中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3-4章课后习题详解.pdf

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1、第3章 中值定理与导数的应用内容概要习题3-1名称主要内容(3.1、3.2)3.1中值定理名称条件结论罗尔中值定理y=/(X)：(1)在切 上连续；(2)在(。/)内可导；(3)f(a)=f(b)至 少 存 在 一 点e(a,b)使得拉格朗1 1中值定理y=/(x)：(1)在瓦)上连续；(2)在(a,b)内可导至 少 存 在 一 点Je(a,b)使得/()=b-a柯西中值定理/(X)、g(x):在 a,6上连续，在(afb)内可导；(2)在(。,6)内每点处g/(x)W 0至 少 存 在 一 点。e(a/)使得.，f-于 9)g/b-a3.2洛必达法则基本形式0 00-型与一型未定式0 00通

2、分或取倒数化为基本形式0 001)8 0 0型：常用通分的手段化为一型或一型：0 00八0 002)08型：常用取倒数的手段化为一型或一型，即：0 00八 0 0 c 00 001/0 0 0 1/0 00取对数化为基本形式1)0型：取对数得0 ne1n,其中l/oo 000 00或 0n0=0oo=-=：1/0 002)片 型：取对数得,C 0 0其中 co-ln 1 =GO-0=-=1/0 0 000 00或 ooln=oo+0n-=一；1/0 003)8型：取对数得00=en8,其中 0 In oo=0 8=0=l/oo 000 00或 0lnoo=0oo=-=。1/0 00课后习题全解

3、 i.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值g。(1)f(x)=2x2-x-3,(-1,1.5；(2)/(x)=xV3x,0,3.知 识 点：罗尔中值定理。思 路：根据罗尔定理的条件和结论，求 解 方 程)=0 得到的根便为所求。解：(1)f (x)=2,x x 3 在 1,1.5上连续，在(1,1.5)内可导，且/(1)=./(1.5)=0,f (x)-2x x 3在 1,1.5上满足罗尔定理的条件。令./(。)=4。-1=0得j =(1,1.5)即为所求。4(2);/(x)=x J3 x 在 0,3上连续,在(0,3)内可导，且/(0)=/(3)=0,

4、/(x)=x y/3-x在 0,3上满足罗尔定理的条件。令/=际 一 品=皿2 (0,3)即为所求。2.验证拉格朗日中值定理对函数=43 52+x-2在区间 0,1上的正确性。知 识 点：拉格朗日中值定理。思 路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程/=/二/,若 得 到 的 根 0,1则1-0可验证定理的正确性。解：歹=/(刀)=43 52+一2在0,1连续，在(0,1)内可导，二=4/-5/+一2在区间 0,1上满足拉格朗日中值定理的条件。乂/(I)=-2/(0)=-2,/,(X)=12X2-10X+1 ,二要使/(9 =八1；1：()=0,只要：昔*(),1),=5 瓦 使,J _

5、 八。),验证完毕。121-0 3.已知函数/()=彳4在区间 1,2上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的4。解：要使/=/二/,只要4。3 =15=4=、口5,从而4=(1,2)即为满足定理2-1 V 4 V 4的。*4.试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点。总是位于区间的正中间。证 明：不妨设所讨论的区间为 a,6 ,则函数y =p/+q x +r在 a,6 上连续，在(a,6)内可导，从而有/，=，即 2。+(/+如，)_(+,b-a b-a解得j =,结论成立。5.函数/(x)=%3与g(x)=，+1在区间 1,2 上是否满足柯西定理的所有条件？如满

6、足，请求出满足定理的数值(f。知 识 点：柯西中值定理。思 路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 9=二，得到的根4便为所求。g(G g S)-g(a)解：/(x)=x 3及g(x)=x 2 +l在 1,2 上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有g(x)=2 x H 0,所以满足柯西中值定理的条件。要使-,只要一=,解g G)g(2)-g(l)2.31 4得4 =e(l,2),4即为满足定理的数值。6.设/(X)在 0 上连续,在(0,1)内可导,且/(1)=0。求证：存在。e (0,1),使/(：)=詈。知 识 点：罗尔中值定理的应用。思 路：从/1与=一/父 结论出

