2021高考数学全真模拟卷（北京版）15【解析版】.pdf

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1、【赢在高考黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京版）第十四模拟第一 部 分（选择题 共 40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合4 =丁=2+2%,*尺,3 =*k2+丁2 =2,x e R,y e/?,则（）A.-1,2 B.（-1,2C.D.|-1,V2J【答案】D【解析】集合A=卜,=/+2x,x e 7?,则4 =引丁2 1,集合 B =x,2+y 2=2,x e R,y e R,则 8 =x卜及 4 x 4 血 ,所以由交集运算可得A cB=y|y N_1门 卜04%正 =卜卜14 x 4 0 ,

2、即 408=-1,可故选：D.2.设等差数列 斯 的公差为4,若a=2册，则“d 0”是“5为递减数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析1充 分 性:若d 0 ,则+i-aH=d 0,即%an，,2a向 2%，即晨 瓦,所以，数列 2 为递减数列，充分性成立；必要性：若 ,为递减数列，则+i bn,即 2 an+。“，则 可+i-=d 0，必要性成立.因此，d 0,/?0)左支上一点，A,尸2分别为C的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若|M P|+|P闾的最小值为由瑞则C的离心率为()B.2 +V 6C 4 +V 62D.4 +

3、V 6【答案】C【解析】解：|皿尸|+|尸国引。|+|尸制+2 a N|M胤+2 a =V1/+2 a =2 c,即 d 2c-a2+2a-2c化筒得 2 c 2 8 a c +5 a 2 =0，即 Z e?8 e +5 =0，解得e =4域或e =t逅，所以eJ+木.2 2 2故选：Cx +a,x 01 0.函 数/(x)=|x|T n(k|+l),g(x)=,若存在与使得X o)g(X o)成立，则整数a x,x 0I 2的最小值为()A.-1 B.O C.1 D.2【答案】B【解析】由题意得f(T)=|(_ l n(|_ x|+l)=W _ l n(W+l)=x),B P/(-x)=/(

4、x),所以函数x)为偶函数，+0 0且函数g(x)=满足g(x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,要使得存在与使得/(/)g (%)成立，只 需 当 时，/(x)-g(x)0有解，即X l n(x+l)；x 4 g x-l n(x+l)在 0,+o o)有解，令g(x)=；x-l n(x +l),则 g (x)=g一 =,当X O,1)时,g (x)0,函数g(x)单调递增；所以当x =l时，函数取得最小值g(l)=；l n(l +l)=g l n 2,要使的使得存在/使得了 (/)g-I n 2 ,所以整数a的最小值为0.故选：B.第二部分(非选择题 共1 1 0分)二、填空题共5小题，

5、每小题5分，共2 5分。1 1 .满足l 4|z l +的复数z在 复 平 面 上 对 应 的 点 构 成 的 图 形 的 面 积 为.【答案】2兀【解析】由题意，设z =x+yi(x,y e R),因为 l W|z-l +4G，可得 l w|(x-l)+(y+l)i|w百，即 1W(X i y+(y+l)2 W 3,所以 上 一1+心 百 表 示 外径为JL 内径为1的圆环，其中圆环的面积为S=%x(6)2 一万xl2=2乃.故答案为：2万.12.在(2x-y)(x+y)6的展开式中x4/的系数为.【答案】25【解析】(2x-y)(x+y=2 x(x+j)6-y(x+y)6.因为(x+y)6

6、的 展 开 式 的 通 项 公 式 为=C；x6-，y,=0,1,2,3,4,5,6,所以在(x+y p的展开式中V y 3的系数为cl=2 0,x4y2的系数为C；=15,所以在(2xy)(x+y的展开式中x 的系数为2x20-15 =25.故 答 案：25.1二 设/=co s法 工 厂则/(1)+/(2)+/(5 9)=-【答案】竺82(、C/Z C。、co sx co s(60-X)【解析】由题得小)+八6。7)=嬴g+嬴(3 0=+Hco s x co s(60 -x)co s x co s(600-x)co s(30 -x)co s(x-30)co s(x-30)co s(x-30

