同济第五版线性代数课后习题答案.pdf

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1、第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01吸 1 812 0 1解 1 4 1-18 3=2 x(-4)x 3+0 x(-l)x(-l)+l x l x 8-0 x l x 3-2 x(-l)x 8-l x(-4)x(-l)=-2 4+8+1 6-4=-4.cQb“cQQ)lcc匕(2beabc解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc(x-h-c.1 1 a,ba b1cc2解1 1 1a b ca1 b2 c2(T+ca+a-a-bcr-cb2=(6 t/?)(/?-C)(C6 Z).x y x+y(4)j x+y%.%+y%y%y%+y解 y x+y x

2、x+y x y=x a+y)y+y x(x+y)+(x+y)y x _ y 3 _(%+y)3 x3=3 q(%+丁)-产3 0一%3一 丁=-2(xV).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3 4 2 1;解逆序数为 5:3 2,3 1,42,4 1,2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3:2 1,41,43.(5)13-(2H-1)2 4-(2H);解 逆 序 数 为 若 少：3 2(1 个)5 2,5 4(2 个)7 2,7 4,7 6(3 个)(2 一 1)2,(2

3、-1)4,(2-1)6,(2 1)(2 2)(1 个)(6)1 3 (2-1)(2)(2-2)2.解逆序数为八(-1)：3 2(1 个)5 2,5 4 (2 个)(2-1)2,(2-1)4,(2-1)6,，(2 -1)(2-2)(-1 个)4 2(1 个)6 2,6 4(2 个)(2 )2,(2 )4,(2八)6,(2)(2-2)(一1 个)3.写出四阶行列式中含有因子。1心2 3 的项.解含因子。1 1。2 3 的项的一般形式为(一1)。1 1。2 3 a 3 阕 4 s,其 中 是2和4构成的排列，这种排列共有两个，即2 4和4 2.所以含因子 1 1 1“2 3 的项分别是(-1 )。1

4、 1。2 3。3 2。4 4=(-1)%1 1。2 3。3 2。4 4=一。1 1。2 3。3 2。4 4,(一 l)a 1 1。2 3。3 4。4 2=(-1)%1 1。2 3。3 4。4 2=。1 1 2 3 3 4 4 2-4.计算下列各行列式：4207202111CNH41WOA72 34 1110-o41 2 1 02 0 2 172 3 04 110 0=3二-7CQc4-c4 2 0 72 0 2 1112 5114 110 0眸o=0 2 411-119 o n9 0q1171-2G+O-24I11-11T2 34 1110-1 1 1 2 24 2 3 61T2 o2 3 1

5、 52)0 2 0 04 2 3 41-2 12 3 1 2T0 2 0 24 2 3 611-2 3 1 511112 24 2 3 61 1-1 2 o2 3 1 5解o=0 2 0 04 2 3 011-CN2 3 1 04-c-c c-/h?b#;-四4常冷懈修解1=4abcdef.1 1=adfbce 1-1O O IJo 1cT1-o4一o o)zad1+cd0ac 1ooldQ1cw-loo-looI+rlc3+dc+aboldooldo1cT1。toQTOOi+ah a-1 c0-1=(1)(1 产=(-1)(-1 产j+c(n=abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:a?a

6、b Z?2(1)2a a+b 2b=(a-b)3;1 1 1证明a?ah b2 c2-ct a2 ab-a1 h2-a22a a+b 2Z J -2a b-a 2b-2a1 1 1|c3-cx|1 0 0_(_3+ab-a2 b2-a2T F b a 2b-2a=(b-a)(b-哨ax+byay+hzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzx=(标+炉)yZyzX=(G A).zxy证明ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzax ay+bz az+bxy az+bx ax+by+hz ax+by ay+bzyzX

7、ay+bz az+bxaz+bx ax+byax+by ay+hzx a y+b z z y z a z+b x=a2 y a z+b x x+b2 z x a x+b yz a x+b y y x y a y+b zx y zy z X+h3z%yy zyzz x yxx y z=a3 y z xz x yx+b3yz zz x%yx y z=(a3+b3)y z xz x ya2(a+l)2 (a+2)2(q+3)2b2(Z?+l)2 (b+2)2(b+3)2c2(c+i y(c+2)2 (c+3)22 (1)2 (2)2 (3)2证明a1(a +l)2 (a+2)2 (a+3b2 l b

