2023艺术生新高考数学讲义 第20讲 三角函数公式（学生版+解析版）.pdf

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1、第 2 0讲 三 角 函 数 公 式【知 识 点 总 结】1.任 意 角(1)角 的 概 念 角 可 以 看 成 平 面 内 一 条 射 线 绕 着 端 点 从 一 个 位 置 旋 转 到 另 一 个 位 置 所 成 的 图 形.(2)正 角、负 角、零 角 按 逆 时 针 方 向 旋 转 所 成 的 角 叫 正 角；按 顺 时 针 方 向 旋 转 所 成 的 角 叫 负 角；一 条 射 线 没 有 作 任 何 旋 转 而 形 成 的 角 叫 零 角.(3)象 限 角 当 角 的 顶 点 与 坐 标 原 点 重 合，角 的 始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，那 么 角 的 终 边

2、(除 端 点 外)在 第 几 象 限,就 说 这 个 角 是 第 几 象 限 角.如 果 角 的 终 边 落 在 坐 标 轴 上，这 时 这 个 角 不 属 于 任 何 象 限.(4)终 边 相 同 的 角 所 有 与 角 a 终 边 相 同 的 角，连 同 角 a 在 内，可 构 成 一 个 集 合 S=/3j3=a+k-36D0,keZ2.弧 度 制(1)弧 度 的 概 念 长 度 等 于 半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1弧 度 的 角.在 半 径 为 r 的 圆 中，弧 长 为/的 弧 所 对 的 圆 心 角 为 a r a d,那 么 M=7-正 角 的 弧

3、度 数 是 一 个 正 数，负 角 的 弧 度 数 是 一 个 负 数，零 角 的 弧 度 数 是 0.(2)弧 度 与 角 度 的 换 算(3)关 于 扇 形 的 几 个 公 式 设 扇 形 的 圆 心 角 为 a(rad),半 径 为 R,弧 长 为/,则 有 l=a R；S-a R S=L R.2 23.三 角 函 数 的 概 念(1)三 角 函 数 的 定 义 已 知 角 a 终 边 上 的 任 一 点 P(x,y)(非 原 点 O),则 P 到 原 点 O 的 距 离 r=|OP|=J f+y 0.y x Vsina=,cosa=,tana=.r r x(2)几 个 特 殊 角 的

4、三 角 函 数 值 0,T T一，兀，的 三 角 函 数 值 如 下 表 所 示:2 2(3)三 角 函 数 值 的 符 号 函 数 0兀 7T3万 Tsin a 0 1 0-1cos a1 0-1 0tana 0 不 存 在 0 不 存 在(4)诱 导 公 式(一)终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值 相 等.sin(cf+k-24)=sin 二，cos(a+k 2乃)=cos a，tan(a+k 2乃)=tan a,其 中 左 wZ.4.同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系(1)平 方 关 系(2)商 数 关 系.2 2sm-a+cos a=.sin atan

5、a=-cos a作 用：(1)已 知 a 的 某 一 个 三 角 函 数 值,(2)化 简 三 角 函 数 式；(3)证 明 三 角 函 数 恒 等 式.5.诱 导 公 式(1)公 式 二 求 其 余 的 两 个 三 角 函 数 值;sin(乃+a)=-sina,cos(7+a)=-cos a，tan r+a)=tan a.(2)公 式 三 sin(a)=-sin a，cos(-cr)=cos a,tan(-a)=-tan c r.(3)公 式 四 sin(4一 a)=sin a，cos(-a)=-c o sa,tan(乃 一 a)=tan a.(4)公 式 五 s in g-a)=cos a

6、,c o s(-or)=s m a.(5)公 式 六 sin(+6 Z)=cosa,z7 C、.cos(+7)=-Sin(Z.6.常 用 三 角 恒 等 变 形 公 式 和 角 公 式 sin(a+万)=sin a cos/3+cosa sin(3cos(a+/?)=cos a cos J3-sin a sin/?/八、tan a+tan tan(a+,)=-1-tan cr tan/?差 角 公 式 sin(o-/7)=sin a cos-cosa sin/?cos(tz-P)=cos a cos 4+sin a sin ft/0、tan a _ tan tan(or-/5)=-1+tan

