2023年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（十二）（文科）.pdf

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1、2023年 高 二 数 学 第 二 学 期 期 末 模 拟 试 卷 及 答 案(十 二)(文 科)一、选 择 题(共 1 2小 题，每 小 题 5 分，满 分 6 0分)1.已 知 集 合 A=x Z|x|V 5,B=x|x-2 2 0,则 A A B 等 于()A.(2,5)B.2,5)C,2,3,4 D.3,4,5X o 2X12.命 题 J xoeR,”的 否 定 形 式 是()2：2tlA.2 XoR,x。干,B.3 x0R,x o 1C.V xGR,x2=l D.V xGR,x 2 r l3.下 列 四 个 条 件 中，使 a b 成 立 的 必 要 而 不 充 分 的 条 伯 是(

2、)A.a b-1 B.a b+l C.|a|b|D.2a 2bx2 y24.椭 圆 西+丁=1 上 一 点 M 到 左 焦 点 F l的 距 离 是 2,N 是 MF1的 中 点，0 为 坐 标 原 点，则 I ON|的 值 为()A.4 B.8 C.3 D.25.设 命 题 p：3 xoe(0,+8),3 K。+Xo=2O 16,命 题 q：V aG(0,+8),f(x)=|x|-a x,(x R)为 偶 函 数，那 么，下 列 命 题 为 真 命 题 的 是()A.p A q B.(-p)A q C.p A(-1q)D.(-p)A(,q)6.已 知 点 P(xo,y o)在 抛 物 线 W

3、：y2=4x上，且 点 P到 W 的 准 线 的 距 离 与 点 P到 X轴 的 距 离 相 等，则 X。的 值 为()1 3.A.?B.1 C.D.27.若 不 等 式 x 2-k x+k-1=0对(1,2)恒 成 立，则 实 数 k 的 取 值范 围 是()A.(-8,2)B.(-8,2 C.(2,+8)D.2,+0=)2 28.关 于 x,y 的 方 程 y=mx+n和 T+3=1在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 大 9.曲 线 y=lnx上 的 点 到 直 线 y=x+l的 最 短 距 离 是()A.&B.2 c.当 D.110.下 列 求 导 运 算 正 确 的 是()A.(x

4、+)=1+今 B.(Iog2x)=-rx x xin2C.(3X)/=3xlog3eD.(x2cosx)z=-2xsinx2 2,11.双 曲 线 马-4=1(a 0,b 0)上 任 意 一 点 P可 向 圆 x2+y2=(1)2作 切 线 PA,P B,若 存 在 点 P 使 得 名 诬=0,则 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是()A.正，+8)B.(1,V3 C.虫，V5)D.(1,娓)12.设 函 数 F(x)是 函 数 f(x)(x R)的 导 函 数，f(0)=2,F(x)-f(x)ex,则 使 得 f(x)xe*+2ex成 立 的 x 的 取 值 范 围 是()A

5、.(0,+)B.(1,+8)C.(0,1)D.(-8,+8)二、填 空 题(共 4 小 题，每 小 题 5 分，满 分 2 0分)13.已 知 集 合 M=x|x|VI,N=a,若 M U N=M,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.x2 214.抛 物 线 y2=-12x的 准 线 与 双 曲 线-2=1的 两 条 渐 近 线 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于.15.已 知 函 数 f(x)=lnx-T(m R)在 区 间 1,e 取 得 最 小 值 4,贝！J m=.16.给 出 下 列 命 题:定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)满 足 f(2)f(1),贝 ijf

6、(x)一 定 不 是 R上 的 减 函 数；用 反 证 法 证 明 命 题“若 实 数 a,b,满 足 a2+b2=0,则 a,b 都 为 0”时,假 设 命 题 的 结 论 不 成 立 的 叙 述 是 假 设 a,b 都 不 为 0”.TT TT 把 函 数 丫=5由(2X+T)的 图 象 向 右 平 移 三 个 单 位 长 度，所 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为 y=sin2x.a=0是 函 数 f(x)=x3+ax2(x G R)为 奇 函 数”的 充 分 不 必 要 条 件.其 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 为.三、解 答 题(共 5 小 题，满 分 6 0分

