同济大学第六版高等数学课后答案一三章详解.pdf

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1、同济六版高等数学课后答案第一章习题1-11.设 N=(o o,-5)u(5,+8),8=1-10,3),写出 及小(/W)的表达式.解/口8=(-00,3)。(5,+0),Nc8=10,-5),AB=,1 0)LJ(5,+o o),小(/5)=10,5).2.设/、8是任意两个集合，证明对偶津(公8尸=/v/证明因为x e(ZcB)C o x氏/c Bo x A 或 x史Bo xe Ac 或 xe Bc xe Ac。必，所以(4CB)C=4CDBC.3.设映射/:X f y,/u ,8 u k.证明QWc BH A L).证明因为5使 J(x)=y0(因为 xe A 或 x e 8)ye/(N

2、)或ye/(8)。/双)切(的，所以 J(Au B)=/(A)5.(2)因为ye/(/cB)=H x e/c8,使/(x)个=(因为 x e Z 且 x e B)ye/(N)且儿4)M8)，所以 j(A2)5A)MB).4.设 映 射 若 存 在 一 个 映 射g:y-X,使g o/=/x，/*=/y,其中ZY、。分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个X W X,有/x x=x；对于每一个歹匕有暝 证明:/是双射，且g是/的逆映射:证明因为对于任意的片丫，有x=g(y)w X,5.y(x)/g 0O =4y=y,即丫中任意元素都是x中某元素的像，所以/为x到y的满射.又因为对于任意的 X|WX

3、2,必有7(X1)MX2),否则若寅Xi)=y(X2)=g 7(Xi)=g/(X2)=Xi=%2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：Y f X,因为对每个y w Y,有g(y)=x e X,且满足/(x)R g(y)=4,产 沙,按逆映射的定义,g是/的逆映射.5.设映射/:X f y,/u X.证明：(1 尸 优4)2;(2)当/是单射时，有/1(/(力)=4.证明 因为xe A=兀0=蚱儿4)=/七)=/)，所以 尸。由(1)知 尸)Q 4另一方面，对于任意的x e/T(/(/)=存在%/(),使/T&)=x m/(x)司.因为ye/且/是单射，所以xe4这就证明了尸/)u

4、 4.因此尸(/(Z)=Z.6.求下列函数的自然定义域：片j3u+2;解 由3X+220得x -|.函数的定义域为等+8).产 占；解 由1-x 2M得用1.函数的定义域为(-8,-i)5 f D5 L+0).(3)y=-Vl-x2;X解 由中0且l-x2 0得函数的定义域 =-1,0)50,1.解 由4-必0得|x|/x;解 由Q0得函数的定义D=Q,+8).(6)y=t a n(x+l);解 由x+1吟(A=0,l,2,)得函数的定义域为x#上 乃+5-1(左=0,1,2,)(7)j=a r cs in(x-3);解 由 卜 一3区1得函数的定义域。=2,4.(8)y=j3-x+a r c

5、t a iJ;解 由3-x 20且xM得函数的定义域 =(-o o,0)。(0,3).(9)y=l n(x+l);解 由x+l 0得 函 数 的 定 义 域l,+o o).1(10)片少.解 由科0得函数的定义域。=(8,0)5。,+8).7.下列各题中，函数/(X)和g(x)是否相同？为什么？(l)/(x)=l g x2,g(x)=21g x;(2)/(x)=x,g(x)=JP;(3)/(X)=Vx4-X3,g(x)=xy/x .(4)/(x)=l,g(x)=s e c2x-t a n2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为

6、定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.|s in x|x|0,因为当X 1 5时,乂-%=-J 0,-1-Xj 1-X2(1-X)(1-X2)所以函数片盒在区间y j)内是单调增加的.(2)对于任意的x,X2G(0,+O O),当x i x2时,有乂一乃=(x1+l n x1)-(x2+l n x2)=(x1-x2)+l n 0,x2所以函数尸+l n x在区间(0,+8)内是单调增加的.10.设/(X)为定义在(-/,/)内的奇函数，若/(x)在(0,7)内单调增加，证明/(X)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于X7 x i,x2e(-/,0)且 x i-X2.因为寅x)