7、a tan/3倍 角 公 式 sin 2a=2 sin a cos acos 2a cos2 a-sin?a=2 cos2 a-l=l-2 sin2 atan 2 a-2 tan a1-ta n2 a降 次（塞）公 式.1.c.2 1-co s 2 a 7 1+cos 2as in。cos a=-sin 2 2;sm-a=-;cos a=-2 2 2半 角 公 式 a sin a l-c o s atun=-=；-.2 1+cos a sin a辅 助 角 公 式 I-ba s in a+Z?cosa=yja1+/?2 sin（a+）,ta n=（出?w 0）,角。的 终 边 过 点（为），特

8、 殊 地，若 a_ _ ba s in a+/?c o s a=J 2+2 或 一，+/，则 ta n a=,【典 型 例 题】例 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆 锥 的 侧 面 积（单 位：cm2）为 2万，且 它 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆，则 这 个 圆 锥 的 底 面 半 径（单 位：cm?）是（）A.2 B.1C-D-2 33例 2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 角 0 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 为 x 轴 的 非 负 半 轴，且 cos夕=g,若 点 M（x,8）是 角。终 边 上 一 点，则 x 等 于

9、（）A.-1 2 B.-1 0 C.-8 D.-6例 3.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a,夕（；,-）,若 sin（a+g）=,cos（/?）=,则 sin（a3 6 6 5 6 13一）的 值 为（）16 33-56 r 63A.B.C.D.65 65 65 65（多 选 题）例 4.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 cos（a+）=-无，cos2a=-,其 中 a,夕 为 锐 5 13角，以 下 判 断 正 确 的 是（）A.sin2a=B.cos（a-y5）=/513 658/j C.coscosy9=A/5 D.tanatan/7=65 8（多 选

10、 题）例 5.（2022江 苏 高 三 专 题 练 习）下 列 说 法 正 确 的 是（）A.sinl50+cosl5=V2sin600B.sin(a4-/?-1 5o)=s in(a-1 5o)cos/?+cos(6Z-15)sin/?C.cos(+/7)=cos a cos/?+sin nr sin 3D.ta n(a-4)=tan a+tan 1-tan a tan(JTT例 6.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a e（0,y）,代 R、7/2 o 2A/5兀，-)，s in a=-,cosp=-2 10 5则 a+2/i的 值 为 例 7.（2022 全 国 高 三

11、 专 题 练 习）若 a cosa+y=-|,贝 ijsin a=例 8.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）若 ta n a=2,则 空 土！的 值 为.sin 2a例 9.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 COS（=T）=g,则 sin2v=_.4 5【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）将 手 表 的 分 针 拨 快 10分 钟，则 分 针 在 旋 转 过 程 中 形 成 的 角 的 弧 度 数 是（）7 C 7 1 7 1 4A.-B.C.D.6 3 6 32.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）与

12、角 2021。终 边 相 同 的 角 是（）A.221 B.-2021 C.-221 D.13997r3.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）与 角 的 终 边 相 同 的 角 的 表 达 式 中，正 确 的 是（）497rA.2k7r+45,k e Z B.k,360 H-,k E Z457rC.A:-360-3 1 5,k e Z D.k7t+,k e Z4ry4.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）角 a 的 终 边 属 于 第 一 象 限，那 么?的 终 边 不 可 能 属 于 的 象 限 是（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象

13、限 ct5.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 角 a 的 终 边 与 240。角 的 终 边 相 同，则 角 的 终 边 所 在 象 限 是（）A.第 二 或 第 四 象 限 B.第 二 或 第 三 象 限 C.第 一 或 第 四 象 限 D.第 三 或 第 四 象 限6.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）中 国 传 统 扇 文 化 有 着 深 厚 的 底 蕴，一 般 情 况 下，折 扇 可 以 看 做 是 从 一 个 圆 形 中 前 下 的 扇 形 制 作 而 成 的，当 折 扇 所 在 扇 形 的 弧 长 与 折 扇 所 在 扇 形 的 周 长 的 比 值 为 叵 1

