2021年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学.pdf

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1、2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（模 拟 卷）数 学 一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.己 知 集 合 4=1,2,3,8=x|f-x-2 0）,e 为 自 然 对 数 的 底 数，及 为 活 化 能，R 为 气 体 常 数.通 过 A rrhenius公 式，我 们 可 以 获 得 不 同 温 度 下 化 学 反 应 的 速 率 常 数 之 间 的 关 系.已 知 温 度 为 不 时，化 学 反 应 的 速 率 常 数

2、为 k i;温 度 为 T2时，化 学 反 应 的 速 率 常 数 为 比.则 出 幺=k2A（次 B（T f R c E“（T T）/（4）ln A E.ln A R TJ2 RTtT25.设 Q,b,c 为 单 位 向 量，且 a力=0,则（a-c 3 c）的 最 小 值 为 A.-2 B.y22 C.-1 D.1y/26.（数 学 文 化 题）我 国 古 代 数 学 家 刘 徽 于 公 元 263年 在 九 章 算 术 注 中 提 出“割 圆 术”：“割 之 弥 细，所 失 弥 少，割 之 又 割，以 至 于 不 可 割，则 与 圆 合 体，而 无 所 失 矣”.即 通 过 圆 内 接

3、正 多 边 形 细 割 圆，并 使 正 多 边 形 的 面 积 无 限 接 近 圆 的 面 积，进 而 来 求 得 较 为 精 确 的 圆 周 率.如 果 用 圆 的 内 接 正 边 形 逼 近 圆，算 得 圆 周 率 的 近 似 值 记 为 n,”那 么 用 圆 的 内 接 正 2 边 形 逼 近 圆，算 得 圆 周 率 的 近 似 值 兀 2.可 以 表 示 为 7.（社 会 热 点 题）新 型 冠 状 病 毒 肺 炎（C O V ID-19）疫 情 爆 发 以 来,A.兀 B.兀 c.兀 D.兀 180 360.1 8 0.9 0 cos cos sin sinn n n n中 国 人

4、民 万 众 一 心，取得 了 抗 疫 斗 争 的 初 步 胜 利.面 对 秋 冬 季 新 冠 肺 炎 疫 情 反 弹 风 险，某 地 防 疫 防 控 部 门 决 定 进 行 全 面 入 户 排 查，过 程 中 排 查 到 一 户 5 口 之 家 被 确 认 为 新 冠 肺 炎 密 切 接 触 者，按 要 求 进 一 步 对 该 5 名 成 员 逐 一 进 行 核 酸 检 测.若 任 一 成 员 出 现 阳 性，则 该 家 庭 定 义 为“感 染 高 危 户”.设 该 家 庭 每 个 成 员 检 测 呈 阳 性 相 互 独 立，且 概 率 均 为 p(O V p l).该 家 庭 至 少 检 测

5、 了 4 人 才 能 确 定 为“感 染 高 危 户”的 概 率 为，3),当=。0时，/(p)最 大，此 时 po=A.叵 B.叵 C.I-叵 D.1-四 5 5 5 58.定 义 在 R 上 的 偶 函 数 兀 0的 导 函 数 为 尸(x),若 V x C R,都 有 x)+_ V，(x)2,则 使/(x)-.A D-1 成 立 的 实 数 x 的 取 值 范 围 是 A.xx B.(-1,0)0(0,1)C.(-1,1)D.(-8,-1)U(1,+8)二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题

6、 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，有 选 错 的 得 0 分，部 分 选 对 的 得 2 分。9.若 0 c b,则 A.log clog/)c B.ahcbac10.下 列 四 个 命 题 中，真 命 题 为 A.若 复 数 z 满 足 z E R,则 N w RC.若 复 数 z 满 足-e R,则 zWRC.aoghCbogac D.a(bc)hac)B.若 复 数 z 满 足;C R,则 zWRD.若 复 数 Z|,Z2满 足 Z Z 2 G R,则 4=%11.已 知 抛 物 线 C：V=2px(p()的 焦 点 尸 到 准 线 的 距 离 为 2,过 点 F 的 直 线