8、+V)2(Z?+2)2(Z?+3)2,得)，(c +l)2 (C +2)2 (c +3)2 e 4-C 3,C 3-C 2,C 2-C 1 得)/3+1)2 (d+2)2 3+3)2b2c2d22,2+12/7+12c+12d+l2a+32b+32:+32d+3为+52/7+52+5%+5(?4-?3,?3-(7 2 得)o-222222221111IX11+勿42C2J2222QAcdld26zd1c/c4182/7M14方(4)=(一Z?)(。一c)(一d)(/?c)(/?d)(c d)(+Z?+c+d);证明Iddd1c2c4c1a/oo1h-ab(b-a)h2(h2-a2)1 1c-a

9、 d-ac(c-a)d(d-a)c2(c2-a2)d2(d2-a2)=(ba)(ca)(d cT)bedh2(h+a)c2(c+a)d2(d+a)1 1 1=(hQ)(Ca)(dQ)0 c h d b0 c(cb)(c+b+a)d(d-b)(d+b+a)=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)1 1c(c+b+a)d(d+b+a)=(a-c)(2 d)(bc)(Jbd)(c d)(a+Z?+c+d).(5)oo-T+6oo-X出OT-o-2-Q-1Xxo3o%=X+QX il-(ln-X-Cln.证明用数学归纳法证明.当n=2时,。2 =）二=炉+4%+4,命题成立.a I C 4

10、 i假设对于(-1)阶行列式命题成立，即i x n.n 2.,.Dn-=x+a x H-an-2X+an则以按第一列展开，有 1 0 Dn=xDn,+(-1),+|x T 1 1 xDn-+Q=X+Q Xl I+,+。一.因此，对于阶行列式命题成立.O?一oo-X6.设n阶行列式Q=d e t(&),把D上下翻转、或逆时针旋转9 0。、或依副对角线翻转,依次得%D=.，02=“11 ana a,t%4 n(n-l)证明 A=4=(l)kD ,D3=D.证 明 因 为O=d e ta),所以(一1)=(_ 1)1+2+(-2)+(-1)=(_)-!-D .同理可证n(n-)41 (T)2=(T)

11、丁.=(T)亍。T=(一 1)丁。.q“a”.n(n-l)n(w-l)n(n-l)Z)3=(1 尸一。2=(-1尸 (D=(l)g)D=D.7.计算下列各行列式（功 为 k 阶行列式）：a 1（1）2=，其中对角线上元素都是。，未写出的元素都是0；1 a解（按第n 行展开）OQOooo004Q oooo2o1ooooo4 o 4oooooQoQooooloo+(1产”a0 0 0 a 0a(一 l)x(-l)(/i-l)x(n-l)a=(_1严 (1)+a=a,-a2=al12(a2-1).a(n-2)(n-2)xQ)D,尸：Q C lx aa x解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得D“=

12、xa-xa-xax-a0a 0 x-a 400a-x00 0再将各列都加到第一列上，得2 =x+(n-l)a00ax-a0a a0 0 x-a 0=%+(-1)a(x-a)n1000 0 x-aan(aT)(a-ri)nan-3 T)i2+尸 ,1 9aQ 1 a-n11 1解根据第6 题结果，有11 1n(n+)aij=(一1)亍 n-j)+1 /;1(+1)+(-1)+1 _=(-1 产-(-1)2 .(1)n+i j=n(Dn+i janb(4)4“=qq4dn解anbn0 2 =qqb 14（按第1行展开）C L in-*%0%0q%1d0 Cln-la b+(-1产+也 C!dx再按

13、最后一行展开得递推公式D 2=QndD 2n一2 瓦即47 G?）。2 -2.于 是。2 =（4 4-%）。2 ./=2而。2 =a bcx 4=qd bp,所以 4,=n（q 4-%）/=1 Z）=det（和）淇 中 a ij=i-j-,解 ai-j,1234.-.321021o11.1io12.0123-Q.=det（%）=04 一 弓n-1 n-2 n-3-4 1 111 1 1 111 1 1 1 11 1 1 1-1 1 1n-n-2n-3-4 0TIoooo二nr 2 T 3000-2-OO-2-2)222o-=（-1 产（几-1）2 2.1 +t Zj 1（6）D=1 1+%1

