2023艺术生新高考数学讲义 第24讲 平行垂直问题（学生版+解析版）.pdf

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1、第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系(1)证明直线与平面平行的常用方法：利用定义，证明直线与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行n 线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；(2)证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.(3)证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理：利用

2、平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系(1)证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质(a，。/匚 夕=。)；平行线垂直直线的传递性(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定(a _ L,a _ Lc,c ua,b ua,)nc =P =a _ La )；面面垂直的性质(a J 尸,a f l尸=b,a _ L/?,a ua =a _ L4)；平行线垂直平面的传递性(a，“二，a)；面面垂直的性质(a_L=.(3)证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，/3,a

3、ua =a 1(3).【典 型 例 题】例 1.(2 0 2 1.四川省广安代市中学校高二阶段练习(文)如图，在四棱锥P-A B C O 中，底面A B C O 是边长为 2的正方形，E,尸分别为尸C,BO的中点，侧面应C底面A B C Q,且 必=PD=AD(1)求证：E F 平面B 4。；(2)求三棱锥C-P B O 的体积.例 2.(2 0 2 1 海南海港学校高三阶段练习)如图，在四棱锥P-A B C。中，P C _ L平面P 4 D,A B/C D,CD=2 AB=2 BC,M,N分别是棱2 4、8 的中点.(1)求证：P C 平面(2)求证：平面BWN _ L平面尸A C.例 3.

4、(2 0 2 1 广西河池高一阶段练习)如图，四边形A B E Q 为梯形，BE H A D,A D=2 3 E =2 A B,平面 A B E D,M 为 AD中点(1)求证：平面/=CE=2,现沿所 把 四边形CDFE折起(如图乙)，使平面。尸 石 _1 _平面A8EF.图乙（1）求证：AD平面BCE；（2）求证：平面A8C_L平面BCE.12.（2022 上海长宁高二期末）在矩形ABCO中，E是3 c的中点，”是A。上，A c B =G,且如图，将AEB沿AE折起至AEF：（1）指出二面角尸AEO的平面角，并说明理由；（2）若F H L G H ,求证：平 面 必。1,平面AECZ）；（

5、3）若乙是线段。尸的中点，求证：直线L C 平面AEF；13.（2021 辽宁大连高三学业考试）如图，在四棱锥P-A 8 c o中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=A C =2,玄，平面ABC,E、F分别为P D、8 c的中点.(I)求三棱锥P-43。的体积；(2)证明：EF/平面R钻.1 4.(2 0 2 1 四川乐山市教育科学研究所一模(文)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马在如图所示的“阳马”P-A 8 c o 中，侧棱底面A 8 CD,P D =DA,点E是的中点，作 E F工P B 交 P B 于点、F.(1)求证：P C 平面E B O；(2)

6、求证：P B L 平面E F D.1 5.(2 0 2 2.全国高三专题练习(文)如图，在四棱锥P A B C D 中，以，平面A B C。，在直角梯形A B C。中，AD/BC,Z BAD=90,BC=2 AD,E 为线段 B C 的中点.(1)求证：平面P Q E，平面办Q；(2)在 线 段 上 是 否 存 在 点 F,使得EF平面P C D?若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；(3)若 A B=1,D C=6 ,PA=2,求四棱锥 P A B C。的体积.1 6.(2 0 2 1 全国高二单元测试)如图，边长为2的正方形A 8 C D 所在的平面与半圆弧C Q所在平面垂直，M

7、是co上异于C,。的点.(1)证明：平面AM D _ L平面B M C；(2)在线段AM 上是否存在点P,使得MC/平面尸3,说明理由.1 7.(2 0 2 1 宁夏 银川唐徐回民中学高二阶段练习)如图，直三棱柱中，A B L A C,C H=H C,.(1)求证：ABIAC.(2)在 棱 上 是 否 存 在 点 K,使得“K/平面ABC?若存在，求出A K：AB1的值；若不存在，请说明理由.18.(2021 宁夏 银川市第六中学高二阶段练习)如图，在四棱锥中，PC _L平面ABC。，AB/DC,D C Y A C.(1)求证：OC_L平面PAC.(2)求证：平面平面PAC.(3)设点E 为