7、)17.设 命 题 p：实 数 x满 足(x-a)(x-3a)0,命 题 q：实 数 x满 足 2VxW3.(1)若 a=L 有 p 且 q 为 真，求 实 数 x 的 取 值 范 围.(2)若 p 是-q的 充 分 不 必 要 条 件，求 实 数 a 的 取 值 范 围.1 8.已 知 双 曲 线 方 程 为 16x2-9y2=144.(1)求 该 双 曲 线 的 实 轴 长、虚 轴 长、离 心 率；(2)若 抛 物 线 C 的 顶 点 是 该 双 曲 线 的 中 心，而 焦 点 是 其 左 顶 点，求 抛 物 线 C 的 方 程.19.已 知 函 数 f(x)=xe*+ax2+2x+l在

8、x=-1 处 取 得 极 值.(1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)若 函 数 y=f(x)-m-1 在-2,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 零 点，求 实 数 m 的 取 值 范 围.20.已 知 椭 圆 C：%+2=1(a b 0)的 离 心 率 为 二，其 左、右 焦 点 为 Fi、Fz,点 P 是 坐 标 平 面 内 一 点,且|OP=空,I 平 2=日,其 中 0 为 坐 标 原 点.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)如 图，过 点 S(0,-1)的 动 直 线 I交 椭 圆 于 A、B 两 点，是 否 存 在 定 点 M,使 以 A B为 直 径 的 圆 恒

9、 过 这 个 点？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.y21.已 知 函 数 f(x)=a(x)Tnx.(I)若 a=L 求 曲 线 y=f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程;(n)若 函 数 f(x)在 其 定 义 域 内 为 增 函 数，求 a 的 取 值 范 围；0)与 曲 线 C 交 于 A 点，与 直 线 I交 于 B,求 线 段 A B 的 长.选 修 4一 5：不 等 式 选 讲 23.设 f(x)=|x-l|+|x+l|,(xR)(1)求 证：f(x)与 2；(2)若 不 等 式 f(x)三 加*产 对 任 意 非 零 实

10、数 b 恒 成 立，求 x的 取 值 范 围.参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题(共 1 2小 题，每 小 题 5 分，满 分 6 0分)1.已 知 集 合 A=x Z|x|V 5,B=x|x-2 0,则 AGB 等 于()A.(2,5)B.2,5)C.2,3,4 D.3,4,5【考 点】IE：交 集 及 其 运 算.【分 析】据 题 意，分 析 可 得，A=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,B=x|x-2 2 0,进 而 求 其 交 集 可 得 答 案.【解 答】解：A=xZ|x|V 5=x Z|-5 V x V 5=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4),B

11、=x x-2 2 0,，AG B=2,3,4,故 选：C.2o=2.命 题 xoeR,的 否 定 形 式 是（）X2 于 2 A.3 x（）R,x o 1 B.3 x0R,x o 1C.V x R,x2=l D.V x R,x2 l【考 点】2J：命 题 的 否 定.【分 析】直 接 利 用 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 写 出 结 果 即 可.【解 答】解：因 为 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题，所 以，命 题 勺 XoR,x 的 否 定 形 式 是：V x R,x2 l.故 选：D.3.下 列 四 个 条 件 中，使 a b 成 立 的 必 要 而 不 充

12、 分 的 条 伯 是（）A.a b-1 B.a b+l C.|a|b|D.2a 2b【考 点】2L：必 要 条 件、充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断.【分 析】根 据 题 意，欲 求 a b 成 立 的 必 要 而 不 充 分 的 条 件，即 选 择 一 个“a b 能 推 出 的 条 件，但 反 之 不 能 推 出 的 条 件，对 选 项 逐 一 分 析 即 可.【解 答】解：根 据 题 意，依 次 分 析 选 项：对 于 A、a b 能 推 出 a b-1,故 选 项 A 是 a b 的 必 要 条 件，但 不 能 推 出 a b,不 是 充 分 条 件，满 足 题 意；对