7、在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以这就证明了对于VX1,X2W(-/,0),有加1)g(x).如果/(X)和g(x)都是偶函数，则F(-x)=A-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果寅x)和g(x)都是奇函数，则F(T)?(-X).g(-X)=-g(x)H(x).g(x)=E(x),所以2x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则产(-x)=A-x g(-x)R(x)-g(x)=-A x g(x)=d(x),所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2.下列函数中哪些是偶

8、函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)p=x2(l-x2);(2)y=3x2-x3;厂1-X2.l+x2?(4)尸x(x-l)(x+l);(5)y=si n x-c o s x+1;解(1)因为/(-X)=(-X)2l-(-X)勺=丁2(1-？)=/3,所以/(X)是偶函数.由人-X)=3(T)2-(T)3=3X2+X3可见人X)既非奇函数又非偶函数.因 为/4 t学 二 芸=/(x),所以作)是偶函数.(4)因为负x)=(x)(x l)(x+1 )=x(x+l)(x l)=外)，所以寅x)是奇函数.(5/(-x)=si n(-x)-c o s(-x)+l =-si n x-c

9、o s x+1 可见./(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因 为/(-)=匕 竽 空=安 贮=/，所以,危)是偶函数.1 3.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=c o s(x-2);解是周期函数，周期为/=2%(2)尸c o s 4x;解是周期函数，周期为/=5.(3)y=l+si n 欣；解是周期函数，周期为1=2.(4)尸x c o s x;解不是周期函数.(5)y=si n2x.解是周期函数，周期为1=也1 4.求下列函数的反函数：(l)y=W错误！未指定书签。错误！未指定书签。；解 由y=Vx+l得行/_ 1,所以产旧工的反函数为尸刀3-1.(2方=手 错

10、 误！未指定书签。；解 由 片 公 得x=悬,所 以 产 公 的 反 函 数 为 片 公.(3)片分0)；cx+a解 由 方”当得x=*,所以片生4的反函数为片里他cx+a cy-a cx+a cx-a(4)产2 si n 3x;解 由y=2si n 3x得1=上心山,所以产2si n 3x的反函数为y=g ar c si吟.尸l+l n(x+2);解 由尸l+l n(x+2)得m e T-2,所以尸l+l n(x+2)的反函数为片e、T-2.片 岛 解 由 广 篇 得 山.舌，所 以 片 言 的 反 函 数 为 片 噫 息1 5.设函数/(X)在数集X上有定义，试证：函数/(x)在X上有界的

11、充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数寅x)在X上有界，则存在正数M使/U)区M即-Mf x)M.这就证明了/(x)在X上有下界-A/和上界M再证充分性.设函数外)在X上有下界K i和上界K2,即K i软x)W K2.取止m ax|K|,|&|,则-M K J x)K2 M,即 f x M.这就证明了/(x)在X上有界.1 6 .在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值制和X2的函数值：/1、2,7 T T C(1)尸，=si n x,x,=,2=不；6 3解 尸i d,=si n2-=(1)2,y2=si n2y=()2=1.(2)产

12、si n w,w=2x,瓯=x 2二9；8 4解 尸si n 2x,y)=si n(2)=si n-=,y2=si n(2-)=si n-=l.o 4 2 4 2(3)y=u ,=1+V x i=l,X2=2;解 y=y/i+x2,yi=dl+12=6,y2=yll+22=y/5 .(4)y=e1 1,u x x=0,X2=l;解 y=ex：,弘=?02=1,j/2=el2=e-2 (5)y=u,u=e,X|=l,X2=-l.解 y=e2 yi=e21=e2,y2=e2(l)=e2.1 7.设作)的定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：(1)府);解 由O q&i得恸所以函数九淄的定义域为-

13、I,Xsinx);解 由0sinx0);解 由0金;+。4 1得4,所以函数y(X+。)的定乂域为 4 1一。.(4)/(1+4)+/一a)30).解 由0女+於1且0女 尤1得：当0a g时函数无意义.1|x|1作出这两个函数的图形.1 1 f 1 x1 -1 x0gf(x)=ef(x)=e|x|lx=l,即g/(x)=l1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角方40。(图1-37).当过水断面ABCD的 面 积 为 定 值S o时，求湿周L(L=Z8+8C+CD)与水深力之间的函数关系式，并指明其定义域.b图 1-3 7解 A B=D C=,又 从 /?S C+(5C+2 c o t 40

