2023年经济数学基础形成性考核册及参考答案4.pdf

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1、经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）(一)填空题%-s i nx _ .1 .li m-=_.答案:0X TO xx+1 X W()2 .设/(幻=，在x =0 处连续，则女=_答案:11%,x =03 .曲线y=在(1,1)的切线方程是.答案:y=；X+g4 .设函数/(X+1)=X2+2X+5,则/(幻=.答案：2 x5 .设/（x）=x s i n x,则/（）=.答案：一（二）单项选择题Y 11.函数2的连续区间是（）答案:DA.(-o o,l)u(l,+o o)B.(-o o,-2)U(-2,4-00)C.（一 8,-2）。（-2,1）。（1,+8）D.(o o,-2)D(-

2、2,+8)或(o o,l)U(l,+o o)2.下列极限计算对的的是（)答案：BA.l i m t k lZ XB.Un X lz 0+XC.li m x s i n =1-0 xs i nx iD.li m-=1x-8 x3 .设 y=lg 2 x,则dy=(）.答案:BA.dx B.2 xx lnlOd rInlOC.-d xD.一dxx4.若函数/（均在点沏处可导,则（）是错误的.答案：B1xA.函数/（x）在点X。处有定义B.li m/(x)=A,但 A w /(x0)K f 0C.函数/在点对处连续D.函 数f（X）在点X。处可微5.当x-0 时，下列变量是无穷小量的是（）.答案:C

3、A.2Vs i n xB.-XC.ln(l+x)D.COSX(三)解答题1 .计算极限(1)li mXT1一 3 x +2x2-llim。-2)(1)=_1i (无 一 l)(x+l)(尤 +1)2.x 5 x +6 (x 2)(x 3).x 3 1(2 )h m -.=h m-=li m-=-工+2 厂 6 x +8 A?(x 2)(x 4)z 2 (x 4)2rJl x 1 r(V l x l)(-/l-x+1)(3)li m-=li m-3 0 X 3。X(V 1-X +1)=li m =li m-(VPx+l)(VPx+1)2(4)li mXT8x 3 x +53 x +2 x +4,

4、3 51+_3s i n 3 x 5 x s i n 3 x 3 3(5)li m-=li m-=I。s i n 5 无 3 x s i n 5x 5 5“r X2-4 r(x -2)(x +2),(6)hm-=li m-=4s i n(x-2)x-2 s i n(x-2)xsin +b,x 0 x问：(1)当a/为什么值时，/(x)在 x =0 处有极限存在？(2)当 为 什 么 值 时，/(尤)在 x =0 处连续.答案：(1)当b =l,。任意时，f(x)在 x =0 处有极限存在;(2)当a=b=1 时,/(x)在了=0 处连续。3 .计算下列函数的导数或微分：(1)y=x2+2X+l

5、o g2 x-22,求 y答案:y=2 x +2*ln2 +1x ln 2八、ax+h 、，(2)y-，求 ycx+a答 案,/(u+d)-c(j+b)(c x+d)2(3)y=/1:,求:/J3 x 5答案：y=/1 .=(3%-5尸 j 3 x 5ad-cb(c x+d)2y，=一 32河-5)3(4 )y=yx-xex,求 y答案：y -j=x+l)eAx(5)y=ea v s i n/?x,求d y答案：y =(e刃 s i nb x +e口 (s i nb x)=a e s i n hx+e “c o s f t x b=ea x s i n 4-Z?c o s bx)dy=(a s

6、in bx+b cos bx)dx(6)y=e x+冗,求d y答案:d y=(|五 一-y e;)d x(7)y=cosy/xex,求d y答案：d y=(2 x e S1 ng)心2 v x(8)y=s i nn x +s i nnx,求 y答案：y =s i n T x c o s x +c o s m:n=/i(s i n,|,x c o s x +c o s/i r)(9)y=ln(x +Jl+x),求 y答案x +v l+x=(1 +1(1+X*1 2P 2X)xexy+c o s(x+y)5.求下列函数的二阶导数:(1)y=ln(l+x2),求 y依-H 2 -2 x答案：y =

7、-1 Y(2)y=，求 y及 y 3 /1/答 案:丈 二 广，y=1x +Jl+x 2X+Jl+(1 +)A/1+x 11 +x2tc、c o J 1 +V?-V2x#,(1 0)y=2 x+-尸-，求 y2 叱 i n 2 1 N 1 -答案:V=_ _-X 2+-x 62.1 2 6x s i n x4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或d y(1)/+/-盯+3 x =l,求d y答案:解:方程两边关于X求导：2 x +2 yy y x y +3 =0(2 y-x)y=y-2 x-3 ,J-3*2xd x 2 y-x(2)s i n(x+y)+exy=4x,求 y答案：解：方程两边关

