3年级奥数教程.pdf

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1、三 年 级 奥 数 上 册：第 一 讲 速 算 与 巧 算(一)一、加 法 中 的 巧 算 1.什 么 叫“补 数”？两 个 数 相 加，若 能 恰 好 凑 成 整 十、整 百、整 千、整 万，就 把 其 中 的 一 个 数 叫 做 另 个 数 的“补 数”。如：1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。又 如：11+89=100,33+67=100,22+78=100,44+56=100,55+45=100,在 上 面 算 式 中,1 叫 9 的“补 数”；89叫 11的“补 数”,11也 叫 89的“补 数”.也 就 是 说 两 个 数 互 为“补 数”。对 于

2、 一 个 较 大 的 数，如 何 能 很 快 地 算 出 它 的“补 数”来 呢？一 般 来 说，可 以 这 样“凑”数：从 最 高 位 凑 起，使 各 位 数 字 相 加 得 数 到 最 后 个 位 数 字 相 加 得 10。如：87655 12345,46802 53198,87362-12638,下 面 讲 利 用“补 数”巧 算 加 法，通 常 称 为“凑 整 法”。2.互 补 数 兆 加。例 1 巧 算 下 面 各 题：36+87+64 99+136+101 1361+972+639+28解:式=(36+64)+87=100+87=187 式=(99+101)+136=200+136

3、=336 式=(1361+639)+(972+28)=2000+1000=30003 拆 出 补 数 来 先 加。例 2 188+873 548+996 9898+203解：式=(188+12)+(873-12)(熟 练 之 后，此 步 可 略)=200+861=1061 式=(548-4)+(996+4)=544+1000=1544 式=(9898+102)+(203-102)=10000+101=101014.竖 式 运 算 中 互 补 数 先 加。如:336+1 22 2二、减 法 中 的 巧 算 把 几 个 互.为“补 数”的 减 数 先 加 起 来，再 从 被 减 数 中 减 去。例

4、 3 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式=300-（73+27）=300-100=200 式=1000-（90+80+20+10）=1000-200=8002.先 减 去 那 些 与 被 减 数 有 相 同 尾 数 的 减 数。例 4 4723-（723+189）2356T59-256解：式=4723-723-189=4000-189=3811 式=2356-256-159=2100-159=19413.利 用“补 数”把 接 近 整 十、整 百、整 千 的 数 先 变 整，再 运 算（注 意 把 多 加 的 数 再 减 去，把 多 减 的 数 再 加 上）。例 5 5

5、06-397 323-189 467+997 987-178-222-390解：式=500+6-400+3（把 多 减 的 3 再 加 上）=109 式=323-200+11（把 多 减 的 11再 加 上）=123+11=134 式=467+1000-3（把 多 加 的 3 再 减 去）=1464 式=987-(178+222)-390-987-400-400+10=197三、加 减 混 合 式 的 巧 算 1.去 括 号 和 添 括 号 的 法 则 在 只 有 加 减 运 算 的 算 式 里，如 果 括 号 前 面 是“+”号，则 不 论 去 掉 括 号 或 添 上 括 号，括 号 里 面

6、 的 运 算 符 号 都 不 变；如 果 括 号 前 面 是“-”号，则 不 论 去 掉 括 号 或 添 上 括 号，括 号 里 面 的 运 算 符 号 都 要 改 变，“+”变，“-”变“+”，即：a+(b+c+d)=a+b+c+da-(b+a+d)=a-b-c-da-(b-c)=a-b+c例 6 100+(10+20+30)100-(10+20+30)100-(30-10)解:式=100+10+20+30=160 式=100-10-20-30=40 式=100-30+10=80例 7 计 算 下 面 各 题：100+10+20+30 100-10-20-30 100-30+10解:式=10

7、0+(10+20+30)=100+60=160 式=100-(10+20+30)=100-60=40 式=100-(30-10)=100-20=802.带 符 号“搬 家”例 8 计 算 325+46-125+54解：原 式=325-125+46+54=(325-125)+(46+54)=200+100=300注 意：每 个 数 前 面 的 运 算 符 号 是 这 个 数 的 符 号.如+46,-125,+54.而 325前 面 虽 然 没 有 符 号，应 看 作 是+325。3.两 个 数 相 同 而 符 号 相 反 的 数 可 以 直 接“抵 消”掉 例 9 计 算 9+2-9+3解：原