14、111其中。W。.1+4解1 +4 1 1 1+/1 11+%400q-Q一生0%a30%C2 C3000000 001 001 001 an-an-1 0an1+41 0 1 1=的24 00010 0 00 0 0-0 00 0 魅10 0 婷-1 1项0 1 1+。1100 00方1010 00魅1001 00媪000 01an-X000 00n1+1广=(4%q)(l+Z)-/=1 ai8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)%+%2+W +%4=5玉 +2-七+4 4=-2 .2 X 3 x,一 七-5/=-2，3%1+9+2&+1 1 4=0解因为D=1 1 3 11 22314+51

15、14-1=-1 4 2,1TT212-31-)22)5-o1&-142,3=11T5114-11A11“1-2-)22)5-o11112312-315 1-2 4-2 -50 1 1=-4 2 6,2 =42=11-AA1111-1-2所以玉=方=1 =于=2,%3=W =3，*4=苔=-1(2)5%+6 =1x+5X2+6X3=0X2+5X3+6X4=0.X3+5X4+6X5=0X4+5X5=1为因解665=0006500651065106510051000=-1145,000650065106510110()CII)1151000-2075=100065006510651065100110

16、0U11-A0006511c(I)ru11065106510051000=703,2=000650065111CT)CT)116510051000A-922小(口00651065106510051000=2所以rJ507 r 1145 r =703 r =-395 r =212|-665，/-6 6 5-665，4-665 5 4-665,&+%2 +七=。9.问4取何值时，齐次线性方程组%,十/；+玉=0有非零解?XJ+2/Z X2+X3=0解系数行列式为2 1 1D=1 /1 =/Z.1 2 1令。=0,得=。或 4=1.于是，当 产。或A=1时该齐次线性方程组有非零解.(1 4)%一2/

17、+4/=01 0.问2取何值时，齐次线性方程组2西+(3-团/+玉=。有非零+/+(1 几)退=0解？解系数行列式为1 一4 一2 4 I 丸 3+4 4D=2 3-2 1 =2 1-2 11 1 1-A|1 0 1-2=(l-A)3+(A-3 )-4(1-A)-2(1-2)(-3-)=(l-2)3+2(l-2)2+2-3.令。=0,得A=0,A=2 或 Q 3.于是，当 在0,&2或4=3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：xl=2 yl+2 y2+y3%2=3%+%+5%，属=3%+2 y2+3%求从变量 1,%2用到变量为,乃,力的线性变换.解由已知:故

18、内7122yyy(2 2 1Y=3 1 5(3 2 3)(一763 4329 Y常=-7X-4X2+9X3786011111f-2 13 2 2)-2 -17 2 0I 4 2 9 -2)8604.计算下列乘积:;=X)yJ I/I/21721;P3OqJnJ3-273-27-221AU?A3=A2A=1 0Y122 1 U0n8.设 A=-111Aooo解首先观察12 2龙”22o光oo=cl1AoooOYl认1Ao2002U3 3矛 3精A3=A2-A=0 尤 3221 0。刈(尤 4无 6曲A4=A3-A=0 矛 41、0 0 24)oo5九 10/13)尤5无0 犬,尤k尤T丝 也 无

19、-2Ak _ 2A-0 无 k/l(0 0 无用数学归纳法证明：当k=2时，显然成立.假设左时成立，则1时,Ak+i=Ak-A=尤oOzrk光T尤0012+】(左+1)无 T 缺=0 无+1(4+1)无 T,0 0 尤+1I 7由数学归纳法原理知：尤k不T空 分-2、2屋=0 无 左 尤 T.0 0 无)9.设A,6为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为A7=A,所以从而B 7 A B是对称矩阵.10.设A,B都 是n阶对称矩阵，证明A B是对称矩阵的充分必要条件是46=34证明充分性:因为“=A,=凡且A3=3A,所以(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,即A B是