8、于X求导c o s(x+y)(l+y)+e (y+盯 )=4(c o s(x +y)+exyx)y-4-yexy-c o s(x +y),_ 4-yexy-c o s(x+y)（一）填空题作 业（二）.答案：2 ln2 +22 .J(s i nx)d x =.答案:s i nx +c3 .若 J/(x)c Lx =F(x)+c,贝ij J V(l-x2)d x =.答案：一：尸(1 一 /)+cd re.4 .设函数二J皿1 +炉)网=.答案：o5 .若 P(x)=，则尸(幻=答案:一（-）单项选择题1 .下列函数中，（）是x s i n d的原函数.A.-C OSX22C.-2 c o s

9、x1D.-c o s2B .2 c o s ”答案:D2.下列等式成立的是().A.s i nrd r d(c o s r)C dx=-1-d(2J).In 2B .In xdx=d(-)XD.=d V x答案:C3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.A.Jc o s（2 r4-l）d r,B.|x v l-x2（i r C.|x s i n2 x d x答案:CD.f-L _J 1 4-X2d x4.下列定积分计算对的的是(A J 2 A d x =2C.(x2+x3)d x =0J n).f 16B.J d x =1 5D.s i nA d x =0J-K答案：D5.下列无穷积分

10、中收敛的是（).A 1T O O1 pAx B.I1 X Jl+0CC.+00evd roD.4-00一I s i nx d xx答案：B（三）解答题1.计算下列不定积分3 r(1)f d xJ e*3,C r 3 77答案:J 二 d r=J()x d v =+ce e ln-e、r(i +x)2,(2)I -y=d xJ yjx2_.r（1 +X）答案：d x4(l+2x+x2)3=2A/X+x3d x =j(x 21 3+2 x?-1 _x2)d x325+-x2+c5(3)x +2答案:Jx+2j(x-2)d x =x2-2 x +c(4 )-d xl-2 x答案:1l-2 xV l-

11、2 xd(l-2 x)=-ln|l-2 x|+c(5)Jx j z +x 2 d x答案：J XA/2+xd x J3-7 2 1 _+x2d(2 +x)=-(2 +x2)2+cs i n V x i答案：J dx=2 j s i nV x d V x =-2 c o s /x +cr x(7)x s i n d rJ 2答案：Jx s i n3(i x =-2 j x d c 6 S；d x=2c x c o s x nf X J c x”.x+2 1 c o s d x =-2 x c o s+4 s i n+c2 J 2 2 2(8)Ji n(尤+l)d r答案:J ln(x +l)d

12、x =Jln(x+l)d(x+1)=(x+l)ln(x +l)-j(x+l)dln(x+l)=(x +l)ln(x +l)-x+c2.计算下列定积分(1 )J Jl-x|c Lv答案：口1-即x =J：(l-x)d x +J：(x-l)dx=(x-+(1X2-x)|,=|r e31r e311 3答案：.dx=.-d(l+l!L)=2 (1 +lnx)2 f =2J|x j l+lnx Jl V l+lnx(4)2x c o s 2 A d x产 1 1 至 1 军 j答案：2%c o s 2 A d x二 一2 x d s i n 2 x =x s i n 2 x 2 s i n 2 x d

13、 x=Jo 2Jo 2 2Jo 2(5)xnxdx答案:J：xln Adx=jjn xdx2=x2 In x=-（e2+1）（6）J。+xe-*）（ir答案:：（1 +屁7比=-J：xdeT=3-+J：e7(2)+(3)(-l)(1*(-1)7.252-1四、-6-21 6-2 100100设矩阵4=10130010025-3-11案-3101 0011100 100-3 01 0l)+(2)*(-3),-4-20001211 00 102000,B=01(2)+6x(-3)证明题1-30 1 00-3012 0112 61 6 120121001 01230-7 1A-11 2-1203-7

14、10-122320-1X=BA-1，求解矩阵方程1 0-3 1(D+(2)X2x10 501 0-1 12I(2)x(-l)10 5201 3-11.试证：若g,当都与A可互换，则 用+鸟，片层 也 与A可互换。证 明:(B,+B2)A=BA+B2A=AB1+AB2=A(B+B2),BtBA=BtAB2=AB B22.试证：对于任意方阵A,A+A T,A 4 T,ATA是对称矩阵。提醒证明(A+AT)T=Ar+(AT)r=AT+A=A+AT(A4T)T=(AT)rAT=A4T,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA3.设A 8 均为阶对称矩阵，则 AB对称的充足必要条件是：A B=B A.提醒：

15、充足性：证明：由于AB=R4.，.(A B)T =8 A =AB必要性：证明：由于AB对称，AB=(A B)T =8 4,所以=4 .设A为阶对称矩阵，5为阶可逆矩阵，且 8 =B l 证 明 是 对 称 矩 阵。证明：(8-飞8 尸=BTAr(B-)T=B A(BT)T=B-AB作业(四)(-)填空题1 .函数/(x)=x +!在区间 内是单调减少的.答案:(-1,0)u(0,1)X2 .函数y=3(x-*的驻点是 极值点是，它是极 值点.答案:x =l,x =1,小3 .设某商品的需求函数为4(。)=10/5,则需求弹性玛=.答案:-21 1 14 .行列式。=1 1 1 =.答案：4-1