14、时，折 扇 的 外 2观 看 上 去 是 比 较 美 观 的，则 此 时 折 扇 所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 为（）A.石+1 B.与 1 C.与 1 D-87.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图 所 示，扇 环 A3C。的 两 条 弧 长 分 别 是 4 和 1 0,两 条 直 边 A Q与 的 长 都 是 3,则 此 扇 环 的 面 积 为（）C.42 D.218.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）刘 徽（约 公 元 225年-295年），魏 晋 时 期 伟 大 的 数 学 家，中 国 古 代 数 学 理 论 的 奠 基 人 之 一.他 在 割

15、圆 术 中 提 出 的“割 之 弥 细，所 失 弥 少，割 之 又 割，以 至 于 不 可 割，则 与 圆 周 合 体 而 无 所 失 矣”，这 可 视 为 中 国 古 代 极 限 观 念 的 重 要 阐 释.割 圆 术 的 核 心 思 想 是 将 一 个 圆 的 内 接 正”边 形 等 分 成”个 等 腰 三 角 形，当”变 得 很 大 时，这 些 等 腰 三 角 形 的 面 积 之 和 近 似 等 于 圆 的 面 积.运 用 割 圆 术 的 思 想，得 到 sin 1。的 近 似 值 为()冗 e 4A.B.-90 180r 冗 D.-3609.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）在

16、 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中）,角 a 以 x 轴 的 非 负 半 轴 为 始 边，且 点（-1,立）在 角 a 的 终 边 上，贝 l j c o s a=（）A.一 且 B,昱 3 3C.-3D.正 310.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 点 尸（1,2夜）是 角 a 终 边 上 一 点，则 cos（专-a）等 于（)A 2 忘+6 口 2-5/6A.-t.-6 6 3+aL-6D.611.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）已 知 角 a 终 边 经 过 点 P（-3,y）,且 tana=；,则 cos a=()3 3A.-B.i 5 5-ID.12.（

17、2022 上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 点 尸（ta n a,s in e）在 第 三 象 限，则 角 a 在（)A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 3 313.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 sin a=-g,若 乃 则 t a n a的 值 为（）.3 4 3 4A.-B.-C.D.4 3 4 314.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知&s i n a+cosa=6,贝 U c o s 2 a=（）1A.3B-1C.2D.I15.（2021黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 阶 段 练 习（文）

18、已 知 tan=2,则 一 r?万 的 值 为（）sin 一 一 cos 03 2 5A.-B.-C.D.24 3 316.（2020西 藏 山 南 市 第 三 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习（理）已 知 s in a-c o s a=，则 s in 2 a的 值 为（3)2 2 黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 期 中（文）设 c s i n a+8 s a=9 则 需?的 值 为（）-1 2-2 1A.-B.C.-D.3 3 3 317.(2020山 东 高 三 专 题 练 习)若 sin a+cosa=L O v a v j r,则 sin2a+c o s 2 a=(3).

19、A-8-x/1 7 d-8 土 历 g-8+V17 8+V nA.-D.-C.-D.-9 9 9 918.（2020湖 南 衡 阳 市 八 中 高 三 阶 段 练 习（理）若 s山 e+c o s G：,则 s山 2月（）A.2 B.2 c.U D.U25 50 25 50J T 319.（2021山 西 吕 梁 学 院 附 属 高 级 中 学 高 三 期 中（文）若 cos（7-a）=；,4 5则 sin 2 a=()A24 7 p 24 n 725 25 25 2520.(2021 河 南 高 三 阶 段 练 习(理)已 知 sinO+cosO=#,则 tan9+tan(A.T B.-C.

