2007年全国高中数学联赛加试题解答集锦.pdf

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1、 一一 一。r 一 一l I _ _ ，一*；h 蠹 a I L 灭 胁J 2 0 0 7 年第1 2 期(高中)、陕西省数学竞赛委员会 刘康宁 陕 西 省西 安 市 铁一 中陈孝庚 一、(本题满分 5 0分)如 图 1，在锐角AAB C 中，AB AC，AD是 边 B C 上的高，P是线段 AD 内一 点 过 P作 P E上AC，垂足为 E，作 PF上AB，垂足为 F O1、0 2分别是 X B DF、C DE的外心 求证：O 1、0 2、E、F 四点 共 圆 的充 要条 件 为 P 是 X AB C 的 垂 心 基 本 证 法：如 图 1，连 结 BP、CP、01 02、02 E、EF、F

2、01 ：PDLBC，PFLAB，B、D、P、F 四点 共 圆，且 B P为该圆的直径 B D B C 又。01 是 X B DF的外心，图1 -o l 在 BP上，且 0 1 是 B P 的 中点 同理可证，C、D、P、E四点共圆，且 O 2 是该 圆直 径 C P的中点 从而 01 0 2 BC 于是 P0 2 0 一 PC B AF AB A P A D AE AC B、C、E、F 四点 共 圆 充分性：若 P是 X AB C的垂心，由于 P E上AC，PF 上A B，所 以 B、0、P、E 四点共 线，C、0 、P、F 四 点共线 从 而 F 0 2 0 1 一 FC B一 F E B一

3、 F EO 故 01、0 2、E、F四点共圆 必要性：若 0、0 2、E、F四点共圆，则 01 0 E+EFO1 1 8 0。注 意到 P 02 O 1 一 PC B-=AC B一 AC P，又 因为 0 2 是 Rt X C E P斜 边 C P 的 中点，也就 是 X C E P 的外 心，所 以 P 0 2 E一2 AC P O 1是 R t X BF P 斜 边 B P 的 中 点，也 就 是 B FP的外 心，-PF0l 一9 O。一 BFO1 9 O。一 ABP B、C、E、F 四点共 圆，A FE=ACB，PFE一 9 O。一 ACB 于是，由 O1 O 2 E+E F O1 1

4、 8 0。，得(ACB一 AC P)+2 ACP+(9 0。一 ABP)+(9 0。AC B)一 1 8 0。，即 ABP=ACP 又 ABAC，AD上BC，BDCD 设 B 是点 B关于直线 AD 的对称点，则 B 在线 段 DC上，且 B DBD 连结 AB 、P B ，由对称性，有 AB P一 AB P 从 而 AB P一 AC P，所 以 A、P、B 、C 四 点 共 圆 由此可知，P B B一 P AC=9 O。一 AC B 。PBC一 PB B，PBC+AC IB 一(9 0。一 ACB)+AC B一 9 O。BP上AC 从而 B、P、E三点共线 又点 P 在 边 B C 的高 A

5、D 上，所 以 P是 X AB C 的垂 心 综上所述，O1、O 2、E、F 四点共 圆的充 要条件为 P 是 AB C的垂 心 本题 中充分性的证明较容易，下面再 给出必要性 的两 种证 法 别证 1：若 0 1、O 2、E、F 四点共 圆，则 01 O 2 E +EF D1 1 8 0。O1、0 2 分 别 是 BP、C P 的 中点，且 B、C、E、F 四点共 圆，01 O2 E 一 P02 01+P02 E 一 PC B+2 ACP一 ACB+ACP，EF011 8 0。一 AFE 一 O1 FB 一1 8 0。一 A CB一 ABP (ACB+ACP)+(1 8 0。一 AC B 一

6、 ABP)一1 8 0。，即 ABP一 ACP P O1 F一2 ABP，P02 E 2 ACP，PO1 F一 P02 E 又O1 P F和 P E均为等腰三角形，X O P F c-,o X 0 2 P E 筹一 篇 如图 2，连结 O1 E、O2 F，由 O1、O2、E、F 四 点 共 圆，有 E01 F 一 E02 F，01 EO2 一 0 1 F 02 从而 P O 1 E 一 P O2 F，PEO1=PFO2 B D C 于 是，P O 1 E X P 0 2 F，图 2 或 O1、P、E且 0 、P、F分别三点共线 若 O1、P、E且 0、P、F分别 三 点共线，则 BE 维普资讯

7、 http:/ 上AC，C F 上AB，故 P是ABC的垂心 AP 0 1 E(P o 2 F，8 ll00，1PP一而 P E 又 一，所以,丽PE一面P F P E、=PF 而，由 P、E、A、F 四点 共 圆，有 P AB：；：P AC，这 与 ABAC矛盾 故当 o 1、0 2、E、F 四点共 圆时，P为A BC的 垂 心 别证 2：若 o 1、0 2、E、F四点共 圆，由别证 1，得 ABP一 ACP PF上AB，PE上AC，BFP C EP，PB PF”PC PE 如 图 3，设 ABP一 AC P =0，PAB一 口，PAC一 口(0、口、p均为锐角)，在AP BC中，由正弦定理