16、-1 111 1 6-5 .设线性方程组AX=/7,且入-0 1 3 2，则r 时，方程组有唯一解.答案:W 10 0 r+1 0(-)单项选择题1 .下列函数在指定区间(8,+8)上单调增长的是().A.sin xB.e C.xD.3 x答案:B2.已知需求函数4 5)=100*20,当/7=10时，需求弹性为().A.4 x 241112 B.41n2 C.-41n2 D.-4 x 2 In 2答案：C3.下 列 积 分 计 算 对 的 的 是().A j=。B.,e +e 口=0-i 2C.j x s i n A d x =0D.(x2+x3)d r =O答案：A4.设线性方程组A,“*

17、“X=Z?有无穷多解的充足必要条件是（）.A.r(A)=r(A)mB.r(A)n C.m n D .r(A)=r(A)j eydy=j e2 xdx,ey=,1 1e =-e +-2 2(2)xy+y-e=0,y =01 ex 答案：y +y=,P(X)=X x Xy=e i e d x+c =e,n f elndx+cJ x J Xy=(e*+c),C=-e ,y=-(e -e)X X4.求解下列线性方程组的一般解：%,+2X3-x4=0(1 )01-11-01-11-15-30-11-10000所 以，方程的一般解为$=-2X3+x4x2-x3 x4（其 中 西,是自由未知量）2M-x2+

18、x3+x4=1x+2X2-X3+4X4=2x+7X2 4X3+1 lx4=5案答(A b y(3)+(2)-2-1 1 1 1-=1 2-1 4 21 7-4 11 5-1 2-1 4 20-5 3-7 -30 0 0 0 06 4X3-7X4+Tj,(其中项,2%3%4+-J),(2)(2)x一 121;)2-1 4 2-1 1 1 17-4 11 51 2-1 43 70 1 5 5(3)2-35+(l)x(-2)+(l)x(-l)+(2)x(-100-2)13_ _ _ _ _ _ _ _是自由未知看u u u u uij5.当；l为什么值时，线性方程组oox-x2-5X3+4%=22x

19、,-x2+3X3 x4=1%=有解，并求一般解。477-13-3o1o6-57-502-334-53-50(A b)=1 -12-13-27-51答案:+x(l)0(4)+(2)x(-2)004-9-9-18 5-9002-3-3A-14-1-30A-8.当;1=8有解,%1=-8尤3 +5X4 1=1 3%3+9%4 3（其中再，当 是自由未知量）5.。力为什么值时，方程组x,-x2-x3=l x,+x2 2X3-2龙 +3X2+ax3=b答案一1 -1-1 1A=1 1 -2 2 3 a b(2)+(l)x(-l)(3)+(l)x(-l)1 1 10 2-10 4 a+当a =-3且时，方

20、程组无解;1-1-1-1 110 2-1 1+(2)x(-2)b-0 0 a+3 b-3当a。一3时，方程组有唯一解；当。=-3且8=3时，方程组无穷多解。6.求解下列经济应用问题:（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为:C（q）=100+0.25 q 2+6q（万元）,求:当4 =1。时的总成本、平均成本和边际成本;当产量q为多少时，平均成本最小？答案：案（1 0）=1 8 5 （万元）C（）=3=+（）.25q+6q,C（10）=18.5（万元/单位）q qc q）=0.5q+6,C（10）=l l （万元/单位）c(q)=出2=股+0.25夕+6,c(7)=一 学+0.25=0,当产

21、量为20个单位时可使平均成本达成最低。(2).某 厂 生 产 某 种 产 品 q 件 时 的 总 成 本 函 数 为 0(4)=20+44+0.0 1/(元)，单 位 销 售 价 格 为“=14-0.00(元/件)，问产量为多少时可使利润达成最大？最大利润是多少.答案：R(q)=14q 0.0 1/,U q)=Rq-c(q)=IQq-0.02q2-20,(q)=10-0.04q=0 当产量为2 5 0 个单位时可使利润达成最大，且最大利润为2 5 0)=1230(元)。(3)投产某产品的固定成本为3 6(万元),且边际成本为。(/=29+40(万元/百台).试求产量由4 百台增至 6 百台时总

22、成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达成最低.解：当产量由4 百台增至6 百台时，总成本的增量为答案：AC=C(6)-C(4)=f (2q+40)dq=(q2+40)|：=10 0(万元)c(q)=1 Q q+40)弱 +36=q2+40q+36,C(q=-=q+4()+迎，Jo1 q q AAc(9)=i-=0,当x=6(百台)时可使平均成本达成最低.(4)已知某产品的边际成本C(q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益R=12-0.02外 求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产5 0 件，利润将会发生什么变化?答案:L(q)=R 一 c(q)=1 0-0.02q=0,当产量为500件时，利润最大.A =广 (10 0.02/眼=(104 0.01/)器=-25(%)*500即利润将减少2 5元.