8、AB的中点，在棱依上是否存在点F,使得PA 平面C E F?说明理由.19.(2021陕西 西安中学高一阶段练习)如图所示，已知点P 是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N,。分别R 4，PB,PC的中点，平面尸8Cn平面APD=/.(1)证明平面MNQ/平面ABCD；(2)求证：1/BC.20.(2021黑龙江哈尔滨三中高三阶段练习(理)如图，在 四 棱 锥 尸 中，底面ABC。为直角梯形,DC/AB,A B 1 B C,D C =CB=A B,平面 J_ 平面 ABC。，P A=P D,E,Q 分别为 AB,AP的中点.(1)求证：平面平面P B C；(2)求证：平面平面P A D.2

9、 1.(2 0 2 1 山西吕梁高三阶段练习(文)如图，在四棱锥中，底面A 8 C C直角梯形，A D/B C,A D L A B,BP是等边三角形，且|钻|=忸4 =2,|明=4.(1)设平面P 8 C n平 面 皿 =/,求证：/平面A 8 C Q；(2)若C D L P C,求证：平面B 4 C _ L平面A B C D.22.(20 21 .全国高一单元测试)如图所示，已知多面体A B C D F E中，四边形A B C D为矩形，A 8 砂,A F L B F,平面A B E尸，平面A B C。，O,M分别为A B,F C的中点.(1)求证：A F 1F C；(2)求证：O M 平面

10、D 4尸;(3)若过E F的平面交BC于点G,交 于 点H,求证：E F/G H .23.(2020.广东揭东.高一期末)如图，在四棱锥尸-A B C D中，PD_L平面48C。，底面A8C是菱形,Z BAD=60,A B =2,P D =瓜,。为4 c与8。的交点，E 为棱P B 上一点、(1)证明：ACJ平面 P8);(2)若P 平面E 4 C,求 三 棱 锥 的 体 积.24.(2021全国高一课时练习)在三棱柱A B C-A B C中,(1)若E,F,G,H分别是AB,AC，4B”4 G的中点，求证：平面E R 平面BC/7G.(2)若点A R分别是A C A G上的点，且平面B C

11、Q/平面A B.,试求筮的值.25.(2021上海浦东新高二期中)已知P是矩形A8CD所在平面外一点，M,N分别是A3,尸C的中点,26.(2021全国高一课前预习)如图，平面用?以，平面四边形A8CQ为矩形，A A B E和AM E均为等腰直角三角形，E L X B A F =A AE B=90 .（1）求证：平面3CE_ L平面A）E;（2）若点G 为线段FC上任意一点，求证：BG 平面ADE.27.（2021全国高二课时练习）如图，在直三棱柱A B C-R B C中，AC-BC,AC=BC=CC =2,点。,E,尸分别为棱AC”B,BB1的中点.求证:(1)AC,平面 D E F；(2)

12、平面ACB1 1平面D E F.28.（2022全国高三专题练习）如图，四棱台A 8CD-A|B CA 中，底面A8CD为直角梯形，AB/CD,A B L B C,AB =2 BC=2 CD =2 D D、=4 D、C,P 为棱CG 的中点，证明：AC平面片。P.29.（2022全国高三专题练习）如图，在多面体A3CZ）斯 中，8。砂是矩形，A8C。是正方形，点M 为 AE的中点，求证：3 A/平面EFC.E3 0.(20 21 河南高三阶段练习(文)如图所示,在四棱锥A-B C D E中，CD/EB,C D =2 DE=2BE=2BC=2,A D E 为等边三角形，且平面A D E J_ 平

13、面8 C D E,尸为棱4c的中点.(1)求四棱锥A-8 C D E 的体积；(2)证明：B F V C E.3 1.(20 21 河南温县第一高级中学高三阶段练习(文)如图，直四棱柱A38-EW G/中，上下底面为等腰梯形，AD/BC.A D C =60,A E =A D =2CD=2,M 为线段ER的中点.(1)证明：平面E C )_ L 平面A C E；(2)设。为 线 段 上一点，试确定点。的位置，使平面3 Q E 平面M8.3 2.(20 21 贵州高三阶段练习(文)如图，在四棱锥P A 8 C D 中，已知4 8/。，A D V C D,AB=A D =2,P D =C D =3,

