大学物理学课后答案(湖南大学出版社).pdf

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1、用来大学物理习题集第一章质点运动学1.1 质点沿直线运动，运动方程为X(，)=6-2H试求：(1)第 2 s内的位移和平均速度：(2)1s末及2s末的瞬时速度，第 2 s内的路程；(3)1s末的瞬时加速度和第2 s内的平均加速度.解答(1)质点在第1s末的位置为：x(l)=6 X F-2X13=4(m).在第 2s 末的位置为：x(2)=6 X 22-2 X 23=8(m).在第2 s内的位移大小为：Ax=x(2)-x(l)=4(m),经过的时间为A/=ls,所以平均速度大小为：V=Ax/A/=4(m-s-).(2)质点的瞬时速度大小为：v(f)=dx/df=-63，因此 v(l)=12X1-

2、6X12=6(nrsT),v(2)=12X2-6X22=0质点在第2 s内的路程等于其位移的大小，即As=Ax=4m.(3)质点的瞬时加速度大小为：a(/)=dv/dr=12-12/,因此Is末的瞬时加速度为：41)=12-12X1=0,第 2s 内的平均加速度为：a=v(2)-v(l)/A/=0-6/1=-6(ms-2).注意I 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.2(一l)s1.2 质点作匀加速直线运动，在/=10s内走过路程s=30m,而其速度增为=5 倍.试证加速度为a=并由上述数据求出量值.I证明 依题意得=，根据速度公式匕=%+,得a=(n-)vo/t,(1)根据速度

3、与位移的关系式W=%2+2 a s,得a=(n2-1)VO2/2S,(2)、八 八 2(一l)s(1)平方之后除以(2)式证得：a=(+1)产2(5-1)3 0 、计算得加速度为：a=-7=().4(m s-).(5+1)1 021.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5。的夹角的初速度65m s-1从西边起跳,准确地落在坑的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m s2.问:(1)矿坑有多宽？他 越的时间多长？(2)他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？I解答I方法一：分步法.(D 夹角用6 表示，人和车(人)在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为v

4、%=vosinff=24.87(ms1).取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式V,-v0=at,这里的V。就是马0,“=*;当人达到最高点时，v,=0,所以上升到最高点的时间为t =V g =2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式：谟_ 评=2s,可得上升的最大高度为：/)i=v1c=30.94(m).人从最高点开始再做自由落体运动，卜.落的高度为；电=加+%=IOO.94(m).根据自由落体运动公式s=g*/2,得下落的时间为:t22 ).g因此人飞越的时间为：t =t+t2=6.98(s).人 E越的水平速度为;融=Pocos。=60.05(m s)所以矿坑的宽

5、度为:x=vl0Z =419.19(m).(2)根据白由落体速度公式可得人落地的竖直速度大小为：vy=g t =69.S(m s),落地速度为：v=J +城 产=92.08(ms-1),与水平方向的夹角为：p=arctan(v,/vx)=49.30,方向斜向下.方法二：一步法.取向上为正，人在竖直方向的位移为=%)，*/2,移项得时间的一元二次方程-s in a +y =0,解得：/=(%sin 6 土 sin2 6-2gy)g.这里歹=-70m,根号项就是人落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为：/=6.98(s).由此可以求解其他问题.1.4 个正在沿直

6、线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dWd/=-小，k为常数.(1)试证在关闭发动机后，船在,时刻的速度大小为上=2+七；v%(2)试证在时间/内，船行驶的距离为x=ln(%笈+1).kdv 证明(1)分离变量得=一 履 八 故v惇=一订山,%-0可得:(2)公式可化为U=1 1,=&k t.v%1 +vQk t由于 y=dx/d/,所以：d x -d/=1+vQk t 上(1+%女)d(l+vok t)1积分卜二1岛苏(i+皿).因此 x=ln(v0A:/+l).证毕.k 讨论 当力是速度的函数时，即/=y(v),根据牛顿第二定律得/=加