8、式=9-9+2+3=54.找“基 准 数”法 几 个 比 较 接 近 于 某 一 整 数 的 数 相 加 时，选 这 个 整 数 为“基 准 数”。例 10 计 算 7 8+7 6+8 3+8 2+7 7+8 0+7 9+8 5解：原 式=80 X 8-2-4+3+2-3+0-1+5=640三 年 级 奥 数 上 册：第 二 讲 速 算 与 巧 算（二）笫 二 讲 速 算 与 巧 算（二）一、乘 法 中 的 巧 算 L 两 数 的 乘 积 是 整 十、整 百、整 千 的，要 先 乘.为 此，要 牢 记 下 面 这 三 个 特 殊 的 等 式：5X2=1025X4=100125X8=1000例

9、1 计 算 123X4X25 125X2X8X25X5X4解：式=123X（4X25）=123X100=12300 式 二（125X8）X（25X4）X（5X2）=1000X100X10=10000002.分 解 因 数，凑 整 先 乘。例 2计 算 24X25 56X125 125X5X32X5解：式=6义（4X25）=6X100=600 式=7X8X125=7X（8X125）=7X1000=7000 式=125X5X4X8X5=（125X8）X（5X5X4）=1000X100=1000003.应 用 乘 法 分 配 律。例 3 计 算 175X34+175X66(2)67 X 12+67

10、X35+67X 52+6解：式=175 X(34+66)=175X100=17500 式 二 67X(12+35+5 2+1)=67X100=6700(原 式 中 最 后 一 项 67可 看 成 67X1)例 4 计 算 123X 101 123X99解：式 二 123X(1 0 0+1)=123X100+123=12300+123=12423 式=123 X(100-1)=12300-123=121774.几 种 特 殊 因 数 的 巧 算。例 5 一 个 数 X 1 0,数 后 添 0；一 个 数 X 1 0 0,数 后 添 00；一 个 数 X 1 0 0 0,数 后 添 000；皿 匕

11、 类 推。如：15X10=15015X100=150015X1000=15000例 6 一 个 数 X 9,数 后 添 0,再 减 此 数；一 个 数 X 9 9,数 后 添 0 0,再 减 此 数；一 个 数 X 9 9 9,数 后 添 0 0 0,再 减 此 数 以 匕 类 推。如：12X9=120-12=10812X 99=1200-12=118812X999=12000-12=11988例 7 一 个 偶 数 乘 以 5,可 以 除 以 2添 上 0。如：6X5=3016X5=80116X5=580。三 年 级 奥 数 上 册：第 三 讲 上 楼 梯 问 题 第 三 讲 上 楼 梯 问

12、 题 有 这 样 一 道 题 目：如 果 每 上 一 层 楼 悌 需 要 1分 钟，那 么 从 一 层 上 到 四 层 需 要 多 少 分 钟？如 果 你 的 答 案 是 4分 钟，那 么 你 就 错 了.正 确 的 答 案 应 该 是 3分 钟。为 什 么 是 3分 钟 而 不 是 4分 钟 呢？原 来 从 一 层 上 到 四 层，只 要 上 三 层 楼 悌，而 不 是 四 层 楼 梯。下 面 我 们 来 看 几 个 类 似 的 问 题。例 1 裁 缝 有 一 段 16米 长 的 呢 子，每 天 剪 去 2米，第 几 天 剪 去 最 后 一 段？分 析 如 果 呢 子 有 2米，不 需 要

13、剪；如 果 呢 子 有 4米，第 一 天 就 可 以 剪 去 最 后 一 段，4米 里 有 2个 2米，只 用 1天；如 果 呢 子 有 6米，第 一 天 剪 去 2米，还 剩 4米，第 二 天 就 可 以 剪 去 最 后 一 段，6米 里 有 3个 2米，只 用 2天；如 果 呢 子 有 8米，第 一 天 剪 去 2米，还 剩 6米，第 二 天 再 剪 2米，还 剩 4米，这 样 第 三 天 即 可 剪 去 最 后 一 段，8米 里 有 4个 2米，用 3天，我 们 可 以 从 中 发 现 规 律：所 用 的 天 数 比 2米 的 个 数 少 1.因 此，只 要 看 16米 里 有 几 个

14、2米，问 题 就 可 以 解 决 了。解：16米 中 包 含 2米 的 个 数：16+2=8（个）剪 去 最 后 一 段 所 用 的 天 数：8-1=7（天）答：第 七 天 就 可 以 剪 去 最 后 一 段。例 2 一 根 木 料 在 24秒 内 被 切 成 了 4段，用 同 样 的 速 度 切 成 5段，需 要 多 少 秒？分 析 I 1 I把 一 根 木 料 切 成 2段,切 1次；I I I I把 一 根 木 料 切 成 3段,切 2 次；I l l i I把 一 根 木 料 切 成 4段,切 3次；可 以 从 中 发 现 规 律：切 的 次 数 总 比 切 的 段 数 少 1.因 此

