2022考研数学三真题及答案解析(数三).pdf

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1、2022年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 数 学(三)试 题 及 参 考 答 案 一、选 择 题：110题，每 小 题 5 分，共 50分.1、当 X-0 时，c(x)、月(x)是 非 零 无 穷 小 量，给 出 以 下 四 个 命 题 若 a(x)以 幻,则/)p x)；若 修(方 62(方,则 口(幻 尔 x)；若 a(x)/?(x),则(z(x)-尸(x)=o(a(x)；若 ax 以 x)=o(a(x),则 a(x)伙 龙).其 中 正 确 的 序 号 是()A：；B：C：;D：.答 案：C.解 析：当 x O 时，若 a(x)x),贝 H i m 型=1,故=(史

2、 乃=1,即 一。夕 2 0/7 2(X)30(,(幻 12(x)/72(x),且-6 3=1-1=0,故 a(x)-伙 x)=o(a(x).所 以 正 确.a(x)当 x O 时，a2(x)Z72(x),则 lim 与 也=1,此 时 lim 以 2=1,而 lim 型=一 1 时，a(x)，f。,2(x)i。/?(x)i。4(x)与 尸(x)不 是 等 价 无 穷 小，故 不 正 确.当 x-0 时，若 c(x)万(x)=o(c(x),lim-lim-=lim a-1,所 以 a。/7(x)TO a(x)-o(a(x)t一。a(x)a(x)/?(%),正 确.综 上，C 为 选 项.2、已

3、 知/=必 i(n=1,2,)，则 凡()nA：有 最 大 值，有 最 小 值；B：有 最 大 值，没 有 最 小 值；C：没 有 最 大 值，有 最 小 值；D：没 有 最 大 值，没 有 最 小 值.答 案：A.解 析：4=2l,a,=应 工 0,当 N 时，a,%,所 以 2 00an有 最 大 值 和 最 小 值，选 项 A 正 确.3、设 函 数/)连 续，令 F(x,y)=J(x y f)/力，则()dF dF d2F d2FA：-，-Z-.Z-;dx dy dx-dy-dF dF d2F d2FC：-=-f-=-dx dy dx2 dy2dF dF d2F _ d2FB：菽=诙

4、右.歹；dF dF d2F d2FD-=-,-dx dy dx2 dy2答 案：C.解 析：F(x,y)=(x-y)tf(t)dt,=)f(t)dt+(x-y)f(x-y)-(x-y)f(x-y)f(t)dt,.=/(x-y),同 理 字=一：/)力 _(x_y)/(x_y)+(x-y)/(x_y)=_：7(f)力，*=/(x-y),dy Jo Jo dy综 上 整 dF d2F _ d2Fdx2 dy2,选 项 C 正 确.4、已 知 J,4=f1-x-dx,.1r i ln(l+x),ri 2x,nl z、7=-dx.I,-dx,则()J o2(l+cosx)J ol+cosx Jo 1+

5、sinxA：II2I3i B：/2/,/3；C：/t/3/2；D：I3 12 It.答 案:A.解 析：4=j;X7,ri ln(l+x),c x,h,什,.乙 dx,L=-Jx,/,=-dx,先 比 较 A，4 的 大 小，令(1+cos 尤)-J l+cosx J。1+sinx2r1 1 Y 1/(x)=-ln(l+x)xe(O,l),此 时/(0)=0,此 时/(x)=上-=0,即 f(x)单 调 递 减,2 2 1+x 2(1+x)x从 而/(x)/(0)=0,可 得 5 ln(l+x)xG(0,l),从 而 Ac/2.再 比 较 乙，/,的 大 小，因 ln(l+x)x,s m x

6、i+cosx,xe(0,l),则 史“土 旦/2 综 上，可 得 A 正 确.1 0 0、5、设 A 为 3阶 矩 阵，A=0-1 0,则 A 的 特 征 值 为 1,1,0的 充 分 必 要 条 件 是()、0 0 0,A：存 在 可 逆 矩 阵 P,Q,使 得 A=P A Q；B：存 在 可 逆 矩 阵 P,使 得 A=P A P T；C：存 在 正 交 矩 阵。，使 得 A=QAQi；D：存 在 可 逆 矩 阵 P,使 得 A=PAPT；答 案：B解 析：3 阶 A 有-1,1,0三 个 不 同 的 特 征 值，所 以 A 可 以 相 似 对 角 化，故 存 在 可 逆 矩 阵 P,使