7、4.由于 a=dv/d/2,而 d x/d t=v,a=dv/d/,、一 i wdv分离变量得方程：d/=-,/(v)解方程即可求解.在本题中，k已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的次方成正比，则dv/d/=-k vn.dv(1)如果=1,则得 k d t v积分得 Iny=-%/+C.当/=0 时，v=v0 所以 C=lnvo，因此 lnv/v0=-k t,得速度为：丫 =为产.而 dv=%e*df,积分得：x=-e-fa+C.-k当，=0时，x=0,所以 C=w，因此x=%(l e“).dvyI-n(2)如果w i,则得=-k d t,积分得-=-k t 4-C.vn -

8、n疝“1 1当/=o 时，丫 =%,所 以-=C,因此-=-+(77 V k t.-n 产短如果=2,就是本题的结果.1+(-1)琢“，(S T)如果#2,可得X =/d/=2 4/=4 8(r ad-s),切向加速度为a尸 力=4.8(n r).(2)总加速度为a=(ar+aj严，当 a,=a/2 时，有 4 aj=aj +a j,即由此得%y 2 =RJJ,即(1 2/)2 =2 4/7 3 ,解得 t3=4 3/6.所以 0 1 +4/3=2(1+y/3/3)=3.1 5 4(r ad).(3)当=a 时，可得,力即：2 4t=(1 2?)2,解 得：r =(l/6),/3=0.5 5(

9、s).图1.72 +1.6 飞机在铅直面内K行,某时刻6机的速度为v =3 0 0 n r s,方向与水平线夹角为3 0。而斜向下，此后飞机的加速度为a=2 0百m小，方向与水平前进方向夹角为3 0。而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？I解答I建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为Vox =cos。，V o,=%si n。.加速度的大小为ax=ac osa,ay=asi n a.运动方程为 x =+1 广2，y=-v1 2O vt +-avt .2 2八 1 2即 x=v0cos0-t +ac osa-t ,y =-v0sin-/+-v B

10、V+w v u v u,1 -w2/v2 1 w2/V2 _(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着4 8之间/上 -的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿1 8方向的速度大小 v-u B为丫=yjv2-u2，所以飞行时间为2/21 21/v t Z t?=一 =/.=-I=.证毕.力 ./7y 7i-2/v2 彳 B1.1 0如图所示，汽车在雨中沿直线行驶，其速度为V 下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为以偏向于汽车前进方向，速度为V2今在车后放一长方形物体，问车速也为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？I解答|附对地的速度凡等于雨对车的速度

11、加车对地的速度Q,由此可作矢量三角形.根据题意得tana=6.方 法 ：利用直角三角形.根据直角三角形得V,=v2sin0+vjsina,其中 丫3 =Vi/cosa,而 Vi=v2cos优因此 叫=P2sind+v2cosd sino/cosa,即 匕=畛(sine+c o s。).证毕.h方法二：利用正弦定理.根据正弦定理可得 二 环，sin(6+a)sin(90-a)sin（夕 +a）所以：匕=匕-cos asin 0 cos a+cos 0 sin a V2V|cos a匕(s i n 0+c o s。t a n a),即 V j =吗(s i n。+c o s 9).h方法三：利用位

12、移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在/时间内，雨滴的位移为/=(v i -v2s i n 0/,h =v2c osO t.两式消去时间r即得所求.证毕.第二章运动定律与力学中的守恒定律(-)牛顿运动定律2.1 一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面(倾角为a)上以初速度%运动，%的方向与斜面底边的水平约4 8平行，如图所示，求这质点的运动轨道.解答 质点在斜上运动的加速度为a=g s i n a,方向与初速度方向垂直.其运动方程为y=-1 at 2=1 g s i.n a广2x =2 2 .将/=x/y,代入后方程得质点的轨道方程为y=g n axz这是抛物线方程.2.2桌 上 有

13、质 量1 kg的平板，板上放 质量加=2 kg的另物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为外=0.2 5,静摩擦因素为 =0.3 0.求：(1)今以水平力户拉板，使两者一起以a =1 m 的加速度运动，试计算面间的相互作用力；(2)要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？I解答(1)物体与板之间有正压力和摩擦力的作用.板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm=m g=1 9.6(N),这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反.物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：力,=m a =2(N),这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反.板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(m +)