20、对称矩阵.必要性:因为=4 =优且(48)7=46,所以AB=(AB)T=BTAT=BA.11.求下列矩阵的逆矩阵：(1)Q解 A=；?.=1,故 存在.因为1G2 勺 2)Z 1 7故 1=出人*=330/c o se -sinY，)(sinO cos O y解 吆 渭 言 明.=1项故存在.因为A*J A1 4 1)=(cos。s in/22)1-sin。cos O),所 以 此 总*小；黑黑)f l 2 -B(3)3 4-2;6-4 1 Jf l 2 -1A解4=3 4-2.I AI=2 M,故A-1存在.因为1 5-4 1 JA7123444123123AAAzfkxf-4 2 0 )

21、=-1 3 6-1-32 14 -2)1-2 1 0、所以=*=-V 3-II x iI L，1-16 7 -1J(4)31。2“&产0).0、解 人=出.，由对角矩阵的性质知12.解下列矩阵方程:2 51 3(1)X =4 -6 Y2 1 52X 1解731432-nou111122J/X2)IAly-o11111-r22IL3X-1 4-3 2解OOIrloN3ToTO-22 01 -2OY71 -401A0JOOIlooXMuoloo1o70Vm ii o(0 0X解T3 O1 11 1 0 10Jo O 11 o OY13 T o。-2o O13.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2+3

22、七=1(1)2+2+5%3=2;3%+5%2+%3=3解方程组可表示为3 5 1、,1 23/I2 2 51 23r,I一一|i 7百马退/I故71 o OXj 1从而有%2=。N=o解方程组可表示为X-X2-X3=2(2)A_1A(A-E)=2A-1E A-1=1(A-E),又由 A2T_2=0=(4+2必 一 3(4+2)=-4=(A+2)(A-3E)=-4 E,所以(A+2E)T(4+2E)(A 3E)=4(A+2 E)-1,(A+2E)T=；(3E A)16.设A 为 3 阶矩阵，弓,求l(2A尸-54*1.解 因 为 北=7人*，所以l(2 A)-5 A*H 1 A-5 I A I

23、A-l2 2 2=l-2 A-ll=(-2)3L 4-1l=-8L 4 r1=-8x 2=-1 6.1 7.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆，且(A*尸=(A证明由A T=/A*,得A*=L 4 L 4 T,所以当A可逆时，有I A II A*l=L 4 n A_ 1l=L 4 r0,从而4*也可逆.因为A*=L 4 I A，所以(A*)T=L 4A.又4=R (4T)*T4(1)*，所以I A I(A*r1=I A r,A=I A r1I A I(A-1)*=(A-1)*.1 8.设阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(1)若=0,贝！1 4*1=0;(2)L 4*I=L 4 I T.证明用

24、反证法证明.假设I A*I M厕 有4*(4*尸=瓦由此得A=A 4*(A*)T=L 4 I E(4*)T=O,所以A*=O,这与I A*I M矛盾，故当=0时，有L 4*l=0.(2)由于厕4 4*=L 4区取行列式得到I A IL 4 I L 4*I=L 4 IW.若 M,则 L 4*l=L 4 l -i;若141=0,由知IA*I=O,此时命题也成立.因此L4*I=IA尸.19.设 A=312o1T6lx3、0,A3=A+2B,求 B.解由 A6=A+2 可得(A 2)6=A,故f-2 3B=(A-2E)-A=1 -1l-l 20 1 1 0V 1-1 2 3)f 0=-1(13丫7 0

25、 3 3、3、320.设 A=711110201cn，1AzrI，且 AB+E=A2+B,B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-)6=(A-E)G4+E).因为IA-EI=looo1oOOI=-IwO,所以(A-E)可逆，从而(2 o nB=A+E=0 3 0.110 2；21.设 A=diag(l-2,1),A*3A=2BA 8区求 B.解由 A*BA=2BA-8E 得(A*-2E)5A=-8E,5=-8(A*-2E)-1A-1=-8A(A*-2E)_|=-8(AA*-2A)-1=-8(L4IE-2A)-1=-8(-2E-2A)-1=4(+A)T=4diag(2,-l,

26、2)-1=4diag(1,-1,1)=2diag(l,-2,l).22.已知矩阵A 的伴随阵A*=且4班=比+3石，求氏解由 IA*I=L4|3=8,得=2.由 ABA-=BA-+3E 得AB=B+3A,8=3(A E)TA=3A(E-T4T)A=3(E-1A*)-=6(2E-A*)-1/0008oo1ooo1o3A7oooT00600603r6o6=-1_ooo-6oo1o01031oo1)741o2TAoAn求解由 PZP=A,得 A=PAK,所以 A=A=PApT.故”4)3(2731 2732、1 _1-683-684j-3724.设AP=PA,其中尸=求双4)=屋(5E-6A+T).