7、 与 抛 物 线 交 于 P,。两 点，M 为 线 段 P Q 的 中 点，。为 坐 标 原 点，则 A.C 的 准 线 方 程 为 y=l B.线 段 尸。长 度 的 最 小 值 为 4C.仞 的 坐 标 可 能 为(3,2)D.OP OQ-=-312.(五 育 导 向 题 美 育)黄 金 螺 旋 线 又 名 等 角 螺 线，是 自 然 界 最 美 的 鬼 斧 神 工.在 一 个 黄 金 矩 形(宽 长 比 约 等 于 0.6 1 8)里 先 以 宽 为 边 长 做 正 方 形，然 后 在 剩 下 小 的 矩 形 里 以 其 宽 为 边 长 做 正 方 形，如 此 循 环 下 去，再 在 每

8、 个 正 方 形 里 画 出 一 段 四 分 之 一 圆 弧，最 后 顺 次 连 接，就 可 得 到 一 条“黄 金 螺 旋 线”.达 芬 奇 的 蒙 娜 丽 莎，希 腊 雅 典 卫 城 的 帕 特 农 神 庙 等 都 符 合 这 个 曲 线.现 将 每 一 段 黄 金 螺 旋 线 与 其 所 在 的 正 方 形 所 围 成 的 扇 形 半 径 设 为 伽 N*),数 列 斯 满 足。I=2=1，=an-+an-2(n2 3).再 将 扇 形 面 积 设 为 则 A.4 s 2 0 2。一 22019)=兀 42018.42021B.a+2+。3 H-H42019=0 2 0 2 1-1C.a

9、 1 2+(2 0 2 0)2=2(22019,2021D.201 9-2 0 2 1-(。2 0 2 0)2+2018,“2 0 2 0(。201 9)2=。三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。1 3.(数 据 分 析 题)某 公 司 的 广 告 费 支 出 x(单 位：万 元)与 营 业 额)，(单 位：万 元)之 间 呈 线 性 相 关 关 系，收 集 到 的 数 据 如 下 表：广 告 费 支 出 x（单 位：万 元）10 20 30 40 50营 业 额 y（单 位：万 元）62 68 75 81 89由 最 小 二 乘 法 求 得 回 归 直

10、线 方 程 为 y=0.67x+a,则 a 的 值 为.14.（开 放 举 例 题）已 知 a,4 是 两 个 不 同 的 平 面，是 平 面 a 及 之 外 的 两 条 不 同 直 线，给 出 下 面 四 个 论 断：，“L?；a_L；m l a.以 其 中 的 三 个 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命 题：.15.己 知 尸 是 直 线 3x+4y-10=0上 的 动 点，PA,是 圆/+丁-2%+4）,+4=0的 两 条 切 线，C 为 圆 心，A,8 为 切 点，则 四 边 形%C B 的 面 积 的 最 小 值 为.1

11、6.（双 空 题）在 ABC 中，sin（A-8）=sin C sin 8,贝 U cos A=；点。是 8C 上 靠 近 点 B 的 一 个 三 等 分 点，记 黑 男 黑=九，则 当 九 取 最 大 值 时，tan Z A C D=bill z_ DrxLJ.（本 题 第 一 空 2 分，第 二 空 3 分.）四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.（10 分）记 S,为 等 比 数 列%的 前 项 和，已 知 S2=2,S3=-6.（1）求%的 通 项 公 式；（2）求 S”,并 判 断 S“+”S

12、“,S“+2是 否 成 等 差 数 列.18.（结 构 不 良 问 题）（12分）在 离 心 率 为 小，且 经 过 点（3,4）；一 条 准 线 方 程 为 x=4,且 焦 距 为 2.这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 的 问 题 中，若 问 题 中 的 直 线/存 在，求 出/的 方 程；若 问 题 中 的 直 线/不 存 在，说 明 理 由.问 题：己 知 曲 线 C：nvr+ny2l（m,W0）的 焦 点 在 x 轴 上，,是 否 存 在 过 点 尸（-1,1）的 直 线/,与 曲 线 C 交 于 A,8 两 点，且 尸 为 线 段 A 8 的 中 点？注：若

13、 选 择 条 件 和 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.19.（三 角 函 数 与 解 三 角 形 结 合）（12分）在 a A B C 中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,设 向 量,=（2sin（x-A）,sinA）,n=57r（cos X,1）,危）=*，且 对 任 意 都 有 於）（/（五）.（1）求 火 犬）的 单 调 递 增 区 间；（2）若 a=2，,sinB+sinC=坐，求 A8C 的 面 积.20.（联 系 高 等 数 学、数 学 定 理）（12分）数 学 史 上 有 一 个 著 名 的 波 尔 约 一 格 维 也 纳 定 理：