13、于 B、a b 不 能 推 出 a b+l”,故 选 项 B不 是 a b 的 必 要 条 件,不 满 足 题 意；对 于 C、a b 不 能 推 出|a|b|,故 选 项 C 不 是 a b 的 必 要 条 件，不 满 足 题 意；对 于 D、a b 能 推 出 2 a 2 b,且 a 2 b 能 推 出 a b,故 是 充 要 条 件，不 满 足 题 意；故 选：A.x2 y24.椭 圆 南+F=1上 一 点 M 到 左 焦 点 F l的 距 离 是 2,N 是 MF1的 中 点,0 为 坐 标 原 点，则|ON 1的 值 为（）A.4 B.8 C.3 D.2【考 点】K4：椭 圆 的 简

14、 单 性 质.【分 析】首 先 根 据 椭 圆 的 定 义 求 出|MF21=8的 值，进 一 步 利 用 三 角 形 的 中 位 线 求 的 结 果.【解 答】解：根 据 椭 圆 的 定 义 得：|MF2|=8,由 于 MF2F1中 N、0 是 MF1、F1F2的 中 点，根 据 中 位 线 定 理 得：ION|=4,故 选：A.5.设 命 题 p：3 xoe(0,+8),3 X+xo=2O16,命 题 q：V aG(0,+8),f(x)=|x|-ax,(x G R)为 偶 函 数，那 么，下 列 命 题 为 真 命 题 的 是()A.p A q B.(P)A q C.p A(-,q)D.(

15、-1p)A(,q)【考 点】2E：复 合 命 题 的 真 假.【分 析】对 于 命 题 P，利 用 函 数 零 点 判 定 定 理 即 可 判 断 出 真 假.命 题 0,x0q：取 a=l,则 f(x)=|x-x=-2x,x 0,即 可 判 断 出 真 假.【解 答】解：命 题 P：令 f(x)=3x+x-2 0 1 6,贝 Ijf(6)=-1284 0,因 此 m xoe(0,+8),3 Z+xo=2 O 1 6,是 真 命 题.JO,x)0命 题 q：取 a=l,贝 I f(x)=|x 1-x=1-2x,x 0,因 此 函 数 f(x)是 非 奇 非 偶 函 数.因 此 命 题 q 是

16、假 命 题.下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 p A(q).故 选：C.6.已 知 点 P(xo,y o)在 抛 物 线 W：y2=4x上，且 点 P到 W 的 准 线 的距 离 与 点 P到 X轴 的 距 离 相 等，则 X0的 值 为()1 3A.y B.1 C.y D.2【考 点】K8：抛 物 线 的 简 单 性 质.【分 析】求 得 抛 物 线 的 焦 点 和 准 线 方 程，运 用 抛 物 线 的 定 义 可 得 点 P到 W 的 准 线 的 距 离 即 为 P 到 W 的 焦 点 F 的 距 离，由 题 意 可 得|PF|=|y0|,即 可 得 到 xo=l.【解 答】解：抛

17、 物 线 W：y2=4x的 焦 点 为(1,0),准 线 方 程 为 x=-L由 抛 物 线 的 定 义 可 得 点 P到 W 的 准 线 的 距 离 即 为 P到 W 的 焦 点 F的 距 离，由 题 意 可 得 PF|=|y1,则 PF_Lx轴，可 得 xo=l,故 选：B.7.若 不 等 式 x2-kx+k-1=0对 x(1,2)恒 成 立，则 实 数 k 的 取 值 范 围 是()A.(，2)B.(，2 C.(2,+8)D.2,+)【考 点】3R：函 数 恒 成 立 问 题.【分 析】根 据 题 意，分 离 参 数，利 用 函 数 的 单 调 性，即 可 得 到 实 数 k的 取 值

18、范 围.【解 答】解：不 等 式 x2-kx+k-1 0 可 化 为(1-x)k l-x2V x e(1,2)1-2i*-i+x1-x.y=l+x 是 一 个 增 函 数，则 l+x(2,3).kW2，实 数 k 取 值 范 围 是（-8,2故 选：By2 28.关 于 x,y 的 方 程 y=mx+n和。7+看=1 在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 大 致【考 点】KE：曲 线 与 方 程.【分 析】通 过 假 设 曲 线 是 椭 圆 或 双 曲 线，判 断 直 线 方 程 与 图 形 对 应 关 系，得 到 结 果 即 可.、X?y2【解 答】解：关 于 x,y 的 方 程 y=mx

