大学物理习题及解答.pdf
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1、大学物理习题及解答习题一d r d r1-1 I Ar I与 有 无 不 同?d z和d z有无不同?举例说明.和d v有无不同?其不同在哪里?试解:(1)加 I是位移的模,是位矢的模的增量,H P M =lr2-r l,引一同;I 4(2)是速度的模,d r d sB|J d f =M=d r.d r由 只是速度在径向上的分量.有r =r(式中,叫做单位矢),d r式 中 山 就是速度径向上的分量,d r .dr 与 d,d f不同如题卜1图所示.d r d 1人 d r=r+r 则d rd r d r电 同=电 型(3)d,表示加速度的模,即 山,山是加速度a在切向上的分量.有v =v六7
2、表轨道节线方向单位矢),所以d v d v 一 d f=T +V-d r d r ckd v式 中d t就是加速度的切向分量.A Ad r 叮 d f(.d r 山的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)1-2设质点的运动方程为X=R(Q,=y(Q,在计算质点的速度和加速度时,有人先求d r d2r出r=6+),2,然后根据丫=山,及。=由2而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果,即你认为两种方法哪一种正确?为什么?两者差别何在?解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有尸二刀+故它们的模即为d产 d r而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的
3、错误,即误把速度、加速度定义作d rd r其二,可能是将由 d产 误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明白 不是速度的模,d2r而只是速度在径向上的分量,同样,dJ也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的部分。或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢尸在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢尸及速度 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在x)平面上运动,运动方程为x=3f+5,旷=2 尸+3J 4.式I”以s计,丁以m计.(1)以时间,为变量,写出质点位置矢量的表示式;(2)求出,=1s时刻和f=2 s时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;(3)计算f=0 s
4、时刻到f=4s时刻内的平均速度;求出质点速度矢量表示式,计算,=4 s时质点的速度;(5)计算,=0 s至*=4 s内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算f=4 s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).解(1)尸=(3/+5)7+(/+3 5 4)了(2)将f =1,,=2代入上式即有“=8;_ O.5jv -31+(/+3)j m -s-1(4)d r则(5)VV4=3J+7J M.S-讳=3:+3j,%=3;+7(6)-Av v4-v0 4 a=-=1 /Ar 4 4_ dva=dt-2m-s1 -
5、2.0 m s这说明该点只有 方向的加速度,且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸S处,如题卜4图所示.当人以%(m S-)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.图1-4解:设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成8角,由图可知/2 =2 +$2将上式对时间/求导,得_,d/_ d$2/=25dtdr根据速度的定义,并注意到(5是随.减少的,(11y绳=一 山 =船dsdt即 册 dt s dt s V cos。_lv0 _(h2+sy,2v0丫船=T=-:-或ss将V船再对f求导,即得船的加速度,d/曳c dv船 山 dr 一 丫05+/丫 船、,a=F=
6、-2%=-2-Voat s s2 -21-5质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为Q=2+6X-,。的单位为m s,x的单位为m.质点在x=0处,速度为10m,s”,试求质点在任何坐标处的速度值.d v d v d r d va =-=v 解:.d r d r d r d x分离变量.vd u=a d x=(2 +6 x2)d x一v 2 x+2 x 3 +c两边积分得 2由题知,x=0时,%=1,.c =5 0.v=2 Jd+x+2 5 m -s-1-6已知-质点作直线运动,其加速度为。=4+3,m-s-2,开始运动时,x=5 m,v=0,求该质点在f =10s时的速度和位置.1-7 一质点