8、，得 图 3 PBs i n PCBs i n(C一)PC s i n PBC s i n(B-0)。一PF APs i n a s i n 口 PE APs i n P s i n 8 s i n(C一)s i n口 一s i n(B一)s i n口 即 s i n a s i n(B一)一s i n i n B(C一)两边分别积化和差，整理得 c o s(a+B一)一 C O S(口 B+)一 C O S(+C一)c o s(p-C+)，c o s(口+B一)一 C O S(9 0。一)，C O S(+C一)：c o s(9 O。一)，c o s(a B+)一c o s(p C+)，即 c

9、 o s(2 a+一9 0。)一C O S(2 +一9 0。)，s i n(2 a+)一s i n(2 口+)。AB AC，。0。2 口+2 p+1 8 0。，(2 口+)+(2 +)一1 8 0。，即+口+一9 0。+B AC=9 O。，从 而 BE 上AC 又 AD上BC，故 P为ABC的垂 心 说明：(1)本题中的必要性源于 1 9 9 8年国家理科 试验班招生考试第 4题，原题如下：如图 4，在锐角AB C中，AB AC，AD 是 B C边 上 的高，H 为 AD 上一点，连结 B H 并 延长交 AC于点 E，连结 C H 并 延 长交 AB 于点 F 已知 B、C、E、F四点共圆，

10、问：H 是否一定 是AB C的垂心?证明你的结论 图 4 (2)上面的别证 2是受 2 0 0 4年泰 国数学奥林匹 克最后一题的启示给出的，原题如下：已知 P是 AAB C内一 点，过 P作 B C、C A、AB 的垂线，垂足分别 为 D、E、F 又 Q是 AAB C内另一 点，且使得 AC P=B C Q，B AQ=C AP 证明：DE F一9 0。的充分必要条件为 Q是B DF的垂心 二、(本 题 满分 5 0分)如 图 5，在 7 8的长方形棋盘的每个 小方格的中心点各放一 个棋子 如果两个棋子所在 的小方 格共 边或共顶点，那么称这两个棋子 相连 现从 这 5 6个 棋子 中取 出

11、一些，使 得棋盘上剩 下的棋子，没有五个在一条直线(横、竖、斜方 向)上依次相连 问 最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由 基本解法：最少要取出 1 1 个棋子，才可能满足要 求，其原因如下：如果一个方格在第 i 行第 列，则记这个方格为(，)第一步证明若任取 1 0个棋子，则余下的棋子必 有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线(横、竖、斜 方 向)上依次相连 用反证法 假设可取出 1 0个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠 如图 6，在每一 行 的前五格 中必须各取出一个棋子，后三列 的前五格中 也必须各取出一个棋子 这样，1 0个被取出的棋子不 会分布在右下角的阴影部分 同理，由对称

12、性，也不会 分布在其他角上的阴影部分 第 1、2行必在每行取出 一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些 方格 同理，(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至 少要取出 2个棋子 在第 1、2、3列，每列至少要取 出 一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在 区域，同理，(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域 内至少要取 出 3个棋子 这样，在这些 区 域 内至少已取出 1 0个棋子 因此

13、，在中心阴影区域 内 不 能取 出棋 子 由于 、这 四个 棋 子 至 多 被 取 出 2个，从 而，从 斜 的 方 向看 必有 五 子连 珠 了 矛 盾 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 图 6 图 7 第二步构造一种取法，共取走 1 1 个棋子，余下的 棋子没有五子连珠 如图 7，只要取 出有标号位置 的 棋子，则余下的棋子不可能五子连珠 综上所述，最少取 出 1 1个棋子，才可能使得余下 的棋子没有五子连珠 别解：至少要取出 1 1 个棋子，才可能满足要求 取走 1 1个棋子是可以的 如 图 8，将 1，2，3，4，5 依次重复地填入 7 8的方格表中，

14、每格填一个数 注 意到 5 6 5 1 1+1，则 1出现了 1 2次，2，3，4，5 各出 维普资讯 http:/ 现了 1 1次，取走全部 同一个数，剩下的数都不会 出现 5个 无间 隔的(横、竖、斜方 向)由于取 出 的数要最少，所以可考虑从 2，3，4，5中取出全部同一个数，不妨 取出所 有 的 2，剩 下 的数 满 足 要求 1 2 3 4 5 6 7 8 图 8 下面证 明：当任取出 1 0个棋子时，余下的棋子必 有一个五子连珠，即五个棋 子在一条直线(横、竖、斜 方向)上依次相连 用 反证 法 假设 向 7 8矩 形方 格表 中放 入 7 8 1 0 4 6 个 点，不 存在 五