19、+n和 m+n=1，如 果 曲 线 是 椭 圆，则 m,n 都 是 正 数，直 线 的 图 象 在 y 轴 上 的 截 距 为 正 数，显 然 没 有 正 确 选 项.则 曲 线 是 双 曲 线，如 果 m 0,焦 点 坐 标 在 x 轴 上，直 线 在 y 轴 上 的 截 距 小 于 0,没 有 正 确 选 项.所 以 mVO,n 0,选 项 D满 足 题 意.故 选：D.9.曲 线 y=lnx上 的 点 到 直 线 y=x+l的 最 短 距 离 是()A.2 B.2 C.喙 D.1【考 点】6H：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程.【分 析】求 出 和 y=x+l平

20、 行 的 直 线 和 y=lnx相 切，求 函 数 的 导 数，利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 出 切 点 坐 标 即 可 得 到 结 论.【解 答】解：设 与 y=x+l平 行 的 直 线 与 y=lnx相 切，则 切 线 斜 率 k=l,Vy=lnx,y=,，1由 y=7=1,得 X=L当 x=l时,y=ln l=O,即 切 点 坐 标 为 P(1,0),则 点(1,0)到 直 线 的 距 离 就 是 线 y=lnx上 的 点 到 直 线 y=x+l的 最 短 距 离，11-0+11 M.点(1,0)到 直 线 的 距 离 为：d=712+(-l)2=，曲 线 y=lnx上 的 点

21、 到 直 线 I：y=x+l的 距 离 的 最 小 值 为 故 选:A.10.下 列 求 导 运 算 正 确 的 是()3 3 1A.(x+*)=1+讨 B.(Iog2x)=敬 C.(3X)z=3xlog3eD.(x2cosx)z=-2xsinx【考 点】63：导 数 的 运 算.【分 析】由 导 数 的 运 算 法 则 逐 个 选 项 验 证 可 得.【解 答】解：选 项 A,(x+)-合，故 错 误；X X选 项 B(log2x)=豆 卷，故 正 确；选 项 C,(3 x)，=3 x|n 3,故 错 误;选 项 D,(x2cosx)z=2xcosx-x2s in x,故 错 误.故 选：B

22、x2 2 b1 1.双 曲 线 工-正=1(a 0,b 0)上 任 意 一 点 P可 向 圆 x?+y2=(2)2作 切 线 PA,P B,若 存 在 点 P 使 得 PA.PB=0,则 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是()A.L,+)B.(1,J C.L)D.(1,)【考 点】KC：双 曲 线 的 简 单 性 质.2 2【分 析】双 曲 线”-讨=1(a 0,b 0)上 任 意 一 点 P可 向 圆 x2+y2=)2作 切 线 PA,PB,可 得 a沾；存 在 点 P使 得 市 诙=0,可 得 b b2 a,即 可 得 出 结 论.【解 答】解：由 题 意，:双 曲 线 京

23、-2=1(a 0,b 0)上 任 意 一 a D点 P可 向 圆 x2+y2=(1)2作 切 线 PA,PB,.,.a y,.4 a2 b2,/.5 a2 c2,e,.存 在 点 P使 得 而 诬=0,故 选：c.1 2.设 函 数 f，(x)是 函 数 f(x)(x R)的 导 函 数，f(0)=2,fz(x)-f(x)ex,则 使 得 f(x)xe*+2ex成 立 的 x 的 取 值 范 围 是()A.(0,+)B.(1,+8)C.(0,1)D.(-8,+oo)【考 点】6B：利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性.【分 析】根 据 f(x)-f(x)ex,构 造 g(x)=e x

24、f(x)-x,求 导,求 出 函 数 的 单 调 增 函 数，只 需 将 求 g(x)的 最 小 值 大 于 2,即 可 求 得 x 的 取 值 范 围.【解 答】解:构 造 辅 助 函 数 g(x)=e xf(x)-x,g;(x)=-e-xf(x)+fz(x)e x-l=e xfz(x)-f(x)-1,由(x)-f(x)ex,g(x)0 恒 成 立.A g(x)在 定 义 域 上 是 单 调 递 增 函 数，要 使 f(x)x ex+2ex,即：e xf(x)-x 2,只 需 将 g(x)的 最 小 值 大 于 2,V g(0)=2,g(x)在 定 义 域 上 是 单 调 递 增 函 数；故