15、，在 24秒 内 切 了 4段，实 际 只 切 了 3次，这 样 我 们 就 可 以 求 出 切 一 次 所 用 的 时 间 了，又 由 于 用 同 样 的 速 度 切 成 5段；实 际 上 切 了 4次，这 样 切 成 5段 所 用 的 时 间 就 可 以 求 出 来 了。解：切 一 次 所 用 的 时 间：2 4*（4-1）=8（秒）切 5段 所 用 的 时 间：8 X（5-1）=32（秒）答：用 同 样 的 速 度 切 成 5段，要 用 32秒。例 3 三 年 级 同 学 120人 排 成 4路 纵 队，也 就 是 4个 人 一 排，排 成 了 许 多 排，现 在 知 道 每 相 邻 两

16、 排 之 间 相 隔 1米，这 支 队 伍 长 多 少 米？解：因 为 每 4人 一 排，所 以 共 有：120+4=30（排）30排 中 间 共 有 29个 间 隔，所 以 队 伍 长：1X29=29（米）答：这 支 队 伍 长 29米。例 4 时 钟 4点 钟 敲 4下，12秒 钟 敲 完，那 么 6点 钟 敲 6下，几 秒 钟 敲 完？分 析 如 果 盲 目 地 计 算：12+4=3（秒），3X6=18 1秒），认 为 敲 6下 需 要 18秒 钟 就 错 了.请 看 下 图：12秒 _ 入 t t t t t t第 1下 第 2下 第 3下 第 4下 第 5下 第 6下 时 钟 敲 4

17、下，其 间 有 3个 间 隔，每 个 间 隔 是：12+3=4（秒）；时 钟 敲 6下，其 间 共 有 5个 间 隔，所 用 时 间 为：4X5=20（秒）。解：每 次 间 隔 时 间 为：1 2*（4-1）=4（秒）敲 6下 共 用 的 时 间 为:4 X（6-1）=20（秒）答：时 钟 敲 6下 共 用 20秒。例 5.某 人 要 到 一 座 高 层 楼 的 第 8层 办 事，不 巧 停 电，电 梯 停 开，如 从 1层 走 到 4层 需 要 48秒，请 问 以 同 样 的 速 度 走 到 八 层，还 需 要 多 少 秒？分 析 要 求 还 需 要 多 少 秒 才 能 到 达，必 须 先

18、求 出 上 一 层 楼 悌 需 要 几 秒，还 要 知 道 从 4楼 走 到 8楼 共 走 几 层 楼 梯.上 一 层 楼 梯 需 要：4 8-（4-1）=16（秒），从 4楼 走 到 8楼 共 走 8-4=4（层）楼 梯。到 这 里 问 题 就 可 以 解 决 了。解：上 一 层 楼 悌 需 要：48+（4-1）=16（秒）从 4楼 走 到 8楼 共 走：8-4=4（层）楼 梯 还 需 要 的 时 间：16X4=64（秒）答：还 需 要 64秒 才 能 到 达 8层。例 6 晶 晶 上 楼，从 1楼 走 到 3楼 需 要 走 36级 台 阶，如 果 各 层 楼 之 间 的 台 阶 数 相 同

19、，那 么 晶 晶 从 第 1层 走 到 第 6层 需 要 走 多 少 级 台 阶？分 析 要 求 晶 晶 从 第 1层 走 到 第 6层 需 要 走 多 少 级 台 阶，必 须 先 求 出 每 一 层 楼 梯 有 多 少 台 阶，还 要 知 道 从 一 层 走 到 6层 需 要 走 几 层 楼 梯。从 1楼 到 3楼 有 3-1=2层 楼 梯，那 么 每 一 层 楼 梯 有 36+2=18（级）台 阶，而 从 1层 走 到 6层 需 要 走 6-1=5（层）楼 梯，这 样 问 题 就 可 以 迎 刃 而 解 了。解：每 一 层 楼 悌 有：3 6-（3-1）=18（级 台 阶）晶 晶 从 1层

20、 走 到 6层 需 要 走：18X（6-1）=90（级）台 阶。答：晶 晶 从 第 1层 走 到 第 6层 需 要 走 90级 台 阶。注：例 1 例 4所 叙 述 的 问 题 虽 然 不 是 上 楼 梯，但 它 和 上 楼 梯 有 许 多 相 似 之 处，请 同 学 们 自 己 去 体 会.爬 楼 梯 问 题 的 解 题 规 律 是：所 走 的 台 阶 数;每 层 楼 梯 的 台 阶 数 X（所 到 达 的 层 数 减 起 点 的 层 数）。三 年 级 奥 数 上 册：第 四 讲 植 树 与 方 阵 问 题 第 四 讲 植 树 与 方 阵 问 题 一、植 树 问 题 要 想 了 解 植 树