7、得 4 若 存 在 可 逆 矩 阵 P,使 得 A=P A P T,即 A 相 似 与 A,而 相 似 矩 阵 具 有 相 同 的 特 征 值，而 A 的 特 征 值 为 1,1,0,故 A 的 特 征 值 为 一 1,1,0.因 此 选 B.6、设 矩 阵 A=,b，则 线 性 方 程 组 A x=8 解 的 情 况 为（）A：无 解;B:有 解;C:有 无 穷 多 解 或 无 解；D:有 唯 一 解 或 无 解;111ab1a2.J答 案：D.、解 析：111a2b210,1a-1b-1a2-lb2-1 1ah12471137(1)当。=1 或 b=l 时,“A）A|。），方 程 无 解（

8、2）当 且 时,(A-(i)当 时，r(A)=r(A|。)=3,1110方 程 有 唯 一 解(2+1b-a11a-13 1b-a-)100 1 b(ii)当 a=。时,/(A)=2,r(A|Z?)=3,方 程 无 解;综 述：方 程 有 唯 一 解 或 无 解，选 D.7、设 囚%,%与，。2，。4等 价，则 4 的 取 值 范 围)A：0,1;B:41 4 G R,A.。2；C:A|A,G R,4 H 1,几 片 一 2；答 案：C解 析：向 量 组 与 等 价 的 充 要 条 件 是 厂（四,22，%）=。1，。2,24）=一（%，二 2,23&1，22,14），J2 1 11 1 21

9、 Z 2271 20 1-22l A 1 A2、1 11-2 00 7 47(1)当)=1 时,r(,%a,)=7(%,%,%)=/(,a2,a3.a4)=1,此 时 向 量 组 等 价(2)当 X w l 时(a2,at,a3,a4)-0Z 1 1)(11+2 1 0-01+A 0 2,、0z1+2111-11 p A0-0 1-Z-1J(0 0-1-2-12+2(1+/L)2,(i)当 丸=-2 时,“4,%,%)=2,r(at,a2,a4)-r(at,a2,a3.a4)-3,此 时 向 量 组 不 等 价(ii)当 4。一 2,4=1 时，r(a,a2,a3)=3,r(at,a2,a4)

10、=2,r(apa2,a3.a4)=3,此 时 向 量 组 不 等 价(iii)当 X w-2,/1 时，r(at,a2,a3)=r(at,a2,a4)=r(al,a2,ai.a4)=3,此 时 向 量 组 等 价 综 上，当 4 声 一 2,/l。一 1时，向 量 组。1,。2，a3与%，。2，&4等 价；选 C8、随 机 变 量 X N(0,4),随 机 变 量 卜 且 X 与 丫 不 相 关，则(X3y+l)=()A:2；B:4；C:6；D:10.答 案：D.2解 析：由 题 意 知，D(X)=4,D(y)=-,Cov(X,y)=0；D(X-3 Y+r)=D(X-3Y)=D(X)+9D(Y

11、)=1 0,故 选 D.9、设 随 机 变 量 序 列 X L X”,独 立 同 分 布，且 X,的 概 率 密 度 为 可 则 当 80 其 他 时，之 X；依 概 率 收 敛 于()n,=11 1 c l 1A;一；B:一；C:一；D:一.8 6 3 2答 案：B.解 析：(X,2)=x2f(x)dx=x2(1-|x|)=2 x2(1-x)dx=1,从 而 E|-x,2 U-E(X,2)=-,由 辛 钦 大 数 定 律 可 得，依 概 率 收 敛 于 A-t X,2 从 而 选(金)台“6(白)B.io、设 二 维 随 机 变 量(x,y)的 概 率 分 布 XY0 1 2-I 0.1 0

12、.1 b1a0.1 0.1若 事 件 A=maxX,Y=2与 事 件 8=minX,y=l相 互 独 立，则 Cov(X,y)=()A：-0.6；B:-0.36；C:0；D:0.48.答 案：B.解 析：P(A)=0.1+b,P(B)=0.2,P(AB)=PX=1,y=2)=0.1,由 A,B 相 互 独 立，故 P(AB)=P(A)P(B),解 得 Z?=0.4,由 分 布 律 的 性 质 得 a=0.2,E(X)=-0.2,E(Y)=1.2,E(XY)=-0.6从 而 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=-0.36,故 选 B.二、填 空 题：1116题，每 题 5 分，共 30