14、g =2 9.4(N),这也是桌子受板的压力的大小，但方向相反.板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：f w=W,“=7.3 5(N).这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反.(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板起做加速度为加的运动，物体的运动方程为可得 a板的运动方程为F _ f -M m+M)g=Ma,即 F=f +M a 十 式 加+M)g=W s+Nk)(m +M)g，算得 F=1 6.1 7(N).因此要将板从物体下面抽出，至少需要1 6.1 7 N的力.2.3如图所示：己知尸=4 N,=0.3 kg,m2=0.2 kg,两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2.求质量为，小的物体的加速

15、度及绳子对它的拉力.(绳子和滑轮质量均不计)I解答 利用儿何关系得两物体的加速度之间的关系为。2 =2可，而力的关系为4=2 7 2.对两物体列运动方程得T2-f i m 2 s=m 2 a2,F-T 一 卬 医=1图.可以解得他的加速度为_ F _ Mm 1 +2 m2)gQ 2 /2 +2%=4.7 8(m-s2),绳对它的拉力为图2.31f/八 叫 山=1.35(N).2.4 两根弹簧的倔强系数分别为鬲和人2.求证:1 1 1=-1-(I)它们串联起来时，总倔强系数后与4和你 满足关系关系式“h ki；(2)它们并联起来时，总倔强系数*=舟+比.解答 当力F将弹簧共拉长X时，有尸=去，其

16、中&为总倔强系数.两个弹簧分别拉长X,和应，产生的弹力分别为F=k X?&=k2%2(1)由于弹簧串联，所以尸=8=B，X=修+乃，因此=二+g 1=1+1k k&,即：k ki k2(2)由于弹簧并联，所 以 尸=居+&，X=X1=X2，因此 k x =k X +即：k =k+k2.2.5 如图所示，质量为机的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向(即摆线与竖直线的夹角夕)及线中的张力一(1)小车沿水平线作匀速运动；(a)k 占-(b)h图 2.4(2)小车以加速度q沿水平方向运动；(3)小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成夕角;(4)用与斜面平行的加速度可把小车沿

17、斜面往上推(设仇=6)：(5)以同样大小的加速度4 (b2=b),将小车从斜面上推下来.解答I(1)小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为7=陪.(2)小车在水平方向做加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力.由于tan。=m a/m g,所以 0=arctan(a/)；绳子张力等于摆所受的拉力：T =+(m g)?=周+g .(3)小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力和拉力，合力沿斜面向下，所以0=；T=加gCOSR.(4)根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延长，与水平辅助线相交，可得直角三角形，。角的对边是mbcosp,邻边是/sine，由此可得

18、：八 m b cos(ptan8=-；mg+m b si n R ,因此角度为八6 COS 690=arctan-g+6sin0.而张力为T=J (砌 2 +(侬 了 -2(岫(吨)cos/2+9)=m y b2+g2 4-2 b g sin(p(5)与上一问相比，加速度的方向反向，只要将上 结果中的b改为1就行2.6 如图所示：质量为加=0.10kg的小球，拴在长度/=0.5m的轻绳子的一端，构成一个摆.摆动时，与竖直线的最大夹角为60。.求：(1)小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？(2)在。60。的任一位置时;求小球速度v与。的关系式.这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大

19、？(3)在。=60。时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？解答(1)小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即尸=-mgsin。，负号表示角度。增加的方向为正方向.小球的运动方程为d 2 sr =ma =m 7d t2,其中s 表示弧长.由于s=RO=/0,所以速度为d s 7 d。v =/d t d t ,因此d vF =m =md v d 0 m d v取积分d f d。d/vdv=-g/sinOd。，f v d v =-g/o一V/d，,(1)si n O d d即o1 2-vB g l c o s 0得60。，解得：VB=V =2.21(m

