2021年自招模拟卷（五）（教师版）.pdf

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1、自 招 模 拟 卷（五）1.设 x、y 为 实 数,则 代 数 式 2/+4xy+5,y2-4x+2y+5 的 最 小 值 为【答 案】0.【解 析】原 式=(金+4xy+4y2)+(x2 一 4x+4)+(y?+2y+l)=(x+2+(x-2)+(y+1)-20当 x=2,y=-l时 等 号 成 立.2.化 简 计 算：（1）4亚 瓜+小+岳 2限 72+73+75【答 案】（1）2点+百-扪；（2）V2+/3-x/5.(V8+s+J13)(+/5-V13)+75+713=2+V 5-A/13.原 式=若 驾 房=/窑 烙 L 向 6 一 氐 3.化 简/8+“0+8石+yJ8-40+8/5

2、.【答 案】夜+版.【解 析】原 式=6+“0+8君+h“0+8后 28+4 0+8石+8-如+8 4+2x J(8+“0+8网(8-7 7)=Jl6+2xj64-40-8 4=J16+2x 也 4-8 6=J16+2 x（2 石-2）=J12+4 石=A/2+X/10.4.方 程：3,+4+5*=6*的 解 有 个.【答 案】1个.【解 析】山 题 意(胃,+(胃+(|)=1,而 后 j、(2),、(|J 均 随 x 的 增 大 而 减 小，值 域 取 到 0 到 正 无 穷 之 间.于 是 原 方 程 有 且 仅 有 一 个 解.5.已 知 两 质 数、g 之 和 为 2 0 1 9,贝

3、I J(p-l)T(p q)的 值 为.【答 案】2016.【解 析】根 据 题 意 p,g 中 必 有 一 个 偶 数=p=2017,q=2 n(p-l)”=2 0 1 6.6.在 直 角 三 角 形 A B C中，C D、C分 别 是 斜 边 钻 上 的 高、中 线，BC=a,9=AC2=A-AB=（7 i O-l）x2ViOx2,8 c 2=（屈+1）x2厢 1=9（1+而 了,8 c=3 而+3.7.在 平 面 直 角 坐 标 系 内，已 知 四 个 定 点 A(-3,0),8(1,-1),C(0,3),。(-1,3)及 一个 动 点 P，WlJ|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的

4、 最 小 值 为.【答 案】3 0+26.【解 析】已 知 四 边 形 A8C。为 凸 四 边 形，设 对 角 线 的 与 A C 交 点 为 O,|P4|+|PB|+|PC|+|PD|AC|+|D|=A/18+X/20=35/2+2A/5,当 尸 与 O 重 合 时 等 号 成 立.8.已 知 函 数 x)=x2-2(a+2)x+2,g(x)=-x2+2(tz-2)x-a2+8.设/|()=17m/(司，8(),W2(x)=min/(jc),g(x),maxp,q表 示 p,q 中 的 较 大 值，minp,q表 示/?,q 中 的 较 小 值，记 M(x)的 最 小 值 为 A,4(x)的

5、 最 大 值 为 8,则 A-3=.【答 案】-12.【解 析】/(J C)=(J C-a-2)-4o-4,g(x)=-(x-a+2)-4a+8,当 x=a+2,x)=g(x)=-4a-4,当 x=a-2,f(x)=g(x)=-4a+8,而 gmax=g(a-2)=-4a+8 n H 2(x)Mg(x)Mgg=-4a+8,篇.=a+2)=-4a-4 n 乩(x)f(x)fmin=-4a-4,两 个 等 号 都 能 取 到，=A=-kz 4,B=ci+8=A 3=12.9.不 等 式(x+D(4x+3)。有 多 重 解 法，其 中 有 一 种 方 法 如 下，在 同 一 直 角 坐 标 系 中

6、做 出 y,=x+l和%=产-4x+3 的 图 象 然 后 进 行 求 解，请 类 比 求 解 以 下 问 题：设 a,b 为 整 数,若 对 任 意 x M O,都 有 3+2)(7+)40成 立，贝 I Q+6=.【答 案】3.【解 析】作 图 略，显 然 由 于 X 的 负 半 轴 上 分+2与 片+给 不 同 号 nor+2 与%2+2/?在 元 负 半 轴 上 交 点 相 同，=2a2b=a2x2=4=2/?=2(0),a=,b=2,a+b=3.210.关 于 X 的 方 程-2a=a2+l的 解 为.x【答 案】。=0时，方 程 无 解；且 awl时，方 程 的 解 为 x=a+l