14、任 意 两 个 面 积 相 等 的 多 边 形，它 们 可 以 相 互 拼 接 得 到.它 由 法 卡 斯 波 尔 约（Farks Bolyai）和 保 罗 格 维 也 纳（Paul Gerwien）两 位 数 学 家 分 别 在 1833年 和 1835年 给 出 证 明。试 据 此 解 决 以 下 问 题：（1）给 出 两 块 相 同 的 正 三 角 形 纸 片（如 图 1、图 2）,要 求 用 其 中 一 块 剪 拼 成 一 个 正 三 棱 锥模 型，另 一 块 剪 拼 成 一 个 正 三 棱 柱 模 型，使 它 们 的 全 面 积 都 与 原 三 角 形 的 面 积 相 等.请 设 计

15、 一 种 剪 拼 方 案，分 别 用 虚 线 标 示 在 图 1、图 2 中，并 作 简 要 说 明；（2）试 比 较 你 剪 拼 的 正 三 棱 锥 与 正 三 棱 柱 的 体 积 的 大 小；（3）如 果 给 出 的 是 一 块 任 意 三 角 形 的 纸 片（如 图 3）,要 求 剪 拼 成 一 个 直 三 棱 柱 模 型，使 它 的 全 面 积 与 给 出 的 三 角 形 的 面 积 相 等.请 设 计 一 种 剪 拼 方 案，用 虚 线 标 示 在 图 3 中，并 作 简 要 说 明.图 321.（导 数 与 数 列 结 合）（12分）已 知/（x）=x ln x-x+4，其 中 x

16、（1）讨 论/（X）的 极 值 点 的 个 数；（2）当 CN*时，证 明：In22+ln23+ln23+ln 2-.2 3 n 2+422.（五 育 导 向 题 劳 动 教 育）（12分）某 中 学 开 展 劳 动 实 习，学 生 前 往 电 子 科 技 产 业 园，学 习 加 工 制 造 电 子 元 件.已 知 学 生 加 工 出 的 每 个 电 子 元 件 正 常 工 作 的 概 率 都 是 p（O p l）,且 各 个 电 子 元 件 正 常 工 作 的 事 件 相 互 独 立.现 要 检 测（kCN*）个 这 样 的 电 子 元 件，并 将 它 们 串 联 成 元 件 组 进 行 筛

17、 选 检 测，若 检 测 出 元 件 组 正 常 工 作，则 认 为 这 么 个 电 子 元 件 均 正 常 工 作；若 检 测 出 元 件 组 不 能 正 常 工 作，则 认 为 这 A个 电 子 元 件 中 必 有 一 个 或 多 个 电 子 元 件 不 能 正 常 工 作，须 再 对 这 4个 电 子 元 件 进 行 逐 一 检 测.（1）记 对 电 子 元 件 总 的 检 测 次 数 为 X,求 X 的 概 率 分 布 和 数 学 期 望；（2）若 p=0.9 9,利 用（L（O a l,6N*）的 二 项 展 开 式 的 特 点，估 算 当 为 何 值 时，每 个 电 子 元 件 的

18、 检 测 次 数 最 小，并 估 算 此 时 总 的 检 测 次 数；（3）若 不 对 生 产 出 的 电 子 元 件 进 行 筛 选 检 测，将 它 们 随 机 组 装 入 电 子 系 统 中，不 考 虑 组 装 时 带 来 的 影 响.已 知 该 系 统 配 置 有 2 1（WN*）个 电 子 元 件，如 果 系 统 中 有 多 于 一 半 的 电 子 元 件 正 常 工 作，该 系 统 就 能 正 常 工 作.将 系 统 正 常 工 作 的 概 率 称 为 系 统 的 可 靠 性，现 为 了 改 善 该 系 统 的 性 能，拟 向 系 统 中 增 加 两 个 电 子 元 件.试 分 析 当 夕 满 足 什 么 条 件 时，增 加 两 个 电 子 元 件 能 提 高 该 系 统 的 可 靠 性？