25、 x 0,即 x 的 取 值 范 围 是(0,+8).故 答 案 选：A二、填 空 题(共 4 小 题，每 小 题 5分，满 分 2 0分)1 3.已 知 集 合 M=x|x|V I,N=a,若 M U N=M,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是(-1,1).【考 点】ID：并 集 及 其 运 算.【分 析】求 出 集 合 M,将 条 件 M U N=M转 化 为 N C M,利 用 集 合 关 系 即 可 得 到 结 论.【解 答 解：M=x|x|l=x|-1 X 1,V M U N=M,AN C M,N=a,-l a l,故 答 案 为：(-1,1)x2 21 4.抛 物 线 y2=-

26、1 2 x的 准 线 与 双 曲 线 5-勺=1的 两 条 渐 近 线 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 等 于.【考 点】KC：双 曲 线 的 简 单 性 质.【分 析】根 据 抛 物 线 的 方 程 算 出 其 准 线 方 程 为 x=3,由 双 曲 线 的 方 程 算 出 渐 近 线 方 程 为 y=*X,从 而 得 到 它 们 的 交 点 M、N 的 坐 标，再 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 算 出 O M N的 面 积，可 得 答 案.【解 答】解：.抛 物 线 方 程 为 y2=-12X,抛 物 线 的 焦 点 为 F(-3,0),准 线 为 x=3.x2 y2 返

27、 又 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y=3 x.,直 线 x=3与 直 线 y=*x 相 交 于 点 M(3,N(3,-),.三 条 直 线 围 成 的 三 角 形 为 M O N,以 M N为 底 边、0 到 M N的 距 离为 局，可 得 其 面 积 为 S=*X|M N|X 3=*X-(-F)义 3=3”故 答 案 为：诉.1 5.已 知 函 数 f(x)=lnx-f(m R)在 区 间 1,e 取 得 最 小 值 4,贝 1J m=.【考 点】6E：利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值.【分 析】求 出 函 数 的 导 函 数，然 后 分 m 的 范 围 讨

28、 论 函 数 的 单 调 性，根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 函 数 的 最 小 值，利 用 最 小 值 等 于 4 求 m 的 值.【解 答】解：函 数 f(x)=ln x q的 定 义 域 为(0,+8),f 履)=+丹.X x当 fz(x)=0时-，I 吟=0,此 时 x=-m,如 果 m 2 0,则 无 解.K X所 以，当 m 2。时，f(x)0,f(x)为 增 函 数，所 以 f(x)min=f(1)=-m=4,m=-4,矛 盾 舍 去；当 m 0时，若 x(0,-m),fz(x)0,f(x)为 增 函 数，所 以 f(-m)=ln(-m)+1为 极 小 值，也 是 最 小

29、 值；当-m L 即-l m e,即 m-e 时，f(x)在 1,e 上 单 调 递 减，f(x)min=f(e)=1-=4.所 以 m=-3e.当-1W-m W e,即-e W m W l时，f(x)在 1,e 上 的 最 小 值 为 f(-m)=ln(-m)+1=4.此 时 m=-e3 f(1),则 f(x)一 定 不 是 R上 的 减 函 数；用 反 证 法 证 明 命 题“若 实 数 a,b,满 足 a2+b2=0,则 a,b 都 为 0 时，“假 设 命 题 的 结 论 不 成 立 的 叙 述 是 假 设 a,b 都 不 为 0.兀 兀 把 函 数 丫=$仍(2X+T)的 图 象 向

30、 右 平 移 三 个 单 位 长 度，所 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为 y=sin2x.a=0是 函 数 f(x)=x3+ax2(x R)为 奇 函 数 的 充 分 不 必 要 条 件.其 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 为.【考 点】2K：命 题 的 真 假 判 断 与 应 用.【分 析】根 据 函 数 的 增 减 性 的 定 义 判 断.根 据 命 题 的 否 定 即 可 判 断.函 数 平 移 关 系 判 断.利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断.【解 答】解：对 于 定 义 在 R上 的 函 数 f(x)满 足 f(2)f(1