20、s-).2 77VB VBTB-mg=m =m =mg由于：R I所以 TB=2 m g=1.96(N).(2)由(1)式积分得；y：=g/c o s 0+c当 e=60时，vc=0,所以 C=-/g/2,因此速度为vc=J g/(2 c o s g _ l)切向加速度为q=gsin。；法向加速度为2=3=g(2 c o s e-l)由于 Tc m g 8so=所以张力为 Tc=m g c osO +m an=mg(3cos0-1).(3)当 8=60时,切向加速度为_ V 3 2 g =8.49(m2),法向加速度为a=0,绳子的拉力T=m g/2=0.49(N).注意I在学过机械能守恒定律

21、之后，求解速率更方便.2.7 小石块沿弯曲光滑轨道上由静止滑下 高度时，它的速率多大？(要求用牛顿第二定律积分求解)I解答 小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向.设切线与竖直方向的夹角为4则F=mgcosO.小球的运动方程为d 2 sr =ma =m-d广，s 表示弧长.d sv=由于 dr ,所以d2 s d dv dv d s dvy ()-=Vdf d t d t d t dv d t dv ,图 2.7因此 v dv =geo s伙k =gd。，h表示石下落的高度.v2=gh+C积分得 2因 此 速 率 为v=.当力=0时，v=0,所以C =0,/=-42.8质量

22、为机的物体，最初静止于死，在力 X仅为常数)作用下沿直线运动.证明物体在x处的速度大小v=2 t(1/x-l/x o)/n 2.I证明 当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程d2xma=m-T-dr利用v =dx/dz,可得d2x dv dx dvd/2 dr因此方程变为dt dxdvv一dx ,mvdvkdx积分得2x利用初始条件，当X =X o时,v =0所以C =-4 1/x(),因此k k-m v22X%,-)证毕.讨论|此题中，力是位置的函数：/=/W，利用变换可得方程：，”，dv=/(x)dx,积分即可求解.1 2,mv=-K如 果/)=W,则得21?mv=一 左 l n x

23、 +C(1)当=1时，可得2利用初始条件x =%o时，v =0,所以C=l n x(),因此mv1=A：In 2 x,V =0X即-w v2=-x-n+C C=-x；-n(2)如果可得2 n.利用初始条件x =x 0时，v =0,所以 n 即V因此当=2时，即证明了本题的结果.2.9-质量为帆的小球以速率”从地面开始竖直向上运动.在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比,比 例 系 数 为 求：(1)小球速率随时间的变化关系v(/)：(2)小球I：升到最大高度所花的时间T.解答(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程 .dv/=-mg

24、-k v=m d/,出 _ ,dv _ m d(m g+k v)分离变量得 mg+k v k mg+k v,t =-In (m g +k v)4-C积分得 kC =in (m g +k v。)当，=0 时，v =v(),所以 k ,/_ m|n mg+k v _ a 历 mg/k +v因此 k mg+k v0 k m g/k +v0；小球速率随时间的变化关系为/mg k t m gv =(%+T)ex p(-)-k m k .(2)当小球运动到最高点时,-=(),所需要的时间为T =l n =l n(l +如)k mg I k k mgI 讨论(1)如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由

25、于y =dr/df,所以dx =K%+等)ex p(-与-攀Id/k m K即 mfy/mg/k),k t、m g ,k m k积分得x =/(%+%e xp(-与-些，+Ck m k当/=0 时，x =0,所以m(v0+m g/k)k ,因此x =m(vo+mg/k)r n g(kH m k .(2)如果小球以的初速度向下做直线运动，取向卜的方向为正，则微分方程变为f=mg-kv -md/,用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为)ex p(-)m这个公式可将上面公式中的g 改为-g得出.由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数%,=m g4.2.1 0 如图所示：光滑的水平桌

26、面上放置固定的圆环带，半径为R.物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为分.设物体在某时刻经/点时速率为h,求此后时刻，物体的速率以 及从A点开始所经过的路程.解答 物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即N =m y/R.物体所受的摩擦力为/=-HkN,图 2.10负号表示力的方向与速度的方向相反.根据牛顿第二定律得.v2 d v/=R d 7 ,即d vv2积分得：R v%当，=0时，v=v0,所以 Vo,勺-1 1 v因此 R v%.解得 1+o R.由于*=外出=A d(l+&%)l+/jkvot/R 氏 1 +4%氏，积分得x =l n(l +)+CA,R,R,八

