大学物理学（上、下）--赵近芳--习题解答北邮版.pdf

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1、运动的描述-习题解答习题一1-1Ar I与/有 无 不 同？一 和 一 有 无 不 同？dt dt业 和 有无不同?其不同在哪里?|d/|dt试举例说明.解:M是位移的模，一是位矢的模的增量，即|M=h-讣/尸=|可 一 同;dr-是速度的模,Blldr I即=vdt 1dvd/亍 只是速度在径向上的分量.d/.r=rr(式中叫做单位矢),式中 就是速度径向上的分量，dt业 与 史 不 同 如 题1-1图所示.d/dt题 1图(3)|-|表示加速度的模，即同=当一是加速度。在切向上的分量.dz 有y=表轨道节线方向单位矢)，所以dv du 一 df=r+vdt dt dt式中史就是加速度的切向

2、分量.dtd尸 d T(.一 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)dt d/1-2设质点的运动方程为x=x(7),y=y(t),在计算质点的速度和加速度时，有人先求出片声7,然 后 根 据?及 照 方 而 求 得 结 果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即及。=你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 一 尸=X：+0,_ d r dx -d y -V=-=-I d-/d z d/d/d2r d2x-d2y -d/2 d 产故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速

3、度、加速度定义作d rv =一山d2r其二，可能是将它与注误作速度与加速度的模。在I T题中已说明它不是速度的模,At d/2 dtd 2 r而只是速度在径向上的分量，同样，r也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中dt2的 一 部 分。径=箸 一（华）。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢产及速度/的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在x Q y 平面上运动，运动方程为1 zx=3 /+5,y t+3 /-4.2式 中/以 s 计，X，卜以0 1 计.以 时 间，为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出/=1s时刻

4、和/=2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算，=0 s 时刻到f=4 s时刻内的平均速度；求出质点速度矢量表示式，计算/=4 s时质点的速度；计 算/=0 s至卜=4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算f=4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.解：（1）r=（3t +5）i +（-t2+3 t-4）j m（2）将/=l/=2 代入上式即有rt-S T-0.5 j m(3)V=11J +4 7 m尸=Q -元=3/+4.5j mr0=5j-4j,r4=n i+1 6 j.=Ar r

5、4-r0 12/+20；产 /.v =-=-=3 1 4-5/m-st 4-0 4(4)v =3/+(/+3)7 m-s-1dt则v4-3i+7j m-s-1(5)V 环=3 f +3J,%=3 f +7 j(6)a=I j m s-2d/这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示.当人以v0(m-s i)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.I2=2 +$2将上式对时间/求导，得d/出根据速度的定义，并注意到/,S是随/减少的,d/&-“一 山=%，=-山即ds/d/v0“船一 d二-s d/s%-co

6、s，或_/%(+/产%船 一 S 一 S将V船再对r求导，即得船的加速度 d/由.色 船 J/dt-%s+小 船a=A=2%=2 V0a/s s(-5 +二说力 2 2_ _ s _%s2 s31-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为。=2+6/,。的单位为m s ,x的单位为m.质点在x=0处，速度为10 m S-I,试求质点在任何坐标处的速度值.解：dv dv dx dva=-=vd/dx At dr分离变量：udu=adx=(2+6x2)dx两边积分得 2x+2炉+c2由题知，x=0时，v0=10,/.c=50v=2y1 x3+x+25 m-s-11-6已知一质点作直线运动，其加速度

7、为a=4+3/m-s-2,开始运动时，x=5m,v=0,求该质点在，=10s时的速度和位置.解：；dv,ca=4+3/dt分离变量，得dv=(4+3t)dt积分，得A3 2v=At+t+G2 1由题知，/=0,v0=0,J G=0故又因为,3 2v =4/+-r2d x .3 2v =4/+-Zd/23 、分离变量，d x =(4/+-/2)d/积分得x =2 t2+9由 题 知 Z =0,x0=5c2=5故x=2/2+5所以f =1 0 s 时3=4x l 0 +-x l 021 9 0m,s T项02,1 ,=2 x 1 0 2 +X 1()3 +5 =7 0 5 m21-7 一质点沿半径