14、且 P D _ L 平面 A B C DM4B(1)证明：平面P A B 1平面P A O.(2)若M是P C上 一 点,且B M平面P A。，求三棱锥M-A B O的体积.3 3.(20 21.贵州毕节.模拟预测(文)如 图1,正方形A B C 中，D M =-M/2C D M N沿M N折起到四边形P Q M N的位置，使得Z Q M A=6 0 (如图2).D C二二A D A B图1图2(1)证明：平面M N P Q_ L平面A B P Q；(2)若E,F分别为A W.切V的中点，求三棱锥尸-Q E 5的体积.3 4.(20 21.四川凉山彝族自治州教育科学研究所一模(文)图1是.A

15、B C,31 =1,CN=-NB=f 将四边形27 1C=2 BC=6,NACB=一 ,D、2石分别是边A C、A B上的两点，且 沅 二3丽，AE/-D/今-1c BN-X图1图2将 AE D沿 瓦)折起使得N A O C =5，如图2.(1)证明：图2中，A C Y E D；(2)图2中，求三棱锥C-A B D的体积.3 5.(20 21 广西玉林模拟预测(文)如图所示的四棱锥P-A B C Z)中，底面A B C。为正方形，平面以Q L平面 A B C。，O,M ,E分别是 A O,PC,8c的中点，P A=P D,P O =A D =2.(1)求证：3 c d.平面P O E；(2)求

16、三棱锥M-R4D的体积.3 6.(20 1 9 广东顺德一中高二期中)如图，在四棱锥一 A B C Z)中，AB/CD,A B r A D,C D =2AB,平面 B 4 T _ L 平面A B C ,P A Y A D,E是CO的中点.求证：(1)以 1底面A B。；(2)3 7/平面P A Q.3 7.(20 21 黑龙江大庆中学高三期中(文)如图，在三棱柱ABC-A8G中，平面ACG4J 平面A B C,Z A BC=90,N B A C =3 0 ,A/=A C =4 C =2,E 是 AC的中点.(1)证明：BE1BC.,(2)求三棱锥与一A B C 的体积.38.(2021 四川高

17、三阶段练习(文)如图，在四棱锥P-ABCE)中，平面A8CZ),底面为直角梯形,CD/AB,AD1AB,KPA=AD=CD=2,48=3,E 为 PE)的中点.(1)证明：AE1平面尸8.(2)过A,B,E 作四棱锥P-A8CD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.39.(2021 云 南 高三阶段练习(文)已知ABC。是边长为2 的正方形，平 面 他 CD J_平面。E C,直线4E,BE与平面DEC所成的角都为45.(1)证明：AD A.EC.(2)求四棱锥E-ABCD的体积V.第24讲平行垂直问题【知识点总结】1.证明空间中直线、平面的平行关系(1)证明直线与平面平行的常用方法：利用

18、定义，证明直线。与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行n线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；(2)证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.(3)证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理：利用平行公理；2.证明空间中直线、平面的垂直关系(1)证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定

19、理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质(n)；平行线垂直直线的传递性(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定(a_L,a_L c,cu a,/?u a,/?n c=P=a_L a)；面面垂直的性质(a 尸=a u a =aJ _p )；平行线垂直平面的传递性面面垂直的性质(a_L y,_L y,an =/=/，y).（3）证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理.【典 型 例 题】例1.（2 0 2 1.四川省广安代市中学校高二阶段练习（文）如图，在四棱锥P-A B C O中，底面A B C Q是边长为2的正方形，E,F分别为

20、P C,B O的中点，侧 面 以 底 面4 B C D,且 以=尸0=立4。（1）求证：E F平面应。；（2）求三棱锥C-PBD的体积.【解析】（1）连接AC,如下图所示：因为f为8。中点，且底面A B C O是边长为2的正方形,所以P为A C中点，又因为E为P C中点，所 以 即|P A,因 为 瓦 平面P A O,F A u平面P A O,所以 F平面P A O.（2）取4。的中点M,连接P M，如下图所示：因为 B4=P=巫 A,所以/的中点.(1)求证：P C 平面B M N .(2)求证：平面J_平面PAC.【解析】(I)设ACcBN=O,连接MO,AN.pQAB CD,4 3 =4