7、发，变形为/(。片+，(。)=0,构造辅助函数使其导函数为/(x)x +/(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证 明：构造辅助函数E(x)=移。)，F(x)=f(x)+xf(x)根据题意尸(x)=在 OJ上连续，在(0,1)内可导，且F=1-7(1)=0，尸(0)=0-7(0)=0,从而由罗尔中值定理得：存 在e (0,1),使尸=/(4堵+/C)=0，即/纭)=-管。/(X)注：辅助函数的构造方法 傲可通过结论倒推，如：要 使/()=一4，只要X手=-ln/（x）r =-In 打 o In 切了=0=0 u W（x）=0/（x）X M（

8、x）只要设辅助函数尸（x）=x/V）7.若函数/（X）在（4,6）内具有二阶导函数，且/区）=/（2）=/（/）（a xt x2 x3 h）,证明：在（王户3）内至少有一点4,使 得/（。）=0。知 识 点：罗尔中值定理的应用。思 路：连续两次使用罗尔中值定理。证 明：；/（x）在（a/）内具有二阶导函数，./（X）在人,、内连续，在（X1,X2）、（丫2，3）内可导，又/（X）=/（刀2）=/（/），由罗尔定理，至少有一点。G（再,%2）、。2 丁 （刀2，3）,使得/&）=0、/（0）=；又/（X）在21上连续，在（如看2）内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点。e 4，4）u（X1,X3

9、），使得了（0）=0。8.若4次方程+a2x2+a3x+a4=0有4个不同的实根，证明：4ao/+37,X2+2 a2x+tz3=0的所有根皆为实根。知 识 点：罗尔中值定理的应用。思 路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证 明：令/（x）=a0 x4+a,x3+a2x2+a3x+a4则由题意，/（x）有4个不同的实数零点，分别设为巧/2，/,“4，.（X）在 X,/、区,/、口3，乙 上连续，在（阳,芍）、（*2，%）、（%3/4）上可导，又/U|）=f（x2）=/U3）=/（X4）=0，由罗尔中值定理，至少有一点。1 （/2）、0,/(0)=-1 0,由零点定理，至少有一点。e (0,

10、1),使得/(f)=4 5 +乙-1 =o ：假设X、+x-l =0有两个正根，分别设为普、蜃(。1。2)，则/(x)在在4,乙 上连续，在(4片2)内可导，且/&)=/($)=0,从而由罗尔定理，至少有一点4 ,蜃)，使 得/(。)=5岑+1=0,这不可能。二方程x，+x-1 =0只有一个正根。*1 0.不用求出函数/(x)=(X l)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f(x)=0有儿个实根，并指出它们所在的区间。知 识 点：罗尔中值定理的应用。思 路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：/(x)=(x l)(x 2)(x 3)(x 4)在 1,2、2,3、3,4 上连

11、续，在(1,2)、(2,3)、(3,4)内 可 导,且/=/(2)=八3)=八4)=0,二由罗尔中值定理，至少有一点。G(1,2)、3 e (2,3)、C,e(3,4)，使得/&)=/(&)=/(备)=0，即方程/(X)=0至少有三个实根，又方程/(x)=0为三次方程，至多有三个实根，/./(x)=0 有 3 个实根,分别为.G(1,2)、八 e (2,3)、邑 e(3,4)。1 1.证明下列不等式：(1)|a rc ta na-a rc ta n Z)|；(2)当 x l 时，ex ex；(3)设 x 0,证明l n(l +x)0时，l n(l +)一。x 1 +x知 识 点：利用拉格朗日中

12、值定理。思 路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数卜=/(X).通过式子b-a(或 f(b)f(a)=/(4)S )证明的不等式。证 明：令/(X)=a rc ta n x,丁/(x)在。力上 连续，在(。力)内可导,由拉格朗日中值定理，得|arctan a-arctan b=/3-a)|=-a|1),.(x)在 l,x上连续,在(l,x)内可导，,由拉格朗日中值定理，得e*-e =/仇-1),1 e(x-1)-e x-e,从而当 x l 时，ex ex 1 令/(x)=ln(l+x)(x 0),.(x)在 0,x上连续，在(0,x)内可导,.由拉格朗日中值定理，得 ln(l+x)=