27、解破人)=八8(5七 64+42)A一=diag(1,1,58)diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(l,1,25)=diag(l,1,58)diag(l 2,0,0)=12diag(l,0,0).叭*=P叭W11ooOooO-02-22以P*25.设矩阵A、3及A+B都可逆，证明也可逆，并求其逆阵.证明因为AA+B)B=B-+A=A+B-,WA-M+B)5-1是三个可逆矩阵的乘积，所以A T(A+3*T可逆，即可逆.(A T+BT)T=A T(A+8)B7 T=B(A+5)T A.26.计算102021001ooOP133-3220-O1oO1oOA E E R A

28、M,A,B,+B,O a l。B27H o 4层 J而 A+B2=(10 2认丫23-IM-O -3g J4 2 =(2 1Y-2(0 3 人 0所以fA ENE q)=(A 4 4+员)(。4人。B2)O B2)(5 212-4-4 30-9)10202100ooo,I0113loo3220-O1oO52409J-0 爵zfn43o27.取 A=5=-C=D=E 力，验证(作!p!J J L-I I 11 I4-O11O2OoOd=oOO22O1OOOO1O1OOO1O-O-O一一6QI AC解而由 IIACII IIBD _|11 1l_n珈 A B IAI 151败 C ICI DC 4

29、。128.设 A=O解 令A=e3,4=(卿,则咤/，求 朋 及 屋2)故 屋=仅0皿U62耳|第日4|8|4|8=1 0 1 6.S 00 540024 026 24)29.设n 阶矩阵A 及 s 阶矩阵B 都可逆，求之 厕代工出)BC2-O ES-A-o。次-GGGG厂，ITSInEO。耳-GC 4GGAAB由此得 Do所 以 修0=(f解设修护;胪(A。丫9勾 AR AD2(En O(C B D3 D jyC D.+BD,CD2+B D jO ES由此得他=纥AD2=OCD+BD3=OCD2+BD4=ESA-O-BB-ri所以(A 0 V _(A-1(c (30 4 T3 0.求下列矩阵

30、的逆阵:003200852100r52x07382-5328-B-5lh72A-25-1221-50038002525001-200008521005200，是于OAO04J003102121A111Az(解设A=（；肌=（；2），C=G，则0 0 OY2 0 01 3 02 1 4j12oY _r A-1 o B)-B-xCA-B-x)012_65241221I 80 0、0 011 112 4)第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.把下列矩阵化为行最简形矩阵：fl 0 2-1(1)2 0 3 1 ;(3 0 4-3；(1 0 2-P解 2 0 3 1 (下一步:r2+(-2 m,3+(-3)

31、八)(3 0 4-3；(10 20 1 3(下一步:八2+(-1)，3+(-2).)0-2 oj0 2-1、0 1 3(下一步:小一万.)。1 0；0 2 叫0 1 -3(下一步/3.)0 0 3J0 2-I)0 1 3(下一步:厂2+3小)0 0 1,0 2-P0 1 0 (下一步:1+(-2)厂2，1+3)0 0 1J0 0 0、0 1 0.0 0 1Jn3；loolooloolooloo37hz.1/1153o311o11o1oo1o-200loo-4-4-2-2rooloroolQ3534132331013435-10001ooO32224222-1111111000rlooWG2o3

32、-2200-o1oo1000rloowooo解740%-3234-10873223二(2132(4)(下一步:力-2/2,3-3 r2/4-2 r2.)(4O3-3234108732232132解A求42Lz-1112981087(下一 步:2+小)369258n4c287o1oVX244loll120011oooo1o2-1407二oT1O2ToOO1oOrloO-234OoO1O2-1OOO1oO1ooOIII71111o1oloo/IoAbloorolzfO 1 0A -解1 0 0是初等矩阵反1,2),其逆矩阵就是其本身.(0。1 J(o D0 1 0是初等矩阵次1,2(1),其逆矩阵