14、/?)=50 得s in 40 28C=学-c o t 40。%,所以hzV2-coS40 h s in 40自变量的取值范围应由不等式组0,辛-c o t 40.0确定，定义域为0%3 c o t 40.2 0.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过1 00台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1 000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0L1 00 时,p=90.令 0.01(超 一 1 00)

15、=90-75,得刈=1 600.因此当众1 600 时,p=75.当 1 00 x 1 600 时，p=90-(x-1 00)x 0.01=91-0.O l x.综合上述结果得到90 0 x 1 00p-91-0.O l x 1 00 x 1 6003 O x 0 x 1 00(2)尸=(p-60)x=3 l x-0.0l x2 1 00 x 1 600(3)尸=3 1 x 1 000-0.01 x 1 0002=2 1 000(元).习题1-21 .观察一般项x”如下的数列 为 的变化趋势，写出它们的极限：(l)x小 品解 当-8时，x a=3-0,l im!-=O.(2)xw=(-ir i

16、；解 当-8 时，x“=(-iy Jf o,iim(-iy=o.n-8 n=2+3；解 当力-8 时，x =2+-V-2,l im(2+g=2.一 8 付*得；解 当-8时，%=-4=1一 一-0,l im-Z L1=l.+1 +1 ”-8+1(5)x n(-l)n.解当时,x“=(-1)”没有极限.c o s-2 .设数列 x.的一般项x“=.问l imx=?求出N,使当N时,X”与其 W-00极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时，求出数N.解 l im x =0.一 8|c o s 等 1 1 1|xw-0|=.-0,要使|x 一0|,只要 .取n n n sN吧，则V N,有%-0

17、|8 优分析 要使4 0卜=工 即 4.n n g Je证明因为VQO N=4,当 N 时，有l-V-0|,所以 lim-V=O.Jgn n is y r lim i=|;分析要使I初4=而1只须止ON=U-,当N 时，有|誓!京 ,所 以 lim普=82+1 2 2A?+1 2(3)lim 近正=1;分析要使/2 生 0,mN=U：,当V N时，有|加+*-1|oo y(4)lim0.999 9=1./700 l+lg!.证明 因为VQ O,m N=l+lgJ,当V N 时，有|0.99 9 1|00 8 X”未必有极限.证明 因为lim“”=a,所以Vf0,mNeN,当 N 时,有心-a|

18、,从而 一00un-aun-a00 W00存在.5.设数列 x,J有界，又l i m%=0,证明：l i mx/”=O.W00 T O O证明因为数列 X”有界，所以存在阴，使 7eZ,有陶区M又l i m%=0,所以VGO,口 VeN,当N时，有|为|ooMxnyn-O|=|x y My (-00).证明 因为 X 2bi f a(A78),X2k Ta(k T W),所以 V s 0,3 KX,当 2 b l 2 K T 时,有|x 2 i a|2右时，有的一水.取 2 m ax 2Kl,2K2,只要N,就旬xa|a(o o).习题1-31.根据函数极限的定义证明：(1)l i m(3x-

19、l)=8;x-3分析因为|(3x-l)-8|=|3x-9|=3l x-3|,所以要使|(3x-1)-8|,只须|x-3|$.证明因为当0|x-3|b时，有|(3x-1尸8|3(2)l i m(5x+2)=12;x f 2分析因为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5t x-2|,所以要使|(5x+2)-12|e,只须|X-2|O,m b=%,当0|x-2|3时，有|(5X+2)-12|2 X+2=-4;分析因为I奈一)H含H%+2HX-(-2)|,所 以 要 使|弟-(-4)|,只须|x (-2)|O,m s=,当0 ,一(一2)|-2 X+2(4)lim 另2 2.I2x+2分析因为|-