8、为1m的圆周运动，运动方程为 6=2+3，。式中以弧度计，以秒计,求：t 2S时,质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45 角时,其角位移是多少?解:d。6 2 0 d/co=9 广，/=1 8/d/At/=2s时,ar=Rf 3=1 x 1 8 x 2 =3 6 m-s-2an=R?=l x(9 x 22)2=1 2 9 6 m-s-2(2)当加速度方向与半径成45 角时，有t a n 45 0 =1即Re o2=R/3亦即(9/2)2 =1 8/则解得于是角位移为26 =2 +3-=2 +3 x =2.6 7 r a d91-8质点沿半径为R 的圆周按5=%/加2的规律运动

9、，式中S 为质点离圆周上某点的弧长，%,6 都是常量，求：(1 3 时刻质点的加速度；(2)/为何值时，加速度在数值上等于6.小解：v=v0-bt_ V2 _(%-A/a R R则a=业+M =+o R皿加速度与半径的夹角为(P=aractT an-=R-b-an(%-初)(2)由题意应有,3 J%功 4。心+R即 期=.+(%.?),=(%_忖 4=0.当/=时，a=bb1-9半径为火的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点8 的运动方程为x-R(a)t-sin a)t),y R cos a)t),式中(y=%/火是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8 所在

10、的位置为原点，轮子前进方向为x 轴正方向；(2)求 B 点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知、o 、题 1-9图(1)X=二%，一 27?sincos 一0 2 2vQt-R sin 0R(cot-R sin a)t)y-27?sin sin 2 2=7?(1-COS)=7?(1-COS69/)(2)drvx=cos)vv=R sin cot)2 dvaY=Reo sin cot=-“d/costy/=-，dt1-10以初速度=20 m-sT 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔6 0 的夹角,求：(1)球轨道最高点的曲率半径飞；(2)落地处的曲率半径火2(提示：利用曲率半径与

11、法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.题 1-10图(1)在最高点，V,=vx-v0 cos 60a“i=g=10m s-2v.2(20 x cos 600)2=10 m(2)在落地点,匕=%=20 m s而%,=g x cos 60Pi封 _(20尸ann2 10 x cos 60=80 mM l飞轮半径为0.4 m,自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad-s_2,求f=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当f=2s 时，。=力=0.2x2=0.4 rad-s-1则 u=Ro)=0.4 x 0.4=0.16 m-s-1an-R2 =0

12、.4x(0.4)2=0.064 m-s-2ar=R0-0.4 x 0.2=0.08 m s-2a=$a；+靖=,(0.064)2+(0.08)2=0.102 m s-21-1 2如 题1-12图，物 体/以 相 对3的速度v=J拓 沿 斜 面 滑 动，y为纵坐标，开始时4在斜面顶端高为处，8物体以“匀速向右运动，求/物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，y=h,则 弓=J丽，Z物运动过程中又受到8的牵连运动影响,因此，4对地的速度为心 地=力+口=(M+-y2gh cos a)i+Q2gh sin a)/题1-12图1-13 一船以速率匕=30kmhi沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率V

13、2=40kmh沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则 有 弓|=%-区，依题意作速度矢量图如题1T3图(a)(a)(b)题 1-1 3 图由图可知 v21=yv+v1=50 km-h-1方向北偏西 0-arctan-arctan-36.87匕 4(2)小船看大船，则有2=%-%，依题意作出速度矢量图如题1 T 3 图(b),同上法，得v2=50 km-h 1方向南偏东3 6.8 71-1 4 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m 的甲板上，篷高4 m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为

14、8 m s 求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1 T 4 所示.:船地题 1-1 4 图 雨 船=雨 一 船,雨=雨 船+船由图中比例关系可知v船=丫 的=8m-s习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为叫的物体，另一边穿在质量为机2 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度,下滑，求加1,加2 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为q,其对于a 2 则为牵连加速度，又知加2对绳子的相对加速度为，故加2 对地加速度