13、ln(l+x)ln(l+0)=0)=一x,1 +t0 x,/.x 0,ln(l+x)x o(4)令/(x)=Inx(x0),(%)在%1+x上连续,在(x,l+x)内可导,，由拉格朗日中值定理，得 ln(l+,)=ln(l+x)lnx=/r(f)(l-0)=,x X 0 时，1 1 1(1 +工)-1 +X X 1 +X2x 12.证明等式：2arctanx+arcsin-乃(x 1).1 +x知 识 点：f(x)=0=/*)=C(。为常数)。思 路：证明一个函数表达式/(x)恒等于一个常数，只要证/(x)=0证 明：令/(x)=2 arctan x+arcsin-(x 1),1 +x当 x=

14、l 时，有2arctan 1 +arcsin 1 =%；当 x l 时，有_ 2 2(1+X2)-2X-2X _ 2 2-2x2x-1 +1 +“(2x 3(1+x2)2-l+x2+|l-x2|(1+x2)2 2=-r+(-：-r)=。，/(x)=C=/=%；1 +x 1 +x-2x:.2 arc tan x+arcsin-=7r(x 1)成立。1 +x 13.证明：若函数/(x)在(-8,+8)内满足关系式 ff(x)=/(x),且/(0)=1,则 f (x)=ex知 识 点：/(x)=O o/(x)=C思 路：因 为/(x)=e o e-(x)三1,所以当设E(x)=e r/(x)时，只要

15、证F(x)=O即可证 明：构造辅助函数b(x)=e T/(x),则尸(x)=e-xf x)-e-xf(x)=0；F(x)=/(x)=C =F(0)=1，/(x)=e。1 4.设函数/(x)在。力 上连续，在(。,6)内有二阶导数，且有/=/(b)=0,/(c)0(。c 6)，试证在(a,b)内至少存在一点，使/(。)0。知 识 点：拉格朗日中值定理的应用。思 路：关于导函数/)()在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。证 明：二/(x)在 、匕6 上 连 续,在(a,c)、(c,6)内可导，.由拉格朗日中值定理,至少有

16、一点口(4,c)、f2 (c,b),使得/(乙)=/(c)-/S)0 ；c-b a-c乂/(X)在 配4上连续，在(如 或)内可导，从而至少有 点 ,。2)，使得/(4)=/7值)0,(6)0,/(。)=/(6)=4 试证明/“(X)在(a,b)内至少有两个零点。知 识 点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思 路：要证明在某个区间(。力)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在”,川 上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证 明：=lim/)一 )0 ,由极限的保号性知，x x-am U+S Q)(不妨设用 0 ,.得 f(x)f(a)=A；x1-a同理，由/S)0,得 玉2

17、u_3/2)(5,0,2x2b从而得/(x2)在 七,上连续，由介值定理知，至少有一点 W(X,X2)使得/(0)=；.(X)在*、。用 上连续,在(喈)、(勖)内可导,且/=/=/(6)=4,二由罗尔中值定理知，至少有一点侪6(。,4)、4 9b),使 得/(。)=/(4)=0，结论成立。1 6.设/(X)在 闭 区 间 上 满 足/(x)0,试证明存在唯的c,a c b,使得/，()-叫b-a知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证 明：存在性。/(X)在 上 连续，在(。力)内可导

18、，,由拉格朗日中值定理知，至少有一点ce(a,6),使得h-a唯性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点d e (a,b),使得/(d)=出)二/).b-a又/(X)在 匕 田(或 c)上连 续,在(c,d)(或(de)内可导,二由罗尔中值定理知，至少存在一点4 e (c,d)u (a,6)(或。e (d,c)u (a,6),使 得/(0矛盾。从而结论成立。方法二：.(X)在闭区间 a,切上满 足/(x)0,./(X)在 勿 单 调 递 增，从而存在存在唯一的c e (a,b),使 得/(c)=)一八)。结论成立。b-a 1 7.设函数歹二/(x)在x=0的某个邻域内具有n阶导数，且