27、广（Ax =l n（l+A ）当，=o时，=沏，所以c =o,因此 A R2.1 1如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环I:套有一珠子.今逐渐增大圆环的转动角速度3,试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所停处的半径与竖直角6表示.解答 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为：尸=7gtg。.珠子做圆周运动的半径为r=RsinO.根据向心力公式得F=mgtg。=加eJHsin。，可得冬=RCOS0,3=a r c c o s 解得 R.直径的夹（二）力学中的守恒定律2.1 2如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动.弹力

28、尸=-，而位移x=4coscw,其中攵，4和侬都是常数.求在f=0至卜=用2的时间间隔内弹力予小球的冲量.解答|方法一：利用冲量公式.根据冲量的定义得d/=Fdf=-叔cosco/d/,积分得冲量为ml2（i）/=（-kA c o s 6 y/）d/图 2.12kA.皿 kA-s i n 6 9/=-C D 0 C D方法二：利用动量定理.小球的速度为 v=dx/dt=-coAsxncot设小球的质量为加，其初动量为0】=加修=0,末动量为 Pi W V 2=-mcoA,小球获得6勺冲量为/=2-Pi=-加 人可以证明k=机苏，因此/=山/口.2.13一个质量加=5 0 g,以速率的y=2 0

29、 m 作匀速圆周运动的小球,心力给予小球的冲量等于多少？解答 小球动量的大小为p=wv,但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义酝=万2 一 A得：7 2=A +与，由此可作矢量三角形，可得：=因此向心力给予小球的的冲量大小为/=即=1.4l(N-s).I注意I质点向心力大小为尸=机/火，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量在 1/4周期内向V2 TI=Ft=m R 42TTR/T T n=mv-=mv尺 4 2 .假设小球被轻绳拉着以角速度c o=v/R运动,F=m 囚R =m c ov,其分量大小分别为Fx=Fc osO =Fc osc ot yFy

30、=Fsi n。=Fsi n c oh给小球的冲量大小为d/x=Fyd t=Fcoseo/d/td lv=Fsinco/dz,积分得拉力的大小就是向心力T/4)F e o s cotdt=F.s i n cotcor/4oF=mvC DT/4 F s i n cotdtF-CO S 6 9/C O7740F=mv0)合冲量为I=J/；+/；=2mv与前面计算结果相同，但过程要复杂一些.2.1 4用棒打击质量0.3kg,速率等于2 0 m 的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度.求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s,求球受到的平均冲力？解答 球上升初速度为。7 g h=14(m

31、-s),其速度的增量为W=24.4(m.s-).棒给球冲量为I=/nAv=7.3(N-s),对球的作用力为(不计重力)：F=Z/=366,2(N).2.1 5如图所示，三个物体力、B、C,每个质量都为M,B和 C 靠在 起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松.8 的另一侧则连仃另一细绳跨过桌边的定滑轮而与4 相连.一知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定.问/和8 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？g=10ms2)I解答 物体4 受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg -T =Ma,物体B在没有拉物体C 之前在拉力T作用下做加速运动,加速度大

32、小为a,可列方程：T=Ma,(取图 2.15联立方程可得：a =g/2 =5(m s 2).根据运动学公式：s =vot+/2,可得B枚 C之前的运动时间：t =yJ2 s/a=o,4(s).此时B的速度大小为：v=at =2(m-s-1).物体4跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动.4和B拉动C运动是个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2 Mv=3Mv,因此C开始运动的速度为：v =2 v/3 =1.3 3(m-s).2.1 6 一炮弹以速率沿仰角0的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此4 5。仰角上飞,块沿4 5。俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各

33、为多少？I解答炮弹在最高点的速度大小为v =vc osO,方向沿水平方向.根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得m v/2=vcos452,所以 V,=V/C O S 4 50=/2V0COS6 2.17如图所示，-匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R.设马对雪橇的拉力总是平行于路面.雪橇的质量为加，它与路面的滑动摩擦因数为4.当把雪橇由底端拉I.4 5。圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？解答 取弧长增加的方向为正方向，弧位移击的大小为d s=R d O.重力G的大小为：G=m g,方向竖直向下

