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，可

41、得这两个等腰三角形的顶角相等，然后由腰对应成比例可得这两个三角形必相似，正确;（4）理由：如图，AD、ATT分别是 ABC与 A BC，的中线,AB _ AC _ ADAB AC AD延长AD到 M,使 DM=A D,连结MC.在AABD 与AMCD 中，AD=MD,ZADB=ZMDC,BD=CD,.ABDAMCD(SAS),AAB=MC,同理延长A D 到 M，,使 DNT=AD，连结M C,那么A H=M C,.MC _ AB M C AB 在 ACM 与4 A，CM，中,MC _ AC _ AMM C A C AM.ACMSZACM,.N M A C=N M A C,同理可得/M AB=

42、/M，AB，ZM AC+ZM A B=ZM,A,C,+Z M A B,即 ZBAC=ZB,A,C,.AD A C在 ABC 与 A BC，中，-=-,ZB A C=ZB,A,CAB AC.ABCs A B C,两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似，正确.故选：D.【点睛】本题考查了相似多边形的定义及相似三角形的判定，判定两个三角形相似的方法有:(1)平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似：(3)两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：(4)两角法：有两组角对应相等的两个三

43、角形相似.【分析】先画草图借草图分析.如图重叠的小三角形为八4 必7,由对折知N A=N M A N，所以要使 A B C和相似，只需N A M 0 =NA M 0 =N A C B =9 O。，此时4和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值;或只需N A 脑V =N A M N =N A C B =9 0，此时A与B点重合，A M=B M=A M=L A 3 ,再由相似的知识算得MN的值.2【详解】由A C=4,B C=3,N A C B=9 0。据勾股定理得A B=5.下面分情况讨论：第一种情况如 图1当N M N C=9 0。时，折叠后A点落在C点.Z B C A=9 0

44、Z M N C=Z B C A又由对折知：ZMCN=ZA.MCNAABC由对折知N 为 A C的中点，据三角形中位线定理得1 1 3M N=B C=x 3 =(c m)；2 2 2第二种情况如图2 图2当NNMB=90。时，折叠后A 点落在B 点.,:ZC=90，ZC=ZNMB又由对折知/A=NNBM.,.ABCABNM.M N B M B C A C又由对折知BM=-A B =-x 5=-2 2 2A M N=-B C =x3 =(c m).A C 4 83 1 5综上分析得M N=-c m或一c m.2 83 .1 5故答案为：一或2 8【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考

45、查分类讨论的数学方法.关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之.22.145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在AABD和ADBC中，已知NABD=NCBD,所以需另一组对应角相等，若N A=/C,则 ABD与ADBC全等不符合题意，所以必定有NA=/BDC,再根据四边形的内角和为360。列式求解.【详解】解：根据题意画出示意图，已知NABD=NCBD,但不全等，ZA=ZBDC,ZADB=ZC.又 NA+NABC+NC+NADC=360。，2 ZADB+2 ZBDC+ZABC=360,；./ADB+/BDC=145。，即 NADC=145。.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是

46、关键.23.A 7535【解析】解：过 B 作 BGC4 交。尸于 G.：A C=2,。为 4 c 的中点，：.AD=DC=,:BF：AO=3：31,：.BF=3.,：BG/CA,：.BG：CD=BF：CF=3：4,：.BG=.：AC=2,BC=1,：.AB=4VAC2+BC2=V 5BG/CA,：.BG3：AD=BH：A H,：.-4也一 AH.Z.=正,.44=AH 4 AH.在 RtA ADE 和 R S ABC 中，:NA=N4,ZAED=ZC=90,/.：.AE：7AC=AD：AB,：.AE：2=1：亚,：.A E=-,:.EH=AH-AE=-=.故答案5 7 5 35为:66点睛：

47、本题考查了相似三角形的判定与性质的综合运用，关键是通过做辅助线8G。而把所有相关线段联系起来.24.2/7【解析】解:连接 E.分别为边 AB.AC 的中点，E D a B C,尸=2E凡CF=2FD.在 RtA BCF 中，丫 N CBF=30,8 c=4,，CE=2,BF=2百，,EF=百 .在 RtA EFC中，EC=7EF2+F C2=J（后+22=百，:,AC=2EC=2不.点睛：本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，通过连接Q E,由三角形中位线定理得出E D和C B的关系，进而得出E F的长.25.不一定【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个

48、三角形相似即可.【详解】解：A4BC的边长分别为用G 的边长分别，扬，人，A 两个三角形对应边的比分别为：元=&土 瓜 土 后a b c当a二b=c时，7)=存=笈，这两个三角形相似,a h c当a#c时，r r r r 1这两个三角形不相似，7 a 7 b 7 c AABC与 不 一 定 相 似,故答案为：不一定.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键.26.4【分 析】延 长C F交A B于 点H,连 接D H.利用直角三角形斜边中线的性质求出C H,再根据三角形FH r)H 1中 位 线 定 理 推 出DHAC,AC=2DH,可 得=-,推 出FG=2

49、FH,由此即可解CF AC 2决问题；【详 解】解：延 长C F交A B于 点H,连 接DH.VAF,BE是 ABC的中线,ABC的中线，；ZACB=90,.*.CH=AB=6cm,2VBD=CD,BH=AH,；.DHAC,AC=2DH,.FH DH 1CF-AC-2,；.CF=2FH,2CF=CH=4cm.3故答案为：4【点 睛】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识可解决问题，属于中考常考题型.、AD AE27.-=AB AC【分 析】根据平行线的性质得NADE=NB,NAED=NC,利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证

50、 得 A D E sa A B C,根据相似三角形的性质即可得出结论.【详 解】VDE/BC,.ZAD E=ZB,ZAED=ZC,.,.ADES/XABC,AD _AEA B-AC故答案为:AD _AEA B-AC【点 睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键.7,42 8.一 或 一4 7【分 析】根据 ADE与原三角形相似，得 到N A=/A,故分类讨论，根据相似性质即可求解.【详 解】A p A n解：(1)如图 1,当 A A D EsA BC 时，一=AC ABAE 1即：一=-7 4.AE=L4A P A n(2)如 图2,当A