15、子 连珠 显然，在这 8列 中，每列所放点数不超过 6 个 事 实上，放 6个点的列数不少于 6列 若放 6个 点的列 数不超过 5列，则所 放点 的总数 N 6 5+5(8 5)一4 5 4 6，矛盾 下面分两种情况讨论 情形 1：放 6个点的列数为 7 列 易知放 6 个点的列，必为 2 个点放在前两格，另 2个点在后 两格，其余 2个点放在 中间三格 中 的某 两 格(图 9)又易 知 有 一 列所放的点数是 4 6 6 7 4，这列必是第 4 列或第 5列(否则 1 2 3 4 5 6 7 8 图 9 会出现五子连珠)，不妨设为第 4列 由于这列有 4个 点，故这列的 1，2，6，7格

16、中必放 有一个点，该点所 在 的行将 出现五 子连珠，矛 盾 情形 2：放 6个点的列数为 6列，其余两列只能各 放 5个点 (1)若放 5 个点的两列 中有一列是第 1列或第 8 列(不可能第 1列和第 8列 都放 5个点，否则第 1行 会 出现五子 连珠)不妨 设设 在第 1列放 5个 点，则放 5个点的另一列只可能是第 4，5，6列中的某一列，根 据抽 屉原理，该 点必 在 第 1，2，6，7行 中的 某 一 格，则 该点 所在 的行 出现五子 连珠，矛 盾 (2)若放 5个点的两列是第 2，3，4，5，6，7列中的 某两 列 如果第 2列放 5 个点，则另一个放 5个点的列无 论 在

17、哪一列，则这列 在第 1，2，6，7行 的格 必 有一 格 放 有点，将会 出现五子 连珠，矛盾 同理，如果第 3列放 5个点，则另一个放 5个点 的列无论 放在 第 4，5，6，7列 中的 哪一 列，都得 到 矛 盾 故放 5 个点的两列只可能是第 4，5列 若第 4，5两列中，有两个点 同时位于前两格或后 两格，由前述讨论可知，一定会出现五子连珠，矛盾 因此，这 两 列 的 点 的分 布 情 况 为：前 两 格 和后 两 格 中各有一个点，其余 3个 点均 在中间三格 再考查 第 3列 6个点的放法，无论哪一种放法，都会 出现五 子连珠，矛盾 综上所述，假设 不成立，即 7 8矩形 表 中

18、放 4 6 个点，一定存在五子连珠 三、(本题满分 5 0分)设集合 P一 1，2，3，4，5 对 任 意k E P和 正 整 数，记f(m，忌)一 q T W T ，其 中 乜 表 示 不 大 于 n 的 最 大 整数 求证：对任意正整数，存在 k E P和正整数 1 n，使得 f(m，忌)一 基本证 法：定义集 合 A一 1n +1 I 1 n E N ，k EP，其中 N 为正整数集 由于对任意 k，i EP_ B k：Ai，#k-；t-1 是无理数，则 z 十 1 对任意的 k 1，k 2 E P和正整数 1 n 1，1 n 2 1 n 1 而一1 n 2 当且 仅 当 1 n 1 1

19、 n 2，k 1 一k2 注意到 A 是一个无穷集，现将 A 中的元素按从 小到大的顺序排成一个无穷数列 对于任意的正整数，设此数列 中第 项为 1 n +1，下面确定 与 1 n，k 间的关 系 若 _ O 当 k固定 时，f(m+l，忌)-f(m，忌)一 5 c 厕 一 5 儒 一 5(c 僭 卜 腭 )+c 卜 (+1)一 y+2-r 一 o 综上所述，猜想(1)成立；f 奇相 f 2 的 证 明 矾 一 即 又 孵 僭 -喜#7-j o _1 一 奎i=I 。#厢7-j o，矾匝I，J)巩 矾 +1 )一 孵 +1、N i+l J1 一ko+1 一 确 厕 k o q-l n+)厕 一

20、 卜 厕)+(确 +1)傈 一 屑 +1，)由、知，猜想(2)成立 下面证明：f(ml，k 1)f(m2，k 2)，其 中 ml，m2，k t，k 2 N ，且 m 与 m2 川 k 与 k 2 不全相等 证明：若 ml m2，k l k 2若 ml m2，k l=k 2，由 结论(1)知，f(m，k )f(m2，k 2)若 m m2，k k 2，用 反证法 假设 f(，k )一f(mz，k z)一r t，由结论(2)知，f(m，k )所取值中，不 超 过 f(m ，忌 t)的 数 有 t jn=f(m z)的 数 有 z ：个，不 k t+1 _J 一一 所 取 值 中 不 超 过7 2一 f(m ，z 1 个；(，忌 )_J k )的 数 有 孵 不 超 过 一 z)的 数 有 u 有 k l-I-1 k 2-I-1 P，故 是 无 理 数，辱是 无 理 数 。帆一。L ：=、-而+1k 1，即 1 J 1 J L L=一 ，(【L L =L 瑚 倘 硒 卜 ，I I I、I _ ，L 5 一 一 =一 维普资讯 http:/