13、分.答 案：西.12、解 析:limcot.vlnx-o I 2lim ex-.r-M)2tanxf2 2 x4 dx=J ox+2x+4答 案:ln3 一 叵 3解 析:2 2x+20 x2+2x+4dx-62 1x2+2x+4,m+2 x+4)dx=；-J。x+2x+4(2 16J(x+l)2+(V3)2 d X=ln(x2+2X+4)|Q a r c t a n=In3-.13、已 知 函 数/(幻=*+0 5，则 尸(2乃)=.答 案：0.解 析：方 法 一：/(x)=cosxesin-cosxe-sg,f(x)=(cos2 x-sin x)esmx+(cos2 x+sinx)e-si

14、njr,fx)=(-2 cosxsinx-c osx)sn x+c osx(c os2 x-sinx)esinA-c osx(c os2 x+sin x)e-s,ni+e-s,n A(-2 cosxsinx+cosx)从 而 尸(2/)=1 1 1+1=0.方 法 二：/(x)=eSin，+e-s叫 显 然/(_刈=”g+6.，=/(为，故 y(x)为 偶 函 数，且 周 期 T=2,于 是/(x)为 奇 函 数，/(x)为 偶 函 数，尸(x)为 奇 函 数，从 而/(0)=0,而 尸(2万)=/(0)=0.14、已 知/(%)=e 0 xl0,其 他 贝|dx f(x)f(y-x)dy=J

15、 00 J 00答 案：(e l).解 析：记)=(x,y)|O xl,0 y-x l,原 式=JJ f(x)f(y-x)d x d y-JJexey xdxdy,D D=J。exdx eyxdy=J。e*(e-l)d y=(e-l)2.15、设 A为 3阶 矩 阵，交 换 A的 第 2行 和 第 3行，再 将 第 2列 的 一 1倍 加 到 第 一 列，得 到 矩 阵 r-2 1-1、B=1-1 0,则 4T 的 迹(4 一 1)=.、T 0,答 案：-1.8 0 0、(1 0 0、解 析：令 q=0、00 1,P2=-11 10则 PtAP2=B 1 0 0 Y-2A=Pi-BI=0 0

16、1 1、0 1“T1-10-1Y1 o oo i i o=-i10-1-r01 0。b0 人 0 0 1J I 0-1-2|A-2E|=-101-1/0(2+1)(22+1)=0,解 得 4=1,4=i，4=i-1-2故 4 T的 特 征 值 为 4=-1,22=-Z,A3=Z,从 而(A-I)=-116、设 A,B,C为 随 机 事 件，且 A与 8 互 不 相 容，A与 C 互 不 相 容，B与 C相 互 独 立，P(A)=P(8)=P(C)=；,则 P(B U C|A U B U C)=.答 案：8解 析：“皿 口 四 皿。)=就 品 P(B U C)=P(B)+P(C)-P(BC)=P

17、(B)+P(C)-P(B)P(C)=|QP(AU 5 UC)=P(A)+P(BU C)-P(A(BU O)=P(A)+P(BJC)=-从 而 P(B U C|A U 8U C)=*.8三、解 答 题：17 22小 题，共 94分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17、(本 题 满 分 10分)设 函 数 y(x)是 微 分 方 程 y+尸=2+五 满 足 条 件 y(l)=3的 解，求 曲 线 2y/Xy=y(x)的 渐 近 线.解：y(x)=J 诂*J(2+)J，dx+C=e-r i(2+e d x+C=e-2 x e+C=2 x+C f,其 中 C

18、为 任 意 常 数，又 y=3,得。=6,即 y(x)=2 x+e 6.v2x+3-4 ra=im=lim-=2,b=lim(y 2x)=lim 3=0,故 y=2x 为 曲 线 y=y(x)的,r+o o 尤.r+o o x x+x x-+o o斜 渐 近 线.18、(本 题 满 分 12分)设 某 产 品 的 产 量。由 资 本 投 入 量 x 和 劳 动 投 入 量 y 决 定，生 产 函 数 为。=12户 该 产 品 的 销 售 单 价 P 与。的 关 系 为 尸=1 1 6 0-1.5 Q,若 单 位 资 本 投 入 量 和 单 位 蓝 洞 投 入 量 的 价 格 分 别 为 6 和