20、D.-7 7 18 9/卜()22.（2021新 疆 昌 吉 模 拟 预 测（理）已 知 6 s in a a n a=5,则 cos2a+ta i?a=（）A.3172D 36B.417D.413623.（2022江 苏 高 三 专 题 练 习）已 知 s in a-3 c o s a=0,则-:=（sin a+cos a）24.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）已 知 t a n a=2,则 3 s i n a c o s a=（4 5 3A.-B.7 10-6 c 8C.-D.-5 525.（2021 云 南 师 大 附 中 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 sin e-2 c

21、o s=0,3A.3 B.-C.-D.-2 226.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）若 cos（a-则 s in 2 a=（2 2A.B.3 3C.-D.3 327.（2022全 国 福 三 专 题 练 习）化 简：g a）-a）s g+cos（-a-4）sin（一 4-a）A.-2 B.-1 C.1 D.2328.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a,分 为 锐 角，tan a=-,cos（a+/A 54 c-2九 A.B.%C.D.-6 3:29.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）若 0 力 1，且 sina=巫,cos2 10A.立 B.C.D.-1

22、0 5 4I T30.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 tan（a+）=2,贝 i j t a n a=（41 1 八 4A.-B.C.D.3 3 331.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 角。满 足 sin%o s6（sine+cos6）A.y B.C.-D.-2 2 2)则 s i n s 喂+，()sin。-1)吗 上 的 值 为()。=一,贝 iJ2a+4 的 值 为()r)=冬 则 c o s/=()/22)43等 则 t a n e.孙()132.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 a w。,?，1+cos 2a=/s i n 2 a

23、,则 ta n a=()A.5 tR.12 cr.5 un.i12 13 13 233.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 2cos2a=s in?+a）,则 s in 2 a的 值 为（）7 7 1 1A.-B.C.-D.8 8 8 834.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）sin 18 cos36。的 值 为（）A.-B.C.-D.14 2 435.（2021.广 东.模 拟 预 测）若=则 cos+2 a）=（）1 1 7 7A.B.-C.D.一 8 8 8 836.（2021河 南 温 县 第 一 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习（文）若 ta n a+|=-；

24、则 cos（2 a-f=（）A 56-56A.B.-65 65C,竺 65c 28D.一 6537.（2021全 国 高 三 阶 段 练 习（文）已 知 sin(?-f H,则$山+。=0,c o s 6 0,则。为 第 二 象 限 角D.若。为 第 二 象 限 角，则？为 第 一 或 第 三 象 限 角 41.（2022江 苏 高 三 专 题 练 习）已 知 扇 形 的 周 长 是 1 2,面 积 是 8,则 扇 形 的 中 心 角 的 弧 度 数 可 能 是（）A.1 B.4 C.2 D.2 或 442.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 扇 形 的 周 长 是 6c加，面

25、 积 是 2 c/,下 列 选 项 正 确 的 有（）A.圆 的 半 径 为 2 B.圆 的 半 径 为 1C.圆 心 角 的 弧 度 数 是 1 D,圆 心 角 的 弧 度 数 是 243.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）己 知 a,B,/e（0,）,sin cr+sin/=sin y?,cos/?+c o s/=coscr,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.c o s(/?-a)=g B.cos(4 一 a)=gC.=-y D.p-a-44.（2021.辽 宁 沈 阳 高 三 阶 段 练 习）已 知。（0,兀），sin9+cose=（,则 下 列 结 论 正 确 的 是

26、（）A.B.cos=|3 7C.tan6=D.sin 6-c o s6=一 4 545.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）下 列 式 子 正 确 的 是（）A.sinl5+cosl5=B.cos75=遥+应 2 4C.26 tan 15+tan?15=1D.tan 120+tan330+tan 12tan33=1三、填 空 题 46.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）若 一 个 扇 形 的 周 长 是 4 为 定 值，则 当 该 扇 形 面 积 最 大 时，其 圆 心 角 的 弧 度 数 是 47.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 扇 形 的 周 长 为 4