21、中 的 数 学 并 学 会 怎 样 解 决 植 树 问 题，首 先 要 牢 记 三 要 素：总 路 线 长.间 距（棵 距）长.棵 数.只 要 知 道 这 三 个 要 素 中 任 意 两 个 要 素.就 可 以 求 出 第 三 个。关 于 植 树 的 路 线，有 封 闭 与 不 封 闭 两 种 路 线。1.不 封 闭 路 线 例：如 图 I l l i I I间 距 _/息 长 若 题 目 中 要 求 在 植 树 的 线 路 两 端 都 植 树，则 棵 数 比 段 数 多 1.如 上 图 把 总 长 平 均 分 成 5段，但 植 树 棵 数 是 6棵。全 长、裸 数、株 距 三 者 之 间 的

22、 关 系 是：裸 数 二 段 数+1:全 长+株 距+1全 长 二 株 距 X（裸 数-1）株 距=全 长+（裸 数-0 如 果 题 目 中 要 求 在 路 线 的 一 端 植 树，则 棵 数 就 比 在 两 端 植 树 时 的 棵 数 少 1,即 棵 数 与 段 数 相 等.全 长、裸 数、株 距 之 间 的 关 系 就 为：全 长=株 距 X棵 数；棵 数=全 长 一 株 距；株 距=全 长,棵 数。如 果 植 树 路 线 的 两 端 都 不 植 树，则 棵 数 就 比 中 还 少 1棵。例 如：在 圆、正 方 形、长 方 形、闭 合 曲 线 等 上 面 植 树，因 为 头 尾 两 端 重

23、 合 在 一 起，所 以 种 树 的 棵 数 等 于 分 成 的 段 数。如 右 图 所 示。棵 数 二 段 数=周 长+株 距.二、方 阵 问 题 学 生 排 队，士 兵 列 队，横 着 排 叫 做 行，竖 着 排 叫 做 列.如 果 行 数 与 列 数 都 相 等，则 正 好 排 成 一 个 正 方 形，这 种 图 形 就 叫 方 队，也 叫 做 方 阵（亦 叫 乘 方 问 题）。方 阵 的 基 本 特 点 是：方 阵 不 论 在 哪 一 层，每 边 上 的 人（或 物）数 量 都 相 同.每 向 里 一 层，每 边 上 的 人 数 就 少 2。每 边 人（或 物）数 和 四 周 入（或

24、物）数 的 关 系：四 周 人（或 物）数=每 边 人（或 物）数-1X 4;每 边 人（或 物）数=四 周 人（或 物）数+4+1。中 实 方 阵 总 人（或 物）数=每 边 人（或 物）数 X每 边 人（或 物）数。例 1 有 一 条 公 路 长 900米，在 公 路 的 一 侧 从 头 到 尾 每 隔 10米 栽 一 根 电 线 杆，可 栽 多 少 根 电 线 杆？分 析 要 以 两 棵 电 线 杆 之 间 的 距 离 作 为 分 段 标 准.公 路 全 长 可 分 成 若 干 段.由 于 公 路 的 两 端 都 要 求 栽 杆，所 以 电 线 杆 的 根 数 比 分 成 的 段 数 多

25、 1。解：以 10米 为 一 段，公 路 全 长 可 以 分 成 900+10=90（段）共 需 电 线 杆 根 数：90+1=91（根）答：可 栽 电 线 杆 91根。例 2 马 路 的 一 边 每 相 隔 9米 栽 有 一 棵 柳 树.张 军 乘 汽 车 5分 钟 共 看 到 501棵 树.问 汽 车 每 小 时 走 多 少 千 米？分 析 张 军 5分 钟 看 到 501棵 树 意 味 着 在 马 路 的 两 端 都 植 树 了；只 要 求 出 这 段 路 的 长 度 就 容 易 求 出 汽 车 速 度.解：5分 钟 汽 车 共 走 了：9 X（501-1）=4500（米）,汽 车 每

26、分 钟 走：4500+5=900（米），汽 车 每 小 时 走：900X60=54000（米）=54（千 米）列 综 合 式：9 X（501-1）*5X60*1000=54（千 米）答：汽 车 每 小 时 行 54千 米。例 3 某 校 五 年 级 学 生 排 成 一 个 方 阵，最 外 一 层 的 人 数 为 60人.问 方 阵 外 层 每 边 有 多 少 人？这 个 方 阵 共 有 五 年 级 学 生 多 少 人？分 析 根 据 四 周 人 数 和 每 边 人 数 的 关 系 可 以 知：每 边 人 数=四 周 人 数+4+1,可 以 求 出 方 阵 最 外 层 每 边 人 数，那 么 整