20、2|l-2 x-2|=2|x-(-l)|,所以要使2卜,只须证明 因为V 0 7 3=9,当0V时，有N乙1-4 x 3-2|8 2x 2分析因为1 +X3 1|_|1+3-3 I 2x3 2 2x3 2|x|3 所以要使I等-扑，只须即曲缶证明因为V c O T X=壶，当|x|X时，有1+x3 1所以limX 00I 2x3 21+x3 12x3 2 lim平=0.Xf y y/x分析因为|举-0卜所以要使|需-o|-r,1 y/X 铲证明因为VQO X=3,当xX时，有|坐-。|4.问6等于多少，使当|x 2|6时，yfvO.OOl?解 由于当x f 2时,|%-2|-0,故可设卜-2|

21、1,即lr 3.要使|X2-4|=|X+2|X-2|5|X-2|0.001,只要|x-2|气 以=0.0002.取应0.0002,则当 0|x 2|6时，就有4|X时,61|0.01?xz+3解 要 使 肩 T片+3,故 此 闻7.5.证明函数4 x)=M当x0时极限为零.证明因为lXx)-O|=|M-o|=M=|x-o|,所以要使|/(X)-O|,只须因0,三层，便当0卜-0|育时有次 X)0|=版|一 0|06.求/(x)=工，卬(%)=因当x0 时的左、右极限，并说明它们在x f 0 时的极XX限是否存在.证明因为lim/(x)=lim =lim 1=1,x 0-x 0-X x 0lim

22、/(x)=lim =lim 1=1,XT0+XT0+X x f 0+lim/(x)=lim f x),xfo+所以极限lim/(x)存在.x-0因为lim(p(x)=lim=lim 口 =一 1,x 0-x 0 X x-0 Xlim(p(x)=lim=lim =1,x f0+x7o+x x-0+xlim(x)w lim(p(x),x-0-x-04所以极限lim(x)不存在.x-07.证明：若 X f+8及 Xf-00时，函数.危)的极限都存在且都等于4则lim f(x)=A.X-00证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以V60,X 00 X 4-00ax,o,使当x -x

23、 时，有次x)一 4；学 0,使当 x X2 时，有1/(X)T|.X=maxXl,X2,则当|x|X 时，有|/x)T|,即 lim/(x)=4X T 88.根据极限的定义证明：函数人x)当 x o 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设大幻4(x f祀)，则V 6 0,三 分 0,使 当 O|xr o5时,有f x)-A.因此当x0-3xx0和x o x x o+b时 者K有阿山 0,使当 x o-bi x x o 时，有伏X)-Z 0,使当 x o x 4o+医时，有取应mi n 3i,贝U当 0|x-x()|3 时，,x o-3i x x()及

24、x o x x o+心,从而有&)4|x o).9.试给出X f 8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解Xf8时函数极限的局部有界性的定理如果次X)当X f 8时的极限存在，则存在X 0及朋X),使当M X时,证明 设兀r)f 4(x f o o),则对于=1,少fO,当恸X时，有/(X)T|=L所以殴)|=脖)一4+4因”)4|+X时,火x)|0时,o(x)=2x,伙x)=3x都是无穷小，但1面架=看,孰 不 是 无a o p(x)3 p(x)穷小.2.根据定义证明：(l)y=xf当xf3时为无穷小；(2)y=x si ni当xf0时为无穷小.X证明 当中3时|=|2彳 卜 一3.因

25、为/益0 T指 ,当0,一3 6时，有人I-D|y|=|=x-30,三层,当 0|x 0|S 口 寸，有X|y|=|x|s i n|x-O|0 时的无穷大.问x 应满足什么条件,x能使阴1。4?证明分析3=|9卜|2+工 *-2,要使M M只须5-2/，即XX I I x I证 明 因 为 乂）,使当0 ,一 0|M,X取 小 1 0 4,则 展 而 匕.当0/-0|而 匕 时，例 1 0 上4 .求下列极限并说明理由：Z 8 X1 _r2 li mx o 1-x解因为至 1=2+L而当Xf o o 时L 是无穷小，所以1 而 过 1 =2.X X X Xf0 0 X芸=1+X（XH 1）,而