33、是loo 1)、1701o1(1,2-1)=o_JzT o lo1ol o oY-A3692581 47nO O Iooro leAo-IV222528o1ooo6395283.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:17533 33 JMu o1 7o1o11 11 1A-1 422-1 OoO yo1 7o1ol o o1 5321 2333(3 0 0 7/2 2-9/2、0-10 1 1-2(0 0 1-1/2 0 1/2)2 0 3/2 0 一1/2)-1 0 1 1-20 2-10 1Jr3 O102121T o2-11/oO1o1orl oe3-2 2 1-2-2-3 TO7-

34、6 1 1-2故逆矩阵为T1210232-2221-o1o ooo1oo1oo1oo1oooT121023-22221-30101o071O-3Oooo1oo1o2151-3292-2142ooo70142103-0ooo1oo1o212oozlooo.1407一T103-6ooo10012111111-3210-2100ooo2460-1OT22036ooo1oo1o21001ooo46o/1A2036ooo1oo1oo1oo1ooofl-3A2 2，求 X 使 AX=B;d -ij4460-T2036故逆矩阵为B214-121423K4.(1)设 4=解因为23刈-052oO1O1O1oO

35、二324-12(A,3)=3所以X=AT5=少-3I4J0522 _3 求X使XA=R02 设A=35134解考虑AX J.因为4A73-2TToO1O1O1oOz/mk二231-123-33424(*)=3(2 一4、所以X r=(A 尸*=-1 7,I-1 4J从而 X=3A T=(_j J j.(1 -1 0、5.设 A=0 1 1/X=2X+A,求 X.l-l。1 J解原方程化为(A-2E)X=A因为o71410TOT(A-2E,A)=XMI7101oToT1oO1O1O1oO(0所以 X=(A-2E)TA=-1-1IO1076.在秩是r 的矩阵中，有没有等于。的r-1 阶子式？有没有

36、等于0的r 阶子式？解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0 的r-1 阶子式，也可能存在等于。的r 阶子式.11zfooOoO1O1例如,A=O,R(A)=3.oOoOoOooOoO1O1是等于。的2 阶子式,O是等于0 的3 阶子式.7.从矩阵A 中划去一行得到矩阵反问A,6 的秩的关系怎样？解 R(A)NR(B).这是因为B的非零子式必是A 的非零子式，故A 的秩不会小于3的秩.8.求作一个秩是4 的方阵，它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用已知向量容易构成一个有4 个非零行的5 阶下三角矩阵：ooooOooO1OoO1oO0-1ooO此矩阵的秩为4,其第2

37、行和第3行是已知向量.9.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:2-14024；3 1 0 2)解 1 -1 2-1 (下 一 步:|Cr 2.)U 3-4 4)T24204-n57502-6-62-6O-144-14Orloo、23=-4是一个最高阶非零子式.口5 711矩阵的秩为2,-4927oo490410一1370-2j =_ 7 是一个最高阶非零子式.-1矩阵的秩是2,；7500378280531320（下一步:厂2+1 6/3-1 6r2.）7100ToO220031ooOroooJC7lOJ27003200o1oo1ooo矩阵的秩为3,782053-5OO=7 0.0是一个最高

38、阶非零子式.10.设A、B都是mx及矩阵，证明A3的充分必要条件是R(A)=R.证明根据定理3,必要性是成立的.充分性.设R(A)=R6),则A与6的标准形是相同的.设A与8的标准形为。，则有AD)DB.由等价关系的传递性，有A51 1 -2 3左、11.设A=-1 2k-3，问左为何值，可使k-2 3(1)/?(A)=1 ;(2)7?(A)=2;(3)/?(A)=3.A解2攵2-2-il7EK333一11T-O1oOzf(Xk k-(1)也+2(1)当=1 时,R(A)=1；当 k=-2 且 M 时,R(A)=2;(3)当原1且b-2时，阳4)=3.12.求解下列齐次线性方程组：xl+x2+