27、c m,当 它 的 半 径 为 c m和 圆 心 角 为 弧 度 时，扇 形 面 积 最 大，这 个 最 大 面 积 是 cm2.48.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a e（-g,；r）,且 3 c o s2 a+8 sin a+5=0,则 ta n c=_.49.（2021 河 南 模 拟 预 测（文）已 知 ta n a=2,则 s i n&o s c+c o s a+Zsin j3 cos a-s in a50.（2020山 西 应 县 一 中 高 三 开 学 考 试（文）已 知 2 sin a+coso=-,则 t a n a=.51.（2022全 国 高 三 专

28、题 练 习）已 知 sin a+cosa=g,若 a 是 第 二 象 限 角，则 s i n a-c o s a的 值 为52.（2021.山 东 师 范 大 学 附 中 高 三 阶 段 练 习）已 知 呵 6-向=3呵 9-高，则 tan28=53.（2022全 国 福 三 专 题 练 习）已 知 t a n a=-2,贝 人 皿 2 0+8$2夕 的 值 为 54.（2021河 南 模 拟 预 测（理）已 知 a 为 第 四 象 限 角，且 cosa=,则 0 s m（。-/二 5-;）一 cos-sin-a55.（2022全 国 模 拟 预 测）已 知 sin（a+二）=-2，则 cos

29、（W-a=.56.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 a e（O，若 sin（a-?J=g,贝 ijcos（2a+?57.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 cos，=,，e（0）,则 s in g+与=Z D I N 乙）T T58.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 cos（6+）=l,则 cos，=.59.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)(tan30o+tan70o)sinl()=60.（2021.黑 龙 江 哈 尔 滨 三 中 高 三 期 中（理）已 知 8 s（工 f 卜 g,贝 人 由（+0 b in（与+2a6 1.（202 北 京

30、市 第 三 中 学 高 三 期 中）已 知 明 4 都 是 锐 角，若 而&=苴，5m=巫，则“+夕=_5 1062.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 t a n a,t a n/是 方 程 Y+36*+4=0的 两 根，且 氏/寸,万 卜 则 a+6 的 值 为.四、解 答 题 63.（2022全 国 局 二 专 题 练 习）已 知 a、/e（亍，TI）,sin（z+y3）=,sin（/?一）=,求 cos（c+i）的 值.第 2 0讲 三 角 函 数 公 式【知 识 点 总 结】1.任 意 角(1)角 的 概 念 角 可 以 看 成 平 面 内 一 条 射 线 绕 着 端

31、点 从 一 个 位 置 旋 转 到 另 一 个 位 置 所 成 的 图 形.(2)正 角、负 角、零 角 按 逆 时 针 方 向 旋 转 所 成 的 角 叫 正 角；按 顺 时 针 方 向 旋 转 所 成 的 角 叫 负 角；一 条 射 线 没 有 作 任 何 旋 转 而 形 成 的 角 叫 零 角.(3)象 限 角 当 角 的 顶 点 与 坐 标 原 点 重 合，角 的 始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合，那 么 角 的 终 边(除 端 点 外)在 第 几 象 限,就 说 这 个 角 是 第 几 象 限 角.如 果 角 的 终 边 落 在 坐 标 轴 上，这 时 这 个 角 不

32、属 于 任 何 象 限.(4)终 边 相 同 的 角 所 有 与 角 a 终 边 相 同 的 角，连 同 角 a 在 内，可 构 成 一 个 集 合 S=/3j3=a+k-36D0,keZ2.弧 度 制(1)弧 度 的 概 念 长 度 等 于 半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1 弧 度 的 角.在 半 径 为 r 的 圆 中，弧 长 为/的 弧 所 对 的 圆 心 角 为 a r a d,那 么 M=7-正 角 的 弧 度 数 是 一 个 正 数，负 角 的 弧 度 数 是 一 个 负 数，零 角 的 弧 度 数 是 0.(2)弧 度 与 角 度 的 换 算(3)关 于