26、当X f 0时 为 无 穷 小,所 以 顾 三=】x（2）因为5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:y w-8,AX)-K/x)-o oX f X oV0,3&-0,使当 0|x-x（）|XQ+x Xo-Xf 8Vo,3A0,使当恸X 时，有恒解X+00X-00/(X)-8/(X)f+8,/(x)-coXXoV0,3 0,使当 O|x f o|矶有恒VA O,3 0,使当 0 MVA O,3&0,使当 O|x-x o|附，有 恒 M/M 0,3 0,使当 O|x-x o|3 H 寸，有恒/(x)xo+VGO,3 苏0,使当 O x-x o 5 ITt,有恒贝x)-Z|0,3 0,使当 O x

27、-x o MV 心 0&0,使当 0 x-x()M/M Q,3 0,使当 O x-x o t,有恒 加)o,3 0,使当 0 x()-x 排 寸，有恒 1/(X)Z|0,3 0,使当 0 X()T MVA O,3a Q,使当 0 r()_ x Af.VA O,3 0,使当 0 r()-x 排 寸，有恒/(x)00VQO,三 型 0,使当恸 X 时，有恒f x-A0,3 0,使当恸 X 时，有恒VQO,3 X0,使当|x|X时，有恒Vi 0,3X 0,使当恸 X 时，有恒Ax)o,3 A0,使当x X 时，有恒f x-A0,使当x X 时，有恒VQO,小0,使当 x X 时，有恒Ax)M.V0,

28、3 A0,使当 x X 时，有恒Ax)-ooVGO,WO,使当x -X时，有恒f x-A0,3 A0,使当x M.WQO,WO,使当x M.VQO,止0,使当x+0 0 时，函数尸XC OS X不是无穷大.这是因为VAf O,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的 X,都有伏x)|M.例如兴2%7+5)=(2 左 左+5)c o s(2 左+5)=0 优=0,1,2,),对任何大的N,当充分大时，总有x=2 甑+5 N,但(X)|=0“.例如当4=-1（左=0,1,2,）2k兀耳2时,有y（xQ=2k7T+g,当k 充分大时,yS）A/.当x f o+时，函数片L iJ不是无穷大.这是因为X

29、XV M 0,对所有的方0,总可以找到这样的点应 使0 M a但M x/c V.例如可取依=0,1，2,），2.K 7T当k 充分大时,Xk5,但兴双）=2左;z s i n 2左 乃=0 2 x-3 2-3 盟 M丫2 _鼻 ；解.喃寻嚅亲”/、-2.x+1 崛 下 厂解li mq x+Li i m 0二y 而 口=?=0XT1 x2-l X-1 (x-l)(x +l)x-lx+l 2(4)li m 4 叱 22+x.s o 3x2+2x解 l i m4-2x2+x=l im4-2x+l=lx-o 3X2+2X X-O 3X+2 2修(x+/z)2 T2解 li m*L l i m20 h。

30、一0 x2+2hx+h2-x2=li m(2 x+0)=2 x.0 Tohh li m(2+J);XT8 x x解 li m(2-+-V)=2-li m -+li m -=2.x co x XZ xf oo X xf g x2 li m f-1;X-8 2 xz-x121-L解 li m c ：T，=li m 卢 丁=Xf 002 x 一X 1 x 00 0 1 1 2Z-yX xz7(8)li m 4*；;x 8 xH-3 xz-l2解li m 4X J：,=0(分子次数低于分母次数,极限为零).X-0 0X-或l i mX T 8x2+xx4-3x2-ll i mXTOO1 +1=0,21

31、1 X2X2 X4解 l i m x2-6 x+8(x 2)(x 4)_ X 2=4-2=21 1 X 1 1_ _.X 4 X2-5X+4 X f 4 (X-1)(X-4)X-4 X-4-1 3l i m=l i m妈至翳;(1 0)l i m(l+l)(2-4)；XT8 X X解 l i m(l+-)(2-?)=l i m(l+-)-l i m(2-4 r)=l x 2=2.Xf 00 X xz XT8 X x-0 0 xZ(1 1)l i m(l+o o 2 4=limw-00丁/1一I，1+2+3H-F(W1)(12)lim-5-；w-co 乙Whjj l1.i m-1-+-2-+-3