19、 8,求 利 润 最 大 时 的 产 量.解：利 润 L=P Q-6 x-8y=(1160-1.6 0 2-6 x-8 y=13920 X-216x f-6 x-8y i 1 i j.L=6960/2/-216a 6=3y1 2 3 2 0-7 2)-6=0令,j%z i,.得 驻 点(2 5 6,6 4),Ly=2320/J%-7 2-8=孙(2 3 2 0-7 2)-8=0此 时。=1 2 x J亚 x佩=384,在 实 际 问 题 中 由 于 驻 点 唯 一，故 利 润 L 在 Q=384处 取 到 最 大 值.19、(本 题 满 分 12分)已 知 平 面 区 域 O=(x,y)|y

20、2WxW 二 了，0 q y 4 2,计 算,项 小 解：/=“2 dxdy=(cos(p sin e)2 d(p：pdp+(cos(p-s in)2 贮。，。pdp7 12 j J(1 一 2 sin 夕 cos(p)d(p+2J：d。=2(p-s in2 cp)|J+乃=2(1)+4=2万 一 2.20、(本 题 满 分 12分)求 基 级 数 之 上 士/，的 收 敛 域 及 和 函 数 5(幻.4(2+1)解:(-4)叫 I y+2.4,+|(2/2+3)-lim-乙-(-4)+1 婢 4(2+1)”1,解 得|x|l,从 而 R=l,收 敛 区 间(1,1),当=1时,心 平(2+1

21、)收 敛，故 收 敛 域 为-1,1.当 x e-1,1,令 义 幻=品/+=o 2+1=1x4(2+1)令“）。怨 苧=*，8此 时 z/=0(I)一 向 2+l”=01+x2,工 公=arctanx,故 士 2+l Joi+-IS、(x)=arc tanx,%w 0.xoo 2n 1 oo，2(幻=2 4”(2“+1)=1*2+1X H 0,此 时 4(2+D(e x2n+i 夫 尤 2 1 4 6 x2,+1 4 J,2+x(4(2+Dj 占 4 兰 4-x2 占 4(2+1)4-x2 2-x-z1 2+xS2(x)=-ln,xwO.x 2 xx=0 时，S(0)=2.综 上 当 J-1

22、,11 1 f 2+xarctanx+In-S(x)=x x 2-x,xe-l,0)U(0,l2,x=021、（本 题 满 分 12分）已 知 二 次 型/（对 和 工）=3玉 2+4x；+3x；+2%元 3,（1）求 正 交 变 换 x=Q y 将/（玉,九 2，七）化 为 标 准 形;（2）证 明：min当 上=2.X X 3 0 1、3-2 0 1解：（1）二 次 型 对 应 矩 阵 A=0 4 0,A-AE=0 4-/1 0=(/I-4)2(4 2)=0,U 0 3,1 0 3-A解 得 4=2,4=4=4-1、4=2 对 应 特 征 向 量 满 足（A 2 E）x=0,解 得。=04

23、=%=4 对 应 特 征 向 量 满 足（4 一 4初=0,解 得 星=1，&=0繁。,以 已 经 两 两 正 交，单 位 化 得 7=近 一 2072一 2V2-2。亚-2rI-2,故 存 在 正 交 矩 阵。=（7，%，小），当 X=Qy 时/（X，%，为）=2”+4方+4片(2)华 曾 X X/(y)=/(y)=2y；+4货+4$2y+2yyTQTQy yTy K+y l+yl/十 y;2+2+y当 x t O 时，由 x=Q y 得 y 7 O,当%=%=，M 工 0 时，2+,）?与 力,的 最 小 值 为 2,故 min=2.ko x x22、（本 题 12分）设 X”X2,X”为

24、 来 自 均 值 为。的 指 数 分 布 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本,K，K，匕 为 来 自 均 值 为 2。的 指 数 分 布 总 体 丫 的 简 单 随 机 样 本，且 两 样 本 相 互 独 立，其 中 6（。0）是 未 知 参 数，利 用 样 本 X”X2,X,乂 上,，匕，求。的 最 大 似 然 估 计 量。，并 求 0（5）.1解：由 题 知：总 体 x,y 的 概 率 密 度 为 力（。）=万 x 0 x 00 y+处 jI i=乙 j=7 n 1 tn、曰 乙 y=i 7D 6=D1m+n(nm11 1=z J=l）n i m牛(x,)+Q w)1(2+研 D(X J+：D(Yj)而 0(XJ=0 D(y,)=462,从 而 0(，)=-?T nd2+-402=-J(m+n)V 4)m+n