7、)占.3._ cos x+cos(60-x)_ cos x+cos(60c-x)_ 2 s in x +2 CS cos(x-30)cos(x-30)cos(x 30)_ Gsin(x+60)_ 氐in(x-3(T+90。)_&cos(x-30。)_6cos(x-30)cos(x-30)cos(x-30)所以/(l)+/(2)+/(59)=(/(1。)+/(59。)+(/(2。)+/(58。)+-+(/(59。)+/()=-x59V3=73.2 2故 答 案：竺 叵.214.某果园种植丑橘每年固定成本10万元，每年最大产量13万斤，每种一斤橘子，成本增加1元，已知销售额函数/(x)=-x3+3

8、or2+x,(x是橘子产量，单位：万斤，销售额单位：万元，。为常 数)若 产2万斤，利 润18万元，贝i j a=；要使利润最大，每年需产橘子 万斤.【答案】3：6【解析】解：因为产2万斤，利 润18万元，所以 23+12a+2 10 2=1 8,解得。=3所以/(元)=-x3+9x2+x,若设产量与利润的函数为g(x)，则 g(x)x，+9%2+x 10 x%3+10,x (0,13,g(x)=-3%2+18x,令g(x)=0,则x=0(舍 去)或x=6,因为当0 x0,当 13之1 6时，g(%)=*+2与x轴和 轴分别交于点。，B,直 线/与 函 数 的 图 象交于A,C两 点(点C在点

9、B,。之间)，给出下列四个结论：若点E为y轴上一点，则存在符合条件的点E和实数“，使得钻石为等边三角形；AC 记&)=西,则l e y|y=r (a);AB记(a)=上U，则/z (a)的值域为(0,+8)；BC记g 3）=*：d，1 5 c l l 则 对 任 意 的 非 零 实 数 都 有 黄V 1成立（G，表示再中最大的数，加%,X 2表示X,%2中最小的数）其中正确结论的序号是【答案】【解析】解：直线y=a c+2与X轴，y轴均相交，,/（）.对于，当N A 5 y=60时，则当B E=8 4时，A 4 B E为等边三角形，故正确;y=a x+2对于，联立方程组 3，消兀可得：炉3-1

10、=。,a-yJa2+4 Q +4解得 X.=-，X,=-，1 2 2 22若r (a)=1，则|A C=|D C|,即C为A D的中点，又。(一 屋。)，._ 2+交 亘=巴正亘 2,即4 2+4，+1 3 0),a 2 2 3 3a/+4 =幺+16,+乌,即 2a 4+7。2 4=0，解得a-=q,a-9 9/9 2 2故当a =时，|Aq=|Z)q,，l G y|y =r (a),故正确;.AB对于，.,。0,，故。(a)=I ,1 6c l故错误;对于，;直 线y =Q X+2和直线y=一ax 4-2关于y轴对称，目.抛物线/（x）=x2+1都关于y轴对称,故g （a）=g（一 ），即

11、 芈&=1成立，故正确.g（一。）故答案为：.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。1 6.(本小题满分1 4分)已知ABC 中，-c o s A.b(I )求证：B是钝角；(II)若 ABC同时满足下列四个条件中的三个：s i n A=；a =2；c =拒；s i n C =-2 2请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值.s i n C【解析】(I )因为一 c o s A,由正弦定理可得 0，所以不等式整理为 s i n A c o s B+c o s As i n B s i n B c o s A，即s i n Ac o s 3 0,所以c o s B

12、 v O,所以得证3为钝角;a c(II)若满足，则止法定理可得=，s i n A s i n C2 =4 1即五 一 s i n C,所以s i n C=,又a c ,所以A C,在三角形中，s i n A=变，TT 3 71所以A=一 或A=万，而 由（I ）可得A=一4 4 4TT 7T 7T 1所以可得。=一，B=7 C-A-C =7l-=一*6 4 6 1 2所以6=yla2+c2-2 accosB=4+2-2 x 2 x 7 2 x（_：&）=6 +15）若满足，由（I）B为钝角，A，C为锐角，及s i n A=s i n C=可得 A=M,C,2 2 4 3所以8=2%不符合8为