31、),则 f(x)在 R上 不 一 定 是 增 函 数，但 f(x)一 定 不 是 R上 的 减 函 数；故 正 确 对 于 由 于 a、b 全 为 0(a、b R)的 否 定 为：a、b 至 少 有 一 个 不 为 0,故 不 正 确；兀 兀 7T对 于 把 函 数 y=sin(2 x+-=s in 2(x+%)的 图 象 向 右 平 移 飞 个 单 位 长 度，所 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为 丫=$由 2乂，故 正 确，对 于 函 数 f(x)=x3+ax2(x G R)为 奇 函 数=f(-x)+f(x)=0=2ax2=0,V xGR,2ax2=00 a=0.因 此 a

32、=0是 函 数 f(x)=x3+ax2(x R)为 奇 函 数 的 充 要 条 件，故 不 正 确，故 答 案 为：.三、解 答 题(共 5 小 题，满 分 6 0分)1 7.设 命 题 p：实 数 x 满 足(x-a)(x-3a)0,命 题 q：实 数 x 满 足 2V xW 3.(1)若 a=l,有 p 且 q 为 真，求 实 数 x 的 取 值 范 围.(2)若”是 q 的 充 分 不 必 要 条 件，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【考 点】2L：必 要 条 件、充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断；2E：复 合 命 题 的 真 假.【分 析】(1)命 题 p：实 数 x

33、 满 足(x-a)(x-3a)0,解 得 a V x V 3 a.若 a=l,则 p 中：l x 3,由 p 且 q 为 真，可 得 p与 q 都 为 真，即 可 得 出.(2)若 rp是 的 充 分 不 必 要 条 件，可 得 q 是 p 的 充 分 不 必 要 条 件,即 可 得 出.【解 答】解：(1)命 题 p：实 数 X满 足(x-a)(x-3a)0,解 得 axV3a.命 题 q 中：实 数 x满 足 2xW3.若 a=l,则 p 中：1XV3,p x3p且 q 为 真，小 x 3,解 得 2VxV3,故 所 求 x(2,3).(2)若 那 是 rq的 充 分 不 必 要 条 件，

34、则 q 是 P 的 充 分 不 必 要 条 件，慧 3 解 得】0),由 焦 点 坐 标，可 得 p 的 方 程，解 方 程 即 可 得 到 所 求.【解 答】解：(1)双 曲 线 方 程 为 16x2-9y2=144,2 2即 为 T-缶=1,可 得 a=3,b=4,c=a2+t)2=5,则 双 曲 线 的 实 轴 长 为 2a=6、虚 轴 长 2b=8、离 心 率 e=|；(2)抛 物 线 C 的 顶 点 是 该 双 曲 线 的 中 心(0,0),而 焦 点 是 其 左 顶 点(-3,0),设 抛 物 线 C 的 方 程 为 y2=-2px(p0),由-=-3,解 得 p=6.则 抛 物

35、线 C 的 方 程 为 y2=-12x.1 9.已 知 函 数 f(x)=xe*+ax2+2x+l在 x=-1 处 取 得 极 值.(1)求 函 数 f(x)的 单 调 区 间；(2)若 函 数 y=f(x)-m-1 在-2,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 零 点，求 实 数 m 的 取 值 范 围.【考 点】6E：利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值；6B：利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性.【分 析】(1)求 出 函 数 的 导 数，得 到 关 于 a 的 方 程，求 出 a,解 关 于 导 函 数 的 不 等 式，求 出 函 数 的 单 调 区 间 即

36、可；(2)问 题 等 价 于 xex+x2+2x=m在-2,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 根.令 g(x)=xex+x2+2x,求 出 函 数 的 单 调 性 求 出 g(x)的 最 小 值，从 而 求 出 m 的 范 围 即 可.【解 答】解：(1)f(x)=ex+xex+2ax+2,V f(x)在 x=l处 取 得 极 值，.*.f(-1)=0,解 得 a=l.经 检 验 a=l适 合，/.f(x)=xex+x2+2x+l,f(x)=(x+1)(ex+2),当 x(-8,-1)时，f(x)0,A f(x)在(-1,+8)递 增.(2)函 数 y=f(x)-m-1 在-2,2 上