34、，与位移元的夹角为兀+仇 所做的功元为/美d%=G d?=Gcos(e+7r/2)由/R=-m gR sin 3A 0,积分得重力所做的功为 dT W,厂 G M mE=-故 4+4.证毕.(三)刚体定轴转动2.26质量为M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为&和&”求对通过其中心轴的转动惯量.I解答I设圆柱体的高为从 其 体积为V=n(R-R)h,体密度为p=M/V.在圆柱体中取一面积为S=2KR，厚度为d,的薄圆壳，体积元为dr=Sdr=2mHdr,其质量为dw=pdP,绕中心轴的转动惯量为d/=/d，=InpHAr,总转动惯量为I=2 71 P H0r3d r=-R：)O 图 2.

35、26=%闺+用)2.27 矩形均匀薄板，边长为a 和人 质量为M,中心。取为原点，坐标系OXXZ如图所示.试证明:(1)薄板对OX轴的转动惯量为x 12；Io z=M(a2+b2)(2)薄板对OZ轴的转动惯量为 12.I证明薄板的面积为S=ab,质量面密度为。=M/S.(1)在板上取一长为a,宽为dy的矩形元，其面积为dS=adyf其质量为dm=odS,绕X 轴的转动惯量为6I()X=/dm=aay2dy,积分得薄板对OX轴的转动惯量为同理可得薄板对0 丫 轴的转动惯量为(2)方法一：平行轴定理.在板上取一长为6,宽为d r的矩形元，其面积为d5=/xk,质量为dm=dS,绕过质心的OZ,轴的

36、转动惯量等于绕OX轴的转动惯量d/o z-=b2dm/12.根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为d/0z=x2dm+d/z=obx2dx+b2dm/2,积分得薄板对0Z 轴的转动惯量为a b-x33Ql L+：hM Ma2+h-a12 1 2 1 2方法二：垂直轴定理.在板上取一质量元d m,绕 OZ轴的转动惯量为“碎=於山心由 于/=一+步，所以 dloz=(x2+y2)dm=d/”+d/，因此板绕OZ输的转动惯量为1 ,o=/+如=叱”3 +)2.28 一半圆形细杆，半径为R,质量为“，求对过细杆二端XT轴的转动惯量.解答I半圆的长度为C=TIR,质量的线密度为2=M/C.在半圆上取

37、一弧元ds=Ad仇其质量为dw=Nds,到力 力,轴的距离为r=RsinO,绕此轴的转动惯量为d/=/d 7 =A/?3sinW,半圆绕4 4 轴的转动惯量为 AI=j s i n2 0A0=AR3 J；(l-c os 2 9)d e R-A R3=-M R22 2图 2.2 82.2 9 如图所示，在质量为M,半径为火的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔.圆孔中心在圆盘半径的中点.求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.I解答|大圆的面积为S=7tR2,质量向面密度为。=M/S./、大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为4W=M2/2./小圆的面积为s=n/,质量为加=s,/

38、ly 绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为/c=m/2,/Z 7 X 根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为)一3 一qy%=%+，(孙2=/c+?(g)2 =:7(2/+7?2)I y-=；仍/(2/+尺2)=_M_2 r2+R2)剩余部分的转动惯量为2.3 0 匕轮质量加=60kg,半径R=0.25m,绕水平中心釉O 转动，转速为900rm in.现利用制动用的轻质闸瓦，在剖杆端加竖直方向的制动力户，可使长轮减速.闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数“=0.4,&轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.(1)设尸=100N,问可使S轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？(2)若要在2