13、钝角，故这种情况不成立；1 2（m）若满足，由8为钝角，s i n。=走，2TC71所以C =，而4 c,所以4 c,这时8 轴，过点H且平行于A 8的直线为z轴，PH所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系”一qz,在等腰三角形24。中，P =A D =3，PA=4,因为P H.A）=M D-Q 4，所以3P”=4 x疗V，解得 月=生 叵3则A H =g,所以P 华，。，0 8（0,|,6）,所 以 丽=（一 竽,*6）.易知平面A 8 C 0的个法向量为n=(1,0,0)，所以 c o s（P B,PB n _ 2765网网=方所以直线0B与平面A 8 C 0所成角的正弦值为2叵.3

14、91 8.(本小题满分1 4分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手 歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和，求尸(X =l).【解析】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，则观众甲选3名 歌 手 有 种 选 法.观众甲选中3号歌手有C；种选法.所以观众甲选中3号歌手的概率P

15、=(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,X=1表示观众甲、乙只有一人投票给3号歌手.观众甲投票给3号歌手，而乙没有投票给3号歌手有C；C：种观众乙投票给3号歌手，而甲没有投票给3号 歌 手 有 种P（x =l）=c；c：+c；c：71 51 9.(本小题满分1 4分)已 知 函 数=*-l n(x+a)+l.(1)设x =l是兀v)的极值点，求m并求兀v)的单调区间;(2)当a V 3时，证明1【解析】f(x)=ex-x+a由x =l是/(X)的极值点知，/(1)=0，即1 一 占=0,所以0 =0.于是 x)=e T-l n x+l,定义域为(0,+8),且/(x)=e T-_ L,

16、函数/(X)=-在(0,+8)上单调递增,且/=0,X因此当x 0,1)时，r(%)0,所以/(X)的单调递减区间为(0)，增区间为(1，)(2)当a 4 3,x -a时，0 x+ax+3,从而l n(x+a)W l n(x+3),则x)+l =e*T -l n(x+a)+22e*T -l n(x+3)+2,令g(x)=ei-l n(x+3)+2,X G(-3,+CO),则且 (1)=，7-右 在(3,4 8)单调递增，且g (-1)=与-0 ,e 2 e e故存在唯一的实数y e(-l,0),使得8 (%)=0.当x e(3,天)时，g (x)0,g(x)递增.从而当X =/时，g(x)取最

17、小值.由 g (/)=0得e_7 =0,则 e T=7 i，/一l =-l n(%+3),砧 /X X,1/1 (%+2)2故g(x)m in =g(X o)=e。-l n(x0+3)+2=+x0-l +2=由飞-1,0)知,(*。+2)o,故/1(x)+1 0 g(x)N g&)0,%+3即当时,尤)-1成立.20.已知圆A(x-G +y2=1 6的圆心为4,点8(-6,0)是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点,线段B C的垂直平分线与半径AC相交于点。.(1)求动点D的轨迹E的方程；（2）给定点P（O,1）,设直线/不经过点P且与轨迹E相交于例，N两点，以线段MN为直径的圆过点P.证明：

18、直线/过定点.【解析】（1）如图，由己知，圆心A（、6,0）,半径=4.点D在线段B C的垂直平分线上，贝i j|C|=|。理X|A（=|ZM|+|ZX 7|（：.AC=D+DB又.A C|=r =4,=4|A B|则动点。的轨迹E是以A（月,0），8卜 月,0）为焦点，长轴长2a =4的椭圆从而 a =2,c=V3 ，=/c 2=1，故所求轨迹E方程为 三+丁=1.4 .（2）由已知，Z M P N =9 0,则 丽 丽=0，若/的斜率不存在，设/:x =f，由 题 设 知 且“=+2将 y=依+2 代入土+J _ 1 得（4炉+l）d+8%如+4，-4=0由题设可知 =1 6（4公-m2+