15、，由图(b)可知，为a2=a a又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律,有m g-T =mxax T -m2g m2a2 联立、式，得(w,+m-,aa -W1 +m2_(AM,-mg-m aC l 2 加+加2_T _ m,m2(2 g-a)m+m2讨 论(1)若 =0，则/=a2表示柱体与绳之间无相对滑动.(2)若 =2g,则 T =/=(),表示柱体与绳之间无任何作用力，此时机一 加2 均作自由落体运动.题 2-1 图2-2 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面(倾角为a)上以初速度%运动，%的方向与斜面底边的水平线N8平行，如图所示，求这质点的运动

16、轨道.解：物 体 置 于 斜 面 上 受 到 重 力 斜 面 支 持 力 N.建立坐标：取环方向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y轴.如图2-2.题 2-2 图X方向:y方向:工=%Fv-m g s i n a =m az =o时y=0v,.=0y=gsinat由、式消去，得y=ygsm a-x2 vn2-3质量为1 6 kg的质点在x Q y 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为=6 N,fy=-7 N,当/=0 时，x-y=0,vx=-2 m s _1,vy=0.求当才=2 s 时 质 点 的（1）位矢；（2）速度.匕=匕。+j 凡 龙=-2+&、2=-7 m-s-1A-7 7 .Uv

17、=Uv o+a =x2=m-s7 y0 y 16 8于是质点在2s 时的速度1 2 1F=(vot+-axr)i+-ayt/c c 1 3 1 -7(-2x2+x-x4)z+(2 8 2 162-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力H（左为常数）作用，/=0时质点的-（5速度为,证明（1），时刻的速度为丫=%6 ；（2）由0到/的时间内经过的距离为=（等）；（3）停止运动前经过的距离为（蓝）；（4）证明当/=加 时 速度 减 至%的 工，式中勿为质点的质量.答：-kv d va=-=m At分离变量，得d v _ -kdtv m即r d v _.一 kdtK y J)加,v,一 他I

18、n =Ine w%_ k _tv=voe m(2)x=j vd/=ven,t At=(1 e7,t)(3)质点停止运动时速度为零，即t-8,故有=P voe d/=竺乞k 当 长：时，其速度为ks _ i v0v=voe m*=voe=e即速度减至%的L.e2-5 升降机内有两物体，质量分别为m1加2,且m2=2优 用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸长，滑轮质量及切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a =g上升时，求：（1）2叫和加2相对升降机的加速度.（2）在地面上观察回，机2的加速度各为多少？解：分别以加加2为研究对象，其受力图如图所示.设%相 对 滑 轮（即升降机）的加速度为a,则m2对地加

19、速度a2=a-a；因绳不可伸长,故叫对滑轮的加速度亦为。，又叫在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以叫在水平方向对地加速度亦为。，由牛顿定律，有m2g-T -m2（af-a）T=加 题 2-5 图联立，解得=g 方向向下(2)m2对地加速度为。2=。一。=区 方 向 向 上22外在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即G绝=5 相+万 牵2-6-质量为机的质点以与地的仰角。=30的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.解：依题意作出示意图如题2-6 图题 2-6 图在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下,而抛物线具

20、有对夕轴对称性，故末速度与x 轴夹角亦为3 0 ,则动量的增量为酝=mv-mv0由矢量图知，动量增量大小为旧环|,方向竖直向下.2-7 一质量为加的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出1 s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？解：由题知，小球落地时间为0.5 s.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为匕=g/=0.5g,小球上跳速度的大小亦为匕=0.5g.设向上为y轴正向，则动量的增量酝=mv2-m v方向竖直向上，大小|酝|=mv2-(-

21、mv)=mg碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒.2-8作用在质量为10 kg的物体上的力为尸=(10+2/N,式中/的单位是s,(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200 Ns,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度-6/m s 的物体，回答这两个问题.解：(1)若物体原来静止，则酝 =户由=f (10+2。7山=56 kg m-s_|7,沿x轴正向，AA V-1=bp-=5c.6X m-s-ITimI=Ap=5