33、 扇 形 的 几 个 公 式 设 扇 形 的 圆 心 角 为 a(rad),半 径 为 R,弧 长 为/,则 有 1,1 l=a R；S=a W；、/R.2 23.三 角 函 数 的 概 念(1)三 角 函 数 的 定 义 已 知 角 a 终 边 上 的 任 一 点 P(x,y)(非 原 点 O),贝 ij P 到 原 点 O 的 距 离 r=|O P|=2+y 2 o.y x ysin a=,c o sa=,ta n a=.r r x(2)几 个 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 n 37r0,n,二 的 三 角 函 数 值 如 下 表 所 示:2 2(3)三 角 函 数 值 的 符 号

34、函 数 071713万 Tsin a 0 1 0 icos a1 0-1 0tana 0 不 存 在 0 不 存 在(4)诱 导 公 式(一)终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 值 相 等.sin(a+k 2%)=sin a,cos(+k-21)=cos a,tan(a+k-2)=tan a,其 中 左 wZ.4.同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系(1)平 方 关 系.2 2 Asnra+cos a=l.(2)商 数 关 系 作 用：(1)已 知 a 的 某 一 个 三 角 函 数 值，求 其 余 的 两 个 三 角 函 数 值;(2)化 简 三 角 函 数 式；(

35、3)证 明 三 角 函 数 恒 等 式.5.诱 导 公 式(1)公 式 二 sin(乃+a)=-sina,cos(7+a)=-cos a，tan r+a)=tan a.(2)公 式 三 sin(a)=-sin a,cos(-a)=cos a,tan(-a)=-tan c r.(3)公 式 四 sin(4一 a)=sin a，cos(-a)=-c o sa,tan(九 一 a)=tan a.(4)公 式 五 s in g-a)=cos a,cos(-ez)=s in a.(5)公 式 六 sin(+dz)=cosa,z7 C、.cos(+7)=-Sin(Z.6.常 用 三 角 恒 等 变 形 公

36、 式 和 角 公 式 sin(a+万)=sin a cos/3+cosa sin(3cos(a+/?)=cos a cos J3-sin a sin/?/八、tan a+tan tan(a+,)=-1-tan cr tan/?差 角 公 式 sin(a-/7)=sin a cos-cosa sin/?cos(tz-P)=cos a cos 4+sin a sin ft/0、tan a _ tan tan(or-/5)=-1+tan a tan/3倍 角 公 式 sin 2a=2 sin。cos acos 2a=cos2 a-sin2 a=2cos2 a-1=l-2 sin2 atan 2a-2

37、 tan a1-ta n2 a降 次（塞）公 式 si.n a cos。=-1 si.n c2 a;sm.-2 a-1-c-o-s-2-a-;cos2 a-1-+-c-o-s-2-a-2 2 2半 角 公 式 a sin a l-c o s atan=-=；-.2 1+cos a sin a辅 助 角 公 式 a sin a+b c o sa=a2 4-Z?2 sin(a+(p tan=(ab 0),角。的 终 边 过 点(a,b),特 殊 地，若 a s in a+b c o s a+从 或 一，则 tan a【典 型 例 题】例 1.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 圆

38、锥 的 侧 面 积（单 位：c苏）为 2不，且 它 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆，则 这 个 圆 锥 的 底 面 半 径（单 位：C77?）是（）A.2 B.1C.I D.-2 3【答 案】B【详 解】设 圆 锥 底 面 半 径 为,，母 线 长 为/,则 万 x rx/=24，c 1 c J 解 得 r=l,/=2.2 XTTX r=x2x7rxlI 2故 选：B3例 2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 角 6 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 为 x 轴 的 非 负 半 轴，且 cos。=-j,若 点（x,8）是 角。终 边 上 一 点，则 x 等