19、,/,(0)=/(0)=/(T(0)=0,试用柯西中值定理证明:/(x)f x)xnn!(0 1)o知 识 点：柯西中值定理。思 路：对/(x)、g(x)=x在 0,灯上连续使用次柯西中值定理便可得结论。证 明：/(X)、g(x)=x 及其各阶导数在 0,x上连续，在(0,x)上可导,且在(0,x)每一点处，g(f(x)=!x/0,又/(0)=/(0)=/(7(0)=0,.连续使用n次柯西中值定理得,f(x)_/(幻 一/(0)_ _ 八 露-八。)T)/T(0)Xx-g(0)甯 初以 T (0)-(0 as in x s in a(3)limI n s in x(4)(5)I n t an

20、7 xlim-X T+I n t an 2x(6)limX T 1(9)lim，/；X TOXT8x-ax3-1 +ln x t an x-xlim-X T x-s in x-1(1 0)l i m x Q -1)；(1 1)lim(XT8A-0%(1 4)limxs in x；(1 5)lim(-)t an vSO Xex 1)；(1 6)ln(l+-)lim-xf+o o arc cot x(8)limxco t 2x；X TOx j(1 2)lim(-)；e x-I n xx-arct an x二(T T-2X)2 1(1 3)lim(l+-)x；X_(1 7)lim(l+s in x)

21、x：x-0(1 8)lim(ln)v：x-o+x(1 9)lim(x+V l+x2)v：X-KO1 2(2 0)lim(t an)M-+1-cosx，T O sinx cos xx 1(8)limxcot 2x=lim-=lim-=一；itan2x 2sec_ 2x 2i2 2i 2-e i(9)limx2ev=lim =lim =lime2=+oo；x f 0 x-0 1 x-0 2 x-02 4 T e e(或解为：limx ex=lim 一=lim 一 =+o o)X T。f+o o M4-00 1 i2 Z _)-2e 1(io)limx(eJ-1)=-=lim=lime*=1 ；X-

22、00 x-0 0 1 X-00 1 X-001 1 1 e-1 1/x(或解为：当 oo 时，e 一 1 一，limx(ev-1)=lim-=lim-=1)x I0 0 x-8 /x x-ooJ/x(11)lim(-)=lim T f J iimg二=nm_zl。x ex-1 i。x(ex-1)o x-。2x2(12)zx 1、x l n x-x +1 Inxlim(-)=lim-=h m-x T Inx i (x-l)lnx 力 gx I 一lim1 +Inxxf Inx+22X4 .xlnx-x+1 (+l)ln(+l)-u M(+i)(w+l)ln(z/+l)-w(或解为：h m-=h

23、m-=lim-X T I(x-l)lnx -wln(w+l)一。u.ln(w 4-1)1=h m-=-)“t。2u 2In(与 3 lim x ln(l+)lim -lim 4 a(13)lim(l H )=gi *=px 1 =p .e;XT8 1 X XInx I tan A-sinxlim sinxInx lim-lim-lim-(14)lim=e e=夕 次*=夕一 -=e =1 ；x-0+1-1 2.-In x .r.sin xli m-In n h m-(15)lim()tanv=lim elo+cotx=lim 夕 1cse*=lim e x=e =1 ；x7()+X x-0+x

24、-0+(16)e+ln(l-x)-llim-X T x-ar ctan xX 1e+-limA-0 1lim(l+x2)(xex-ex+1)(x-l)x2 xex ex+1)xex=-lim-=-lim-SO X Xf。2x _2(17)lim(l+s inx)vx-0=lime 2 x-0(18)1limx-0+(20)In f l+sin x)hm-Inl-ln.vx-0+_limcosxJ jme Ol+sinxx fOlim(In-)-lim-limeXTO-Inx _ e D+1/X _|.Xln(x+v l+x2)lim，.(19)lim(x+Jl+/)二1 ；In(a n/-ln

25、/x-0+XX/sec Z-lan/-sin/co s/limlimlim/see2/-ta n/lim-1o+2 r tan/1 2 1令/(x)=(xtan)”,则 lim(xtan)lim(T 0+t sin2rl-co s2/(l-c o s x)-1 2 t2li m-z 2 lim-7-0-o+6 r _e，-o+6r-11 1/.lim(n tan )r t=e3w -E+Y l 2.验证极限lim-存在，但不能用洛必达法则求出。Xf8 X知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。”，x+