32、-+z-+(-1=)1li.m 7%=：1 l1-i m TI1 二 g1.rt-oo/?-oo 42 2 8 2(13)lim(+D(+2)(+3)-5/解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为-0 5 n 5最高次项系数之比).lx 1.(+1)(+2)(+3)1 v Z 1 1、八 2/i 3、I-00 5疗 5 co 7 7 n Y l 5Xfl l-x l-x3解！呼士一l-x3.)=iim l+x+x2-3 Um(l-x)(x+2)I(l-x)(l+x+x2)(l-x)(l+x+x2)=-lim-”+2 Y=-l2.计算下列极限:啊浮解 因 为

33、 咽*1 9 用 犯 所 以!需？箓 9r2(2)XT82X+1y2解 lim-=o o (因为分子次数高于分母次数).Xf 8 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).XT8解 lim(2x3-x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).x-oo3.计 算下列极限：(1)limx2 sin;Xf o X解 limx2sinL=0(当x-0 时,刀 2是无穷小，而sin是有界变量).xf o x x(2)lim 驾 皿.Xf8 X解 lim国驹些=limLar ctanx=O(当x-oo时，工是无穷小，x-8 x x-x x而 ar ctan x 是有界变量).4.证 明本节定理3 中的(2

34、).习 题 1-71.当X-0 时,2X-X2与相比，哪一个是高阶无穷小？2 3 2解 因 为 lim尹=lim=O,2x-x2 XTO 2-X所以当x f 0 时,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.当x f 1时，无穷小1-x 和(1)1-/,(2)；(1-2)是否同阶？是否等价？解(1)因为 士x)=lim(l+x+x2)=3,x-l 1 X x-l 1 X x-l所以当X f l 时，1-x和 l-x3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为=glim(l+x)=l,所以当X-1时，1-X和 是 同 阶 的 无 穷 小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0时

35、，有：(1)ar ctan x x;一 ,Y2(2)sccx 1-.证 明(1)因为lim ar ctanx=同 _=i偎 示:令 xarctanx,则当x f 0 时,xfo x yfotanyy-0),所以当x 0时，ar ctanx x.,i 2s i n2 2s i n g(2)因为 l i m s e：l =2 l i m 与=皿/=l i m(2-)2=1,D 1 2 VOX2COSX 10 X2 v-0 X2 T 2r2所以当x-0时，s e c x-1亍.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:顾t a n 3x .2x 鬻*(凡加为正整数);t a n x-s i n xs i

36、 n3x_s i n x-t a n x _(V l+x2-l)(J l+s i n x -1)解 l i m粤 强zo 2x=l i m 至-3吧鬻*!5*=000n-mnm.n o x2c o s x 2(4)因为s i n x-t a n x=t a n x(c o s x-l)=-2t a n x s i n2y 一2x 住)2=一；/(工 一 0),W l +x 2 l=/x-1%2(x-o),/(l+x2)2+V l+x2+l 3J l+s i n x-l =厂 1泊”=-s i n x-x(x-0),V l+s i n x+1_ lx3所以 I*,s i n x-.x _-2=_

37、3 (V l+x2-l)(V l+s i n x-l)0 lx2.x5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)a a(自反性);(2)若a 以 则 上 (对称性)；若a/3,p y,则a 乂传递性).证 明(l)lim =l,所以 a a;a若，则I崂”从而1喈4因此任a;(3)若 a 以上%lim=lim.因此 的外Y Y P习题1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:/(x)=x2 0 xl2-x lxr x rl-XT1+所以lim f(x)=l,从而函数/(x)在x=l处是连续的.x-l综上所述，函数寅X)在 0,2上是连续函数.(2)/(x)=：wi解只需考察函数在4-1

38、和X=1处的连续性.在x=1处，因为犬1)=1,并且lim/(x)=lim 1=1。/(一 1),x-r所以函数在x=T处间断，但右连续.在X=1处，因为1)=1,并且lim/(x)=lim x=f x-rlim/(x)=lim 1=11),X f 1+x-l+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-0 0,-1)和(-1,+0 0)内连续，在4-1处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：(1).=、，4 1,=2；-3x+2解 片 一 甘、二=黑 七因为函数在m 2 和x=l处无定义，所以x=2和X2