37、恰 有 两 个 不 同 的 零 点，等 价 于 xex+x2+2x-m=0在-2,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 根,等 价 于 xex+x2+2x=m在-2,2 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 根.令 g(x)=xex+x2+2x,/.g(x)=(x+1)(ex+2),由(1)知 g(x)在(-8,-1)递 减；在(-1,+8)递 增.g(x)在-2,2 上 的 极 小 值 也 是 最 小 值；g(x)mm=g(T)=L9yg(-2)=,g(2)=8+2e2 g(-2),e即 m W(一，.e e e ex2 2 M2 0.已 知 椭 圆 C：亍+2=1(a b 0)的 离 心

38、率 为”其 左、右 焦 点 为 F、F 2,点 P是 坐 标 平 面 内 一 点，且|O P|=,呵 画/，其 中 0 为 坐 标 原 点.(1)求 椭 圆 C的 方 程；(2)如 图，过 点 S(0,-1)的 动 直 线 I交 椭 圆 于 A、B两 点，是 否 存 在 定 点 M,使 以 A B为 直 径 的 圆 恒 过 这 个 点？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.y【考 点】KL：直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系.【分 析】设 P(xo,yo),由 1OP|=,画 画 列 出 方 程 组,求 出 a,b,由 此 能 求 出 椭 圆 方 程.

39、(2)假 设 存 在 定 点 M,使 以 A B 为 直 径 的 圆 恒 过 这 个 点.当 ABx轴 时，以 A B 为 直 径 的 圆 的 方 程 为：x2+y2=l,当 AB，y 轴 时，以 AB为 直 径 的 圆 的 方 程 为：x?+(班 寺 V=号，从 而 求 出 定 点 M(0,1).再 证 明 以 A B 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 M(0,1).由 此 得 到 在 y 轴 上 存 在 定 点 M(0,1),使 以 A B为 直 径 的 圆 恒 过 M(0,1)这 个 定 点.【解 答】解：(1)设 P(xo,yo),V|OP|=,Axo2+yo2=p 又 PF1.PF

40、2.，.(_ c _ Xo,-yo)(c-Xo,-yo)=*即 Xj-cZ+y/q,代 入 得：c=l.又 0=坐，；.2=“，b=l,2 门 故 所 求 椭 圆 方 程 为 今+y2=l.(2)假 设 存 在 定 点 M,使 以 A B为 直 径 的 圆 恒 过 这 个 点.当 AB_Lx轴 时，以 A B为 直 径 的 圆 的 方 程 为：x2+y2=l,.()当 ABJ_y轴 时，以 A B为 直 径 的 圆 的 方 程 为：*2+55)2=学，由，知 定 点 M(0,1).下 证：以 A B为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 M(0,1).设 直 线 I：y=kx-y,代 入。+y 2

41、=i,有(2k2+l)x2-y k x-y=o.4k 一 16设 A(x i,Y 1),B(x2,y2),则 X|+x 2=7 p XIX2=2-.-,.,一,jjllj M A=(x y 1),M B(x2 y 一)M AM B=X X 2+(y i-1)(y2-1)=xt x2+(kx i-y)(kx2-y)=(1+k2)xix2-y k(x1+x2)+-/八 T6 4,4k 16 c=(1+k2)2 2 r+-5-=0,9(2k+l)3 3(2k，l)9.在 y 轴 上 存 在 定 点 M(0,1),使 以 A B为 直 径 的 圆 恒 过 M(0,1)这 个 定 点.2 1.已 知 函

42、 数 f(x)=a(x)T nx.(I)若 a=l,求 曲 线 y=f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程；(H)若 函 数 f(x)在 其 定 义 域 内 为 增 函 数，求 a 的 取 值 范 围；(川)在(口)的 条 件 下，设 函 数 g(x)=。，若 在 1,e 上 至 少 存 在 一 点 X o,使 得 f(Xo)2 g(x0)成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【考 点】6H：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程；6B：利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性；6E：利 用 导 数 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 值.【分 析】

43、(I)当 a=l时，求 出 切 点 坐 标，然 后 求 出 f(x),从 而 求 出 f(1)的 值 即 为 切 线 的 斜 率，利 用 点 斜 式 可 求 出 切 线 方 程；(I I)先 求 导 函 数，要 使 f(x)在 定 义 域(0,+8)内 是 增 函 数，只 需 F(x)2 0 在(0,+8)内 恒 成 立，然 后 将 a 分 离，利 用 基 本 不 等 式 可 求 出 a 的 取 值 范 围；(I I I)根 据 g(x)在 1,e 上 的 单 调 性 求 出 其 值 域，然 后 根 据(II)可 求 出 f(x)的 最 大 值，要 使 在 1,e上 至 少 存 在 一 点 X