39、于（）A.-1 2 B.-1 0 C.-8 D,-6【答 案】D【详 解】3角 夕 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 为 大 轴 的 正 半 轴，且 cos9=-1若 点 M（x,8）是 角。终 边 上 一 点,则：x/5【答 案】ACB.cos(a-0)=?后 65D.tan a tan/7=-【详 解】解：因 为 cos(a+/?)=-坐，cos2a=-,其 中。，仅 为 锐 角,所 以：sin2a=Vl-cos2 2a=,故 A 正 确；因 为 sin(a+0)=,所 以 cos(a 一。)=cos2cr-(a+01=cos2acos(a+)+sin 2a sin(a+p),5、，

40、石、12 29/T 供、口=(-)x(-)+x r-=775，故 B 干 曰 陕；13 5 1 3 j 65可 得 cosacos/7=cos(a+P)+cos(a-/3)=(-+=x/5,故 C 正 确；2 2 5 65 65可 得 sin a sin p-cos(a-fi)-cos(a+13)=，产-(-)=x/5 所 以 tan Q tan 4=?,故 D 错 误.2 2 65 5 65 8故 选：AC.(多 选 题)例 5.(2022江 苏 高 三 专 题 练 习)下 列 说 法 正 确 的 是()A.sinl50+cosl50=x/2sin60B.sin(a4-/7-15o)=sin

41、(a-15)cos/?+cos(6Z-15)sinJ3C.cos(a+万)=cos a cos/?+sin a sin PD.t a n(f)=ta na+ta”1-tan a tan 夕【答 案】AB【详 解】对 于 A,sin 15+cos 15=血(等 sin 15+日 cos 15=0 sin（45。+15。）=应 sin 60。，故 A 正 确;对 于 B,由 两 角 和 的 正 弦 公 式,sin(a+-15)=sin(a-15)cos+cos(a-15)sin,故 B 正 确.对 于 C,cos(+/7)=cos0-sin sin/7,故 C 错 误.对 于 D,tan(a止 叱

42、,故 口 错 误.1+tan tan p故 选：AB例 6.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知（0,）,眸（-乃,-sina=,co邛=一 2逝 2 2 10 5则 a+20的 值 为.【答 案】卡【详 解】所 以 cos a=TT因 为(0,),/(-逑，cos看 一 述 10 5sin p-Ji-cos2 0=-Jl20 75=，25 5一，sin a _ sin B 1所 以 tana=7,ta“=52tan/g 1所 以 tan2=1-tan21 ii 1443，所 以 tang+2所 瞿”噌 1-tan a tan 2p7+-TT IT因 为（0,一）,夕（-7c,-）

43、,2 2所 以（a+2）4-2%所 以。+2/=54,4故 答 案 为：一 二 万 4例 7.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 a（0 e），cos（a+=-;则 sina=答 案 二 也 叵 10【详 解】71=sin|a+c o s 乙-侬 仿+口 疝 生 正 V 3)3 I 3J 3 5 2 I 5J 2 10故 答 案 为：卫 生 叵 10例 8.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 tana=2,则？吧 1空 的 值 为 sin 2a13【答 案 匕【详 解】解 析：法 一：（切 化 弦 的 思 想）：因 为 tana=2,所 以 sina=2cosa,cos=s

44、in.24又 因 为 sin2a+cos2a=l,所 以 解 得 sin2a=.2sin2+l 2sin2 a+l所 以-=-sin 2a 2 sin cr cos a2 x-F 1 Q5 J 34 45、中 zi-nAAm LU x 2sin?a+l 3sin?a+cos2a 3 tan2a+1 3x22+1 13法 一：(弦 化 切 的 思 想)-=-=-=-=sin 2a 2 sin a cos a 2 tan a 2x2 413故 答 案 为 r例 9.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 cos（E-x）=3,则 sin2r=4 57【答 案】-3【详 解】V sin2