39、-3X+2(X-2)(X-1)x=l是函数的间断点.因为lim尸 lim 产J 所以x=2是函数的第二类间断点；X.2，x-2 x2 3x+2因为l i m y=l i m=-2,所以x=l是函数的第一类间断点，并且是可去间断XTl(X 2)点.在x=l处，令尸-2,则函数在户1处成为连续的.(2)_y=7,x=Z x=k7 r+-/=0,1,2,-)；tanx 2解函数在点后械止Z)和x=%+段 体 Z)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因 l i m/-=8(b 0),故=痴(后0)是第二类间断点；x-k 冗 tan x因为hm=1,lim=0(%cZ),所以x=0和工=左 左+大(左

40、EZ)是弟一戈TO tan x X讣2 匕 n x 22类间断点且是可去间断点.令MD=1，则函数在x=0处成为连续的；令X=k7 T+-吐 尸 0,则函数在X =+-y 处成为连续的.(3)y=cos2,x=0;x解因为函数丁=8521在X=0处无定义，所以X=0是函数y=C0s21的间断点.X X又因为limcos21不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.x-0 X(4)片x-1 x l解 因为 l i m/(x)=l i m(x-l)=O.l i m/(x)=l i m(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第Xf r x-Xf l+Xf l+一类不可去间断点.3 .讨论函数/(x)=l

41、 i m t _ 8i+xx的连续性，若有间断点，判别其类型.解/(加妈京-x|x|l0|x|=l.X|x|r XT1+为函数的第一类不可去间断点.4 .证明：若函数段)在点m连续且x o)M,则存在祀的某一邻域。(x o),当XE U(%o)时证明不妨设7(x o)O.因 为 在x o连续，所以l i m /(x)=/(x0)0,由极限的局X f 0部保号性定理，存在X0的某一去心邻域灰曲)，使当X W灰面)时次x)0,从而当x e t/(x o)时,/)0.这就是说，则存在x o的某一 一 邻域。(x o),当x e t/(x o)时,/(x)/0.5.试分别举出具有以下性质的函数/)的例

42、子：(l)x=0,l,2,4，,士 ，是加)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=cs c(衣)+cs c2在点x=0,1,2,!，,，土 ，一处是间断的x 2 且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在R上处处不连续，但/(x)|在R上处处连续；解函数/(x)=(-)代只在R上处处不连续，但次x)|=l在R上处处连续.1 X史Q(3)/(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解函数/(x)=二:需 在R上处处有定义,它只在4 处连续.习题1-91.求 函 数 的 连 续 区 间,并 求 极 限!5/，,上y(x)及lim/(x).XT 2解/(%)=X3+3X2-X-3

43、=(X+3)(X-1)(X+1)x2+x-6(x+3)(x-2),函数在(-8,+oo)内除点x=2和x=3外是连续的，所以函数段)的连续区间为(-叫-3)、(-3,2)、(2,+00).在函数的连续点x=0处，lim f(x)=/(0)=1.x-0 2在函数的间断点x=2和x=-3处，蚂/=!吧黑嚼臀加人叱吧咛罗=小2.设函数兀v)与g(x)在点刖连续，证明函数dx)=max 伙x),g(x),Mx)=min伏x),g(x)在点xo也连续.证明已知 lim/(x)=/(x0),lim g(x)=g(x0).x x0 x x0可以验证奴 x)=y/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|,=g

44、/(x)+g(x)T/(x)-g(x)|.因此 9(Xo)=T/(Xo)+g(Xo)+|/(x()-g(X0)|,-(%)=J/(X()+g(Xo)-|/(Xo)-g(Xo)|.因为lim*(x)=lim 1/(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|x-xo XTX。2=1 l i m /(%)+l i m g(x)+|l i m f(x)l i m g(x)|2 x-x0 x x0 x-.v0=g/(Xo)+g(x()+|/(Xo)g(x()l =dx o)所 以*)在点Xo也连续.同理可证明Mx)在点x0也连续.3.求下列极限：(1)l i m/x2-2 x 4-5 ;x-0(2)l i