22、6 kg-m-s-,z若物体原来具有-6 m-sT初速，则p0=mvn,p=?(一 书 +f d/)=-m v0+f Fdt 于是/2 =/一 瓦=户 由=曲 ,同理，AV2=Av,I2-这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理.(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即1=J(10+2/)d/=10/+/2亦即Z2+10/-200=0解得/=10s,(/=20s 舍去)2-9 一质量为加的质点在X。平面上运动，其位置矢量为r=a cos a)ti+b sin cotjTT求质点的动量及，=0

23、至卜=时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.2 co解：质点的动量为p -m v =m co(-as i n co t i +bcos a)t j)7 T将 7 =0和/=，_分别代入上式，得2 a)py-m cobj ,p2-m coai ,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为7 =酝=凡 一万=-m co(ai +bj)2-1 0 一颗子弹由枪口射出时速率为%m-sT,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为尸=(“-4)N(a,6 为常数)，其中，以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.解：(1

24、)由题意，子弹到枪口时，有/=(a -6 z)=0,得 z =gh(2)子弹所受的冲量I -1(设碎片上升高度力时的速度为v,则有/=说-2 g h令 n=0,可求出上升最大高度为H=-=R2CO22g 2g(2)圆盘的转动惯量/=!上 伏 2,碎片抛出后圆盘的转动惯量/，:,加/一加尺？，碎片脱2 2离前，盘的角动量为/。，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即I co-I+式中为破盘的角速度,于是M R 2=(；M R?-mR2 co+m v0RM R?-mR1)co=(M R2-m R co得 =(角速度不变)圆盘余下部分的角

25、动量为M R?-mR2)a)转动动能为题 2-31图Ek=M R2-m R2）（D22-3 1 一质量为加、半径为R 的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动.另一质量为加 的子弹以速度射入轮缘（如题2-3 1 图所示方向）.（1）开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？（2）用加，和。表示系统（包括轮和质点）最后动能和初始动能之比.解：（1）射入的过程对。轴的角动量守恒R sin 20v0=（加+/%O）7?2 0:.C D =-m-o-v-o-s-i-n-。-（m+m（）R（加+人/E*_ 2 （加+加0）H彳一 i ma sin2 0m+mQ2-3 2 弹簧、定滑轮和物

26、体的连接如题2-3 2 图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N m ；定滑轮的转动惯量是0.5 k g H i?,半径为0.3 0 m，问当6.0 k g 质量的物体落下0.4 0 m 时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长.解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有,1 2 1,2 1 ,2meh-m v+I co+Kn&2 2 2又（o=vl R故有V mR2+1_ (2 x 6.0 x 9.8 x 0.4-2.0 x 0.4?)x 0.3?6.0 x0.32+0.5=2.0 m-s-1题 2-3 2 图

27、题 2-3 3 图2-3 3 空心圆环可绕竖直轴A C自由转动，如题2-3 3 图所示，其转动惯量为10,环半径为R,初始角速度为例).质量为机的小球，原来静置于N点，由于微小的干扰，小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的，问小球滑到6点与。点时，小球相对于环的速率各为多少？解：(1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至8点时，有/0(y0=(70+mR2)co 该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为力,以8点为重力势能零点，则有万，0就+mgR-(In+mR2)co2+mv联立、两式，得I c /。疣(2)当小球滑至。点时，/,.=/0 .。，,二例)故由机械能守恒，有

28、1 2mg(2R)=mvcV c=2廊请读者求出上述两种情况下，小球对地速度.习题三3-1 惯性系S相对惯性系S以速度运动.当它们的坐标原点。与0 重合时，/=/=0,发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.解：由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波.波阵面方程为：x2+y2+z2=(c/)2x2+y2+z2=(a，题 3-1 图3-2设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2/.试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.解：设光讯号到达前门为事件1,在车厢(S)系时空坐标为(X；,/；)