45、x=cos(-2x)=cos2(-x)=2cos2(-x)1,2 4 43 18 7 sin2x=2x(二 产-1=-1=5 25 257故 答 案 为：-五【技 能 提 升 训 练】一、单 选 题 1.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）将 手 表 的 分 针 拨 快 10分 钟，则 分 针 在 旋 转 过 程 中 形 成 的 角 的 弧 度 数 是)A 7 1A 6D-f【答 案】D【分 析】根 据 任 意 角 的 定 义 可 得 结 果.【详 解】将 手 表 的 分 针 拨 快 10分 钟，则 分 针 在 旋 转 过 程 中 形 成 的 角 的 弧 度 数 是-2 x 2;r=-W

46、6（）3故 选：D.2.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）与 角 2021。终 边 相 同 的 角 是（)A.221 B.-2021 C.-221 D.139【答 案】A【分 析】根 据 终 边 相 同 的 角 相 差 360的 整 数 倍，逐 个 判 断 即 可：【详 解】2021。+360=5余 221，故 A 正 确，B、C、D 中 的 角 均 不 与 角 2021。终 边 相 同.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 了 终 边 相 同 角 的 概 念，考 查 了 简 单 的 计 算，属 于 概 念 题，本 题 属 于 基 础 题.3.（2022 全 国 高 三 专 题 练

47、习）与 角 咚 的 终 边 相 同 的 角 的 表 达 式 中，正 确 的 是（）494A.2k7r+45,k E Z B.k-360-,k eZ45万 C.h360-315 keZ D.k7t+,kwZ4【答 案】c【分 析】要 写 出 与 哼 的 终 边 相 同 的 角，只 要 在 该 角 上 加 2乃 的 整 数 倍 即 可.【详 解】首 先 角 度 制 与 弧 度 制 不 能 混 用，所 以 选 项 A B 错 误；又 与 哼 94的 终 边 相 同 的 角 可 以 写 成 29&万+】乃（&eZ）,所 以 C 正 确.故 选：C.4.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）角 a

48、 的 终 边 属 于 第 一 象 限，那 么 的 终 边 不 可 能 属 于 的 象 限 是（）A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】D【分 析】由 题 意 知，2%rag+2k不，k&Z,即 可 得 的 范 围，讨 论 左=3、&=3+1、=3+2（e Z）对 应/的 终 边 位 置 即 可.【详 解】.角 a 的 终 边 在 第 一 象 限，A 2k t a+2k7t,k e Z,则 当+当，keZ,2 3 3 6 3ry当=3 5eZ）时，此 时 与 的 终 边 落 在 第 一 象 限，当 左=3+1（62）时，此 时 年 的 终 边 落

49、 在 第 二 象 限，当 左=3+2（eZ）时，此 时 2 的 终 边 落 在 第 三 象 限，综 上，角。的 终 边 不 可 能 落 在 第 四 象 限，故 选：D.（y5.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 角 a 的 终 边 与 240。角 的 终 边 相 同，则 角 券 的 终 边 所 在 象 限 是（）A.第 二 或 第 四 象 限 B.第 二 或 第 三 象 限 C.第 一 或 第 四 象 限 D.第 三 或 第 四 象 限【答 案】A【分 析】写 出 a 的 表 达 式，计 算 掾 后 可 确 定 其 终 边 所 在 象 限.【详 解】a由 题 意 c=h3600+24

50、0。，所 以 一=h180。+120。，k&Z,2当 化 为 偶 数 时，1a 在 第 二 象 限，当 归 为 奇 数 时，a1 在 第 四 象 限.2 2故 选：A.6.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）中 国 传 统 扇 文 化 有 着 深 厚 的 底 蕴，一 般 情 况 下，折 扇 可 以 看 做 是 从 一 个 圆 形 中 前 下 的 扇 形 制 作 而 成 的，当 折 扇 所 在 扇 形 的 弧 长 与 折 扇 所 在 扇 形 的 周 长 的 比 值 为 叵 口 时，折 扇 的 外 2观 看 上 去 是 比 较 美 观 的，则 此 时 折 扇 所 在 扇 形 的 圆 心 角