39、2x3-x4=0 4 2%+%2 +%3-*4=；2%1+2%2+2%4=0解 对系数矩阵A进行初等行变换，有0/-3-4/T31010loo、,TT2211112122A=于是4玉=铲4x2=-3X4-4%3=铲4居-%4故方程组的解为(2)*为任意常数）.%+2+%3一 4=03%1+682-%3-3%4=。；5玉 +10%2+%3-5%4=0解对系数矩阵A进行初等行变换，有AZMA3A1o010200r1oHI713526n-O于是%)=-2X2+X4X1=X213=%4=%4故方程组的解为a*2为任意常数）.A71111/L2+2100(3)2 玉 +3w毛+5%4=03%+x2+2X

40、3-7X4=0.4M +9 一 3七+6X4=0%一2%2+4毛-7%=。解对系数矩阵4进行初等行变换，有341234coooooo-国项z于A5767rlooNoo1oo1oo故方程组的解为%!=0%2=0/3 =、%4=3%+旬 -5为+7%4=0(4)2%(一 +3项 一 2%4=04x,+l 1X2-13X3+16X4=0 7X1-2X2+X3+3X4=0解对系数矩阵A进行初等行变换，有A=32474-5-3 311-13-2 13J 0I。3 13n 1719 2017 170 00 oj出色为任意常数).13.求解下列非齐次线性方程组:4玉+282 七=2(1)3X1-1X2+2X

41、3=10;11%+3%2=8解对增广矩阵B 进行初等行变换，有on=4/11A211(1 3-3-8 0-10 11 34I 0 0 0-6 j32OO于是RA)=2,而 R(6)=3,故方程组无解.2x+3y+z=4ZQX x-2y+4 z=-5 .I 3x+8y-2z=1 34 x y+9z=-6解对增广矩阵B 进行初等行变换，有Dn-r23-24k。OJ345-1O127428T331-oOoOf x=-2z-l于是 y=z+2,、z=z即=k 1 +r-n2l o j（k 为任意常数）.2x+y-z+w=(3)4%+2y 2z+w=2;1 2+y-z-v v=l解对增广矩阵B 进行初等

42、行变换，有(1 1 -1 1 P4 2-2 1 2(2 1 -1 -1 L1/2-1/2 0 1/2)0o jOoO1OoO1 ,1 ,1于是仃=yz =zw=0=+X)?1-2o1Ozr1-20oO+为,女2为任意常数).2x+y-z+w=l(4)3x-2y+z-3w=4.x+4y-3z+5w=-2解对增广矩阵B进行初等行变换，有2 1-1 1 11B=3-2 1 -3 4-J 4-3 5-2)0-1/7-1/7 6/7、1 -5/7 9/7-5/70 0 0 046-75-7+-1-79-7z+Z1-75-7=Xy|17xyzVV/I2左+1-75-71O1-79-706-75-70肉色为

43、任意常数).是于ZZ-产=WAI+14.写出一个以(2(-2)_ 一3,4+Q oI oj I U为通解的齐次线性方程组.解根据已知，可得(2、-31I oj(-240I V与此等价地可以写成玉二 6?2%2=3c?|+4c2%=。2或或XJ=2X3-X4%2=-3%3+4%4%1-2%3+%4=0X2+3X3-4X4=0,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.1 5/取何值时，非齐次线性方程组AX1+X2+X3=1XI+AX2+X3=A,.%+%2+疝3=矛(1)有唯一解;(2)无解;有无穷多个解?6解7丁A1111dAr(1 2 22 0 A 1 1 4 A(l A).10 0(l-2)

44、(2+2)(1-A)(2+1)2J(1)要使方程组有唯一解，必 须 R(A)=3.因此当加1 且&-2 时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须H(A)/?(6),故(1-2)(2+2)=0,(1 -2)(2+1)V0.因此狂-2 时,方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(A)=/?(6)3,故(1-2)(2+2)=0,(1 -2)(2+1 )2=0.因 此 当 时，方程组有无穷多个解.16.非齐次线性方程组一 2%+退=-2 X-2X2+X3=AX+X2-2X3=?当猥何值时有解？并求出它的解.fl-2 1 20 1 1 -1)(0 0 0(2-1)(2+2).要使方程组有