21、。，汽是棱。的中点，：.4 8%。，AB=NC,2 四边形ABCN为平行四边形，二。是棱A C的中点,.M O PC,又MOu 平面 BM N.PC O 平面 BM N.PC 平面 BMN.(2)(方法一)PC L 平面 PA。,AD u 平面 PAD PC AD.QAB/CD,AB=1 c),N 是棱CD的中点，./W ON,AB=DN,2，四边形ABND为平行四边形，.AT)BN,.3N J.PC.AB=BC,-四边形ABCN为菱形，.8N_ LAC.P C c AC=C,A C u 平面 PAC.PC u 平面 P A C,BN 平面 PAC,又B N u平面BMN,二平面BMN J_

22、平面PAC.（方法二）连接尸N,.PC 平面 PAD.PA u 平面 PAO,，PC _L%MO/PC,:.PAM O,/尸 C，平面 PAO,FD u 平面 PAD.A PC YPD,Q N 是棱C 的中点，.,.PN=；CD由(1)可知，A N=B C=C D.A N=P N,2又是棱R 4 的中点，.,，可,M N c M O =M,M N u平面 B M N.例0 u平面 B M N .：.P A L平面 B M N .又B 4 u 平面PA C,二平面B M N L 平面PAC.例 3.(2021.广西河池.高一阶段练习)如图，四边形ABEO为梯形，BE H A D,A D=2 B

23、E =2AB,PAL平ffi ABED,M 为A D 中点(1)求证：平面以E_ L平面PBM(2)探究在尸。上是否存在点G,使得EG平面 布 B,若存在求出G 点，若不存在说明理由.【解析】(1)证明：连接EM，因为BE/AQ,A D=2 B E =2AB,M 为A。的中点，所 以 四 边 形 为 菱 形，所以 A E L 8 M，因为 B4 _L 平面 ABED,B M u 平面 A 8E O,所以 因为 PAC|AE=A,PA,AEu 面P A E,所以8用，平面R 4E,又 8 M u 平 面 所 以 平 面 PBW _L平面Q4 E；(2)解：当G 为 PO的中点时，EG/平面上钻，

24、证明：如图连接G M,G E,因为G 为 PD 的中点，M 为A。的中点，所以GM /X,G M a平面R 4 B，M e平面Q 45,所以GM 平面E 4B,由(1)可知EM A 8,平面抬5，A B i平面Q 4 5,所以平面2 钻，又G A/nM =，G”,E M u 平面G M E,所以平面GA/E 平面,因为G E i平面GME,所以GE 平面Q4 B；例 4.（2021山东潍坊高二阶段练习）如图，已知在长方体A B C D-4B。中，O,尸，G 分别为B,A Q ,G R 的中点，E 为线段B 4 上非端点的动点，且 AB=AO=2,M =4,设而EFG与底面A8C。的交线为直线/

25、,（1）证明：1/F G；（2）当B E =；BB 时,证明：OE为平面EFG的一条垂线.【解析】（1）连结4G，AC,因为尸，G为A i，G。的中点，所以尸G/A G.又因为4 C/A G，所以尸G AC,又因为FG=/,所以FG/.(2)连接。户.4 尸，O E =OB，+BE。=g，EF=B +B.F2=V14,同理可得。/=而，O F2=E F2+O E2,所以OEJ_EF,同理 OE_LGE,又因为E尸nG=E,所以OEJ_平面EFG,所以O E为平面E F G的一条垂线.【技 能 提 升 训 练】1.(2021.江苏苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习)如图,P 为平行四边形ABC

26、。所在平面外一点，”,N 分别是A8,PC的中点，平面PAn平面？8 c 于直线/.(1)判 断 与 平 面 的 位 置 关 系，并证明你的结论;(2)判断3C与/的位置关系，并证明你的结论.【答案】(1)MN平面PAD，证明见解析；(2)B C/I,证明见解析.【分析】(1)取 P Q 中点E,连接AE,NE,可得N E/D C,且NE=D C,又 W 为 A B中点，可得A M/N E,2且=所以四边形4 W NE为平行四边形，可得A E/M N,根据线面平行的判定定理，可证M N/平面PAD.(2)根据线面平行的判定定理，可证BC平面上包，又 5 C u 平面P B C,结合题意，根据线