39、 s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力尸？解答I设飞轮对闸瓦的支持力为N,以左端为转动轴，在力矩平衡时有：0.5/V-1.25F=0,所以：N,=2.5F=250(N).闸瓦对飞轮的压力为;N=N=250(N),与飞轮之间摩擦力为：f=p N=100(N),摩擦力产生的力矩为：M=JR.飞轮的转动惯量为：/=机炉/2,角加速度大小为：P =-M/I=-1 f/m R=-40/3(rad-s-2),负号表示其方向与角速度的方向相反.飞轮的初加速度为3产SOTtCrad s1).根据公式 0=0o+/,当 s =0 时，/=-oo/夕=7.07(s).再根据公式c o2=co02+2夕仇川,得

40、飞轮转过的角度为0=-a)oHp=333(rad)转过的圈数为=/21t=53r.图 2.30 注意 圈数等于角度的弧度数除以27t.(2)当 f=2s,c o=3d 2 时,角加速度为 =-0(/2,=-7.5K.力矩为 M =-If i 摩擦力为/=M/R=-因以2=(7.5)2.闸瓦对飞轮的压力为N=需要的制动力为F=N/2.5=(7.5)2兀=176.7(N).2.31-轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力尸=98N拉绳，如 图(a)所示.已知飞轮的转动惯量/=0.5kg n?,轴承无摩擦.求(1)飞轮的角加速度.(2)绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能.(3)将重力P=98N的物体

41、挂在绳端，如 图(b)所示，再求上面的结 果.解答 (1)恒力的力矩为M=Fr=19.6(N-m),对飞轮产生角加速度为夕=39.2(rad-s).(2)方法一：用运动学公式.飞轮转过的角度为0=25(rad),由于飞轮开始静止，根据公式d =2在仇可得角速度为0 =2 0。=44,27(rads-1)；飞轮的转动动能为Ek=/W2/2=490(J).方法二：用动力学定理.拉力的功为邛=凡=4900),根据动能定理，这就是飞轮的转动动能E*.根据公式&=/疗/2,得角速度为CO l2 Ek /1 Av 人 =44.27(rad-s).(3)物体的质量为m=%=1 0(k g).设绳子的张力为T

42、,则尸-7=ma,T r =I f).由于a=加，可得Pr=/w)+”,解得角加速度为m r-+1=21.8(rads-2).绳子的张力为r m r+/=54.4(N).张力所做的功为W =T s=272.2(J),这就是飞轮此时的转动动能E .飞轮的角速度为3=J 2 耳 =3 3(ra d.s-i).2.32质量为加，半径为R 的均匀圆盘在水平面I:绕中心轴转动，如图所示.盘与水平面的摩擦因数为“，圆盘从初角速 度 为 到停止转动，共转了多少圈？I解答I圆盘对水平面的压力为N=mg,压在水平面上的面积为S =nN,压强为p=MS=m g/n R2.当圆盘滑动时，在盘上取一半径为八对应角为期

43、面积元，其面积为dS=r d O d r,对水平面的压力为dN=pdS=pr d r d O,所受的摩擦力为d f=f i d N=ppr d r d O,其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为d M=r d f=/jpr d r d O,总力矩为 2M=瓦 P 及3 =pmgR圆盘的转动惯量为I=,加72,角加速度大小为负号表示其方向与角速度的方向相反.根据转动公式32=。9+2夕仇当圆盘停止下来时3=0,所以圆盘转过的角度为Q-_ G _ 3(0QR一一场一或，转过的圈数为=且二加区2万 6碍g 注意 在圆盘上取一个细圆环，其面积为出=2 w d r,这样计算力矩等更简单。2.33 一个轻质

44、弹簧的倔强系数为k=2.0N m-.它的一端固定,另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为町=80g的物体相连，如图所示.定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r=0.05m,质量为切=100g.先用手托住物体如，使弹簧处于其自然长度，然后松手.求物体g 下降。=0.5m时的速度多大？忽略滑轮轴I：的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑.I解答 根据机械能守恒定律可列方程mxgh=；机 产2+；/6y 2+；曲其中/=加/2,c o=v/r,可得2 m、g h -k h2=mv2+m v2/2,解得h-kh+m/2.一1、=1.48(ms).v=2.34均质圆轮A的质量为M，半径为力,以角速度。绕。4杆的