7、沿半径为1 m的圆周运动,运动方程为 8=2+3,8式中以弧度计,以秒计,求:(1)t=2 s 时,质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成4 5 角时,其角位移是多少?解:d v._a =4 +3,d r分离变量,得d v=(4 +3 r)d r积分,得/3 2p =4 f +f +G2 1由题知,f =0,%=,.C 1=0故,3 2v=4 z +r2V又因为=一d r =4 r +3-r2d t 23 ,d r =(4 f +-厂)d f分离变量,2X积分得=2t2+-r3+c22 2由题知/=(),X。=5,.q=5x=2t2+-r3+5故2所以1 0 s时%=4 x3 ,
8、.10+-X102=19 0 m-s-12x1()=2 x 102+-x l O3+5 =7 05 m2解:(1)=2 s 时,d 0 八 2。d yc o =9广,=18/山 d tar=Rj 3=1x18 x2 =3 6 m s-2an=Reo2=lx(9 x22)2=12 9 6 m-2t a n 4 5 =-=1(2)当加速度方向与半径成4 5 角时,有 见,即 R=RB 亦即(9)2=18/2 2t=-夕=2 +3=2 +3 x-=2.6 7 r a d则解得 9 于是角位移为 91-2 bt1-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动,式中S为质点离圆周上某点的弧长,之,b都是常
9、量,求:(1 时刻质点的加速度;(2)为何值时,加速度在数值上等于d s ,解 V=dtd va.=f dtv2a=R%(%-b tR则加速度与半径的夹角为a=a.-Rh(P=a r c t a n-=-7an(七 一次)(2)由题意应有.,2 d-从La=b=Jb-+0,V Rb2+,=(v0-bt)4=0Kb2即.当 匕 时,a=b1-9半径为R的轮子,以匀速沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘上任意点8的运动方程为x=R(y f _s i n初),y =R (1 c os m),式中0=%/R是轮子滚动的角速度,当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时所在的位置为原点,轮子前进方向为X轴正方向;
10、(2)求B点速度和加速度的分量表示式.解:依题意作出下图,由图可知、O、题1-9图Q Qx-vnr -2 7?s i n c os 2 2=vt-R s i n 0=R(t-R sin t)y=2/?sin sin 2 2=7?(1-cos 0)-R(l-cos M)(2)vA.=一 =Rco(-cos cot)vy=R sin 创)2 dvax-Ra)sin 初=-*dt =f(1+2。2=56 kg m s看 沿 轴正向,A -Pl r z;-ITAvj=L=5.6 m-s im4=酝=56 kg m s-,z若物体原来具有一6 m-s 初速,则瓦=-mv0,p=z?2(-v0+dr)=一
11、 1()+f Fdzm由 于是P2=P-Po=户山=Ap,同理,%=%,72=4这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即1=J(10+2/)d/=10r+r2亦即r2+10r-200=0解得f=1 0 s,(r=20s舍去)2-9 一质量为例的质点在x)平面上运动,苫位置矢量也r=acoscoti-bsincotj7 Tt-求质点的动量及1=0到 2G 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.解:质点的动量为p-mv=ma)(-asin cot
12、i bcoscotj)7 Tt-将t=0和 2。分别代入上式,得区=mcobj p2=-mcoai则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为7=Ap=p2-=-mco(ai+bj)2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为“om.sT,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为尸=(a-6)N(a/为常数),其中f以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.解:(1)由题意,子弹到枪口时,有_ aF=(a bt)=0 得b(2)子弹所受的冲量/=j(a-ht)dt-a t-h t2t _ a将一苫代人,得2b(3)由动量定理可