27、面平行的性质定理，可证B C/.【详解】(1)M N/平面PA Z),证明如下：取 PO 中点E,连接4 E,NE,因为M E 分别为PC,P C 中点，所以 N E/D C,且 N E,D C ,2又 M 为 AB 中 点,AB/DC,AB=DC,所以 AM/N E,且 AW=,所以四边形AMNE为平行四边形，所以 A E/M N,又 A E u 平面PA。，W平面尸4),所以仞V/平面PAD(2)B C/1,证明如下:因为 A O/3 C,4)=平面24。，8 C U 平面 R4 Q,所以8 C/平面P 4),又 B C u 平面P B C,且平 面 尸 平面PBC=/,根据线面平行的性质

28、定理可得BC/1.2.（2021.江苏南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，分别为 PB,P D，PC的中点.（1）求证：QN/平面PAO；（2）记平面CA7N与底面A8CD的交线为/,试 判 断 直 线/与 平 面 的 位 置 关 系，并证明.【答案】（1）证明见解析；（2）直线1 面 P B D,证明见解析.【分析】（1）证明QN/5C/AD,利用线面平行的判定定理即可求证；（2）由一角形中位线性质可得：MN/BD,可 证 明 面 A 8C Q,由线面平行的性质定理可得/，由线面平行的判定定理即可证明直线/面PBD.【详解】（1）因为M Q 分别为依，尸

29、。的中点，所以QN3C,因为底面ABC。是菱形，所以BC/4Q,所以QNAD,因为QVu面 ABC。，所以 MN面 A8CD,因为平面C N N 与底面A8C的交线为/,M N u 面C M N ,山线面平行的性质定理可得MN/，因为MN/BD,所以B D 1,因为 8u 面 P8，/,四边形ABCD是矩形，抬=AB,点尸是P 8的中点，点 E 在边BC上运动.（1）当点E 为 BC的中点时，试判断EF与平面M C 的位置关系，并说明理由;（2）证明：无论点E 在边BC的何处，都有PEL4F.【答案】（1）E7W面%C,理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）当点E 为 BC的中点时，EF

30、/面 以 C,可由线面平行的判定定理给出证明；（2）转化为证明A尸，平面P B C即可.【详解】（1）当点E 为 5 c 的中点时，EF/平 面%C.理由如下：.点E,尸分别是BC,PB的中点，.EW/PC,又尸C u 平面PAC,E77 N 平面尸4C,二EF/平面PAC.（2）证明：二以，平面ABC。，5。,，8匚1 _ 以，又四边形 A8Go 是矩形，：.BC AB,又 B4Q48=A,PAB,又 A F u 平面B W，AFLBC.又 以=A B,点 F 是 PB的中点，J.A F L P B,又 PBCBC=B,平面 PBC,又 P E u 平面 PBC,J.AFLPE.所以，无论点

31、E在边8 c的何处，都有4.（2 0 2 1贵州高二学业考试）如图，在正方体A 8 C Z）-4 B。中，E为。”的中点.（1）求证：A C，平面Q Q 8；（2）判 断 与 平 面/出C的位置关系，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）平面A E C,理由见解析.【分析】（1）利用正方形的性质可得出A C，a）,由正方体的几何性质以及线面垂直的性质可得出0 A l AC,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立：（2）设B c A C =O,连接O E,利用中位线的性质可得出0 E B。，再利用线面平行的判定定理可得出结论.【详解】（1）四边形A B C D是正方形，双），/1。，在正方体

32、A B C O-中，“1平面A B C D,A C u平面A B C D,：.AC 1 D R,;B D c D D i=D,因此，A C,平面。OB；（2）平面A E C,理由如下：证明：设3 c A C =O,连接O E,.0、E分别为3。、。的中点，.0 E/8。，尸=2,将图形沿A B、C。折起使得E、尸重合于P,如图2.(1)求四棱锥P-A B C D的体积；(2)判断图2中平面布8和平面P C D的交线/与平面A 8 C C的位置关系，并说明理由.【答案】(1)生叵；(2)/平面A B C D：答案见解析.3【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证出4 8 L平面以力，进而可得平面用