45、解，必须(1-积 4+2)=0,即2.方程组解为%=玉+1氏=%3I 玉=w+l或卜2=七 ，%3 =毛即 =攵 1 +0（左为任意常数）.XiJ10J当4=-2 吐方程组解为X1=X3+2x?x2+2X=X3+2，或 X2=X3+2,x3=x3G即 马=4 1 +2（k 为任意常数）.（2 2）玉 +2x?2尤 3 =117.设 2百+（54毛=2.2%1 42+（5一 丸）毛二 一 丸 1问力为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解.1242442X4-5222-2no-解oO5-2 -4 2)1A l A 1 A0(1-2)(10-/1)(1-2)(4-/1)要

46、使方程组有唯一解，必须R(A)=R(5)=3,即必须(1-4)(10-M,所以当加1 且於 10时，方程组有唯一解.要使方程组无解，必须E(A)/?(3),即必须(1-2)(10-2)=0 且(1 4)(4/l)w0,所以当Q 1 0 时,方程组无解.要使方程组有无穷多解，必须R(A)=R(8)3,即必须(1-2)(10-2)=0 K(l-2)(4-/l)=0,所以当人1 时，方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为iHD71oO2002-001oO5-方程组的解为(心 火2为任意常数).18.证明RA)=1的充分必要条件是存在非零列向量。及非零行向量犷，使证明必要性.由R(A)=1知 A 的标准形

47、为9a10-0zfl=(2,l,l,2)7,*2=(0,-2,l,l)r,%=(4,4,1,3尸,证 明8组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.y744794750二一20572530-1211lllo-32683640二一0312oloolooorI。二二、Iyy44134755-202112112230130120123(A,B)=255311513604-2oloolooor二知R(A)=R(A,B)=3,所以8组能由A组线性表示.由，2B =!4、4 二 0O-211OI。0-211-1-VoI。2、-10oj1V2、(12 二 0知R(B)=2.因为R(6)wR(6,A),所

48、以A组不能由B组线性表示.4.已知向量组A =(0,1,D&L 1,0/;8:仇=(一1,0,11,岳=(1,2,1)加=(3,2-1)7,证明A组与8组等价.证明由(8,A)=0132-1r(一1 oo1i onij I。o11 1n1)r (-0i0 021 023i知R(8)=R(B,A)=2.显然在A中有二阶非零子式，故R(A)N 2,又R(A)W R(B,A)=2,所以R(A)=2,从而R(A)=R(B)=R(A,8).因此A组与B组等价.5.已知 1 ,。2,。3)=2,/?(“2,。3,。4)=3,证明(1)a 1能由 2,3线性表示；(2)%不能由a 1 ,2,3线性表示.证

49、明 由7?(a2,3,4)=3知 2,3,4线性无关，故 3 a3也线性无关.又由R(a i-3)=2知 线 性 相 关，故 能 由“2/3线性表示.(2)假如0 4能由。1避2,。3线性表示,则因为 1能由即，3线性表示，故 心能由 2,3线性表示，从而 2,3,4线性相关，矛盾.因此。4不能由 1,2,3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关：(1)(-1,3,1/,(2,1,0/,(1,4,1尸；(2,3,0)1(1,4,Of(0,0,2 1.解以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为A=141210131172272Too11o210Too所以R(A)=2小于向量的个数,从而所

50、给向量组线性相关.以所给向量为列向量的矩阵记为b因为002740=22/0,所以R(B)=3等于向量的个数，从而所给向量组线性相无关.7.问。取什么值时下列向量组线性相关？a i=(a,1,1),a 2=(1,a,I)7,。3=(1 1 ,a)。解以所给向量为列向量的矩阵记为人由a 1 1A=1 a-l=a(a-l)(a +l)1 1 a知，当a=-.0、1时,R(A)b -卜(瓦?=0成立,所以只有当即爸,源全为0时，等式办(a +加)+丸2(。2+)2)+%(。+)川)=0成立.因此a+6 1/2+上2,癖 +如线性无关.取 H 2=R 尸0,取加，,狐为线性无关组,则它们满足以上条件，但