7、或 犬=四；aa=l时，方 程 的 解 为 x=2.【解 析】原 方 程 可 化 为：ax2-(a+l)+(a+1)2=0,(1)a=0时，解 得 x=l,代 入 原 方 程 验 证 为 增 根，则 方 程 无 解；(2)awO时，方 程 因 式 分 解 为：(ar-a-l)(x-a-l)=O,.x=a+l或 X=四，经 检 验 是 原 方 程 的 解，a当 a=l时，+1=2,此 时 方 程 有 两 个 相 等 的 解，a综 上 所 述，当 4=0时，方 程 无 解；当 且 a用 时，方 程 的 解 为 x=a+l或=四；a当 a=l时，方 程 的 解 为=2.11.已 知 而 c=l,a+

8、0+c=2,6Z2+Z?2+c2=3,则-+-+-=ab+c-be+a c a+b-2【答 案】一 二.3【解 析】由 已 知 得，+b+昉+2ac+Mc=i,7 7 1ab+ac+be=f2a:c=-a b，.1 _ 1 _ 1ab+c-ab+-a-b(a-l)(Z?-l)b e 1 1 1 1b e a-(/?-l)(c-l)ca+b-l(c-l)(-1)原 式；g _ i)+g _ i)+(c _ i)=_“+6+C-3 _=_2(a-l)(/7-l)(c-l)abc-a b+bc+ac)+(a+/+c)-1 312.已 知 关 于 x 的 方 程 4x2 8m：3 一 2=0 和 x

9、2-(+3)x-2 n 2+2=0 问 是 否 存 在 这 样 的 值，使 方 程 的 两 个 实 数 根 的 差 的 平 方 等 于 方 程 的 一 整 数 根？若 存 在,求 出 这 样 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】0.【解 析】若 存 在 满 足 题 意，(西-=4 2+3+2,中(x+n-l)(x-2(n+l)=0,若 4/?+3+2+一 1=0,则=-4，但 1-=3 不 为 整 数，舍；2 2若 4 2+3+2=2+2,贝 U=O 或 一,，当 2+2 为 整 数，则=0.4将=0代 入 验 证 成 立.13.对 于 数 对 序 列 呼(知 伉),(死 也

10、)，(。也)，记 1(P)=q+4，Tk(P)=bk+max_1(P),%+a2+ak(2 k n),其 中 max/_(P),q+4+十 4 表 示 九 i(尸)和 q+%+十%两 个 数 中 最 大 的 数.对 于 数 对 数 列 P：(2,5),(4,1),求 7(P),7；(P)的 值；(2)记 为。、b、c、d 四 个 数 中 最 小 值 的 数，对 于 有 两 个 数 对(。力)，(c/)组 成 的 数 对 序 列/：(a,b),(c,d)和 P:(c,d),(。，试 分 别 对 加=a 和 z=d 时 两种 情 况 比 较（P）和（P）的 大 小.【答 案】(1)7,8；(2)l

11、(P)4(P).【解 析】(1)7；(P)=2+5=7,7；(P)=l+max7,2+4=1+7=8；(2)工(尸)=+/?,(尸)=d+max(、b+c-i-b-c+c=d+-L工(P)=c+d,T2(P,)=b+max c+d,c+=h+c+.一 岂 仍）=卅 一 d 一”|2若?=，第（P）_ g（7）=2“/-；+2 _ d=._（?或 4 _ 4,于 是（P）4（P）,若 m=d,吊（P）_ 0（P）=2”一 一;+步 一 或“一.,于 是 7；（P）47；（P）.14.（1）有 8 本 不 同 的 书，其 中 数 学 书 3 本，外 文 书 2 本，其 他 书 3 本，若 将 这

12、些 书 连 排 成 一 列 放 在 书 架 上，则 数 学 书 恰 好 排 在 一 起，外 文 书 也 恰 好 排 成 一 起 的 排 法 有 _ 种 排 法.（2）不 同 的 五 种 商 品 在 货 架 上 排 成 一 排，其 中 a、b 两 种 商 品 必 须 排 在 一 起，而 c、“两 种 商 品 不 排 在 一 起，则 不 同 的 排 法 共 有 种.【答 案】（1）1440；（2）24.【解 析】（1）将 3 本 数 学 书 以 及 2 本 外 语 书 各 自 捆 绑，和 另 外 3 本 书 排 列，则 有 外 种 排 列；将 3 本 数 学 书 和 2 本 外 语 书 松 绑，则

13、 各 自 有 P：和 母 种 排 列；故 总 共 有 我.P；,P；=1440种 排 法.（2）a,人 捆 在 一 起 与 e进 行 排 列 有 厅 种；此 时 留 下 三 个 空（a,b 捆 在 一 起 中 间 无 空），将 c,d 两 种 商 品 插 进 去 一 共 有 P；种；最 后 将。，。松 绑 有 8 种.故，根 据 乘 法 原 理 一 共 有 写 哥 6=24种 方 法.15.把 1 0个 相 同 小 球 放 入 其 编 号 为 1、2、3 的 三 个 箱 子 里，要 求 每 个 箱 子 放 球 的 个 数 不 小 于 其 编 号 数，则 不 同 的 放 球 方 法 共 有 几