19、l）0设”(，x),N(x2,y2),则5+W=-内/=:丁 K一：十 i 4 k+1丽,=a，y1),P N =(x2,y2-1),从而P M -P N xx2+(x 1)(%1)=内/+(A x,+m 1)-(AX2+m 1)=(k2+1)玉 工2+女(，-1)(%+x2)+(m 1)=0即仅2+i).把 二i +M机-i).望生+(加一 1 J =o 4A:2+1 )4二+1 )3化筒得(加一 1)(5加+3)=0,解得机=1 (舍 去)或 相=一此时A =1 6(4左2+|)0成立，于是/：=履 一|故直线/过定点21.(本小题满分1 4分)对 于 数 列4：%,4,M(4 e N,i

20、 =l,2,)，定 义“T变 换”：T将 数 列A“变换成数列 纥：伉也，也，其 中=|q.-a,*|(i=l,2,，-1),且 =|a“-q|,这 种 T变 换”记作纥=T(4).继 续 对 数 列 纥 进 行“T变 换”，得 到 数 列C“，依 此 类 推，当得到的数列各项均为0时变换结束.(I )试 问4:4,2,8和4：1，4,2,9经 过 不 断 的“T变 换”能 否 结 束？若 能，请 依 次 写 出 经 过“T变 换”得 到 的 各 数 列；若 不 能，说 明 理 由；(I I)求&：4，。2，。3经 过 有 限 次“丁变换”后 能 够 结 束 的 充 要 条 件；(I I I)

21、证 明：A j q,4,4,4一 定 能 经 过 有 限 次“丁变换”后结束.【解析】(I)解：数列A?：4,2,8不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0：0,2,2；2,0,2；从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形.数列 4 :1,4,2,9 能结束，各数列依次为3,2,7,8：1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0.(n )解：4经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是q =%=。3.若=4=%，则经过一次“T变换”就得到数列0,0,0,从而结束.当数列43经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(4)为常数列，则 为 常 数 列

22、”当 q N a 2 2 a 3 时，数列 T(4)：q-%，%一。3，一生.由数列7(4)为常数列得4一%=%=4 一%，解得=%=%，从而数列4也为常数列.其它情形同理，得证.在数列4经过有限次“丁变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A 3也为常数列.所以，数列A 3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是 =%.(I I I)证明：先证明引理：“数列T(A J的最大项一定不大于数列A,的最大项，其中“2 3”.证明：记数列A“中最大项为m a x(A”)，则0 4 q m a x(A J.令 纥=丁(4)，=与 一%，其中程因

23、为%20,所以&%W m a x(A“)，故 m a x(纥)m a x(A”)，证毕.现将数列A4分为两类.第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻)，此时由引理可知,m a x(B4)0).(其它情形同理)当 数 列4中只有一项为0时,若:O,a,b,c(ab,a c,bcO),则 T(A4):a,a-/?,|b-c|,c,此数列各项均不为0或含有。项但与最大项不相邻，为第一类数列；若：O,a,a,分(a *0),则 丁(44):a,0,a-,人；T(T(A4):a,a-b,a 2 b,a-b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若 儿：0

24、,。，d a(a,b w 0),则丁(4)：。,。一九。一反匕，此数列各项均不为0,为第一类数列；若 4：0,a,a,a,则7(AJ：。，0，。；r(r(A4):a,0,a,0；T(T(r(A4):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.当 数 列A4中有两项为0时，若A4：0,a,0,b(a?匕0),则丁缶:兄兄尻人，此数列各项均不为0,为第一类数列；若4：0，。也0(。之匕0)，则T(A):a,a九0,T(T(A):b,a-2 b,b,a,此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列.当 数 列A4中有三项为0时，只能是4：0，。，。，则丁(A)：a,0,0，T(T(A):0,a,0,a,T(T(T(A):a,a,a,a,此数列各项均不为0,为第一类数列.总之，第二类数列儿 至多经过3次“T变换”，就会得到笫一类数列，即至多连续经历3次“T变换”,数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0,此时数列的各项均为0,从而结束.