29、=(/,)，在车站(S)系:C光信号到达后门为事件2,则在车厢(S)系坐标为(石工)=(-/二)，在车站(S)系:c/，uG =r（G +-rc于是，2 T=2C Cyluc2或者/=（）,/=乙一G,A，=x；x =21/=+彳 ）=/（彳 2/）C C3-3惯性系S，相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点.在S系中测得两事件的时空坐标分别为X|=6X10m,0=2X 10%,以及芍=12 a）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动

30、长度，/=/J i-（y）2,当时，可认为能被拉进门，则解得杆的运动速率至少为:题3-6图3-6两个惯性系中的观察者。和。以0.6 c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果。测得两者的初始距离是20m,则。测得两者经过多少时间相遇?解：。测得相遇时间为v 0.6cO测得的是固有时/.A t,ZA/=-/v=8.89x10%,V（3=0.6，c1/，0.8或者，。测得长度收缩，L=LQ J1-/3?L。J1-0.62=O.8Ao,，=v些=-2 0 x K）-8 s0.6c 0.6x3x103-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4 s,

31、而乙测得这两个事件的时间间隔为5 s.求：(1)S 相对于S的运动速度.(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.解：甲测得/，=4 s,4=0,乙测得/=5 s,V(1)2 -/(A/+Ax)=/C i F?=解出 v=1.8x10*m-(2)Axr=-vA/),y=/，)5 3.Ax=-yvAt=xc4 5坐标差为Av=K x；LA/-.=r A/A/_ 4A?-5s-1 5-=,Ax=04 4=-3c=-9x10*m负号表示其-X；6000 m,故该万介子能到达地球.或在万介子静止系中，万介子是静止的.地球则以速度u接近介子，在A/。时间内，地球接近的距离为，=必/0=599 m%=60

32、00 m经洛仑兹收缩后的值为：4 =,1-T =379 md d.,故乃介子能到达地球.3-13设物体相对S 系沿x 轴正向以0.8c运动，如果S 系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8 c,问物体相对S系的速度是多少？解：根据速度合成定理，=0.8 c,V；=0.8 cv x+u _ 0.8c+0.8c3-14 飞船4以0.8 c 的速度相对地球向正东飞行，飞船8以0.6 c 的速度相对地球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时/飞船在自己的天窗处相隔2 s 发射两颗信号弹.在8飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少？解：取8为S系，地球为S系，自西向东为x(x )轴正向，则对S系的速度巧

33、=0.8 c,S系对S系的速度为 =0.6 c ,则/对S系(8船)的速度为vv+u 0.8 c +0.6 c 八 八丁=-=0.9 4 6 c.u v 1 +0.4 81 +发射弹是从Z的同一点发出,其时间间隔为固有时/=2 s,6，叱3 VB|S系 1-工东地 球 土 工题 3-14 图B中测得的时间间隔为：3-15 (1)火 箭/和 3分别以0.8 c 和0.6 c 的速度相对地球向+x和-X 方向飞行.试求山火箭8测得4的速度.(2)若火箭Z相对地球以0.8 c 的速度向+丁方向运动，火箭B的速度不变,求/相 对 8的速度.解：(1)如图。，取地球为S系，B 为S 系,则S相对S的速度

34、 =0.6 c,火箭N相对S的速度匕=0.8 c ,则A相对S (8 )的速度为：v ,=-V.-.-u-=-0-.-8-c-(-0-.-6-c-)=A0.n9 4 6,cx.u .(-0.6 c)(0.8 c)1 一万匕 1-2-CC或 者 取/为S系，则=0.8 c,8相对S系的速度匕=0.6 c,于是5相对力的速度为:,v-u-0.6 c-0.8 c 八八“V-=-=-0.9 4 6 cx.u .(0.8 c)(-0.6 c)l-Vx 1-2-CC(2)如 图 6,取地球为S 系，火 箭 8 为 S 系，S 系相对S 系沿一X方向运动，速度u=-0.6 c,对S系的速度为，V-v1 =0