26、s inx 八 s inx、,_ ,x+s inx解：,:h m-=hm(l+-)=1+0 =1,二极限 lim-存在；X00XX-00XX 8X丫 -I-qin 丫 1 4-ccq 丫若使用洛必达法则，得lim =lim-=1 +lim cos x,X 8XX00 X 00而lim cos x不存在，所以不能用洛必达法则求出。XT 8 3.若/(x)有二阶导数，证明/(x)=h mf-(x-+-h-)-2-八f(x-)-+-f-(-x-h-)-力-0知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。证明 2小)+/(.1)=.小+仍

27、 一 八x i)/T O h1 D 2h，:(x+)/(x)+fx)-f x -h)4.讨论函数/(X)=0在点x=0处连续。x 0在点x=0处的连续性。x o+x-o*eL im 二 _1=e 2,句】+*=e 2=y(0)，二/(x)在=0处右连续;X V lim/(x)=e 2=/(0),/(x)在 x=0 处左连续;XT。-/(0)，其中/(x)=X a,x=0知 识 点：连续和可导的关系、洛必达法则。思 路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使/(x)在x=0处可导，则必有/(x)在x=0处连续，又.g(x)在x=0处g(0)=0,a=lim/(x)=l

28、 i m =l i m -=g/(0)；x-()x 0%x-0 x 0由导数定义,A O)=一八=lim xXf。X-0 X-0 XT X=lim叁 上 幽io 2x=上 。内容概要名称主要内容(3.3)3.3泰勒公式泰勒中值定理：如果/(X)在含有X。的某个开区间(。力)内具有+1阶的导数，则对任一xe(a,6),有/(x)=/(xo)+/，(xo)(x x0)+(x xoy+-fin(x)+7_ U Y(X Xo)+R”(X)，此公式称为n阶泰勒公式；n,5+D 其中R“(x)=包(一%)”+|(4介于/于x之间)，称为拉格朗日型余项；或(+1)!R(x)=。(工-X。)”，称为皮亚诺型余

29、项。n阶麦克劳林公式：/(x)=/(O)+/z(O)x +/+分22 J+尺 3,5+1)(法)其中4(x)=Xn+(0 1)或7?,(x)=o(x )。(+1)!x2 xn常用的初等函数的麦克劳林公式：1)e、=l +x +。0)2!nr3 丫5 2”+l2)s in x x-+-+(-l)n-.+。(/+2)3!5!(2/7+1)!3)COSX=2 4 61 XXX-1-1-F丫2 ,+(-1)三+。()2!4!6!(2H)!4)l n(l +x)=x-+-+(-l)n-+o(x i)2 3 +1195)=1 +X +X+O(x )1-XZ 16)(l +x、)阳 =i 1 +/w x +

30、W-(W-1)-X 2+加-(-加-1)-(加-一-+-l)-x +o(/x 八)2!n 习 题3-3 I.按(x-1)的幕展开多项式f(x)=x4+3 x?+4。知 识 点：泰勒公式。思 路：直接展开法。求/(x)按(x -X o)的扉展开的阶泰勒公式，则依次求/(x)直到+1阶的导数在x =x()处的值，然后带代入公式即可。解：/，(X)=4X3+6X,/=10：/(X)=12X2+6,f =18；/”(x)=24x,/(1)=24；/(4)(x)=24；/(4)(1)=24；/-(5)(x)=0；将以上结果代入泰勒公式，得小)=阿+竿(-)+誓(f2+争(1日空(1)4=8+10(X-1

31、)+9(X-1)2+4(X-1)3+(X-1)4O 2.求函数/(x)=按(一4)的辕展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知 识 点：泰勒公式。思 路：同1。3 上 3 15-/”(x)=-x 2,/4)=./卬(x)=一 _-X 2,将以上结果代入泰勒公式，得8 256 16卓+守+W/=2+(x 4)-(x-4)2+(x-4)3(x-4)4,(4介于x与4之间)。4 64 512 128。2+X+2 3.把/(X)=-在工=0点展开到含X，项，并求/()01-x +x知 识 点：麦克劳林公式。10思 路：间接展开法。/(X)为有理分式时通常利用已知的结论=1 +X+Y +x +o(x)