13、求得子弹的质量2-11 炮弹质量为?,以速率v飞行,其内部炸药使此炮弹分裂为两块,爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的攵倍,如两者仍沿原方向飞行,试证其速率分别为证明:设一块为用I,则另一块为J%=km 2 及 m+m2 =mkm mm,=-=-于是得 Z +l -Z +l 又设外的速度为匕,加2 的速度为丫2,则有T 1 2,1 2 1 21=-miv+z n2v2-m vmv-m1v1+m2v2联立、解得v2=(k+1)丫 一 攵 匕将代入,并整理得于是有将其代入式,有2T(=(v,-V)km又,题述爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,故只能取证毕.2-12设口合=7,
14、6/N.(1)当一质点从原点运动到=-3/+4/+16 k m 时,求户所作的功.(2)如果质点到r 处时需0.6 s,试求平均功率.(3)如果质点的质量为1k g,试求动能的变化.解:(1)由题知,合为恒力,.4合=户产=(7:一6 (3:+4 了 +16 1)=-21-24 =-4 5 JF=7 5 w加 0.6(3)由动能定理,3=4 =-4 5 J2-13 以铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比,在铁锤击第一次时,能将小钉击入木板内1 c m,问击第二次时能击入多深,假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.解:以木板上界面为坐标原点,向内为V坐标正向,如题2-
15、13 图,则铁钉所受阻力为题 2-13 图f=一%)第一锤外力的功为44=。虫=卜 心=缶 巾=3 式中广是铁锤作用于钉上的力,/是木板作用于钉上的力,在 山 一 时,f=f .设第二锤外力的功为4 2,则同理,有由题意,有A7=A.=A(7 7 z v2)=2 2 所以,%=右于是钉子第二次能进入的深度为y =y 2-V 2-1 =0.4 14 c m2-1 4 设已知一质点(质量为加)在其保守力场中位矢为八 点的势能为E p(r)=%/,试求质点所受保守力的大小和方向.d E(r)nkF(r)-=-解:d r 产方向与位矢了的方向相反,即指向力心.2-15 一根劲度系数为的轻弹簧A的下端,
16、挂一根劲度系数为七的轻弹簧8,8的下端一重物C,0 的质量为例,如题2 75图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比.解:弹簧A、8及重物C受力如题2-15 图所示平衡时,有照题 2-15 图FA=FB=MgFA=3IFB=k2 k2所以静止时两弹簧伸长量之比为A x,k2AX2 k弹性势能之比为E 八端k_PI_ _ _ 2_ _ _ _ _ _ _ 丝En 1 7 A 2 kPZ12 2-16 (1)试计算月球和地球对加物体的引力相抵消的一点P,距月球表面的距离是多少?地球质量5 9 8 X10”k g,地球中心到月球中心的距离3.8 4 X 1 0%,月球质量7.3 5 X
17、10g,月球半径1.7 4 X10%.(2)如果一个1k g 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零,那么它在尸点的势能为多少?解:设在距月球中心为r 处尸月引=尸地引,由万有引力定律,有经整理,得mM i,G -=Gr(5mM地f=_ _ _ _#z _7_ _KPd M 地+M 月V 7.3 5 x l O22V 5.9 8 x l 024+3 7.3 5 x 1()22、3.4 8 x 1()8=3 8.3 2x 1()6 m则 P点处至月球表面的距离为=厂一,月-(3 8.3 2 -1.7 4)x I O,=3.6 6 x 1 0 7 m(2)质量为 k g 的物体在P点的引力势能
18、为E i r(R-r)-6.6 7 x 1 0 x7-35xl07-6.67X10-H X3.8 3 x l O7:1.2 8 x l 06 J5.9 8 x 1 0 2 4(3 8.4-3.8 3)x 1 0 72-1 7 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为叫和的滑块组成如题2-1 7 图所示装置,弹簧的劲度系数为攵,自然长度等于水平距离m2m2与桌面间的摩擦系数为,最初叫静止于A点,A B =B C =h,绳己拉直,现令滑块落下叫,求它下落到B处时的速率.解:取 8点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有-j.i m2g h=(m+m2)v
19、2-+;%(/)2 式中X为弹簧在A点时比原长的伸长量,则 I =A C -B C =(亚-l)h联立上述两式,得v=2(加 一四 叫)gh+kh 2(后 一+加2/2-1 8如题2 7 8图所示,一物体质量为2 k g,以初速度”。=3 0 1 屋从斜面4点处下滑,它与斜面的摩擦力为8 N,到达8点后压缩弹簧2 0 c m后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.解:取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理,有1 2/1 2)-frs -I /w v +m g.v s i n 3 7 I1 ,mV+mgs sm37-frs式中s=