27、 个 方 阵 队 列 的 总 人 数 就 可 以 求 了。解：方 阵 最 外 层 每 边 人 数：60+4+1=16（人）整 个 方 阵 共 有 学 生 人 数：16X16=256（人）答：方 阵 最 外 层 每 边 有 16人，此 方 阵 中 共 有 256人。例 4 晶 晶 用 围 棋 子 摆 成 一 个 三 层 空 心 方 阵，最 外 一 层 每 边 有 围 模 子 14个.晶 晶 摆 这 个 方 阵 共 用 围 棋 子 多 少 个？分 析 方 阵 每 向 里 面 一 层，每 边 的 个 数 就 减 少 2个.知 道 最 外 面 一 层 每 边 放 14个，就 可 以 求 第 二 层 及

28、 第 三 层 每 边 个 数.知 道 各 层 每 边 的 个 数，就 可 以 求 出 各 层 总 数。解：最 外 边 一 层 棋 子 个 数：（14-1）X 4=52（个）第 二 层 棋 子 个 数：（14-2-1）X 4=44（个）第 三 层 模 子 个 数：（14-2X2-1）X4=36（个）.摆 这 个 方 阵 共 用 棋 子：52+44+36=132（个）还 可 以 这 样 想：中 空 方 阵 总 个 数=（每 边 个 数 一 层 数）X层 数 X 4进 行 计 算。解：（14-3）X 3X4=132（个）答：摆 这 个 方 阵 共 需 132个 围 棋 子。例 5 一 个 圆 形 花

29、 坛，周 长 是 180米.每 隔 6米 种 一 棵 芍 药 花，每 相 邻 的 两 棵 芍 药 花 之 间 均 匀 地 栽 两 棵 月 季 花.问 可 栽 多 少 棵 芍 药？多 少 裸 月 季？两 棵 月 季 之 间 的 株 距 是 多 少 米？分 析 在 圆 形 花 坛 上 栽 花，是 封 闭 路 线 问 题，其 株 数 二 段 数.由 于 相 邻 的 两 棵 芍 药 花 之 间 等 距 的 栽 有 两 棵 月 季，则 每 6米 之 中 共 有 3棵 花，且 月 季 花 棵 数 是 芍 药 的 2倍。解：共 可 栽 芍 药 花：180+6=30（裸）共 种 月 季 花：2X 30=60（

30、裸）两 种 花 共：30+60=90（棵）两 棵 花 之 间 距 离：180+90=2（米）相 邻 的 花 或 者 都 是 月 季 花 或 者 一 棵 是 月 季 花 另 一 棵 是 芍 药 花，所 以 月 季 花 的 株 距 是 2米 或 4米。答：种 芍 药 花 30棵，月 季 花 60棵，两 棵 月 季 花 之 间 距 离 为 2米 或 4米。例 6 一 个 街 心 花 园 如 右 图 所 示.它 由 四 个 大 小 相 等 的 等 边 三 角 形 组 成.已 知 从 每 个 小 三 角 形 的 顶 点 开 始，到 下 一 个 顶 点 均 匀 栽 有 9棵 花.问 大 三 角 形 边 上

31、 栽 有 多 少 裸 花？整 个 花 园 中 共 栽 多 少 棵 花？分 析 从 已 知 条 件 中 可 以 知 道 大 三 角 形 的 边 长 是 小 三 角 形 边 长 的 2倍.又 知 道 每 个 小 三 角 形 的 边 上 均 匀 栽 9株，则 大 三 角 形 边 上 栽 的 棵 数 为 9X2-1=17（棵）。又 知 道 这 个 大 三 角 形 三 个 顶 点 上 栽 的 一 棵 花 是 相 邻 的 两 条 边 公 有 的，所 以 大 三 角 形 三 条 边 上 共 栽 花（17-1）X3=48（棵）。.再 看 图 中 画 斜 线 的 小 三 角 形 三 个 顶 点 正 好 在 大

32、三 角 形 的 边 上.在 计 算 大 三 角 形 栽 花 棵 数 时 已 经 计 算 过 一 次，所 以 小 三 角 形 每 条 边 上 栽 花 裸 数 为 9-2=7（棵）解：大 三 角 形 三 条 边 上 共 栽 花：（9X 2-1-1）X3=48（棵）中 间 画 斜 线 小 三 角 形 三 条 边 上 栽 花：（9-2）X3=21（棵）整 个 花 坛 共 栽 花：48+21=69（裸）答：大 三 角 形 边 上 共 栽 花 48棵，整 个 花 坛 共 栽 花 69棵。三 年 级 奥 数 上 册：第 五 讲 找 几 何 图 形 的 规 律 第 五 讲 找 几 何 图 形 的 规 律 找