45、A端转动，此时，将其放苴在另一质量为此的均质圆轮8上，8轮的半径为2-8轮原来静止，但可绕其儿何中心轴自由转动.放置后，/轮的重量由8轮支持.略去轴承的摩擦与杆O4的重量，并设两轮间的摩擦因素为“，问自力轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？I解答I圆轮4对8的 压 力 为N =M舟两轮之间的摩擦力大小为/=V =M g,0 摩擦力对A的力矩大小为MA=f R=f i Mg R,*J摩擦力对B的力矩大小为a=力?2=加邮2，y设4和8的角加速度大小分别为力和饱，转动惯量分别为和4，W根据转动定理得方程K =;A，/即 PA=MA/IA.(B同理可得%=M A.当两轮没有相对滑

46、动时，它们就具有相同的线速度V,/的角速度为必=砥|,KyB的角速度为。8=v/&.根据转动运动学的公式得COA-3=-PAt,3B=6B3即 v/R -a=V/R2=P ut,1f上得 v-s R、=v=SBR#,将 后 式 减 前 式 得=依+R Ji g)t,解得_ a)R _(=R A+R2/3B=RtMA/IA+R2MB/IB_ R R/M gRi R“iM、gR1 ,1 ,:3&2 g +2 g M/M经过的时间为_ a）M?R,二 24g（M+M）.注意 在此题中，由于/、3两轮不是绕着同轴转动的，所以不能用角动量守恒定律.如果A轮的轮面放在B轮的轮面之上，且两轮共轴，在求解同样

47、的问题时，既可以用转动定律求解，也可以结合角动量守恒定律求解.y当它们之间没有滑动时，角动量为口、，根据角动量守恒定律得 I心=U+IB）S ，1 L/?1）因此得“=1必/（L十（1）设R 1 W R 2,那么/轮压在8轮上的面积为S =7 T&2,压强为 p =Mg/S =Myg/n R i2.当4轮在8轮上产生滑动时，在4轮上取一半径为八对应角为的 面积元，其面积为d S=2。”，对8轮的压力为d N =pd S =pr d r d O,所受的摩擦力为d/=d N =22仇其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为d A/=总力矩为M=jJ j：jupr2drd31 1 2=*bPR=/M g

48、R 这是/轮所受的力矩，也是B轮所受的力矩.根据转动定理得8轮的角加速度为例=0加根据转动公式3 =闻，得时间为1 _*1必 IB瓦小4 McoM/2 M./2-M代 2+M R /2 2piMgRJ 3,_ 3M2RlRco即/=4冢4+%用）.（2）如果&M&，那么/轮压在8轮上的面积为S =7 t 2 2,压强为 p=M g/S =Mi g/n R .同样在力轮上取一面积元，力矩的积分上限就是&2总力矩为（厂 串）=pr2dr T d 01 .2由此求得时间就变为_ 3 M述：R?（o二4意（必 尺；+后）t _ 3M?RiC0 _ 3M火z69只有当&=&时，两个时间才是相同的：4 g

49、（M+%）4 g（M+%）.2.35均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为（o0,转动时受到空气的阻力.阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k.试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半.设薄板竖直边长为6,宽为a,薄板质量为，|解答|在板上距离转轴为r处取 长度为6,宽度为由 的面积元，其面积为dS =6 dr.当板的角速度3时，面积元的速率为v=3,所受的阻力为旷=k v2d S =k c o2r b d rf阻力产生的力矩为d M =2/.=k c o2f b d r,因此合力矩为M=ka）2br3dr=kco2baAJo 4图 2.35

50、板绕转轴的转动惯量为/=加/3,其角加速度为ykarbcr4m负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.由于 =d3也，可得转动的微分方程(co 3k(v2ba2dt分离变量得-3k-b-a2 dJr4m积分得3kba24mdco4m当 =0时，3kba4mt=-+CC DCO=C O()T所以C=-l/0，因此转动方程为2 1 1co g当。=袱)/2时，解得时间为4mt=-z-3kba g2.3 6 一个质量为M,半径为R并以角速度c o旋转的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上.(1)问它能上升