32、。1-xr，、l+x+x-1 x+x+2x 2x 1解：/(x)=-r=-=1 +-r=1 +2x(1+x)-l-x+x2 l-x +x2 1-X4-X2 l+x3=1 +2x(1+x)(l-x3+o(x3)=1 +2x+2x2-2 x4+o(x4)；又由泰勒公式知/前 的 系 数-=0,从 而,/(0)=0 o 4.求函数/(x)=In X按(X 2)的哥展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。知 识 点：泰勒公式。思 路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，/(x)为对数函数时，通常利用已知的结论丫2 v3 7十】ln(l+x)=x-+-+(1)+。(山)。2 3 +1方法一：(直接展开)

33、/(x)=L,/(2)=(；/()=一 二，/(2)=-!；x 2 x 4_ r(x)=N，/=j i )(x)=(-i尸吗上，/叫2)=(-1 尸纥2：x 4 X 2将以上结果代入泰勒公式，得山，=八2)+午-2)+矍-2)、守-2)3+空-2)、心 1 1 1H-(x-2)+o(x 2)=In 2+(x 2)(x 2)+(x 2)3 ,+(-1广 3(X-2)+。(-2)。n-T方 法 工 /(x)=lnx=ln(2+x-2)=In2+ln(l+=ln2+:一+(T)T,(胃)+。(二)=In 2+:(x 2)1(x-2产3 2 n 2 2 2 23+3)。-2)3-+(-1产 (x-2)

34、+o(x-2)。*5.求函数/(x)=按(x +1)的幕展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。x知识点：泰勒公式。思 路：直接展开法，解 法 同1:或者间接展开法，/(X)为有理分式时通常利用已知的结论11-X=1 +X +X?+.+xn+5-xn+d)2方 法 一:r(x)=-4,r(-i)=-i；ru)=4 r(-i)=-2：ru)=-4-X X Xn-l)=-6 /W(x)=(-Dn 3，/(n)(-l)=(-1)=一!；将以上结果代入泰勒公式，得l=/(_1)+Z(x+1)+Z 1l)(x+1)2+k l)(x+1)3+.+(x +1)+/(n+1,(e)(x +1严-l-(x +l

35、)-(x +l)2-(x +1)3-(x +l)n+(-1)向上+2(x +l)n+l(召介于与一1之间)。(+l)!1 1 ,方法二：=-=l +(x+l)+(x +l)2+(x +l)3+(x +l)x 1 -(x +1)+-U+l)n+l =-l-(X +l)-(X +l)2-(X +l)3(X +l)n +(X+l 严介于X与一 1之间)。6.求函数y =xe*的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。知识点：麦克劳林公式。思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。/(x)中含有/时，通常利用已知结论eA=l +x +-+o(xn)。2/n!方法一：了=(x +l)e ,/(0)=1 ；V

36、 =(x +2)e、，y(0)=2；/=(x +”),_/)()=，将以上结果代入麦克劳林公式，得年=/（。）+中工2+加.+，2!3!N，+。3)n7=x+x-Y3H-1-+2!xn(H-1)!+o(x)。方 法 二：xev x(l+x+X +o(x-)x+x2+2!(-1)!2!xn+-(一1)!+o(x)o1x2 x3 7.验证当0 xW 时，按公式e*a l+x+计算e、的近似值时，所产生的误差小于2 2 60.01,并 求 的 近 似 值，使误差小于0.01.知 识 点：泰勒公式的应用。思 路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。济 0 2 9 1 1解：|&(x)|=

37、4 J/w-r=0.01；1 3 1 4!4!4!24 192 8.用泰勒公式取=5,求In 1.2的近似值，并估计其误差。ye 1+2 8 48a 0.646 o知 识 点：泰勒公式的应用。解:设/(x)=ln(l+x),则/(X”/(0)+4 P x+勺 刀2 +/；。)x2%5-”0.22 0.23 0.24 0.25 =x-F ,H-，从而 In 1.2=/(0.2)a 0.2-1-1-x 0.1823；其2 5 2 3 4 51 ()26误差为：|&(x)|=-6 0,.-0 2 3(1 +。)3 3(1+守x X X从而l n(l +x)=x-1-7x-结论成立。2 3(1+e)3