33、规 律 是 解 决 数 学 问 题 的 一 种 重 要 的 手 段，而 规 律 的 找 寻 既 需 要 敏 锐 的 观 察 力，又 需 要 严 密 的 逻 辑 推 理 能 力.为 培 养 这 方 面 的 能 力，本 讲 将 从 几 何 图 形 的 问 题 入 手，逐 步 分 析 应 从 哪 些 方 面 来 观 察 思 考。因 此，学 习 本 讲 的 知 识 有 助 于 养 成 全 面 地、由 浅 入 深、由 简 到 繁 观 察 思 考 问 题 的 良 好 习 惯，可 以 逐 步 掌 握 通 过 观 察 发 现 规 律 并 利 用 规 律 来 解 决 问 题 的 方 法。下 面 就 来 看 几

34、个 例 子。图 5-1?例 1 按 顺 序 观 察 图 51与 图 52中 图 形 的 变 化，想 一 想，按 图 形 的 变 化 规 律,在 带“？”的 空 格 处 应 画 什 么 样 的 图 形？分 析 观 察 中，注 意 到 图 51中 每 行 三 角 形 的 个 数 依 次 减 少，而 正 方 形 的 个 数 依 次 增 多，且 三 角 形 的 个 数 按 4、3、X、1的 顺 序 变 化.显 然 啦 等 于 2；图 52中 黑 点 的 个 数 从 左 到 右 逐 次 增 多，且 每 一 格（第 一 格 除 外）比 前 面 的 一 格 多 两 个 点.事 实 上，本 题 中 几 何 图

35、 形 的 变 化 仅 表 现 在 数 量 关 系 上，是 一 种 较 为 基 本 的、简 单 的 变 化 模 式。(a)(b)(c)(d)(e)图 5-2解：在 图 5-1的“？”处 应 是 三 角 形,在 图 52的“？”处 应 是 i.例 2 请 观 察 右 图 中 己 有 的 几 个 图 形，并 按 规 律 填 出 空 白 处 的 图 形。分 析 首 先 可 以 看 出 图 形 的 第 一 行、第 二 列 都 是 由 一 个 圆、一 个 三 角 形 和 一 个 正 方 形 所 组 成 的；其 次，在 所 给 出 的 图 形 中，我 们 发 现 各 行、各 列 均 没 有 重 复 的 图

36、形，而 且 所 给 出 的 图 形 中，只 有 圆、三 角 形 和 正 方 形 三 种 图 形.由 此，我 们 知 道 这 个 图 的 特 点 是：仅 由 圆、三 角 形、正 方 形 组 成；各 行 各 列 中，都 只 有 一 个 圆、一 个 三 角 形 和 一 个 正 方 形。因 此，根 据 不 重 不 漏 的 原 则，在 第 二 行 的 空 格 中 应 填 一 个 三 角 形，而 第 三 行 的 空 格 中 应 填 一 个 正 方 形。解 略。例 3 按 顺 序 观 察 下 图 中 图 形 的 变 化 规 律，并 在“？”处 填 上 合 适 的 图 形.S S（a）（b）（c）（d）分 析

37、 显 然，图（a）、图（b）中 都 是 圆，而 图（c）中 却 不 是 圆；同 时，图（a）、（c）中 都 有 3个 图 形，而（b）中 只 有 两 个.由 此 可 知：图（a）到（b）的 变 化 规 律 对 应 于 图（c）到（d）的 变 化 规 律.再 注 意 到 图（a）到 图（b）中 图 形 在 繁 简、多 少、位 置 几 方 面 的 变 化，就 容 易 得 到 图（d）中 的 图 形 了。解：在 上 图 的“？”处 应 填 如 下 图 形.例 4 下 图 中 的 图 形 是 按 一 定 规 律 排 列 的，请 仔 细 观 察，并 在“？”处 填 上 适 当 的 图 形.囚？(a)(c

38、)A(d)(e)o?A(g)分 析 本 题 中，首 先 可 以 注 意 到 每 个 图 形 都 由 大、小 两 部 分 组 成，而 且，大、小 图 形 都 是 由 正 方 形、三 角 形 和 圆 形 组 成，图 中 的 任 意 两 个 图 形 均 不 相 同.因 此，我 们 不 妨 试 着 把 大、小 图 形 分 开 来 考 虑，再 一 次 观 察 后 我 们 可 以 发 现：对 于 大 图 形 来 说，每 行 每 列 的 图 形 决 不 重 复。因 此，每 行 每 列 都 只 有 一 个 大 正 方 形，一 个 大 三 角 形 和 一 个 大 圆，对 于 小 图 形 也 是 如 此，这 样，