14、种？【答 案】15.【解 析】设 这 3 个 盒 子 所 放 的 小 球 数 分 别 是,马,工 3，其 中 l,x,2,X3 3,J,X2,XJ e Z+，vx,+%,=10,令 y=可，丫 2=/-1,%=毛 一 2,X+%+%=7(y e Z+),该 方 程 共 有 C；=15组 解，不 同 的 放 球 方 法 共 有 15种.16.张 华、李 亮、王 民 三 位 同 学 分 别 发 出 新 年 贺 卡 x、y、z 张.如 果 已 知 x,y,z 的 最 小 公 倍 数 为 60,x 和)，的 最 大 公 因 数 为 4,y 和 z 的 最 大 公 因 数 为 3,那 么 张 华 发 出

15、 的 新 年 贺 卡 是 多 少 张？【答 案】4 张 或 2 0张.【解 析】j(x,y)=4,(y,z)=3.y是 3 与 4 的 倍 数，而 3 与 4 互 质，故 y 是 1 2的 倍 数.又,/x,y,z=60,-y-20r60当 y=12时，x、z 中 至 少 有 一 个 含 有 因 数 5.若 x 中 有 因 数 5,又 x 中 有 因 数 4,且 4 与 5 互 质，中 有 因 数 20.而 x,y,z=60,(x,y)=4,/.x=20；当 x 中 没 有 因 数 5,中 有 因 数 4,且 x 是 6 0的 约 数,x=4or2(x,)=4,/.x=4.当 y=6 0时，1

16、 中 没 有 因 数 5,且 x,y,z=6 0 x=4.因 此，张 华 发 出 的 贺 年 卡 为 4 张 或 2 0张.【课 后 作 业】1.(15分)任 意 实 数 X、y,定 义 x*y=2”(a、b 为 常 数),等 式 右 端 的 计 算 ax+hy是 通 常 的 四 则 运 算.若 1*2=1,2*3=2,则 2*(-1)=.【答 案】2.1a+2b2=上 2a+3b【解 析】=Q=0,/?=2 n 原 式=x=2.2.(1 5分)函 数 y=卜+1|+卜+2|+上 一 1|的 最 小 值 是.【答 案】3.【解 析】y=|x+2|+|x-1|+|x+1|(x+2)-(x-1)|

17、+0=3,x=-时 等 号 成 立.3.(15 分)A4BC 中，ZA=30,AB=4,AC=6,P 是 AC 边 上 任 意 一 点，过 P作(1)若 AP=x,APm 面 积 为 S,求 出 S与/的 关 系 式;(2)x为 何 值 时，S有 最 大 值？求 出 这 个 最 大 值.V2 Q【答 案】(1)S=-+A(OX|x 6SM8C 62 1 6 6?Jx(0 x 6)(2)5-(X-3)2+-.6 2 24.(1 5分)有 4 个 中 国 人 和 4 个 美 国 人 围 桌 而 坐，要 求 同 一 国 的 人 不 相 邻，求 共 有多 少 种 坐 法？【答 案】144.【解 析】先

18、 让 4 个 中 国 人 隔 位 坐 下，属 于 圆 排 列 问 题，共 有 笈=6种 坐 法，4然 后 4 个 美 国 人 插 空 而 坐，这 实 际 上 是 4 个 人 的 全 排 列 问 题，因 为 这 4 个 人 已 经 让 中 国 人 隔 开 了，共 有 4!=24种 坐 法，运 用 乘 法 原 理，共 有 24*6=144种 坐 法.5.（2 0分）1 0个 相 同 的 小 球 放 到 3 个 不 同 的 盒 子 里，允 许 盒 子 空 着，问 一 共 有 多 少 种 不 同 的 方 法？【答 案】66.【解 析】设 3 个 盒 子 所 放 的 小 球 数 分 别 是 对 马，七（

19、斗，马，七”，/.x+w+毛=10（%,超,毛 e N）,+1）+（石+1）+（工 3+1）=13,必=七+1,/,yi G Z+,.+%+%=13的 正 整 数 解 共 有 C,2=6 6个，故 一 共 有 6 6种 不 同 的 方 法.6.（2 0分）与 Z?是 正 整 数，且 a+0=33,最 小 公 倍 数 a,b=90,求 最 大 公 因 数（。）？【答 案】3.【解 析】设 最 大 公 因 数（附）是 x,.出+从“|33当 X=1时，4 与 人 互 质，aa+b=33,故 当。不 能 被 3 整 除，则 b 不 能 被 3 整 除，,可=9 0,说 明、b 至 少 有 一 个 能 被 3 整 除.矛 盾!又 川 9 0 x=3,当。=15力=1 8满 足 条 件.