44、0,使 得 f(xo)2g(Xo)成 立，只 需 f(x)maxeg(X)min,x 1,e,然 后 建 立 不 等 式，解 之 即 可 求 出 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(I)当 a=l时，函 数 式 x)=x-lnx,/.f(1)=1 T-lnl=0.F(x)=l4 一,X X曲 线 f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 的 斜 率 为 f(1)=1+1-1=1.从 而 曲 线 f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 为 y-o=x-l,即 y=x-1.z，、_、&11 _ax 2-x+,a(n)f(x)=a?丁?-.要 使 f(x)在 定 义 域(0,+8)

45、内 是 增 函 数，只 需 fz(X)2 0 在(0,+8)内 恒 成 立.1 x=1即：ax2-x+a20 得：恒 成 立.X由 于 x42,，f(x)在(0,+8)内 为 增 函 数，实 数 a 的 取 值 范 围 是 电+8).(Ill)g(x)=在 1,e上 是 减 函 数；.x=e 时，g(x)min=L X=1 时,g(x)max=e,即 g(x)1,eax2-x+af(x)=2 令 h(x)=ax2-x+a当 a冶 时，由（II）知 f（X）在 1,e 上 是 增 函 数，f（1）=0 0）与 曲 线 c 交 于 A 点，与 直 线 I交 于 B,求 线 段 A B 的 长.【考

46、 点】Q4：简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程；QH：参 数 方 程 化 成 普 通 方 程.卜=1+我 cos 8【分 析】（1）曲 线 C 的 参 数 方 程 为 后（0 为 参 数），消 去 参 数 化 为：（x-l）2+y2=3,展 开 利 用 互 化 公 式 即 可 得 出 极 坐 标 方 程.JT（II）射 线 OT：0=-（p 0）分 别 与 曲 线 C,直 线 I的 极 坐 标 方 程 联 立 解 出 交 点 坐 标 即 可 得 出.J x=l+V 3 c O S 0【解 答】解：（1）曲 线 c 的 参 数 方 程 为 尸、行 Sin8（6 为 参 数），消 去 参 数

47、化 为：（x-l）2+y2=3,展 开 为：x2+y2-2x-2=0,化 为 极 坐 标 方 程：p2-2pcos0-2=0.P 2-2pcos 8-2=0(II)联 立 8 3，化 为：p2-p-2=0,p 0,解 得 p=2.37r/J T射 线 OT：0=-(p 0)与 曲 线 C 交 于 A 点-y).r 7 T LP cost 0 工 o)=卬 联 立 兀，IFjr Jr解 得 p=6,射 线 OT：e=w(p 0)与 直 线 I交 于 B(6，至)，线 段 A B 的 长=6-2=4.选 修 4一 5：不 等 式 选 讲 23.设 f(x)=|x-l|+|x+l|,(xGR)(1)

48、求 证：f(x)2 2；(2)若 不 等 式 f(x)2 对 任 意 非 零 实 数 b 恒 成 立,求*的 取 值 范 围.【考 点】R4：绝 对 值 三 角 不 等 式；R5：绝 对 值 不 等 式 的 解 法.【分 析】(1)利 用 三 角 不 等 式 证 明：f(x)2 2；/_、12b+11-11-b|12b+1-1+b|_ ar11(2)g(b)=-面-W-旧 一=3,可 得 f(x)2 3,即 x-l|+|x+l|23,分 类 讨 论，求 x 的 取 值 范 围.【解 答】(1)证 明：R*)=/-11+x+1=1-x+1x+11 2 11-x+x+1=2；(八 2)版 解：g(小 b)=-|-2-b-+l|-|l-bKW|2b+l旧-l+b|=3o,Af(x)2 3,即|x-1|+x+11 3,x W-1 时,-2x23,-1.5,-1.5；-l V x W l时，2 2 3 不 成 立；x l 时，2 x 2 3,.x e L 5,.,.x l.5.综 上 所 述 xW-1.5或 x 2 L 5.