38、 2(也可用 3.4函数单调性的判定定理证明之)11.证明函数/(x)是次多项式的充要条件是/n+l)(x)=0.知 识 点：麦克劳林公式。思 路：将/(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。解：必要性。易知，若/(X)是次多项式，则有/(+l)(x)三0。充分性。旬(X)三0,，/(x)的阶麦克劳林公式为：/(x)=/(0)+/(0)x+/+,+:=/(o)+/w+3!加(+1)!2!/,r o(0)x3+-,即/(X)是n次多项式，结论成立。3!！12.若/(X)在寺,加上有阶导数,且 f(a)=f(b)=.f(b)=f(b)=/g)=0证明在(。力)内至少存在一点,使/(n

39、)(=0(a 4 6)。知 识 点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思 路：证明/(。)=0(。可连续使用拉格朗日中值定理，验证/T)(X)在。,切上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据/(X)在x =6处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一：/(X)在 上 可 导,且/(a)=/S),由罗尔中值定理知，在(。力)内 至 少 存 在 一 点 使得/(。)=0；/(X)在 依 刈u q切上可导，且/(6)=0,.由罗尔中值定理知，在(。/)u(a,6)内 至 少 存 在 一 点 使 得/(4)=0；依次类推可知,/I)(x)在向u a,句上可导，且尸=由罗尔中值定理知，在(0“T，6)u

40、(a,6)内至少存在一点4,使得/“)(。)=0。方法二：根据已知条件，/(x)在x =6处的泰勒展开式为：/(x)=/(6)+/(x-b)+华(x 6)2 +(x -by-+(x -by2!(w-1)!n 二3(x-6)(X 4 0,则=/(x)在 上 单 调 增 加；(2)若在(。力)内/(x)0,则=/(x)在。力 上单调减少。1)曲线凹凸性的概念：设/(X)在区间/内连续，如果对/上任意两点X 1,X 2,恒有/卢；)0,则y=/(x)在 上 的 图 形 是 凹 的；(2)若在(4,6)内fx 0(/z(x)0(仅在x=l处y=0),1 +x2 1 +x2y=x-ln(l+工2)在(-

41、oo,+oo)内是单调增加的。2.判定函数/(x)=x+sin x(0 x 2兀)的单调性。解：/(x)=l+cosx2 0(仅在x=乃 处/(x)=0),，/(x)=%+sin x(0 x 0)；x(5)y=(1+y/X)X;(3)y=-x-yx；3(6)y-2x2-inxo知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰些。歹33解：-3x+1 的定义域为(-8,+oo)；令 V=-2x 3=0,得匹=-1,工2 =3

42、。列表讨论如下:1 a 9由上表可知，y=x 3x+l在（一8,1）、（3,+8）内严格单增，而在（一1,3）内严格单减。X(-8,-1)-1(-13)3(3,+8)fM+0一0+/(x)/8（2）在（0,+8）内，令 y=2 7=0,得 x=2；X当 x e（0,2）时，有y 0；8 V=2x+（x 0）在（0,2）内严格单增，在（2,+8）内严格单减。x（3）y=2一6 的定义域为（8,+8）；令y =2 _ 2，x 3 =如&=0,3 3 3 3近得x=1 ；x=0为不可导点。列表讨论如下：X(-00.0)0(0.1)1(L+8)fM+004-fM/2由上表可知，y=-x-3正”在（-0

43、0,0）、（1,+00）内严格单增，而在（0,1）内严格单减。（4）歹=1 1 1（4+4 7 了）的定义域为（-00,+8）,y=-/(1+I )=0,x+yjl+x2 Vl+X2 J1+J2y=ln(x+5/l+x2)在(-,+oo)内严格单增。2 3/(5)y=(1+石)%的定义域为0,+8),3/=(x+x)=1 +4 0,y=（1 +J 1）x在 0,+8）上严格单增。1 4x2.1 1(6)y=2x?-Inx 的定义域为(0,+8),令y=4x =-=0,得、=：x x 2当时，y 0；91 1y =2工2 in x在(0,-)内严格单增，在(，+%)内严格单减。4.证明下列不等式