39、“？”处 的 图 形 就 不 难 得 出。解：图 中，(b)、(f)、(h)处 的 图 形 分 别 应 填 下 面 的 图 甲、图 乙、图 丙.甲 乙 丙 小 结：对 于 较 复 杂 的 图 形 来 说，有 时 候 需 要 把 图 形 分 开 几 部 分 来 单 独 考 虑 其 变 化 规 律，从 而 把 复 杂 问 题 简 单 化。例 5 观 察 下 列 各 组 图 的 变 化 规 律，并 在“？”处 画 出 相 关 的 图 形.)P 00 0 I ON甲 乙 o|口 丙 丁 分 析 我 们 先 来 看 这 样 两 个 图:B AD C（甲）（乙）（甲）图 与（乙）图 中，点 A、B、C、D

40、的 顺 序 和 距 离 都 没 有 改 变，只 是 每 个 点 的 位 置 发 生 了 变 化，如：甲 图 中，A在 左 方；而 乙 图 中，A在 上 方，我 们 把 这 样 一 种 位 置 的 变 化 称 为 图 形 的 旋 转，乙 图 可 以 看 作 是 甲 图 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 J 个 圆（或 90）而 得 到 的，甲 图 也 可 以 看 作 是 由 乙 图 沿 逆 时 针 方 向 旋 转 9 个 圆（90）而 得 到 的.同 样 的 道 理，我 们 可 以 把 噩 到 噩 的 位 置 变 化 也 称 为 旋 转，叫 做 沿 J I 质 时 针 方 向 旋 转 90（或 一

41、 格）。现 在 我 们 再 回 到 题 目 上 来，容 易 看 出：例 5题 中 按（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）顺 序 排 列 的 9个 图 形，它 们 的 变 化 规 律 是：每 一 个 图 形（璇 外）都 是 由 其 前 一 个 图 形 逆 时 针 旋 转 90而 得 到 的.甲 乙 丙 丁 四 个 图 形 变 化 规 律 也 类 似。解：图（i）处 的 图 形 应 是 下 面 左 图，丁 图 处 的 图 形 应 是 下 面 右 图(a)(b)注 意：因 为 图 形 是 由 旋 转 而 得 到 的，所 以 其 中 三 角 形、菱 形 的 方 向 随

42、 旋 转 而 变 化，作 图 的 时 候 要 注 意 到 这 一 点。旋 转 是 数 学 中 的 重 要 概 念，掌 握 好 这 个 概 念，可 以 提 高 观 察 能 力，加 快 解 题 速 度，对 于 许 多 问 题 的 解 决，也 有 事 半 而 功 倍 的 效 果。下 面 再 来 看 几 个 例 子：例 6 仔 细 观 察 下 图 中 图 形 的 变 化 规 律，并 在“？”处 填 入 合 适 的 图 形.0 a z i a?力 分 析 显 然，图（a）、（b）的 变 化 规 律 对 应 于 图（c）的 变 化 规 律；图（d）、（e）的 变 化 规 律 也 对 应 于 图（f）的 变

43、 化 规 律，我 们 先 来 观 察（a）、（b）两 组 图 形，发 现 在 形 状、位 置 方 面 都 发 生 了 变 化，即 把 圆 变 为 它 的 一 半 一 一 半 圆，把 三 角 形 也 变 为 它 的 一 半 一 一 直 角 三 角 形；同 时，变 化 后 图 形 的 位 置 相 当 于 把 原 图 形 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 9 0 而 得 到.因 此，我 们 很 容 易 地 就 把 图（c）中 的 直 角 梯 形 还 原 为 等 腰 梯 形 并 通 过 逆 时 针 旋 转 而 得 到 图（c）“？”处 的 图 形。当 我 们 从 左 到 右 来 观 察 图（d）、（e）

44、的 变 化 规 律 时，我 们 发 现，图（d）、（e）的 变 化 规 律 有 与 图（a）、（b）相 同 的 一 面，即 都 是 把 一 个 图 形 变 为 自 身 的 一 半，但 也 有 与 图（a）、（b）不 同 的 一 面，即 图（d）、（e）中 右 半 部 分 的 图 形 无 法 通 过 旋 转 原 图 来 得 到，只 能 通 过 上 下 翻 转 而 获 得.这 样，我 们 就 得 到 了 这 些 图 形 的 变 化 规 律。解：图（c）中“？”处 的 图 形 应 是 下 面 甲 图，图（f）中“？”处 的 图 形 应 是 Z 图.甲 乙 小 结：本 题 是 一 道 较 为 复 杂