33、D L平面4 8 C。，从而求出P到4。的距离由 即为四棱锥P-A B C D的高，再有锥体的体积公式即可求解.(2)根据线面平行的判定定理可得A B平面P C。，再由线面平行的性质定理可得A B/,由线面平行的判定定理即可证明.【详解】解：(1)由图 1 可知，ABLAE,CDLDF,则图 2 中，ABLPA,ABLPD,：PACPD=P,二4 8_1_平面处 ,而 A 8u平面 A8C。，二平面平面ABCD,又刈 是边长为2 的正三角形，则P到A D的距离G即为四棱锥P-A B C D的高，二 叭 BCO=；X2X2X6=；(2)平面PA,B和平面P C D的交线/平面ABCD.理由如下：

34、.,AB/CD,AM 平面尸CD,COu平面PC),平面 PCD,ABu平面弘8,平面厚8。平面PCO=/,：.AB/l,而 ABu平面ABCD,/Q平面ABCD,，/平面 A8C).6.(2021江苏高一专题练习)如图，已知三棱柱A B C-A B 的侧棱与底面垂直，ABAC=90,M、N 分别是4用、8 c 的中点.(1)证明：A B 1 AC)；(2)判断直线MN和平面ACCM的位置关系，并加以证明.【答案】(1)证明见解析；(2)MN平面ACCM，证明见解析.【分析】(1)由题意及线面垂直的定理和定义先证AB1平面ACGA，再证出A B lA q；判 断 出M W/平面ACCM,设AC

35、的中点为。，连接W、D,证明出四边形AM M)为平行四边形,可得出AD/MN,利用线面平行的判定定理可证得结论成立.【详解】(1)山题意知，cc,1 平面 ABC,A BI 平面 ABC,：.AB 1CC,A B Y AC,A CnCC|=C，.A B I平面 A CG4，Q AC u 平面 ACC 4 ,AB _L A Ci；(2)MN平面ACCM.证明如下：设AC的中点为O,连接ON、AtD.Q、N 分别是 AC、8 c 的中点，.1EW /3 且。N=：4 B,又.A4/B4且A A=2 4,故四边形A 4 4 3为平行四边形，所以，AB A 且AB=4用，M为4月 的中点，则AW=；A

36、B且所以，AM W且4 M =W,故四边形A M N D为平行四边形，则A D i/MN,Q A O u平面ACCM，MNcz平面ACC/一 故7WN平面ACCM.【点 睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：(1)通过面面平行得到线面平行；(2)通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.7.(2021.全国高二专题练习)如图，正 方 体A B C D-A S C Q i中，M,N分 别 是AB,4 5的中点.判断直线与平面B 8 Q Q的位置关系，并说明理由.【答 案】平 行，理由见解析.【分 析】根 据 题 意 可 取 中 点E,连 接 例E,N

37、E,根据题知例N E/DtD,可 得 平 面EMN/平面即面面平行，利用面面平行即可证明线面平行.【详 解】如 图,M N“平面BBiD iD,取4)中 点E,连 接ME,NE,根据题知 ME/8O,N E H D D,因为的平 面E MN,MEu平 面E MN,所以BD/平面E M N,同理。平面EMN,又B D c D、D =D,所以平面E M N平面8 8 QQ,因为M M z平面EMN,故M N平面B B QiD8.（2 0 2 1四川石室中学高三期末（文）如图（1）,在矩形A88中，E,尸在边C O上，B C =C E=F F =FD.沿 BE,A F,将C B E和折起，使平面C

38、B E和平面D4 F都与平面4组/垂直，如 图（2）.图 图（1）试判断图（2）中直线C D与A 8的位置关系，并说明理由；（2）若 平 面 平 面C E 8 =/,证明/，平面【答案】（1）CD/AB,理由见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连结8,分别取4/，3 E的中点“，N,连结D W,CN,M N ,则由题意可得OM，A F ,C N 1 B E.D M =C N ,而平面C B E和平面D4 F都与平面4 B E F垂直，所以平面/4 B E F,CN，平面A B E F,得D M H C N,进而得四边形C D M N为平行四边形，再利用平行公理可证得结论；（2）由线面平行的