44、：1 I-9(1)当 x 0 时，l +-x l +x；(2)当 x 4 时，2、x ；271 1 q(3)当 x N O 时，(1+x)ln(l+x)a r c t a n x ；(4)0cx x+知 识 点：导数的应用或者泰勒公式的应用。思 路：利用泰勒公式可以证明一些不等式(见习题3-3第10题)，利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解：(1)方法一：令/(x)=1 +；工-J l+X ,则当x0时，/)=-一 一7=-(1一-4=)0,2 2，l +x 2 J l+x/(X)=1 +J l+x 在0,+oo)上严格单增；从而 f(x)/(0)=0 ,即1 4-X J l+X ,结论

45、成立。2方 法二：由泰勒公式，得1 _ 1 1 Y2 尤2f(X)=1 4 X-J l+X =1 H X -(1 4 X-)=-(0 0,从而得1+x J l+x ,结论成立。、/s 28(1+。9(2)方法一：令/(X)=2*-X2,则当x4时，/(X)=2 ln2-2x,f(x)=2x n22-2 /(4)=161n2 2-2=(ln42)2-2 (I ne2)2-2 0 ,f M =2 I n 2-2x 在(4,+oo)内严格单增，从而 f(x)=2vln2-2x /(4)=16 I n 2-4=4(ln 16-1)0,/(x)=2X 一2 在(4,+oo)内严格单增，在(4,+8)内/

46、(x)=2,一/(4)=8 0,/.T%2,结论成立。注：利用/(X)的符号判断/(X)的单调性，利 用/(X)的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出/(X)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方 法 二：令/(x)=x ln2-21nx,2 1 1 1当x 4时，/(x)=ln2一一ln2一一=-ln4 0,x 2 2 2/.f (x)=xIn 2-21nx在(4,+oo)内严格单增，/W =xln2-21nx /(4)=4In2-2In4=0,从而有，xln2 21nx,/也2/E x,即2，了2,结论成立。(3)令 f (x)=(1+x)ln(l+x)-arctan x,则当x 2

47、 0时 有/(x)=ln(l+x)+l-r 0(仅在x=0时，/(x)=0),1 +x/(x)在 0,+8)上严格单增，从而有/(x)/(0)=0,即(1 +x)ln(l+x)arctan x,结论成立。(4)令g(x)=tanx-x,则当0 x 0从而g(x)=tanx-x在(0卷)内严格单增，g(x)g(0)=0,即在(0弓)内tanx x；1 3再令/(x)=ta n x-x-x,则当0cx 时，/(x)=sec2x-l-x2=tan2x-x2 0,从而/(x)=tan x-x /在(o,)内严格单增，.二 /(x)f (0)=0 T T1 o即在(0,2)内tanxx+g x,结论成立

48、。5.试证方程sinx=x只有个实根。知识点：导数的应用。思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。解：易知，sin0=0,即x=0是方程的一个根；令/(x)=x-sinx,则 fx)=1-cosx0(仅在x=2kn(k w Z)处 fx)=0).r./(x)=x-sinx在(-oo,+8)内严格单增，从而/(x)只有一个零点，即方程sin x=x只有一个实根。6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：/(x)=x+sinx。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。解：单调函数的导函数不定为单调函数。/(X)=1 +cos x 0(仅

49、在 x=(2k+1)兀(k e Z)处/(x)=0),工/(x)=x+sin x在(-8,+o o)内严格单增；而/(%)=1 +cosx在(2左 兀,(2女+1)兀)内严格单减，在(2%1)乃,2左兀)内严格单增，从而在(00,+00)上不单调。7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：1 zX(1)y=x+(x 0)；(2)y =x-；(3)y=xarctanx；x x-1(4)y=(x+l)4+ex；(5)y=ln(x2+l)；(6)y=earcUnx 0知 识 点：导数的应用。思 路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间

50、，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。1 2解：(1)y=1-,yr,=,，.,当 x 0时，y,r 0,x 厂 y=%+!在10,+8)上为凹函数，没有拐点。XY(2)y =x+的定义域为(-8,l)U(U)U(l,+8);X 11+，,2x(x2+3)y=(x2-i)3令y =0,得x =o；当x -l或0 c x 1 时，y 0；当一l x l时，yQ-,x：.y=x 的凹区间为(一 1,0)、(1,+8),凸区间为(一双一1)、(0,1)；拐点为(0,0)。X-1x2(3)y=xarctanx 的定义域为(-oo,+8),y