45、的 题，观 察 的 出 发 点 主 要 有 3点：形 状 变 化；位 置 变 化；颜 色 变 化。例 7 四 个 小 动 物 排 座 位，一 开 始，小 鼠 坐 在 第 1号 位 子 上，小 猴 坐 在 第 2号，小 兔 坐 在 第 3号，小 猫 坐 在 第 4号.以 后 它 们 不 停 地 交 换 位 子，第 一 次 上 下 两 排 交 换.第 二 次 是 在 第 一 次 交 换 后 左 右 两 列 交 换，第 三 次 再 上 下 两 排 交 换，第 四 次 再 左 右 两 列 交 换 这 样 一 直 换 下 去.问：第 十 次 交 换 位 子 后，小 兔 坐 在 第 几 号 位 子 上？（

46、参 看 下 图）1 2鼠 猴 3 4兔 猫 位 子 图 开 始 第 一 次 第 二 次 第 十 次 分 析 这 是“华 罗 庚 金 杯”第 二 届 初 赛 的 一 道 试 题，如 果 有 充 裕 的 时 间，我 们 当 然 可 以 把 十 次 变 化 的 图 都 画 出 来，从 而 得 到 答 案.10并 不 是 一 个 很 大 的 数 字，因 此 这 样 的 方 法 虽 然 麻 烦，却 也 是 行 之 有 效 的.然 而，在 初 赛 中，本 题 的 思 考 时 间 只 有 30秒，不 可 能 一 步 步 把 图 画 出 来，这 就 要 求 我 们 仔 细 观 察，认 真 思 考，找 出 规

47、律 再 做 题。方 法 1：因 为 题 目 中 间 的 只 是 第 十 次 交 换 位 子 后，小 兔 的 位 子 是 几.因 此，我 们 只 需 考 虑 小 兔 的 位 子 变 化 规 律，小 兔 刚 开 始 时 在 3号 位 子，记 为，则 变 化 过 程 为：一 次 二 次 三 次 四 次 f 容 易 看 出，每 一 次 交 换 座 位，小 兔 的 座 位 按 顺 时 针 方 向 转 动 一 格，每 四 次 交 换 座 位 后，小 兔 又 回 到 原 处，知 道 了 这 个 规 律，就 不 难 得 出 答 案.即 10次 后，小 兔 到 了 第 2号 位 子。方 法 2：受 方 法 一

48、的 启 示，我 们 可 以 思 考，其 他 小 动 物 的 变 化 规 律 怎 样？四 个 小 动 物 的 整 体 变 化 规 律 又 怎 样 呢？事 实 上，当 我 们 仔 细 观 察 示 意 图 时 会 发 现，开 始 的 图 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 两 格（即 180）时，恰 得 到 第 二 次 交 换 位 子 后 的 图，由 此 可 以 知 道，每 一 次 上 下 交 换 后 再 一 次 左 右 交 换 的 结 果 就 相 当 于 把 原 图 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 180。，第 十 次 交 换 位 子 后，相 当 于 是 这 些 小 动 物 沿 顺 时 针 方 向 转

49、 了 4圈 半，这 样，我 们 就 得 到 了 小 兔 的 位 子 及 它 们 的 整 体 变 化 规 律.但 其 中 需 注 意 一 点 的 是：单 独 一 次 上 下（或 左 右）的 交 换 与 旋 转 9 0 得 到 的 结 果 是 不 同 的.小 猫、小 鼠 的 位 子 变 化 规 律 是 沿 逆 时 针 方 向，而 小 猴 的 位 子 变 化 规 律 与 小 兔 相 似。解：第 十 次 交 换 位 子 后，小 兔 到 了 2号 位 子。例 8 将 A、B、C,D,E、F六 个 字 母 分 别 写 在 正 方 体 的 六 个 面 上，从 下 面 三 种 不 同 摆 法 中 判 断 这

50、个 正 方 体 中，哪 些 字 母 分 别 写 在 相 对 的 面 上。&S(a)(b)(c)分 析 本 题 所 给 的 是 一 组 立 体 几 何 图 形.但 是，我 们 注 意 到：由 于 图（a）、（b）,（c）都 是 同 一 个 正 方 体 的 不 同 摆 法，所 以，（a）、（b）、（c）可 以 通 过 旋 转 来 互 相 转 化，这 三 个 图 形 中，字 母 C所 在 的 一 面 始 终 不 改 变 位 置.因 此，这 三 个 图 形 的 转 化 只 能 是 前 后 转 动.把 图（a）向 后 翻 转 一 次（90。）得 图（b）,由 此 可 知，字 母 A的 对 面 是 D,把