45、m (s i n 2 x)3;r(3)l i m l n(2 cos 2 x);01 0 X(5)l i m吏 工 人-干 x-1 X-1 l i m Sinx-sin“；n x-a(7)l i m (v P+x-y/x2-x).X-+OC解(1)因为函数，(X)=JX2 _2X+5是 初 等 函 数 在 点x=O有定义,所以l i my lx2-2x+5=/(0)=V02-2-0+5=7 5 .x-0(2)因为函数於)=(s i n 2 x)3是初等函数,兀0在点x言有定义，所以I i m(s i n 2 x)3=/()=(s i n 2)3=l.F 4 4(3)因为函数/(x)=l n(2

46、 cos 2 x)是初等函数,/(x)在点x=J有定义，所以Ol i m l n(2 cos 2 x)=f()=l n(2 cos 2 )=0.T 6 66(4)3垣.=im(同/日+1)=4-o x x-o x(V7?l+l)ox(Vx+i+i)_,.1 _ 1 1lim -/-.xfOJx+1+1 VO+l+l 2|jm V5A-4-V 7 _ jm(J5 x-4-4)(j5 x-4+4)3 x-1 J(x-l)(j5x-4+五)=lim_ 4X_4_=加_ _=_4_=2(X-1)(A/5X-4+VX)-I J5X_4+/7 j5 l-4+Vf,(6)lim-s i n。X x-a2co

47、s*in中=lim-n x-asin =lim cos#J lim-=cos-l=cosa.xTa 2 x a X 4 2F lim(JV+xXf+8-乒尔lim曲不再三)(gXf+co(7x2+X+Vx2-X)4.求下列极限：2(1)limex;x 00 1而In血；x-0 x1工(3)lim(l+与2;XT8 X(4)lim(l+3tan2x)cot2x;x-07.LV Azl lim(泮)2；XT8 6+XJl+tanx-Jl+sinxxvl+sin2x-x解 1 .1 hm hmex=exx=e0=l.X f 8I曾1 1sinx=ln(lim)=lnl=O.xx f0 x(3)xi

48、1lim(1+!)5=lim(l+-)x b=e=yeA-oc x x-xL x(4)r-lim(l 4-3tan2 x)cot2x=lim(14-3 tan2 x)3U n2x =/.x-0 x-0L(5)装渭=(1+6+x-3 x-l6+x6+x6+x)-3)-3=e,lim U展 Jx-cc 6+x 2 2而 .因为lim(l+XT8Azi _1所以 lim 工)2=e 2XT8 6+xJl+tanx-Jl+sinxxVl+sin2x-xhm(Vl+tanx-Vl+sinx)(v 1+sin2x+1)工-。xQl+sin2+-1)(71+tan x+Vl+sinx)Hm(tanx-sin

49、x)(Jl+sin2x+l)_t a n 2sin-v-xsin2 x(Vl+tanx4-5/14-sinx)x-*xsin2x2x=lim.-01X32-5.设函数/(x)=,C 应当如何选择数4,使得/(X)成为在(-8,+00)内a+x x0的连续函数?解要使函数x)在(-00,+oo)内连续，只须y(x)在x=0处连续，即只须她/(x)=、/(x)=/(0)=a.因为 lim f(x)=lim ex=l,lim/(x)=lim(a+x)=a,所以只须取。=1.XT-O XT-0 Xf+0 X T+O习题1-101.证明方程d-3 x=l至少有一 根介于1和2之间.证明设/(x)=J 3

50、 x-1,则/(x)是闭区间 1,2 上的连续函数.因为1)=-3 6 2)=2 5,1以2)0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点J(10,80,至少有一个正根，并且它不超过a+b.证明设x)=asi n x+6-x,则x)是 0,a+6 上的连续函数.j(0)=bJ(a+b)=a si n (a+b)+6-(a+6)=a si n(a+b)-l M 0.若/(a+6)=0,则说明x-a+h就是方程x=asi n x+6的一个不超过a+b的根；若加+6)0,则/(0)/(a+b)0,由零点定理，至少存在一点共。4+6),使/(企0,这说明x=J也是方程x=as iw c+b的一个不超过