39、判定定理可得C N面DFA,再利用线面平行的性质定理可得C N/，而山（1）可得CN，平面所以/_ L平面A B E F【详解】（I）C D/3.理由如下：连结8,分别取A F,8 E的中点M，N ,连结 M，C N ,M N ,由 图 可得，AADF与 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 且 全 等，则D M I A F,C N L B E,D M =C N平面AWL平面4%户，交线为A F,）Mu平面A O F,D M L A F：.D M,平 面 碑F.同理得，C N 平面 ABEF,：,DM/CN.又D M =C N ：.四边形CD MN为平行四边形，CD/MN.,：M,N 分别是 A

40、 F,BE 的中点，：.MN/AB：.CD H AB.(2),?D M/CN,OWu平面 D E A，CNa平面 E 4CN面 D F A：C N u 平面 C E 8,面 )E 4 c平面 CE B=/CN/1由(1)知C N _ L平面A B E F，；./_ L 平面 A B E F.9.(2 0 2 0 北京高一期末)如图，在四棱锥尸-钻8中，底面A B C。是菱形，Z Z M B =6 0。，P D_ L平面A B C。,PD =A D =3,P M =2 M D,AN=2 NB.(1)求证：直线A M 平面P N C；(2)在A 8上是否存在一点E,使 8,平面P 3 E,若存在，

41、确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；(3)求三棱锥C-P D 4的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)E是A 8中点，证明见解析；(3)七 色.4【分析】(1)在尸C上取一点凡 使PF =2 F C,连接M F,N F,证明月0OC ,A N I I DC ,推出AM2 4,即可得证；(2)E是A B中点，证明8 _ L E E,C DLP D,利用线面垂直的判定定理即可证明 8，平面PC E；(3)证明。E为点A到平面尸D C的距离，求出底面积，利用等体积法即可求解.【详解】2(1)在 PC 上取点凡 使 所=2 F C,连接 凡因为PM=2 M ,A N =2 NB,所以 F M/

42、D C,MF =-D C ,32 2AN/D C,A N=-A B =-D C ,3 3可得 M E 7 4 V 且 7 W=A/V.所以M F N A为平行四边形，即 A M I I N A,又A M J _平面PD E1 9(3)直线A 3/D C,且 由(2)可知，O E为点A到平面P C C的距离，=-P D-D C =-,八 口 3 6D E =-,2所以 VC-PD A=VA-PD C=g S#D C,D E =p【点睛】本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.1 0.(2 02 0 福建高二学业考试)如图，四 棱锥尸-A B C。中，

43、底 面488是矩形，9_1平 面4 3 8,且4 5 =3,PD=CD=2.(1)求四棱锥尸-A 8 C D的体积；(2)若E,尸分别是棱尸CA5的中点，则 所 与 平 面PA O的 位 置 关 系 是,在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由.EFu平 面PA O；E尸平 面 尸4)；E F与 平 面PA。相交.【答 案】(1)4；(2)，理由见解析.【分 析】(1)根据四棱锥体积公式直接计算；(2)首 先 判 断 所/平 面PA。，要证明线面平行，需证明线线平行，取P D的 中 点G,连 接G 4,G E.根据条件证明四边形A F E G是平行四边形.【详解】（1）因为P

44、D_ L平面ABC。，所以 V=xS 矩 形 ABCDxPD=jx 2 x 3 x 2 =4 .（2），理由如下：取 PO的中点G,连接G 4,GE.因为E,G 分别为PC,的中点，所以G E/）C,GE=D C.因为尸为AB的中点，所以2又矩形ABC。中，A B/D C,且 AB=DC,所以G E A产，且 GE=A 尸，所以四边形AFEG是平行四边形.所以F G 4.又反平面P 4）,GAu平面24。，所以瓦 7/平面FAQ.【点睛】本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.11.（2021广东佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形ABCD中，