35、,VZv=0.8 c,由洛仑兹变换式Z相对8的速度为:，A相对8的速度大小为速度与轴的夹角夕为M=收+#=0.88 cVtan。=上=1.07夕=46.8题3-15图3-16静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60。角的方向飞行.另一观测者静止于S 系，S 系的x 轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动.试问S 系中的观测者观测到的光子运动方向如何？解：S系中光子运动速度的分量为vx=ccos 60=0.500 cvy=csin 600=0.866 c由速度变换公式，光子在S 系中的速度分量为0.5c-0.6c1-0.6c x 0.5c=0.143c,1-0.62%O.866C 遮/

36、=堂m2 2 0(3)k -co(t2 t)=8 万(5 1)=3 2 万4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为/,周期为T,其振动方程用余弦函数表 示.如 果/=0时质点的状态分别是：(1)xQ=-A；(2)过平衡位置向正向运动:A 过x =4处向负向运动;2A 过x =处向正向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为 广。%=-a A s i n 弧将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有-必444“2=324-31-一一一一-XXXXZHX/IX万3-2乃-35-4+4-6 -质量为1 0 x l(T 3 k g的物体作谐振动，振幅为2 4

37、c m,周期为4.0 s,当，=0时位移为+2 4 c m.求：(1)t =0.5 s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x =1 2 cm处所需的最短时间；(3)在x =1 2 cm处物体的总能量.解：由题已知J =2 4 x l 0-2m,r =4.0 sco-=0.5万 rad-s-1T又，1 =0时，/=+/,.协0=0故振动方程为x=24 x 10-2 cos(0.5r)m(1)将，=0.5s代入得x05=24x IO-2 cos(0.5Z)m=0.17mF=-ma=-mco2x=-10 xl0-3x(y)2x0.17=-4.2xl0-3N方向指向坐标原

38、点，即沿x轴负向.(2)由题知，=0时，%=0,/=/时 x0 +,且v 4=产+(：)2=J(L 0X1 0-2)2+(5.0；0-2)2=V2 xlO2mtan 0ov0 5.0 x10-2 5兀 一=-z =1,即 。=xCD 1.0X1 0 2 x5 4x=V2 xlO_2 cos(5r+j;r)m即co=兀 rad-s-1T故xa=0.1 cos(R +万)mASTT由题4-8图(b)=0 时，x0=,v0 0,1 0)=JI4=0 时，X=0,V 0=3%/2又故其角振幅A=3.2 x 1 0-3小球的振动方程为30 =3.2 x l O-3 c os(3.1 3/+-)r a d

39、4-1 1有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.2 0 m,位相与第一振动7 T的位相差为一，已知第一振动的振幅为0.1 7 3 m,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6解：由题意可做出旋转矢量图如下.由图知=彳 +1-2 4/C O S 3 0。=(0.1 7 3)2+(0.2)2-2 x 0.1 7 3 x 0.2 x V 3 /2=0.0 1/.A2=0.1 m设角4 4。为。，则A2=4：+-244 c os。c A +A -A2(0.1 7 3)2 +(0.1)2 -(0.0 2)2即一 244 2 x 0.1 7 3 x 0.1=0即6 =,这说明，4与4间 夹

40、角 为 即 二 振 动 的 位 相 差 为5.4-1 2试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:$=5 c os(3/+)c m x,=5 c os(3/+J v7万x2=5 c os(3/+)c m x2=5 c os +、3、7TT 7 1解：。=%一 么=号 一 生=2匹乃于43 合振幅/=4+4=1 0 c m4-13 一质点同时参与两个在同一直线匕的简谐振动，振动方程为：/4%乃.合振幅A=0JI$=0.4cos(2r+)mx2=0.3cos(2-，i)m试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：放=-=7t6 6力 合=A-2|=0