20、4.8 +.2 =5 m,x =0.2 m,再代入有关数据,解得A:=1 3 9 0 N-m-再次运用功能原理,求木块弹回的高度1-frs=z g s,s i n 3 7。一;履,代入有关数据,得s =L 4 m,则木块弹回高度 =s s i n 3 7 0 =0.8 4 m题2 T 9图2-1 9质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽,如题2-1 9图所示.质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下,大木块放在光滑水平面上,二者都作无摩擦的运动,而且都从静止开始,求小木块脱离大木块时的速度.解:加 从 加 上下滑的过程中,机械能守恒,以加,“,地球为系统,以最低点为重力势能零点,则有mgR-m
21、v+MV2 2又下滑过程,动量守恒,以加,M 为系统则在加脱离“瞬间,水平方向有mv-MV=0联立,以上两式,得IMgRm+2-2 0 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,试证碰后两小球的运动方向互相垂直.证:两小球碰撞过程中,机械能守恒,有题 2-2 0 图(a)又碰撞过程中,动量守恒,题 2-2 0 图(b)即有mvn-母 +mv2环=G +当由可作出矢量三角形如图(b),又由式可知三矢量之间满足勾股定理,且以“。为斜边,故知片与%是互相垂直的.2-2 1 一质量为加的质点位于(匹,)处,速度为质点受到一个沿工负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的
22、力矩.解:由题知,质点的位矢为厂=W +y j作用在质点上的力为所以,质点对原点的角动量为Lo=r x mv=(xf +yj)xm(,vj+vyj)=-ymvx)k作用在质点上的力的力矩为而 o =r x/=(xjF+y,J)x(-/)=yxfk2-2 2 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=8.7 5 X 1 0%时的速率是匕=5.4 6 X 1 0 m s,它离太阳最远时的速率是V 2=9.0 8 X l()2 m s 这时它离太阳的距离多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)解:哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日
23、点时的速度都与轨道半径垂直,故有rxm vx=r2m v2r V.8.7 5 xl0 x5.4 6 xl04 in l,r,=-2-1-=-=5.2 6 x 1 0 m.2 v2 9.0 8 xlO22-2 3物体质量为3 kg,,=0时位于7=4:m,v=i +6j m-s-,如一恒力f=5 j N作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相对Z轴角动量的变化.解(一)即即x=x0+%J =4 +3 =71 0 1 5y=v0 vr+-a r2=6 x 3 +-x j x 32=2 5.5;1 =4 i r2=l i +2 5.5 j匕=1vy=v0,+a r=6 +x 3 =1
24、1E=7 +6小2 =;+1 1 1=x m v=4 i x 3(i+6 J)=72kL2=r2x m v2=(7 i+2 5.5 J)x 3(/+1 Ij)=1 5 4.5.L-L2-LX=8 2.5万 kg -m2-s-1解(二)d zd tMA L=J M -d/=J(rxF)d r(4 +t);+(6 f+;)x$2)j x5 jd z=(5(4+f)Ed f =8 2.5kg-m2四I百题2-2 4图2-2 4平板中央开一小孔,质量为加的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为“I的重物.小球作匀速圆周运动,当半径为时重物达到平衡.今在的下方再挂一质量为M1的物体,如题2-2 4图.
25、试问这时小球作匀速圆周运动的角速度勿 和半径为多少?解:在只挂重物时用|,小球作圆周运动的向心力为加 送,即M g=:叫0?挂上“2后,则有(M +M2)g-mra)重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.即rom vo=rm v,n 蜡g=r2co联立、得2-2 5 飞轮的质量?=6 0 kg,半径R=0.2 5 m,绕其水平中心轴转动,转速为9 0 0 re v -m in .现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力/,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-2 5 图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:(1)设尸=1 0 0 N,
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