45、A B V A D,AD/BC,尸为AD中点，在BC上，且 E F/A B,已知AB=CE=2,现沿E尸把四边形COFE折 起（如图乙），使平面。尸 石 _ 1_平面 ABE/LBE图乙(1)求证：AT平面BCE；(2)求证：平面ABC_L平面BCE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据线面平行的判定定理得出AF平面5 C E,同理OF/平面8 C E,再根据面面平行的判定定理得出平面ACF/平面BCE,最后由面面平行的性质从而可证出平面BCE；(2)根据题意，由面面垂直的性质得出CE_ LA 8,结合A B,庞，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面4?CJ_平面B

46、CE.(1)证明：由题意知A/7/BE,AF0平面8CE,B E u平面BCE,所以AF平面BCE,同理。尸 平面BCE,/A F c D F =F，平面 ADF平面 BCE,又A D u平面ADF,AZ)平面 8CE.(2)证明：在图甲中，E F U A B,A B 1A D，A E F J.A D,则在图乙中，C E V E F,又 平 面C D F E _L平面A B E F,平面CDFEc平面ABEF=EF,二 CE_L 平面 4 BEF，得 C E L A B,又；谡，防，3EcCE=E,ABL平面 BCE,而4小 平面A B C,，平面ABCJ平面BCE.图甲 图乙12.(2022

47、上海长宁高二期末)在矩形A8CD中，E 是 8 c 的中点，H 是 A。上，A E o B H =G ,S.A E B H ,如图，将 八4沿 AE折起至AEF：BEC(1)指出二面角尸AE。的平面角，并说明理由；(2)若F H _ L G H ,求证：平面E4)J_平面AECQ(3)若人是线段F的中点，求证：直线L C 平面AF；【答案】(I)NFG”为二面角 F 一AE力的平面角，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(I)根据FGJ_AE,G H L A E 结合二面角定义得到答案.(2)证 明 平 面 FG”得到A E L H 尸，得到F”_L平面AEC,得到证明.(3)延

48、长AE,0 c 交于点M,连接F M,证明LC 尸 M 即可.(1)连接尸G,则FG_LAE,G H Y A E,故 NFGH为二面角/一 AEQ 的平面角.(2)FGA.AE,GH VAE,FGcHG=G,故 AE_L 平面 FGH,H Fu 平面 FGH,故 AEJ_ /，又 切 J-G,AEQGH=G,故m，平面 4 ECZ),切:平面用。，故平面E4 D J_ 平面AECD.(3)延长4 E,DC交于点、M,连接F M,易知 八4 6：三/以四7,故A3=CM=8故 C 是 的 中 点，上是线段。F 的中点，故LC 尸 M,F M u 平面A E/L 且 L C U 平面4 E F，故

49、直线LC 平面A EE13.(2021.辽宁大连.高三学业考试)如图，在四棱锥P-A B CD 中，底面4 8C 是边长为2 的菱形,PA=AC=2,R4 _L 平面 ABC,E、F 分别为 PO、8 c 的中点.(I)求三棱锥P-A B O 的体积;(2)证明：EF/平面【答案】(1)友；3(2)证明见解析.【分析】(1)利用条件可得S/M=；B hQ 4 =4，结合棱锥的体积公式即求；(2)取E A的中点G,可证四边形班E G为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即证.(1)证明：设A C与8。的交点为O，因 为 底 面 是 边 长 为2的菱形，所以4(7 _ 1 8 ,且08 =0。=，

50、8。，2因为A C =2,所以OA =OC =，A C =1,2在 MAAOB中，OB =5/W2-(M2=故8 O=2 OB =2g，所以SaA w=g B D-OA =l x 2 G x l=A.因为P A 1平面A B C,所以2 4为三棱锥P-A B D的高，所以三棱锥的体积丫 =1 5乙9/=；*6*2 =亚.(2)因为E为P。的中点，所以G E犯且G E =2 A E ,2又因为歹为B C的中点，四边形A 8C。为菱形，所以B F/4)且2所以 BF/GE 且 BF=GE.故四边形B F E G 为平行四边形，所以BG/EF.因为B G u平面E产Z平面所以E F平面Q 45.1