41、.1mA./.A .0.4 x sin-0.3 sin 国4 sm 必+4 sm%6 6 13tan(/)=-=-=4COSQ+WCOS02 0.4 cos 至+0.3 cos 区 36 60=工6其振动方程为x=0.1cos(2r+-)m(作图法略)*4-14如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为椭圆，已知X方向的振动方程为x=6cos2Rcm,求y方向的振动方程.题4-14图TT解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为或 三；又，轨道是按顺时针方向旋7T转，故知两分振动位相差为1.所以V方向的振动方程为y=12 cos(2 加+f)c m习题五5-1振动和波动有什么区

42、别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同？解：(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y=./(7);波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置X ,又是时间/的函数，即歹=/(X,/).(2)在谐振动方程歹=/(/)中只有一个独立的变量时间乙 它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y=/(x,/)中有两个独立变量，即坐

43、标位置x和时间/,它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.当谐波方程丁=/c o s 一)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持U续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.(3)振动曲线N=描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为夕，横轴为/；波动曲线歹=/(x,/)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为X.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置X变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.X X5-2波动方程歹二4 co s )+%中的一表示什么?如果改写为N=/c

44、o sU U(&-丝+夕 0),竺又是什么意思?如果/和X均增加，但相应的。(/-土)+%的值U U U不变，由此能从波动方程说明什么？解：波动方程中的X/表示了介质中坐标位置为X的质元的振动落后于原点的时间；丝 则U表示X处质元比原点落后的振动位相；设，时刻的波动方程为yt-A co s(-F)U则f +，时刻的波动方程为A/人、o(x +A x),i匕=A co s|(/+加)-+%u其表示在时刻Z,位置X处的振动状态，经过/后传播到X +必/处.所以在3-丝)中，U当E,x均增加时，(必-丝-)的值不会变化，而这正好说明了经过时间4,波形即向前传u播了 A x =必/的距离，说明y=/c

45、o s G y/-+4)描述的是一列行进中的波，故谓之行u波方程.5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点？解：我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元内所有质元的能量.波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能.形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取波动方程为y=.ya,。，则相对形变量（即应变量）为 如/&.波动势能则是与/&的平方成正比.山波动曲线图（题5-3图）可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小（此处振动速度为零），而在该处的应变也为极小（该处方/&=o）

46、,所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大（该处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点），当然波动势能也为最大.这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值.题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是 个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化.5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？/=0时刻是否一定是波源开始振动的X时刻？波动方程写成歹=/c o s。-）时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动U方程才能写成这种形式？解：由于坐标原点和开

47、始计时时刻的选全完取是种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，/=0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成N =/C O S 0（/-2）时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的.因为在此处对于波源U的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程.5-5在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同？2%解：取驻波方程为y=2/c o s xAc o s a m V ,则可知，在相邻两波节中的同一半波长上,描述各质点的振幅是不相同的，各

48、质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为2 Z c o sx.而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻2两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反.5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？解：波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，（如题5-6图所示），因而观察者在单位时间内接收到的完整数目（/）会增多，所以接收频率增高;而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即“=+以，因而单位时间内通过观察者完整波的数目

49、匕也会增多，即接收频率也将增高.简单地说，前A者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高,后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率.(I)波前I是波源在Si时发出的波前2是波源在S时发出的,在拍照的瞬间,波源在S2处(a)波源运动而观察者不动题 5-6 图多普勒效应5-7 平面简谐波沿x轴负向传播，波长4=1.0 m,原点处质点的振动频率为=2.0 I I z,振幅力=0.1 m,且在L0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程.T T解：由题知/=0时原点处质点的振动状态为为=0,%0)将上式与波动方程的标准形式一 Xy=A cos(2”-2万)比较，可知：波振

50、幅为4,频率t=，波长4=,波速 =C C波动周期T=1 =-27r.u B(2)将x=/代入波动方程即可得到该点的振动方程y-A cos(瓦一 Cl)(3)因任一时刻，同一波线上两点之间的位相差为 0=学 区-%,)A2%将4 2-匹=4,及4=二 代 入 上 式，即得=C d.5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为丁=0.05cos(10加-4加:)，式中以米计，/以秒计.求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x=0.2 m处质点在f=ls时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在f=L 25s时刻到达哪一点？解：(1